Okay, die Aufgabe ist jetzt hier bei diesen Figuren, das sind ja jeweils immer so eine bestimmte Anzahl an Punkten, eine Formel zu finden, mit der man zum Beispiel die Anzahl der Punkte der hundertsten Figur angeben kann. Und eure Aufgabe war, zunächst mal eine rekursive Formel aufzustellen und dann die explizite Formel.

Und die explizite hilft einem ja dann dabei, jedes beliebige Folgenglied auszurechnen. Okay, es wird wieder so sein, dass man euch nicht versteht, sondern nur aus dem Offen, ich wiederhole was ihr sagt. Wie fängt man an? Wie habt ihr angefangen? Was ist der erste Schritt?

Groot. Groot. Eine Tabelle. Wie sieht die aus? Genau, also die Nummer des Folgenglieds und das Folgenglied.

So, sag mal, wo warst du? Ja, genau. Das erste Folgenglied. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Okay. Bei dem zweiten Folgenglied kommt 12 raus.

Das dritte Folgenglied ist 16. Du hast noch eine Figur gemalt. Genau, das ist eine gute Idee. Also malt ruhig noch eine weitere Figur daneben.

Ich mache das jetzt hier nicht, weil sonst der Tafelplatz wahrscheinlich nicht reicht. Aber könnt noch eine weitere Figur malen. Eine mit der Kantenlänge 6. Und dann kommst du auf 20. So, okay.

Das schon mal ein guter Anfang. Wir haben eine Tabelle gemacht. Wir haben diese bildhafte Darstellung überführt in eine symbolische Darstellung. Wir haben jetzt die Zahlen hier stehen. Und jetzt müssen wir anfangen. Strukturen zu erkennen, um die rekursive Formel zu finden.

Wie geht es los? Rekursive Formel. Pi. Ja, genau. Du weißt ganz genau, an welchen Stellen man sich melden muss. A1 ist 8. Ja, richtig. Volle Punktzahl.

A1 ist 8. Okay. Wie geht es weiter? Was habt ihr dann gemacht?

Stopp. Man erkennt immer, dass es immer plus 4 ist. Plus 4, plus 4, plus 4, okay. Ja, richtig.

An plus 1 ist gleich An plus 4. Das vorherige Folgenglied plus 4. Super. Es gibt oftmals in der Klausur eine Aufgabe,

definiere explizite und rekursive und explizite Formel für die folgende Folge und so. Da gibt es meistens 6 Punkte drauf. 2 Punkte schenke ich euch für den Rekursionsanfang. Okay. Das heißt, den dürft ihr nicht vergessen.

2 Punkte hierfür und 2 Punkte für die explizite Formel. Habt schon 4 von 6. Okay. Gut. Wie geht es weiter? Jetzt wollen wir die rekursive Formel finden.

Du hast vollkommen recht. Wir wollen die explizite Formel finden.

Explicit oder geschlossen, sagt man. Das sind zwei verschiedene Begriffe für dieselbe Sache. Okay. Wie kann man jetzt hier vorgehen? Online dürft ihr auch gerne weiter mitmachen. Wie kann man hier vorgehen? Wer hat hier eine Strategie, wie man gut auf die explizite Formel kommen kann?

Du willst die Lösung sagen. Du weißt nicht, welche Strategie. Ja, genau. Okay. Olaf. Sehr gut. Ich wiederhole es nochmal laut.

Man sieht doch jetzt immer plus 4 plus 4 plus 4. Also irgendwas mal 4 müssen wir addieren. Wir haben den Anfang 8.

An ist gleich 8 plus irgendwas mal 4. Also wir haben plus 4 plus 4 plus 4 plus 4 plus 4 plus 4 plus 4 plus 4 plus 4 und so weiter. Aber was ist dieses was?

Wie oft muss ich 4 addieren? Nur 8, um auf A3 zu kommen. Lilly? Zweimal. Um auf A3 zu kommen, muss ich die 4 zweimal addieren.

Um auf A4 zu kommen, muss ich wie oft die 4 addieren? Lilly? Dreimal. Genau. Um auf A10 zu kommen, wie oft muss ich die 4 addieren? Lilly? Neunmal. Genau. Gerade eins weniger.

Warum? Ich habe hier das erste Element. Für das zweite Element addiere ich 1 mal 4. Für das dritte Element addiere ich 2 mal 4 und so weiter. Das heißt N minus 1 mal 4.

Lass mal das so stehen. Olaf? Das könntest du auch mal als Alternative.

Ob das jetzt in der Situation einfacher ist, weiß ich nicht. Weil man sieht ja hier, man beginnt bei 8 oder so. Eine Alternative wäre, man beginnt bei 4 und addiert N mal 4 darauf. Ja? Das ist nicht das gleiche?

Das ist das gleiche. Ja genau. Ja klar, das ist das gleiche. Es ist das gleiche, es sind aber unterschiedliche Terme, die da stehen. Die aber äquivalent sind. Die kann man dann da umrechnen. Wollen wir das so stehen lassen?

Gleich, anderen Weg gleich. Was können wir denn jetzt hier noch machen? Wir können es so stehen lassen, aber können wir vielleicht noch ein bisschen was schöner machen?

Okay, 4N plus 4, jetzt haben wir das Kommutativgesetz zweimal angewendet. Genau, immer 4 und N vertauscht und 4 plus, also bei den anderen Zonen ein Kommutativgesetz angewendet. Kann man noch was machen? Ja, das ist jetzt Geschmackssache. Ja?

Ja, okay, aber ist das hier nicht 4 mal N plus 1? Aber guck mal, ich kann 4 ausklammern. Hier steht doch 4 mal N plus 4 mal 1. Das ist 4 mal N plus 1. 4 ausgeklammert.

Du bist genau an der richtigen Stelle mit eurer alternativen Lösung gekommen. Jetzt können wir mal prüfen, ob das stimmt, oder? Wenn ich jetzt A3 berechnen will. 3 plus 1 ist 4 mal 4 ist 16.

Boah, super, funktioniert. Man kann natürlich, wenn man jetzt so eine Formel aufgeschrieben hat, die noch umformen, solange bis eine möglichst einfache Darstellung dasteht.

Hier kommt wieder eine Prüfungsfrage. In der Klausur ist es okay, wenn ihr das so stehen lasst.

Aber für euch selbst ist es viel schöner, wenn ihr eine richtig schöne Lösung entwickelt habt, die möglichst kurz ist. Hier gibt es im Raum noch eine andere coole Lösung. Mit einem vollkommen anderen Vorgehen.

Willst du kurz erklären, was du dir überlegt hast, wie du auf die explizite Formel kommen kannst? Genau.

Das hier, ich wiederhole es mal laut, genau. Das hier ist doch ein 5 mal 5 Quadrat. 5 mal 5. Aber was ist das? Warum können wir nicht einfach 5 Quadrat rechnen?

Es ist ausgehüllt mit einem 3 Kreuz 3 Quadrat. Also ist hier eigentlich 5 Quadrat minus 3 Quadrat. N plus 2 Quadrat minus N Quadrat.

Krass, oder? Ja, genau. Machen wir gleich. N plus 2 Quadrat. Also die dritte Figur haben wir 5 Quadrat minus 3 Quadrat. Oder hier haben wir bei der zweiten Figur 4 Quadrat. 2 plus 2 Quadrat minus 2 Quadrat.

Ist das jetzt eine vollkommen andere Lösung? Oder es müsste doch eigentlich die gleiche Formel rauskommen, oder? N plus 2 Quadrat ist die erste binomische Formel. Was wäre das?

N Quadrat plus 4 N plus 4 minus N Quadrat. Das kürzt sich raus. 4 N plus 4. 4 N plus 4. Genau.

Letzten Endes natürlich die gleiche Formel von der Semantik her. Es kommt immer das Gleiche raus, wenn ich N einsetze logischerweise. Aber ein vollkommen anderer Zugangsweg. Ihr könnt also auch das Bild scharf anschauen. Und versuchen daraus eine exquisite Formel zu generieren.

Sehr schön. Ich finde das ist ein kleiner Applaus wert. Okay. Gibt es noch Fragen zu dieser Aufgabe?

Du hast dir das hier angeschaut.

Du hast dir das hier angeschaut. Und das da. Und siehst. Ja. Okay. Du machst einen ganz anderen Zugangsweg jetzt. Genau. Du hast jetzt hier was gerechnet?

2 mal 3 plus 2 mal 1 hast du gerechnet. Und hier? 2 mal 2 und 2 mal 4. Und so weiter. Genau.

2 mal N. Also 2 mal 1. 2 mal 2. 2 mal 3. Okay. Und 2 mal N plus 2. Okay. Du hast also raus gekriegt. Schreibst du mal hier drunter. A N ist gleich 2 mal N plus 2 mal N plus 2.

Richtig? Genau. 2 N plus 2 N plus 2 ist 2 N plus 2 N plus 4. Und das ist 4 N plus 4.

Okay. Sehr gut. Eine dritte Zugangsweise. Und ich bin mir sicher. Man kann das hier auch visuell jeweils anders strukturieren. Und sich daraus eine Formel herleiten. Alles doch natürlich richtig. Ja. Am Ende des Tages.

Okay.