Ich zeige Ihnen hier, wie man inverse Matrizen effektiv berechnen kann. Dazu sei A immer eine quadratische Matrix, etwa eine n-Kreuz-n-Matrix, die invertierbar ist. Das heißt, A muss vollen Rang haben. Rang A gleich n.

Dann erinnere ich daran, dass die Existenz der Inversen von A daraus folgt, dass wir alle diese Gleichungssysteme eindeutig lösen können. Das heißt, für jeden Standard-Einheitsvektor E j hat das Gleichungssystem A mal x gleich E j eine eindeutig bestimmte Lösung B j.

Und B j, das ist ein Spaltenvektor. Die Spaltenvektoren, die wir für j gleich 1 bis n finden, schreiben wir nebeneinander zu einer Matrix B zusammen. Und diese Matrix B ist genau die inverse Matrix zu A.

Denn schließlich ist A mal B j gleich E j. Das heißt, A mal die j-Spalte von B gibt die j-Spalte der Einheitsmatrix. Wie kann man effektiv lineare Gleichungssysteme lösen? Nun durch den Gauss-Algorithmus.

Kompakt schreiben kann man das in Form von Begleitmatrizen A und dann ein Strich mit E1 für das erste Gleichungssystem.

Und so weiter bis wir A E n schreiben. Diese linearen Gleichungssysteme manipuliert man nun durch elementare Zeilenumformungen solange bis hier links die Einheitsmatrix steht.

Denn dann steht rechts der Lösungsvektor. Ich erinnere noch mal daran, was elementare Zeilenumformungen waren. Das waren Äquivalenzumformungen und um einzelnen hatten wir da die Multiplikation einer Zeile mit einer von 0 verschiedenen Zahl.

Die Addition des Vielfachen einer Zeile zu einer anderen und das Vertauschen von Zeilen. Wenn wir nun in all diesen linearen Gleichungssystemen links die Einheitsmatrix herstellen wollen,

dann können wir das in allen linearen Gleichungssystemen simultan machen. Wir wollen ja nur links auf die Einheitsmatrix kommen. Das heißt wir machen diese Umformungen gleich simultan für J gleich 1 bis N.

Damit wir dann hier nicht E1 bis E n einzeln mitziehen müssen, schreiben wir doch einfach A und dann rechts wieder die Matrix,

die aus all diesen Spalten E1 bis E n besteht, also die Einheitsmatrix. So und das bringen wir nun durch den Gauss-Algorithmus zunächst in obere Dreiecksgestalt auf der linken Seite

und dann wiederum auf die Gestalt, dass wir links die Einheitsmatrix stehen haben. Und rechts steht dann die Inverse von A. Und das ist alles, was Sie brauchen, um die Inverse einer Matrix bestimmen zu können.

Probieren wir das doch mal aus. Nehmen wir die Matrix 1, 2, 3, 4 und bestimmen ihre Inverse. Zunächst sollten wir gucken, dass A wirklich invertierbar ist, dass also A vollen Rang hat.

Ist der Rang von A gleich 2? Ja, denn nun die Spalten hier, die sind linear unabhängig.

Denn während sie voneinander linear abhängig, weil sie beide ungleich Null sind, müsste eines ein Vielfaches des anderen sein, also die zweite ein Vielfaches des ersten. Die erste Komponente zwingt uns auf, dass es das Doppelte sein muss, aber das Doppelte von 3 ist 6 und nicht 4.

Die beiden Spalten hier sind also linear unabhängig. Demnach existiert die Inverse. So, und der Gauss-Algorithmus diktiert uns jetzt, was wir machen sollen.

Wir sollen zunächst hier so eine Doppelmatrix, also A und seine Begleitmatrix, aufschreiben. Und jetzt durch elementare Zeilenumformungen links die Einheitsmatrix herstellen.

Und diese Manipulation, die ich links mache, führe ich eben auch immer rechts durch. Zunächst möchte ich mal hier links eine obere Dreiecksmatrix erreichen. Dazu ziehe ich von der zweiten Zeile dreimal die erste ab. Da ändert sich an der ersten Zeile nichts.

Und in der zweiten Zeile habe ich 3 minus 3, das ist wie gewollt 0, 4 minus 6, das ist minus 2, 0 minus 3 ist minus 3 und 1 minus 3 mal 0 ist 1.

Als nächstes wird hier eine Diagonalmatrix erzeugt. Dazu muss ich diese zweite Zeile einfach nur zur ersten hinzuaddieren. Damit ändere ich an der zweiten Zeile gar nichts.

Und in der ersten Zeile steht dann 1, 0 und 1 minus 3, das ist minus 2, 0 und 1 ist 1. Nun bin ich schon fast fertig. Ich muss hier die zweite Zeile noch normieren, also durch minus zwei Teilen.

Das ändert wiederum die erste Zeile nicht. In der zweiten Zeile steht links 0, 1 und rechts 3,5 und minus 1,5.

Und das heißt nun, dass die inverse Matrix von A, diese Matrix hier rechts ist, minus 2, 1, 3,5, minus 1,5.

Und überzeugen wir uns davon ruhig noch einmal in der Probe. Was ist A hoch minus 1 mal A? Das ist minus 2, 1, 3,5, minus 1,5 mal 1, 2, 3, 4.

Das ist minus 2 mal 1 plus 1 mal 3, das ist 1. Dann haben wir 3,5 mal 1 plus minus 1,5 mal 3, also 3,5 minus 3,5, das ist 0. Dann 2 mal minus 2 ist minus 4 plus 4 mal 1, also minus 4 plus 4, das gibt 0.

Und 3,5 mal 2, das ist 3, minus 1,5 mal 4, das ist 2, 3 minus 2 ist 1.

Ein neues Beispiel, hier sei B eine Dreikreuz-3-Matrix und zwar eine obere Dreiecks-Matrix.

Hier ist der Gauss-Algorithmus schon halb passiert. Das heißt, wir müssten eigentlich sehr schnell auf die inverse kommen. Zunächst sollten wir uns auch hier nochmal davon überzeugen, dass B wirklich invertierbar ist.

Der Rang von B ist 3, nun warum? Weil das unsere erste Definition des Ranges war. Der Zeilenrang war die Anzahl der Zeilen hier oder die Anzahl der Stufen,

wenn wir eine Matrix auf Stufenform gebracht haben. Und das sind hier drei Stufen, der Rang von B ist 3. Also werfen wir B in den Gauss-Algorithmus und schauen, was passiert.

Links die Matrix B, rechts die Einheitsmatrix und los geht es. Ich muss hier vor allen Dingen alles oberhalb der Diagonalen ausräumen. Das heißt, ich möchte mal hier viermal die dritte von der zweiten abziehen und dreimal die dritte von der ersten.

Das erzeugt mir hier Nuller. Ich habe also die letzte Zeile unverändert. In der zweiten habe ich 0, 1, 0 und 0, 1, minus 4.

In der ersten Zeile habe ich 1, 2, 0 und 1, 0, minus 3.

Jetzt räume ich die zwei hier noch aus. Das heißt, ich ziehe zweimal die zweite Zeile ab. Dann erhalte ich links bereits die Einheitsmatrix und rechts ändere ich an den zwei letzten Zeilen nichts.

Hier steht 1, minus 2, mal 0. Das ist 1, 0, 2, mal 1. Das ist minus 2.

Und minus 3, minus 2, mal minus 4. Das ist minus 3, plus 8. Das sind 5. Das heißt, unsere inverse Matrix ist die Matrix 1, minus 2, 5, 0, 1, minus 4, 0, 0, 1.

Und auch hier empfiehlt sich noch mal die Probe. Jetzt rechnen wir b hoch minus 1 mal b. Genauso könnten wir b mal b hoch minus 1 berechnen.

1, minus 2, 5, 0, 1, minus 4, 0, 0, 1. Und 1, 2, 3, 0, 1, 4, 0, 0, 1. Das ist 1, 0, 0.

Dann 2, mal 1, 1, mal minus 2. Das ist 2, minus 2 gibt 0. Dann 0, mal 2, plus 1, mal 1, minus 4, mal 0. Das ist 1. Hier 0, mal 2, ist 0, plus 0, mal 1, ist 0, plus 1, mal 0, ist 0.

Dann noch die letzte Spalte. Hier 1, mal 3, minus 2, mal 4. Das ist 3, minus 8. Das macht minus 5. Und dann noch plus 5, mal 1.

Das gibt 0. 0, mal 3, ist 0. 1, mal 4, plus minus 4, mal 1, ist wieder 0. Und 0, mal 3, plus 0, mal 4, plus 1, mal 1, gibt 1. Das ist die Einheitsmatrix, wie gewünscht.

Ich möchte dieses Beispiel noch ein kleines wenig weiter betrachten. Es ist nämlich egal, ob wir das jetzt mit einer 3-Kreuz-3-Matrix machen oder einer wesentlich größeren. Wenn wir mit einer oberen 3-Kreuz-3-Matrix starten, dann sind alle Manipulationen, die wir machen müssen, nur noch nach oben hin ausräumen.

Und wenn wir das anfangen mit der Einheitsmatrix und nach oben hin wiederum ausräumen, so wird bei all diesen Manipulationen uns hier rechts wieder nur eine obere 3-Kreuz-3-Matrix entstehen.

Wie wir es hier bei b hoch minus 1 hatten. Das heißt, starten wir mit einer oberen 3-Kreuz-3-Matrix, so erhalten wir auch als Inverse eine obere 3-Kreuz-3-Matrix. Auch bei einer unteren 3-Kreuz-3-Matrix ist das so. Wenn wir eine untere 3-Kreuz-3-Matrix hier am Anfang haben, so müssen wir nur nach unten hier ausräumen.

Das wird uns hier auch nur unterhalb der Diagonalen noch etwas bescheren. Oder oberhalb der Diagonalen behalten wir die Nuller. Das heißt, das Inverse einer unteren 3-Kreuz-3-Matrix ist wieder eine untere 3-Kreuz-3-Matrix.

Das habe ich hier nochmal aufgeschrieben. Ist A eine quadratische obere oder untere 3-Kreuz-3-Matrix, dann ist, wenn sie denn invertierbar ist, A hoch minus 1 auch wieder von der Form.

Dann ist eine solche obere 3-Kreuz-3-Matrix invertierbar. Nun genau dann, wenn ihr Rang N ist. Das heißt, wenn wir N solche Stufen haben.

Und N solche Stufen heißt, dass keine Doppelstufe der Höhe 2 oder noch höher kommt. Das heißt, alle Diagonaleinträge sind ungleich Null. A gleich obere 3-Kreuz-3-Matrix ist invertierbar.

Das ist gleichbedeutend dazu, dass alle Diagonaleinträge AII ungleich Null sind. Für I gleich 1 bis N. Wenn wir hier A eine N-Kreuz-N-Matrix hineinstecken.

Und das Gleiche gilt für untere 3-Kreuz-3-Matrixen. Wie gesagt, genauso. Hier schreibe ich nochmal das Gleiche hin.