Drehungen
This is a modal window.
Das Video konnte nicht geladen werden, da entweder ein Server- oder Netzwerkfehler auftrat oder das Format nicht unterstützt wird.
Formale Metadaten
| Titel |
| |
| Untertitel |
| |
| Serientitel | ||
| Teil | 3 | |
| Anzahl der Teile | 9 | |
| Autor | ||
| Lizenz | CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - keine Bearbeitung 3.0 Deutschland: Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt in unveränderter Form zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen. | |
| Identifikatoren | 10.5446/67831 (DOI) | |
| Herausgeber | ||
| Erscheinungsjahr | ||
| Sprache |
Inhaltliche Metadaten
| Fachgebiet | |
| Genre |
Abbildungsmatrizen3 / 9
1
2
3
4
5
6
8
9
00:00
DrehungMatrizenringLineare AbbildungEinfach zusammenhängender RaumLängeAbbildung <Physik>MultiplikationsoperatorArithmetisches MittelVektorraumZusammenhängender GraphLinearisierungSpiegelung <Mathematik>MatrizenrechnungErweiterungComputeranimation
02:55
MultiplikationsoperatorVektorraumResultanteWinkelStandardabweichungSinusfunktionTrigonometrische FunktionMatrizenrechnungLineare DarstellungBasis <Mathematik>EbeneKoordinatenRechter WinkelLängeVektorKosinusfunktionDarstellungsmatrixDrehungVektorrechnungLineare AbbildungComputeranimationDiagramm
Transkript: Deutsch(automatisch erzeugt)
00:00
Betrachten wir weitere prominente lineare Abbildungen oder Matrizen, wie wir gesehen haben. Betrachten wir die Matrix R 0, minus 1, 1, 0. Das beschreibt also eine Abbildung vom R2 nach R2. Nicht zu verwechseln mit der Matrix 0, 1, 1, 0.
00:26
Das war eine Achsenspiegelung. Hier ist das was anderes. Was ist nämlich R mal E1? Das ist die erste Spalte. Das ist E2. Und R mal E2, das ist minus E1. Das heißt, E1
00:48
wird abgebildet auf E2. Und E2 wird abgebildet auf minus E1. Was bedeutet das für den Vektor?
01:06
V. R mal V. Das ist minus V2 und V1. Also muss ich, um das Bild von V zu
01:29
kommen, am besten in seine Komponenten hier zerlegen. So, und dann wird minus V2 zur
01:40
neuen 1 Komponente. Das heißt, ich muss dieses Stück nach hier drüben übertragen. Und die zweite Komponente, das ist V1, also diese Länge nach hier oben. Das ist in etwa hier. Und dann erhalte ich hier das Bild von V. Was ist hier geschehen? Wir haben
02:13
E1 nach E2 geschickt. Wir haben E2 nach minus E1 geschickt. Und wir haben V nach
02:26
E2 geschickt. Das ist eine Drehung. In dem Fall ist das eine Drehung um 90 Grad, beziehungsweise Pi halbe, im mathematisch positiven Sinn. Betrachten wir allgemein
02:58
Drehungen. Also jetzt nicht um 90 Grad, sondern um einen beliebigen Winkel Phi.
03:03
Ich nenne die mal R Phi. R für Rotation. Das erste, was uns auffällt, ist, wenn wir hier einen Vektor nehmen und den drehen, sagen wir hier um den Winkel Phi. Und wir
03:20
schauen uns an, was mit so einem verlängerten Vektor dabei geschieht. Dann geht der auf den entsprechend verlängerten gedrehten Vektor. Das heißt, R Phi mal Lambda V ist Lambda mal R Phi von V. Und wenn ich zwei Vektoren hier addiere, V und V, und drehe sie,
03:59
dann kann ich genauso gut jeden einzelnen Vektor drehen und die dann addieren. Das
04:10
Ergebnis ist dasselbe. Sprich, R Phi von V plus V, das ist V gedreht plus V gedreht.
04:25
Also heißt das nichts anderes, als dass diese Drehung um den Winkel Phi eine lineare Abbildung ist. Das heißt, ich kann sie durch eine Matrix beschreiben. Und um die
04:54
Abbildungsmatrix zu beschreiben, reicht es, die Bilder der Standardbasisvektoren zu bestimmen.
05:01
Und das schauen wir uns so an. Also wenn hier der erste Standardbasisvektor ist, und wir drehen den um den Winkel Phi, wie kann ich dann die Koordinaten dieses gedrehten Vektors beschreiben? Nun, ich sehe, ich habe hier einen rechten Winkel. Und das Bild R Phi
05:29
von E1, das hat dann die folgenden Koordinaten. Die erste Koordinate, das ist einfach nur der Cosinus von Phi. Und die zweite Koordinate, das ist der Sinus von Phi. Sagen Sie, was ist
05:50
aus meiner Hypotenuse geworden? Nun, ich weiß ja, dieser Vektor und der gedrehte, die sind gleich lang und die Länge von dem hier, die ist eins. Was besteht mit E2? Das
06:12
sind die Koordinaten des gedrehten Vektors. Da haben wir hier wieder unser rechtwinkliges Dreieck. Und in dem Fall ist die erste Koordinate minus diesem Stückchen hier,
06:31
also minus Sinus Phi. Und die zweite Koordinate, dieses lange Stück hier, das ist wiederum
06:41
der Cosinus von Phi. Also, kennen wir die Abbildungsmatrix R Phi, das ist gleich Cosinus Phi, Sinus Phi, Minus Sinus Phi, Cosinus Phi. Und R Phi von V ist dann einfach Cosinus Phi,
07:07
Minus Sinus Phi, Sinus Phi, Cosinus Phi mal V1, V2. So haben wir eine Drehung in der Ebene
07:22
um den Ursprung beschrieben.