So, let's go! Ihr hattet euch überlegt, unterschiedliche Konkurrenz-Abbildungen und welche Eigenschaften haben die. Wir nehmen jetzt mal eine Konkurrenz-Abbildung und zwar die Drehung. Die Drehung um einen Punkt D, um einen bestimmten Winkel.

Wir können ja mal wieder so ein Beispieldreieck einzeichnen. Das ist immer hilfreich, ein Beispieldreieck einzuzeichnen nach Möglichkeiten Allgemeines. Das ist jetzt wahrscheinlich, naja, könnte gleichschenklich sein, egal. Auf jeden Fall, das wird jetzt gedreht um einen bestimmten Winkel Alpha in diese Richtung.

Ich versuche das hier mal zu skizzieren. Das ist ein A-Strich, B-Strich, C-Strich. Gewöhnt euch gleich immer an zu bezeichnen. Punkte zu benennen, Geraden zu benennen, weil dann können wir leichter drüber reden. Okay. Ist diese Abbildung längentreu? Was meint ihr, ist die Abbildung längentreu?

Ja, warum? Die Abstände zwischen den Punkten bleiben gleich? Ja, warum?

Weil die Punkte den gleichen Abstand zu den Drehpunkten haben? Okay, genau. Also die Abstände zu den Drehpunkten bleiben gleich und dann bleiben Winkel gleich.

Dann könnte man über Konkurrenzsätze bei Dreieck argumentieren, dass auch die Längen die Abstände gleich bleiben. Wir können aber gerne, ich erlaube euch intuitiv zu argumentieren. Wir hatten gerade bei der Achsenspiegelung, die Folie wird rumgeklappt. Was passiert bei der Drehung mit der Folie? Die wird einfach nur gedreht.

Also um den Winkel Alpha. Ich habe die Folie auf dem Ohrwertprojektor, da ist ein Dreieck abgebildet. Das wird um den Winkel Alpha gedreht. Was ändert sich an den Längen? Nix. Wird einfach nur die Folie gedreht. Winkeltreue. Ist die Drehung winkeltreu?

Ja, genau, weil genau das gleiche Argument wird ja nur gedreht. Die Folie wird nur um den Punkt D gedreht. Na ja, da ändert sich natürlich nichts auf der Folie selbst. Geradentreue. Bleiben Geraden Geraden. Auch selbes Argument.

Parallelentreue. Bleiben Parallele Geraden. Parallel. Okay, nicken. Ja klar. Ist auch so. Bleibt parallel, weil, na ja. Ich drehe die Folie. Was vorher parallel war, ist auch nachher parallel. Orientierungstreue. Orientierungstreue ist immer ein bisschen komplizierter.

Ja. Orientierungstreue, weil es eine Drehrichtung hat.

Wie könnte man das ganz einfach checken, ob Orientierungstreue ist oder nicht? Du hast schon recht. Genau. Ja. Ja, genau, wenn man eben so ein Orientierungspeilchen hier reinmacht.

Hier geht es gegen den Uhrzeigersinn A, B, C. Und da geht es auch gegen den Uhrzeigersinn A, B, C. Die Orientierungstreue ändert sich nicht bei der Drehung. Weil, ihr könnt euch auch vorstellen, ihr habt die Folie auf dem Overhead-Projektor. Ihr dreht nicht die Folie, sondern ihr geht ein Stück um die Folie drumherum.

Was so ähnlich wäre, als hätte ihr die Folie gedreht. Es ändert sich an dem Dreieck gar nichts. Und an der Reihung, der Benennung der Punkte ändert sich nichts. Okay, also die Drehung ist Orientierungstreue. Im Gegensatz zur Achsenspiegelung. Gut. Jetzt wird es spannend. Hat die Drehung einen Fixpunkt oder gibt es Fixpunkte?

Ja? Der Punkt D ist ein Fixpunkt.

Genau. Der Punkt wird um sich selbst gedreht. Okay, da bleibt der Punkt natürlich auf seinem Platz. Der Punkt ist ein Fixpunkt. Gibt es weitere Fixpunkte? Okay. Es kann spezielle Drehungen geben.

Wie zum Beispiel die Drehung um 360 Grad. Angenommen, ich würde um 360 Grad drehen. Was sind Fixpunkte? Diese Abbildung nennt man auch die Identität. Weil jeder Punkt auf sich selbst abgebildet wird. Es ändert sich gar nichts.

So ähnlich wie f von x gleich x. Da ändert sich auch nichts. So, und hier ist es genauso. Punkte 360 Grad. Gibt es andere Drehungen, bei denen man noch Fixpunkte hat, außer um 360 Grad?

Naja, um 0 Grad, um 720 Grad und so weiter. Klar. Noch andere?

Das heißt, im Allgemeinen gibt es bei einer Drehung nur einen einzigen Fixpunkt, nämlich den Drehpunkt. Gibt es Fixgeraden?

Genau. Wenn man eine Gerade um 180 Grad dreht, dann

gibt es Fixgeraden. Nämlich was sind dann Fixgeraden? Angenommen, ich würde um 180 Grad drehen. Was zeichnet dann Fixgeraden aus? Genau, das sind Fixgeraden, wenn man sich selbst abbildet. Aber wo liegen die

Fixgeraden dann bei einer Drehung um 180 Grad? Welche Eigenschaft haben die? Genau, die Punkte auf der Geraden werden auf die andere Seite gedreht,

bleiben aber, landen wieder auf der Geraden. Aber welche Eigenschaft muss die Gerade haben, dass sie bei 180 Grad Drehungen eine Fixgerade ist? Genau. Sie muss durch den Drehpunkt gehen. Wenn ich eine Gerade hier durch den Drehpunkt

lege und ich drehe um 180 Grad, dann wird die Gerade wieder auf sich selbst gedreht. Und zwar jede Gerade, die durch den Drehpunkt geht. Ist das bei jeder Drehung der Fall oder nur bei der Drehung um 180 Grad? Wie ist denn bei der Drehung um 45 Grad?

Ist dann diese Gerade eine Fixgerade? Vorsicht, um 45 Grad. Wenn ich um 90 Grad drehen würde, wirst du sehen, aber die würde halt irgendwo anders landen. Die würde zwar

immer noch durch den Punkt D gehen, aber würde nicht auf sich selbst landen. Das heißt also, bei einer Drehung im Allgemeinen gibt es keine Fixgeraden. Es gibt keine Gerade, die auf sich selbst abgedreht wird bei einer Drehung. Es sei denn, ich habe spezielle Drehungen, 180 Grad

und 360 Grad und so weiter. Aber danach frage ich ja eigentlich nicht. Das kann man sich mal überlegen. Aber bei der Drehung im Allgemeinen gibt es keine Fixgeraden. Es gibt nur einen Fixpunkt und keine Fixgeraden. Gibt es Fixpunktgeraden?

Sehr schönes Argument. Es kann keine Fixpunktgerade geben,

weil es ja keine Fixgerade gibt. Und eine Fixpunktgerade ist eine Fixgerade. Gibt nur ein anderes Argument. Hat jemand ein anderes einfaches Argument, warum es keine Fixpunktgerade geben kann? Was brauche ich für eine Fixpunktgerade? Ja? Genau.

Wir brauchen mehrere Fixpunkte, aber es gibt nur einen einzigen. Es kann keine Fixpunktgerade geben. Wir brauchen unendlich viele Fixpunkte, die alle auf einer Geraden liegen. Wir haben aber nur einen einzigen Fixpunkt. Also kann es keine Fixpunktgerade geben. Ah, hier kommt eine interessante Frage von außen.

Oorkamm fragt, wäre in einem dreidimensionalen Raum mit einer Drehung in der Ebene, die gerade durch den Drehpunkt, die auf der Ebene senkrecht steht, auch eine Fixgerade? Das ist eine gute Frage. Ihr habt einen dreidimensionalen Raum. Ebene. Ihr dreht die Ebene

um irgendeinen Winkel. Und jetzt nehmt ihr die Gerade, die durch den Drehpunkt geht und senkrecht im Raum auf der Ebene steht. Die liegt nicht auf der Ebene, sondern die durchsticht die Ebene senkrecht im Drehpunkt. Was meint ihr? Wäre das eine Fixgerade? Wir drehen die Ebene.

Wir betrachten die Achse, die durch den Drehpunkt senkrecht sticht. Ja, genau. Wir drehen den gesamten Raum. Aber diese Gerade ist eine Fixgerade. Sehr gute Frage. Okay. Das rentiert sich wirklich zu streamen. Es kommen echt auch gute Fragen von außen.

Okay. Haben wir alles an Eigenschaften bei der Drehung? Ich glaube. Gut. Und Punkt Spiegelung. Nehmen wir erst mal die Verschiebung. Die Verschiebung um

einen Vektor V. Also wir haben hier zum Beispiel einen Dreieck. Es wird immer die komplette Ebene verschoben. Aber wir zeichnen halt mal irgendwas drauf, damit

wir ungefähr abschätzen können, was da passiert mit der Ebene. So. Und wieder von vorn. Längentreu. Aha. Warum? Das gleiche Argument wie immer. Was passiert denn jetzt mit der Overhead-Projektorfolie? Bei der Verschiebung?

Genau. Wir verschieben es in eine Richtung. Alles auf der Overhead-Projektorfolie. Der Ebene bleibt so wie es ist. Ein bisschen weiter rechts oder links oder weiter unten oder so. Längentreu, ja. Winkeltreu, ja. Geradentreu, ja. Parallelentreu, ja.

Orientierungstreu? Auch? Warum?

Ja, genau. Wenn wir hier die Bezeichnungsrichtung angeben, die Orientierung, dann ändert die sich ja nicht dadurch, dass ich das Dreieck ein bisschen verschoben habe. Also Orientierungstreu ist die Verschiebung. Gibt es Fixpunkte?

Du stillst den Kopf. Warum nicht? Die sind ja auch verschoben. Der Geraden geht ja dann wieder einfach verschieben.

Genau. Es gibt keine Fixpunkte. Fixpunkte werden alle verschoben. Es sei denn bei einer speziellen Verschiebung. Es gibt eine Verschiebung, bei der gibt es unendlich viele Fixpunkte. Um welchen Vektor?

Null Zentimeter. Genau. Dass wir auch wieder die Identität oder wir könnten vielleicht sagen die triviale Verschiebung oder so was, betrachten wir nicht. Aber im Allgemeinen gibt es keine Fixpunkte. So, jetzt Fixgeraden. Du hast einen bestimmten Geradentyp im Kopf, von dem du vielleicht annehmen könntest,

dass es Fixgeraden bei der Verschiebung sind. Versuch es nochmal zu formulieren. Ja, genau. Eine Gerade ist unendlich lang. Wenn man eine Gerade entlang sich selbst verschiebt, wo landet sie dann?

Auf sich selbst. Das wäre eine Fixgerade. Wagrecht. Eine Gerade, die Wagrecht verläuft. Damit bin ich ja nicht ganz einverstanden. Das ist etwas un... etwas schwubbelig, schwammig formuliert. Wie muss die Gerade verlaufen, damit es eine Fixgerade ist?

Parallel zum Vektor. Zum Verschiebungsvektor. Es könnte ja auch sein, also wenn wir uns darauf einigen, das ist Wagrecht, alles was irgendwie parallel zum Boden ist oder so, dann würde das ja nicht den Fall einschließen, dass der Vektor in diese Richtung da geht. Die Geraden müssen parallel

sein zum Verschiebungsvektor. Dann sind es Fixgeraden. Also es gibt also unendlich viele Fixgeraden. Gibt es Fixpunktgeraden? Du stillst den Kopf, warum nicht? Okay, es gibt keine Fixpunkte, du kannst keine Fixpunktgeraden geben. Logo. Ah ja, genau.

Admiral Wurst schreibt alle Geraden, die den Verschiebungsvektor als Richtungsvektor haben. Geraden, die den Verschiebungsvektor als Richtungsvektor haben. Ja, genau. Gerade kann ein Richtungsvektor und das ist der Verschiebungsvektor perfekt. Okay, gut.

Bitte Abbildung, die Punkt-Spiegelung am Punkt S. Also ich zeichne mal wieder ein Dreieck ein.

Ja, das ist ein bisschen schwierig, also ihr wisst schon, ich versuche es nach besten Gewissen hier einzuzeichnen, aber stimmt nicht ganz. Aber es ist klar, auf was es hinausläuft.

Okay, und los geht's. Längentreu. Ja, okay. Warum? Was passiert mit der Folie jetzt? Richtig.

Genau, die Punkt-Spielung ist nichts anderes als die Drehung um 180 Grad.

Schaut, was passiert, wenn ich dieses Dreieck um 180 Grad drehe um den Punkt S? A landet hier, C landet da, B landet da. Okay, ist

längentreu. Damit auch winkeltreu und gerade parallelentreu. Orientierungstreu. Entweder man zeichnet den Pfeil ein, um sicher zu sein, beides mal gegen den Uhrzeigersinn, oder man überlegt sich die Drehung um 180 Grad.

Fixpunkte. Gibt es Fixpunkte bei der Punkt-Spiegelung? Der Spiegelpunkt S ist ein Fixpunkt, genau. Weitere gibt es nicht. Klar, weil alle anderen Punkte werden an S auf die jeweils andere Seite gespiegelt.

Gibt es Fixgeraden bei der Punkt-Spiegelung? Alle Geraden, die durch S gehen. Ihr erinnert euch, das hatten wir uns bei der Drehung überlegt. Drehung 180 Grad hatten wir gesagt, da gibt es Fixgeraden. Das ist genau die Punkt-Spiegelung.

Und zwar all die, die durch den Spiegelpunkt gehen, sind Fixgeraden. Diese Gerade ist eine Fixgerade. Und dieses eine, und diese, und so weiter. Die werden alle mit 80 Grad auf sich selbst gedreht.

Gibt es Fix-Punkteraden? Genau. Es gibt keine Fix-Punkteraden. Habt ihr noch Fragen dazu? Gut, dann beschäftigen wir uns jetzt mit

bei weiteren, also vielleicht sollte man noch Folgendes sagen. Welche Eigenschaften haben alle diese Abbildungen gehabt? Achsenspiegelung, Verschiebung, Drehung, Punkt-Spiegelung. Welche haben sie alle gehabt?

Winkeltreu, Geradentreu, Längentreu und Parallelntreu. Eine Abbildung, die alle diese vier Eigenschaften erfüllt,

nennt man eine Konkruenz-Abbildung. Demnach ist die Achsenspiegelung, die Verschiebung, die Drehung und die Punkt-Spiegelung eine Konkruenz-Abbildung. Warum heißt die Konkruenz-Abbildung?

Weil Figuren oder Geometry-Objekte, die durch die Konkruenz-Abbildung abgebildet werden, Konkruent zueinander sind. Deckungsgleich. Dieses Dreieck hier kann ich durch Drehung oder durch Punkt-Spiegelung auf dieses Dreieck hier

abbilden und die liegen direkt aufeinander. Die überlappen nicht, das eine ist nicht größer, das andere ist nicht kleiner und so weiter. Die sind Konkruent. Deckungsgleich. Logischerweise, weil Längen sind gleich, Winkel sind gleich. Also müssen ja, wenn Längen und Winkel erhalten bleiben, die Figuren

deckungsgleich sein.