Wir hatten durch Matrizen lineare Abbildungen beschrieben und jetzt nehmen wir doch einfach mal zwei davon, eine Matrix B, die soll M Kreuz M sein, die beschreibt also eine lineare Abbildung Phi B und eine Matrix A, die soll R Kreuz M sein und die beschreibt dann eine lineare Abbildung Phi A. So, jetzt sehen wir, Phi B bildet in den R Hoch M ab

und das ist gerade der Definitionsbereich von Phi A. Das heißt, wir können diese beiden Funktionen verketten. Erst Phi B und dann Phi A. Das ist eine Abbildung vom R Hoch

N in den R Hoch R. Und jetzt schreiben wir das einfach mal in Koordinaten auf, was das bedeutet, wenn wir einen Vektor V erst schicken auf B mal V und dann weiter auf

A mal B mal V. Ja, also, wenn wir V schreiben als Koordinatenvektor, hier V1 bis Vn, eine Spalte aus dem R Hoch N, dann B schreiben als Matrix Bij von I gleich 1 bis M und J

gleich 1 bis N. Dann ist B mal V der Vektor mit den Koordinaten, Summe hier über B1J, VJ für J

gleich 1 bis N und so weiter bis Summe über B, M, J, V, J. J gleich 1 bis N. Genauso können

wir für einen Vektor V aus dem R Hoch M schreiben, V1 bis Vm und A schreiben wir, deswegen als A, K, L. Dann läuft K von 1 bis R und L von 1 bis M. Und dann ist A mal

V gegeben als erste Komponente A1LWL und die Summe darüber und so weiter bis in der

letzten Komponente ARLWL steht. Und L wird dabei über 1 bis M summiert. So, dann kann ich wirklich hinschreiben, was denn A mal B mal V ist. Und das mache ich auf der

nächsten Seite. A mal B mal V, das muss ich jetzt einfach einsetzen. Das ist also, ich habe in der ersten Komponente die Summe über L gleich 1 bis M A1LWL und dieses

muss ich also durch diesen Kui- effizienten her setzen. Und so weiter bis ich in der letzten

Komponente wiederum die Summe L gleich 1 bis M habe über ARL mal Summe J gleich 1 bis NBLJ, VJ. So, das hier ist ein großer Vektor, aber die einzelnen Komponenten,

das sind immer Zahlen. Und für Zahlen gilt das Distributivgesetz, das heißt ich kann hier dieses gesamte Summenzeichen auch nach vorne ziehen und das kann ich natürlich in jeder Komponente machen. Dann wird es ein kleines bisschen übersichtlicher was

da steht. Da steht dann nämlich die Summe über J gleich 1 bis N und dann steht da die Summe über L gleich 1 bis M AKLBLJ und das ganze mal VJ. Und das steht hier

in allen Komponenten in dieser Art und Weise. Da habe ich gleich die Karte hingeschrieben, das ist natürlich hier die erste. Und hier geht J gleich 1 bis N los, dann habe

ich hier L gleich 1 bis M und hier habe ich ARLBLJ mal VJ. So, wenn wir dieses als eine Zahl lesen, also als die Zahl CRJ und das hier wäre C1J und die Matrix C

definieren als CKJ, wobei wir K von 1 bis R laufen lassen und J von 1 bis N, dann

steht hier das A mal B mal V das gleiche ist, wie wenn ich C mit V multipliziere. Also ich habe dieses üste Konstrukt hier als Matrix Vektor Produkt erkannt. Gut halten

wir das als Definition fest. Wenn wir also eine R Kreuz M Matrix A nehmen und eine M Kreuz N Matrix B, dann können wir ihr Produkt A mal B definieren, dadurch, dass

wir angeben, was die einzelnen Komponenten sind. Und die sollen eben gerade im J-Kliet sein. AIL mal BLJ summiert über L gleich 1 bis M, also über den mittleren gemeinsamen Index. Und wir haben gesehen, eine Matrix-Multiplikation so durchzuführen ist absolut sinnvoll.

Das ist nämlich genauso gemacht, dass ich, wenn ich dann die zwei linearen Abbildungen nehme, die zu A und B gehören und die verkette, herausbekomme, dass das gleich der linearen

Abbildung des Produktes der Matrizen ist. Ok, ein Beispiel ist angesagt. Wir nehmen mal als A die Matrix minus 1 0 1 1 2 1 3 1, das ist also eine 4 Kreuz 2 Matrix

und für B eine 2 Kreuz 3 Matrix. So, da sehen wir, weil das hier eine 4 Kreuz 2 Matrix ist und B eine 2 Kreuz 3 Matrix, ist das Produkt definiert und was rauskommt, ist dann eine 4 Kreuz 3 Matrix. Und A mal B,

dann rechnen wir das schön aus. Das ist also minus 1 0 1 1 2 1 3 1 mal 1 0 2 1 1 0. So,

wie kriege ich denn die ersten Komponente heraus? Nun, da muss ich also A1 und L nehmen, das wird mir die erste Zeile sein und dann läuft hier L und ich halte hinten 1 fest,

das ist die erste Spalte und das heißt, ich nehme hier minus 1 mal 1 plus 0 mal 0.

Für C2,1 muss ich dementsprechend hier die zweite Zeile nehmen und hier die erste Spalte wieder. Dann kommt daraus 1 mal 1, das sind jeweils die ersten Komponenten und dann jeweils noch die zweiten Komponenten multipliziert und drauf addiert, also 1 mal 0. Dann für C3,1

muss ich die dritte Zeile und die erste Spalte nehmen und diese Komponenten wieder multiplizieren und diese Produkte aufaddieren, also 2 mal 1 plus 1 mal 0. Und das kriege ich auch noch für die letzte hin, hier diese Spalte mit dieser Zeile, dann kriege ich 3 mal 1 plus 1 mal 0.

So, für die zweite Spalte von A mal B muss ich also jetzt die zweite Spalte von B nehmen und wiederum mit all diesen Zeilen verknüpfen. Das heißt, wir haben minus 1 mal 2 plus 0 mal 1 in

der ersten Komponente, dann 1 mal 2 plus 1 mal 1 in der zweiten Komponente, in der dritten 2 mal 2 plus 1 mal 1 und in der vierten 3 mal 2 plus 1 mal 1. So, und für die dritte Spalte nehme

ich hier die dritte Spalte und lege sie da jedenfalls jeweils wieder drauf, dann haben wir minus 1 mal 1 plus 0 mal 0, 1 mal 1 plus 1 mal 0, 2 mal 1 plus 1 mal 0 und 3 mal 1 plus 1 mal 0.

So, und das vereinfachen wir jetzt natürlich. Da bleibt hier nur die minus 1 stehen. In der

dritten dann eine 2 und in der vierten die 3. Zweite Spalte, da haben wir hier eine minus 2, dann kommt hier 2 plus 1 und dann 4 plus 1 und dann 6 plus 1. Und in der letzten Spalte haben wir eine minus 1, dann eine 1, eine 2 und eine 3. So, das ist das Matrix-Produkt.

Wir können die Analogie zwischen Matrix-Produkt und linearen Abbildungen noch ein bisschen weiter treiben, nämlich aus den Eigenschaften der Verkettung von Funktionen. Daraus kriege ich

diese Eigenschaften. Also, wenn ich, ich habe jetzt nicht genau hingeschrieben, was A, B, C und D für Matrizen sind, das können Sie sich jetzt selbst dazu nennen. Also, wenn ich diese Matrizen multiplizieren kann, dann ist es egal, ob ich B mal C zuerst mache und dann noch von links A dran multipliziere oder ob ich erst hier A mal B mache und dann noch C dran

multipliziere. Denn es ist für Funktionen egal, ob ich zunächst hier diese verkette und dann noch diese ran oder erst diese verkette und dann noch diese ran. Genauso ist es egal, ob ich zwei Funktionen erst addiere und dann mit einer anderen verkette oder ob ich die

einzeln verkette und dann addiere. Und auch die Multiplikation mit einer Zahl ist, ich multipliziere ja nur Funktionswerte damit und hier brauche ich zum ersten Mal auch die Linearität der Abbildungen. Das heißt, ich weiß Lambda mal A, da kann ich das Lambda auch

direkt vor das Argument schreiben. Das heißt, Lambda A mal B, das ist Lambda A mal B oder gleich auch A mal Lambda B. Also, das sind alles gute Eigenschaften und hier nun mal eine

dicke Warnung. Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ. Das heißt, A mal B ist im allgemeinen Ungleich B mal A. Also, damit ich überhaupt beide Produkte A mal B und B mal A bilden kann, müssen die Matrizen quadratisch sein und selbst dann gilt das längst nicht

immer, dass ich die zwei wirklich vertauschen kann. Also machen wir das mal in einem Beispiel. Ich nehme mal als A die Matrix 1, 1 0 1 und für B die Matrix 2 0 3 1. So und dann

multipliziere ich die beiden Matrizen zusammen. A mal B, das geht, denn die hier ist eine Zweikreuz-Zwei-Matrix und das hier ist auch eine Zweikreuz-Zwei-Matrix. Das ist also,

ich nehme diese Spalte und lege sie auf diese Zeile, bilde die entsprechenden Produkte und summiere auf. Das ist also 1 mal 2 plus 1 mal 3. Dann diese Spalte darauf, das ist 0 mal 2 plus 1 mal 3. Dann das gleiche Spiel mit der zweiten Spalte. Das ist 0 mal 1

plus 1 mal 1 und 0 mal 0 plus 1 mal 1. Das ist also die Matrix 5 1 5 1 3 1. In dem Fall

ist aber auch B mal A wohl definiert, denn das sind ja alles Kreuz-Zwei-Matrizen. Also das ist 2 0 3 1 mal 1 1 0 1 und das ist, ich nehme diese Spalte, lege sie da drauf,

2 mal 1 plus 0 mal 0. Das ist 2 plus 0. Dann habe ich diese Spalte auf die zweite Zeile. 3 mal 1 plus 1 mal 0. Also 3 plus 0. Und in der zweiten Spalte finde ich 2

mal 1 plus 0 mal 1. Das ist 2 plus 0. Und 3 mal 1 plus 1 mal 1. Das ist 3 plus 1. Das ist die Matrix 2 2 3 4. Und das ist ungleich 5 1 3 1. Demnach ist A mal B nicht

dasselbe wie B mal A, selbst für quadratische Matrizen. Nun es gibt aber auch ein paar schöne einfache Fälle, wo das ein bisschen besser ist. Ich nehme mal für A die Matrix

1 0 0 1 und für B, lassen sie mich eine allgemeine 2 Kreuz-Zwei-Matrix schreiben.

So und dann berechnen wir hieraus mal das Produkt A mal B. Also 1 0 0 1 mal A B C D. Also ich nehme die erste Spalte, lege sie hier drauf, dann habe ich 1 mal A plus

0 mal C. Das ist A plus 0. Dann habe ich hier 0 mal A plus 1 mal C. Das ist 0 plus C. Und dann habe ich in der zweiten Spalte 1 mal B plus 0 mal D. Das ist B plus 0.

Und B mal 0 plus A, ja 1 mal D, das ist 0 plus D. Das ist also A B C D. Und das ist B. Also diese Matrix mal irgendeiner anderen Matrix genommen gibt wieder diese

B. Machen wir das andersrum, das geht hier, das sind quadratische Matrizen. A B C D mal 1 0 0 1. Was kommt da heraus? Ok, diese Spalte darauf. A mal 1 plus B mal 0. Das

ist A mal 1 plus D mal 0. C plus 0. Dann habe ich 0 1 hier drauf. A mal 0 plus B mal 1, das ist 0 plus B. Und C mal 0 plus D mal 1, das ist 0 plus D. Das ist

also wiederum A B C D. Das ist wieder B. Für beliebige Bs. Und deswegen kriegt

A einen Namen, das A macht nämlich nichts anderes als die Matrix mit 1 zu multiplizieren. Man nennt A Einheitsmatrix. Und die kriegt noch eine extra Bezeichnung. Ich nehme

hier mal ein fettes 1 und schreibe hier 2 dazu als Bezeichnung der Ausmaße. Oder was sie oft auch finden, das wäre E 2 Einheitsmatrix im Zweikreuz 2. Oder allgemein

ist also die N-Kreuz-N-Einheitsmatrix 1 N gegeben als die Matrix, die 1 auf der Diagonal hat und überall außen sonst 0. Und immer gilt dann auch 1 N mal irgendein

B ist gleich B mal 1. N ist gleich B. Für alle B aus M N N R. Das heißt, die

Einheitsmatrix ist sowas wie das neutrale Element der Multiplikation. Und machen wir noch ein allerletztes Beispiel, was auch passieren kann, wenn wir für A wieder eine Zweikreuz 2 Matrix nehmen, die nur hier unten einen Eintrag 1 und gleich 0 hat.

Und wir nehmen für B eine Matrix, die nur oben einen Eintrag und gleich 0 hat. Und dann schauen wir uns mal an, was ist A mal B? Also 0 0 0 1 mal 1 0 0 0. So, das

ist gleich diese Spalte darauf. Da habe ich 0 mal 1 plus 0 mal 0. Also 0. Diese Spalte darauf, da habe ich 0 mal 1 plus 1 mal 0. Das ist 0 plus 0. Also 0. Dann habe ich hier 0 mal 0 plus 0 mal 0 ist 0. Und hier 0 mal 0 plus 1 mal 0 ist auch 0.

Das heißt, in dem Fall ist A mal B die Nullmatrix. Bezeichnen wir dann auch als 0 2 2. Das heißt, die Matrix, die nur Nuller als Einträge hat. Und das ist interessant, wenn wir zwei Matrizen multiplizieren, die nicht beide gleich 0 sind,

dann kann es trotzdem passieren, dass ihr Produkt gleich 0 ist. Das heißt, die Matrizenmultiplikation, die ist auf alle Fälle nicht nullteilerfrei. Also etwas, was wir aus einem Körper wie R oder den komplexen Zahlen oder den rationalen

Zahlen ja gewohnt sind.