Okay, genau so beweisen wir jetzt den nächsten Satz, nämlich in jeder Gruppe

existiert zu jedem Element genau ein Inversus. Und auch hier haben wir den

Fall oder die Situation, dass wir genau ein Inversus haben wollen. Wir wissen mindestens eins gibt es schon wegen dem Inversenaxiom. Es gibt zu jedem Element mindestens

ein Inversus. Und jetzt müssen wir noch zeigen, dass es zu jedem Element höchstens ein Inversus gibt pro Element. Wie geben wir da vor? Was machen wir als erstes?

Ja, wir machen wieder einen Widerspruchsbeweis. Beweis mit Widerspruch. Genau, wir nehmen an,

es gibt zwei inverse Elemente. Annahme, es existieren G1 quer und G2 quer. Das sind jetzt

unsere beiden Inversen. Aus der Gruppe G unsere beiden Inversen zum Element G. Mit G1 quer ist G2 quer und das sind Inverse. Also für das entsprechende G gilt G verkettert mit G1 quer ist

gleich das neutrale Element E und umgedreht genauso. Und das ganze auch noch mit G2 quer.

Auch hier versuchen wir wieder das Heilanderprinzip zu beweisen. Es kann nur ein Element geben, das Invers ist zu G, behaupten es gibt zwei. Was können wir jetzt machen? Dem eine Idee, wie man zeigen könnte, dass sie dann doch irgendwie gleich sind. Na,

das ist das Ziel. Wir müssen zeigen, die beiden sind gleich. Okay, du siehst die

Beweiskette schon vor dir. Das ist natürlich für jemanden jetzt schwer nachvollziehbar,

der nicht weiß, was im Kern sozusagen steckt, dieser Beweis, dieser Gleichheitskette. G1 quer verknüpft mit G verknüpft mit G2 quer. Wir machen mal folgende Konstruktion. Da muss man

draufkommen. Also das ist sozusagen, da braucht man Intuition, dass man sagt, okay, da ein bisschen Erfahrung. Ich bastel mir das mal so hier zusammen. G1 quer verknüpft mit G, also G in der Mitte zwischen G1 und G2. Zwei inverse Elemente, eins links dran, eins rechts

dran verknüpft. Schauen wir mal, was passiert. Willst du mal weitermachen? Gehen wir mal nach links erstmal vielleicht. Das hier, in Klammern, müssen wir zuerst auswerten. Das gibt das Neutralelement. Ich schreibe mal immer drüber, was wir jetzt hier verwenden. Das

Axiom, dass es nur ein Neutralelement gibt. Dann ist das E verknüpft mit... Entschuldigung, das ist Quatsch. Das ist Axiom, das G1 inverses ist zu G. Dann kommt jetzt E verknüpft mit G

raus. Und jetzt haben wir natürlich das Axiom Neutralelement, E verknüpft mit G ist G. Du

hast recht, natürlich, Quatsch, G2 Strich. So, ich habe auch gerade gedacht, irgendwas stimmt nicht. Sehr gut aufgepasst. G1 quer verknüpft mit G ergibt E und dann bleibt natürlich E verkettert mit G2 quer. Kommt G2 quer raus. Wie geht es weiter? Stopp,

nicht mit der Kommutativität. Kommutativität haben wir ja nicht. Wir können jetzt Assoziativgesetz

anwenden. Also G1 quer verkettert mit G, verkettert mit G2 quer. G1 quer verkettert

mit E wegen dem inversen. Genau, und dann kommt G1 quer raus wegen dem Neutralelement. Und jetzt?

G2 quer ist gleich G1 quer. Widerspruch zur Annahme, dass die beiden verschieden sind. Also waren sie doch schon gleich. Man wird öfter mal gefragt, warum machen wir diesen

ganzen Kram mit der Strukturalgebra und den Gruppen und so? Warum braucht man das? Wenn eine Gruppe erfüllt vier Axiome, aus diesen vier Axiomen kann man alles Mögliche beweisen,

ohne genau zu wissen, in welche Gruppe es geht. Wir wissen nur, es gibt die vier Gruppenaxiome. Daraus kann man einiges folgern. Zum Beispiel, es gibt genau ein Neutralelement, es gibt genau ein inverses Proelement und so weiter. Und die anderen Teilbeweise, die auf dem Aufgabenblatt stehen, sind auch Dinge, die man nur aus den Gruppenaxiomen folgert. Das heißt also, wenn ihr jetzt irgendeine konkrete

mathematische Struktur vor euch habt, wie zum Beispiel vorhin die linearen Funktionen, eingeschränkt mit M und gleich Null, jetzt muss man nur noch zeigen, dass die eine Gruppe sind. Und wenn man das gezeigt hat, gilt für die alles, was man bereits für Gruppen

gezeigt hat. Also wir wissen jetzt, in der Menge der linearen Funktionen mit der Verkettung als Verknüpfung gibt es genau ein Neutralelement und es gibt genau einen Versus pro Funktion, weil wir es ganz allgemein für alle Gruppen gezeigt haben. Also wir wissen, also hier

oben ist die Abtraktionengruppe. Das ist die Abtraktion, da gelten nur die vier Axiome. Abgeschlossenheit, Assoziativität, Neutralelement und es gibt für jedes Element

ein Versuselement. Da gelten diese vier Dinge. Und da kann man alles Mögliche daraus folgern, nur aus diesen Axiomen. Wenn ich jetzt eine konkrete Menge habe, zum Beispiel vorhin unsere Funktionen mit der Verkettung und ich zeige, dass die eine Gruppe sind,

indem ich einfach nur die vier Axiome nachweise, dann habe ich automatisch alles gezeigt, was aus diesen vier Axiomen folgt. Und das ist sozusagen die Wichtigkeit von Abtraktion. Wir zeigen etwas, das für alle Gruppen gilt, da muss ich noch zeigen, dass irgendwas

für eine Gruppe gilt und dann gilt alles automatisch, was ich bereits für jede Gruppe gezeigt habe. Ich merke, ihr seid sehr begeisterungsfähig. Ihr bebt innerlich, ohne es nach außen dringen zu lassen. Ja, genau. Okay. Ja, gibt es dazu Fragen von eurer Seite?