Machen wir ein erstes Beispiel dazu. Wir zeigen für eine Zahl Q zwischen 0 und 1, dass die Folge der Potenzen Q hoch M für M gegen und endlich gegen 0 geht. Wir müssen die Voraussetzungen prüfen. Also schauen wir uns an, ist diese Folge hier beschränkt?

Weil Q größer als 0 ist, gilt das auch für alle seine Potenzen. Also sie ist durch 0 nach unten beschränkt. Und weil Q kleiner als 1 ist, aber immer noch größer als 0, sind auch alle seine Potenzen kleiner als 1.

Das heißt, die Folge ist durch 1 nach oben beschränkt. Und wie sieht es mit der Monotonie aus?

Ja, da bemerken wir als erstes, wir wissen 1 ist größer als Q. Und weil Q größer als 0 ist, kann ich da auf jeder Seite einfach Q dran multiplizieren und erhalte wieder eine richtige Ungleichung. Also ist Q größer als Q².

Da kann ich wieder auf beiden Seiten dran multiplizieren. Dann kann ich diese Ungleichung weiterführen. Das ist Q² größer als Q³. Wenn ich das nochmal mache, erhalte ich Q³ größer als Q⁴ und so weiter. Das heißt, die Folge ist monoton fallend.

Der Satz garantiert mir dann die Existenz des Grenzwertes. Und dem möchte ich mal einen Namen geben A.

Ja, wenn jetzt Q³m konvergiert, dann konvergiert hier auch die Folge Q³m plus 1. Also wenn ich einfach hier nur einen Index-Shift in meiner Folge mache. Für Limes M ging unendlich gegen denselben Grenzwert.

Ja, und diese Folge hat nun einen kleinen Vorteil. Ich kann das hier auseinanderziehen. Das ist Q mal Q³m. Und kann dann durch die Grenzwertsätze sagen, das ist gleich dem Limes von der Folge Q.

Also Q mal dem Limes M ging unendlich von Q³m. Also gleich Q mal A. Jetzt habe ich die Gleichung A gleich Q mal A für eine Zahl Q zwischen 0 und 1.

Und das ist nur möglich, wenn A gleich 0 ist. Also haben wir damit gezeigt, der Limes M ging unendlich von Q³m, der existiert und ist gleich 0.

Machen wir noch ein Beispiel. Sagen wir diesmal M ist beliebig aber fest. Und wir betrachten die Folge der mten Wurzeln aus N, wobei wir N hier laufen lassen. Nun, diese Folge ist nach unten beschränkt.

0 ist kleiner als 1 durch mte Wurzel aus N. So, und weil die mte Wurzel ja monoton wachsend ist,

also das heißt, die mte Wurzel aus N ist kleiner als die mte Wurzel aus N plus 1,

ist, naja, 1 durch die mte Wurzel aus N plus 1 kleiner als 1 durch die mte Wurzel aus N.

Also fällt die Folge monoton. Wir haben also eine monoton fallende Folge, die nach unten beschränkt ist.

Sie ist natürlich auch nach oben beschränkt, durch ihr erstes Folgeglied. Also wir haben eine monoton fallende beschränkte Folge, die muss konvergieren. Das heißt, der Limes von 1 durch mte Wurzel N für N ging unendlich, nennen wir ihn ruhig wieder A, der existiert.

So, und jetzt machen wir den gleichen Trick wie vorhin, oder einen ganz ähnlichen. Nämlich, jetzt wollen wir es irgendwie schaffen, diesen Grenzwert auszutricksen, um ihn doch noch zu bestimmen.

Wir haben ja momentan, naja, vielleicht eine Idee, was es sein könnte, aber noch nicht so richtig. Also, dieses A existiert. Dann kann ich dieses A auch hoch m nehmen. m ist eine feste Zahl, das heißt, ich nehme A nur m mal mit sich selbst.

Und das heißt, ich nehme diesen Grenzwert hoch m. So, jetzt weiß ich, dieser Grenzwert hier existiert, ja. Und dann kann ich die Grenzwertsätze anwenden und dieses hoch m reinziehen.

Und dann steht hier einfach nur noch Limes, hoppla, n gegen unendlich habe ich hier jeweils stehen. 1 durch n, 1 durch mte Wurzel von n hoch m. Das ist der Limes von n gegen unendlich 1 durch n, das ist die harmonische Folge.

Die konvergiert gegen 0. Also, weil A hoch m gleich 0 ist, gilt A gleich 0. Und wir haben unseren Grenzwert bestimmt.