Ich beweise hier die Dreiecksumgleichung für den komplexen Absolutbetrag, sprich ich zeige für alle komplexen Zahlen z und w, dass der Absolutbetrag von z plus w kleiner oder gleich dem Absolutbetrag von z plus dem Absolutbetrag von w ist. Dafür zerlege ich z und w in real und imaginär Teil z gleich a plus ib, w gleich c plus

id mit reellen Zahlen a, b, c, d. Dann kann ich den Betrag von z plus w schreiben als Wurzel aus real Teil Quadrat plus imaginär

Teil Quadrat, also Wurzel aus a plus c Quadrat plus b plus d Quadrat.

Und für den Betrag von z plus den Betrag von w finde ich, das ist die Wurzel aus a Quadrat plus b Quadrat plus der Wurzel aus c Quadrat plus d Quadrat. Und das benutze ich im Folgenden, um das Ganze ein wenig um zu formen, das heißt,

ich sage, der Betrag von z plus w ist kleiner oder gleich dem Betrag von z plus dem Betrag von w. Genau dann erst mal, wenn der Betrag von z plus w zum Quadrat kleiner oder gleich

dem Quadrat der rechten Seite ist. Diese Richtung hier ist klar, es gilt aber auch diese Richtung, denn der Betrag, der ist größer oder gleich Null. Das hier ist also wirklich eine Äquivalenz dieser Aussagen.

Das hat den Vorteil, dass ich jedenfalls hier links diese Wurzel weglassen kann. Das heißt, ich weiß nun, das ist gleichbedeutend zu a plus c Quadrat plus b plus d Quadrat ist kleiner oder gleich dem Quadrat, diese rechten Seite, also kleiner,

gleich a Quadrat plus b Quadrat plus zwei Wurzel a Quadrat plus b Quadrat mal Wurzel c Quadrat plus d Quadrat plus c Quadrat plus d Quadrat.

Hier kann ich ausmultiplizieren, das ist a Quadrat plus 2ac plus c Quadrat plus b Quadrat plus 2bd plus d Quadrat. Und dann kann ich hier alle quadratischen Summanten jeweils weglassen

und bekomme als äquivalente Ungleichung 2 mal ac plus b. D ist kleiner gleich 2 mal der Wurzel aus a Quadrat plus b Quadrat mal c Quadrat plus d Quadrat.

Auch hier würde ich jetzt wieder gerne quadrieren, nur von diesem Term weiß ich nicht mehr, ob er wirklich größer als Null ist. Das heißt, ich kann jetzt nur noch folgern,

dass aus der Ungleichung für die Quadrate diese Ungleichung hier folgt. Die 2 lasse ich dabei gleich weg. Das heißt, ich kann jetzt sagen a mal c plus b mal d zum Quadrat ist kleiner gleich a Quadrat plus b Quadrat mal c Quadrat plus d Quadrat.

Das kann ich aber wieder weiter äquivalent umformen, indem ich erstmal auf jeder Seite ausmultipliziere. Da erhalte ich a Quadrat plus c Quadrat plus 2ac bd plus b Quadrat.

D Quadrat ist kleiner gleich a Quadrat plus c Quadrat plus b Quadrat plus c Quadrat plus a Quadrat plus b Quadrat plus d Quadrat.

Da kürzen sich jetzt wieder Terme hinaus. b Quadrat, d Quadrat haben wir hier hinten. Das heißt, das ist gleichbedeutend dazu, dass 2ac bd kleiner gleich b Quadrat plus c Quadrat plus a Quadrat plus d Quadrat ist.

Und jetzt nehme ich diese Ungleichung hier und werfe den Term mit Minus noch auf die Seite. Dann erhalte ich folgende Ungleichung.

Null ist kleiner gleich b Quadrat c Quadrat minus 2abcd plus a Quadrat d Quadrat. Und darin erkenne ich wieder ein Binom. Das heißt, die rechte Seite hier, das ist gleich bc minus ad zum Quadrat.

Und jetzt steht hier Null ist kleiner gleich einem Quadrat. Und das ist eine wahre Aussage. Und demnach kann ich jetzt die ganzen Umformungen zurückgehen. Also das hier ist wahr, also ist diese Zeile wahr.

Also ist diese Zeile wahr, damit ist diese Zeile wahr und auch diese. Hier folgt aus der wahren Aussage nun diese Aussage hier. Und das ribbel ich zurück, bis ich hier oben bei meiner Dreiecksungleichung bin. Somit ist die bewiesen.