Ich möchte hier die trigonometrischen Funktionen wiederholen und zwar zunächst mal so, wie Sie sie in der Mittelstufe in der Schule kennengelernt haben, nämlich als Funktionen im rechtwinkeligen Dreieck, die durch die Winkel gegeben sind. Also wir nehmen hier ein rechtwinkeliges Dreieck, der rechte Winkel ist bei C,

dann haben wir bei A und B zwei Winkel, nämlich Alpha und Beta. Die längste Seite im Dreieck, die dem rechten Winkel gegenüber liegt, die heißt Hypotenuse. Die anderen beiden heißen Katheten und wenn wir uns in A setzen und da den Winkel Alpha haben,

dann haben wir also die Ankathete von Alpha, was dann aber der Gegenkathete von Beta entspricht. Denn wenn wir hier die Ankathete haben, dann haben wir hier die Gegenkathete, das ist die Gegenkathete von Alpha, die entsprechend die Ankathete von Beta sein muss.

So und dann definiert man die Winkelfunktionen, also Cosinus, Sinus, Tangens und Cotangens, als Verhältnisse und zwar als Verhältnisse der Längen der Seiten im rechtwinkeligen Dreieck. Der Cosinus, das ist die Ankathete durch die Hypotenuse, also hier der Cosinus Alpha,

das ist B durch C. Der Sinus, das ist die Gegenkathete durch die Hypotenuse, also ist der Sinus Alpha gleich A durch C. Der Tangens, der ist die Gegenkathete durch die Ankathete,

also A durch B. Und der Cotangens, das ist die Ankathete durch die Gegenkathete, also B durch A für Alpha, was gleich 1 durch den Tangens von Alpha ist. Auch haben Sie den Satz von Pythagoras kennengelernt, das heißt für die Seiten hier in diesem rechtwinkeligen Dreieck gilt,

dass die Länge der Seite A zum Quadrat plus die Länge der Seite B zum Quadrat gleich C Quadrat ist. Und wenn wir das übersetzen in eine Gleichung aus Winkelfunktionen,

dann müssen wir hier nur durch C teilen, dann steht da also A durch C Quadrat plus B durch C Quadrat gleich 1 und A durch C, das ist der Sinus, also Sinus Quadrat plus B durch C,

das ist der Cosinus zum Quadrat. Cosinus Quadrat Alpha plus Sinus Quadrat Alpha ist gleich 1. Daraus sehen wir auch nochmal, dass Cosinus und Sinus auf alle Fälle nicht größer werden

als 1, was auch klar ist hier im Dreieck, die längste Seite ist C, B durch C kann also nicht größer werden als 1, weil B nicht größer werden kann als C und genauso kann A durch C nicht größer werden als 1, weil A auf alle Fälle kleiner gleich C ist. Machen wir ein paar

Beispiele. Was passiert denn, wenn wir ein gleichschenkliches, rechtwinkliges Dreieck nehmen? Also sowas in dieser Art und wir hier den rechten Winkel haben, dann ist der Winkel

der Winkel jeweils 45 Grad und das heißt, wir haben Cosinus Quadrat Alpha plus Sinus Quadrat

Alpha gleich 1. Nun ist aber der Sinus von Alpha gleich dem Cosinus von Beta. Also schauen wir uns das hier an.

Der Sinus von Alpha, das ist A durch C, die Gegenkathete durch die Hypotenuse, die Gegenkathete vom Alpha ist aber die Ankathete von Beta, also ist der Sinus Alpha gleich dem Cosinus Beta und der Sinus Beta

gleich dem Cosinus Alpha. Gut und da Alpha und Beta gleich groß sind in diesem Spezialfall, ist das auch wieder gleich dem Cosinus von Alpha. Also kann ich das zusammenfassen, der Cosinus von Alpha zum Quadrat

und dann setze ich für den Sinus Alpha wieder den Cosinus Alpha ein, dann kriege ich das zweimal, das ist gleich 1.

So, das heißt aber nun, dass der Cosinus Quadrat von Alpha gleich 1.5 ist und das ist gleich, weil wenn alle Längen größer

gleich Null sind, kann ich einfach die Wurzel rausziehen und weiß, dass der Cosinus von Alpha gleich der Wurzel aus 1.5 ist oder, wie das der Mathematiker dann am liebsten schreibt, Wurzel 2.5. Also das heißt, wenn ich Alpha noch ersetze

durch 45 Grad, dann steht er der Cosinus von 45 Grad, das ist Wurzel 2.5 und das ist gleich dem Sinus von 45 Grad, wie wir gesehen hatten. Das war mal das erste Beispiel. Im zweiten Beispiel versuche ich hier mal ein gleichseitiges

Dreieck zu zeichnen. Das heißt, alle Winkel sind gleich 60 Grad. Jetzt sagen Sie, es ist doch gar kein

rechtwinkliges Dreieck, stimmt, aber wenn ich hier die Höhe einzeichne, dann habe ich ein rechtwinkliges Dreieck und dann sind das hier 60 Grad und das hier der halbe Winkel 30 Grad.

Gut, und jetzt schauen wir uns an, was hier eigentlich steht. Wir haben den Pythagoras, der sagt, der Cosinus Quadrat

von 60 Grad plus der Sinus Quadrat von 60 Grad, das ist 1. So, und jetzt sind wir hier, das ist die Länge unserer

Hypotenuse C, die können wir gleich 1 wählen, das ist egal für die Winkelfunktion Sinus und Cosinus. Und dann ist das da die halbe Länge davon, weil das Dreieck schließlich gleichzeitig ist.

Das heißt, wir können hier wiederum einsetzen dafür, dass der Cosinus von 60 Grad, den kennen wir in dem Fall,

der ist ein Halb, ankathetet durch Hypotenuse und das ist natürlich auch gleich dem Sinus von 30 Grad. So, und zusammen mit dem Pythagoras können wir dann den Sinus von 60 Grad ausrechnen, das ist nämlich,

also wieder, weil alle Strecken größer als Null sind gleich, oder größer als Null sind die Wurzel aus 1 minus dem Cosinus zum Quadrat von 60 Grad und das ist 1 minus ein Viertel, das ist also die Wurzel aus 3 Viertel und das ist die Wurzel 3

geteilt durch 2. Das ist natürlich auch wieder gleich dem Cosinus von 30 Grad.

So, das sind ein paar berühmte Beispiele, die man sich auch sehr sehr leicht immer wieder herleiten kann.