Grundlagen der Maßtheorie – Mengensysteme und Wahrscheinlichkeitsräume
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Formale Metadaten
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| Anzahl der Teile | 12 | |
| Autor | ||
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| Identifikatoren | 10.5446/64753 (DOI) | |
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OER.Stochastik.nrw2 / 12
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StochastikMaßtheorieStochastisches ModellMaßtheorieWürfelWahrscheinlichkeitsmaßSummeWahrscheinlichkeitsraumOrdnung <Mathematik>Stochastischer ProzessModelltheorieStochastikModulformDimensionsanalyseGruppenoperationPhysikalische TheoriePhysikalisches SystemEinflussgrößeDruckverlaufRandomisierungSummierbarkeitComputeranimation
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WürfelSummeTupelMengensystemStochastischer ProzessModelltheorieModulformKategorie <Mathematik>Delisches ProblemPhysikalisches SystemEinflussgrößeSummierbarkeitEreignishorizontMinkowski-MetrikStochastisches ModellMaßtheoriePhysikalische GrößeWürfelGrundraumMengensystemSummeTupelComputeranimation
02:51
MengensystemPhysikalisches SystemKombinatorKategorie <Mathematik>TermGüte der AnpassungEreignishorizontMengeKomplementaritätMengensystemSigma-AlgebraLeistung <Physik>StandardabweichungComputeranimation
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AlgebraMengePotenzmengeMengensystemMengeStochastikPotenzmengeSigma-AlgebraTeilmengeComputeranimation
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MengeKombinatorWahrscheinlichkeitsmaßLeistung <Physik>Sigma-AlgebraTermStabilitätstheorie <Logik>EreignishorizontPotenzmengeComputeranimation
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AlgebraAbbildung <Physik>WahrscheinlichkeitsmaßFolge <Mathematik>KombinatorKategorie <Mathematik>FunktionalLokales MinimumResultanteSigma-AlgebraSummierbarkeitAdditionEreignishorizontElement <Gruppentheorie>Minkowski-MetrikGrundraumSummeComputeranimation
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WürfelPotenzmengeNumerische MathematikWahrscheinlichkeitsmaßLeistung <Physik>PunktrechnungSigma-AlgebraSummierbarkeitMultifunktionEreignishorizontMinkowski-MetrikMengeWürfelBerechnungGrundraumPotenzmengeSummeTupelComputeranimation
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GraphTotal <Mathematik>EinflussgrößeSummierbarkeitDiagonale <Geometrie>EreignishorizontAuflösung <Mathematik>Rechter WinkelWürfelQuadratSummePfad <Mathematik>Diagramm
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ZahlWürfelZufallsvariableWahrscheinlichkeitsmaßAbbildung <Physik>PotenzmengeSigma-AlgebraSummeRuhmasseSummierbarkeitWahrscheinlichkeitsraumNumerische MathematikDreieckGrenzschichtablösungLeistung <Physik>PunktMultifunktionWertevorratEreignishorizontAuflösung <Mathematik>Minkowski-MetrikComputeranimation
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ZufallsvariableMessbare FunktionMengeUrbild <Mathematik>AlgebraMengeZufallsvariableWahrscheinlichkeitsmaßGrundraumSigma-AlgebraWahrscheinlichkeitsraumUrbild <Mathematik>TupelResultanteEinflussgrößeWertevorratMessbare AbbildungComputeranimation
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PositionTupelBruchrechnungMaß <Mathematik>Numerische MathematikPunktrechnungEreignishorizontMinkowski-MetrikOrtsoperatorGrundraumTupelComputeranimation
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AlgebraMengeFlächeSummeMaß <Mathematik>VerschiebungsoperatorInvarianteUnendlichkeitWahrscheinlichkeitsmaßSigma-AlgebraFlächeninhaltEinflussgrößeMengeFlächeRuhmasseComputeranimation
11:52
AlgebraMengeFlächeSummeInhalt <Mathematik>FlächeninhaltFlächeMaß <Mathematik>Numerische MathematikOrdnung <Mathematik>Kategorie <Mathematik>ÜbergangEinflussgrößeSummierbarkeitMessbare AbbildungPotenzmengeSummeRuhmasseFlächentheorieDiagrammComputeranimation
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Topologischer RaumMengensystemAlgebraMengeBorel-MengeFlächePotenzmengeMengeFlächeMengensystemPotenzmengeSigma-AlgebraOffene MengeRundungTopologieWürfelKategorie <Mathematik>Inverser LimesPhysikalisches SystemFlächeninhaltEinflussgrößePoisson-KlammerUnrundheitComputeranimation
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AlgebraBorel-MengeTeilmengeMaß <Mathematik>VerschiebungsoperatorInvarianteKategorie <Mathematik>WahrscheinlichkeitsmaßMereologiePhysikalisches SystemSigma-AlgebraEinflussgrößeBasis <Mathematik>Lebesgue-MaßMinkowski-MetrikStochastisches ModellGrundraumMengensystemTeilmengeRuhmasseOffene MengeComputeranimation
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StochastikStochastikZufallsvariableWahrscheinlichkeitsmaßGrundraumPotenzmengeSigma-AlgebraWahrscheinlichkeitsraumModelltheorieVerschiebungsoperatorInvariantePhysikalisches SystemEinflussgrößeLebesgue-MaßRandomisierungMinkowski-MetrikComputeranimation
Transkript: Deutsch(automatisch erzeugt)
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Herzlich willkommen zu einem weiteren Video im Rahmen von OER Stochastik zu den Grundlagen der Maßtheorie. In diesem Video befassen wir uns mit Mengensystemen und Wahrscheinlichkeitsräumen. Wir motivieren, warum Mengensysteme und Wahrscheinlichkeitsräume essentiell für die stochastische Modellbildung sind
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und wofür wir Zufallsvariablen, Wahrscheinlichkeitsmaße und Messbarkeit benötigen. Widmen wir uns zunächst der Frage, wie wir in der Stochastik Modelle bilden, um praktisch relevante Fragen zu beantworten. Betrachten wir dazu einige Beispiele. Wir ziehen mit oder ohne Zurücklegen durchnummerierte Kugeln aus einer Urne, mit oder ohne Beachtung der Reihenfolge.
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Wir würfeln zweimal und bilden die Summe der beiden Würfel. Wir messen den Blutdruck der Teilnehmerinnen und Teilnehmer in einer klinischen Studie. Oder wir notieren täglich den Kurs einer Aktie. Stellen wir uns die Frage, wie wir solche Situationen mathematisch modellieren können.
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Dazu stellen wir eine kurze Vorüberlegung an. Wir müssen zunächst einmal entscheiden, in welchen Mengen wir überhaupt eine Wahrscheinlichkeit zuordnen wollen. Im obigen Beispiel des Wurfs zweier Würfel, deren Summe wir bilden, könnten wir uns fragen, reichen die Tupel 11, 12, 13 und so weiter bis 66 aus, um die Situation stochastisch zu modellieren?
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Die Antwort ist nein, denn wir können Ereignisse formulieren, die aus mehreren solcher Elementarereignisse bestehen. Beispielsweise ist das Ereignis A, die Summe zweier Würfel ist gleich 7, durch 6 Elementarereignisse gegeben.
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Das Ereignis A ist offensichtlich komplizierter und wir benötigen ein größeres Mengensystem als nur die Ereignisse, die beim Experiment als Elementarereignisse auftreten können, um sinnvoll stochastische Modelle zu bilden.
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Das Mengensystem aller Elementarereignisse reicht also im zweifachen Würfelwurfbeispiel nicht aus, um die Situation zu modellieren. Wir benötigen ein größeres Mengensystem Omega. Generell können wir also als Vorüberlegung festhalten, der Grundraum Omega, der aus allen Elementarereignissen besteht,
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die bei Durchführung des Experiments eintreten können, im Beispiel etwa das Tupel 11, ist zu klein für eine sinnvolle Modellbildung. In der Maßtheorie führt man daher andere Mengensysteme ein, die gewünschte Eigenschaften haben, welche man vorab formuliert. Eine solche Eigenschaft ist etwa, dass das Mengensystem mindestens den Grundraum Omega aller Elementarereignisse enthält,
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die im Experiment auftreten können. Kommen wir damit zu Mengensystemen. Stellen wir uns die Frage, welche Eigenschaften ein gutes Mengensystem haben sollte. Das Mengensystem sollte die Grundmenge enthalten.
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Außerdem sollte es stabil bezüglich der Komplementbildung sein. Das heißt, wenn ein Ereignis A im Mengensystem enthalten ist, so sollte auch das Komplement von A darin enthalten sein. Zusätzlich wäre wünschenswert, dass das Mengensystem stabil bezüglich abzählbarer Vereinigungen ist.
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Das heißt, wenn eine abzählbare Menge von Mengen darin enthalten ist, so sollte auch deren Vereinigung im Mengensystem liegen. Erfüllt ein Mengensystem die drei genannten Eigenschaften, so nennt man eine Sigma-Algebra. Eine Sigma-Algebra ist das Standardmengensystem, welches wir in der Stochastik verwenden.
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Man kann leicht überprüfen, dass zum Beispiel die Potenzmenge einer Menge, also die Menge aller Teilmengen einer Menge, eine Sigma-Algebra ist. Die Grundmenge ist in der Potenzmenge enthalten. Sie ist stabil bezüglich Komplementbildung und stabil bezüglich abzählbarer Vereinigungen. Jetzt, wo wir die Potenzmenge als Sigma-Algebra motiviert haben, stellen wir
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uns die Frage, wie wir Ereignissen aus der Potenzmenge eine Wahrscheinlichkeit zuordnen können. Damit kommen wir zu der Definition und zum Begriff eines Wahrscheinlichkeitsmaßes. Ein Wahrscheinlichkeitsmaß können wir uns zunächst als eine Art Funktion vorstellen, die von der
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Sigma-Algebra a in das Intervall 0,1 abbildet und jedem Ereignis eine Wahrscheinlichkeit zuordnet. Wir können uns zunächst fragen, welche Eigenschaften eine solche Funktion haben sollte. Offensichtlich sollte die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zwischen 0 und 1 liegen. Außerdem sollte die Wahrscheinlichkeit des Grundraumes eins betragen.
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Das heißt, wir erhalten mit Sicherheit eines der Elementarereignisse als Ergebnis des Experiments. Zuletzt sollte für eine abzählbare Folge von Paarweisen des jungen Ereignissen die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung dieser Ereignisse gleich der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten sein.
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Diese Eigenschaft nennen wir auch Sigma-Additivität. Erfüllt eine Funktion diese drei Eigenschaften, so nennen wir sie Wahrscheinlichkeitsmaß. Ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist also eine Funktion, die jedem Element unserer
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Sigma-Algebra eine Wahrscheinlichkeit zuordnet und die gewünschten Minimalanforderungen erfüllt. Spielen wir das Ganze am Beispiel des zweifachen Würfelwurfes einmal durch. Den Grundraum Omega können wir als alle Tupel i, j mit i und j aus der Menge 1 bis 6 wählen. Also gerade als die Menge aller Elementarereignisse, die beim zweifachen Würfelwurf auftreten können.
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Die zugehörige Sigma-Algebra wählen wir als die Potenzmenge und das Wahrscheinlichkeitsmaß wählen wir als das sogenannte Laplace-Maß, welches die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses a als die Anzahl aller Elementarereignisse geteilt durch die Anzahl aller Elementarereignisse im Grundraum Omega definiert.
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Das heißt, wir teilen die Anzahl der für das Ereignis a günstigen Elementarereignisse durch die Anzahl aller im Grundraum enthaltenen Elementarereignisse. Stellt sich nun die Frage, wie wir die Wahrscheinlichkeit unseres Ereignisses a Summe bei der Würfel gleich 7 berechnen.
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Um diese Frage beantworten zu können, betrachten wir die folgende Grafik. Links sehen wir alle Elementarereignisse, die auftreten können. Rechts sehen wir, welche Summe sich jeweils aus welchem Elementarereignis ergibt. Und die Pfade zeigen, wie oft jeweils verschiedene Summen aus den Elementarereignissen entstehen.
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Wir sehen, dass die Summe 7 aus den Ereignissen 6, 1, 5, 2, 4, 3, 3, 4, 2, 5 und 6, 1 gebildet werden kann, welche in der roten Hauptdiagonale des Quadrats zu sehen sind.
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Dies sind 6 Elementarereignisse und da es insgesamt 36 Elementarereignisse gibt, sollte die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses a Summe bei der Würfel gleich 7 entsprechend 6, 36. sein. Die obige Idee können wir nun formalisieren, was zum Begriff der Zufallsvariable, Messbarkeit und des Bildmaßes führt.
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Betrachten wir dazu unseren Wahrscheinlichkeitsraum links im Bild. Das Trippel aus Grundraum, Sigma-Algebra und Wahrscheinlichkeitsmaß nennt man auch Wahrscheinlichkeitsraum. Wir betrachten nun eine Abbildung x, die von unserem Urbildraum in einen zweiten Raum, den sogenannten Bildraum, abbildet.
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Dieser ist mit einer weiteren Sigma-Algebra versehen, hat jedoch bis jetzt kein Wahrscheinlichkeitsmaß, welches jedem Ereignis in der Sigma-Algebra eine Wahrscheinlichkeit zuordnet. In unserem Beispiel des zweifachen Würfelwurfes entspricht der Bildraum den Summen 2, 3, 4 und so weiter bis zur Summe bei der Würfel gleich 12.
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Die auf dem Bildraum ausgewählte Sigma-Algebra können wir als die zugehörige Potenzmenge wählen. Und es stellt sich nun die Frage, wie das Wahrscheinlichkeitsmaß definiert werden sollte, wie wir also jeder Summe aus zwei Würfelergebnissen eine Wahrscheinlichkeit zuordnen.
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Auf Basis der vorherigen Überlegungen wissen wir, dass zu dem Bildpunkt, das die Summe den Wert 7 annimmt, mehrere Urbildpunkte existieren, nämlich 6 an der Zahl. Einer davon etwa ist der Urbildpunkt 1, 6.
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Das Ereignis a, Summe bei der Würfel gleich 7, besteht also aus den 6 Urbildpunkten oder Elementarereignissen, die links eingeblendet sind. Wir formalisieren nun unsere Idee von eben und definieren das sogenannte Bildmaß als die Wahrscheinlichkeit
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aller Elementarereignisse aus dem Urbildraum, für die die Abbildung x in der gesuchten Bildmenge landet. Ist also das Ereignis a' gleich 7, so bilden wir die Wahrscheinlichkeit aller Elementarereignisse aus dem Urbildraum, für die die Abbildung x den Wert 7 annimmt.
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Dies ist gerade die Wahrscheinlichkeit unserer 6 Urbildpunkte, so dass wir nur die Laplace-Wahrscheinlichkeit dieser bilden müssen, welche wir bereits als 0,36 herausgefunden haben. Das Maß p' nennen wir auch Bildmaß und die Abbildung x Zufallsvariable. Das Bildmaß nutzt also implizit das Wahrscheinlichkeitsmaß p auf dem Urbildraum
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aus, um Ereignissen im Bildraum Wahrscheinlichkeiten zuzuordnen, daher auch der Name Bildmaß. Fassen wir die bisherigen Ergebnisse zusammen. Das Tripel aus Grundmenge, Sigma-Algebra und Wahrscheinlichkeitsmaß nennen wir Wahrscheinlichkeitsraum.
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Assoziieren wir kein Wahrscheinlichkeitsmaß mit der Sigma-Algebra, so heißt das Tupel aus Grundmenge und Sigma-Algebra Messraum. Eine Zufallsvariable ist eine messbare Funktion, die vom Urbildraum in den Bildraum abbildet. Messbarkeit heißt hierbei, dass das Urbild jeder Menge aus dem Bildraum in der Sigma-Algebra des Urbildraumes liegt.
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Damit stellen wir sicher, dass die entsprechenden Urbilder einer Bildmenge auch tatsächlich in der Sigma-Algebra a des Grundraumes Omega liegen. Wäre dies nämlich nicht der Fall, so könnten wir diesen Ereignissen ja gar keine Wahrscheinlichkeit im Urbildraum zuordnen.
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Kommen wir nun zu einem zweiten Beispiel. Bisher haben wir uns nur diskreten Grundräumen gewidmet, das heißt die Anzahl der Elementarereignisse war endlich. In der Praxis ist dies jedoch oft nicht der Fall oder unrealistisch. Betrachten wir dazu zum Beispiel die GPS-Position im R2,
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wobei wir den R2 der Einfachheit halber auf den Einheitswürfel im R2 einschränken. Vernachlässigen wir die endliche Präzision bei der GPS-Ortung für einen Moment, so sind alle reellen Tupel a, b mit a und b aus R in Omega enthalten. Der Grundraum Omega ist damit nicht mehr endlich, nicht mal mehr abzählbar.
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Das Problem, was nun entsteht, ist, die Laplace-Wahrscheinlichkeit ist nicht mehr anwendbar, denn den Nenner wäre unendlich. Überlegen wir uns daher, was ein geeignetes Wahrscheinlichkeitsmaß auf einer geeigneten Sigma-Algebra auf dem Einheitswürfel im R2 erfüllen sollte.
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Zunächst sollte jede Menge eine Fläche zwischen 0 und unendlich durch ein solches Maß zugeordnet bekommen. Außerdem sollte das Maß P verschiebungsinvariant sein, das heißt, wenn wir eine Menge verschieben, ändert sich ihr Flächeninhalt nicht.
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Weiter sollte die Fläche normiert sein, das heißt, der Einheitswürfel sollte die Fläche 1 besitzen. Außerdem sollte die Vereinigung abzählbar vieler disjungter Flächen als Fläche gerade die Summe der Einzelflächen besitzen. All diese Eigenschaften erscheinen sinnvoll und unumstritten.
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Leider ist die Konstruktion einer solchen Maßfunktion nach dem Satz von Vitali unlösbar, das heißt, wir finden auf der Potenzmenge kein solches Maß. Um dieses Problem zu lösen, geht man wie folgt vor. Schwächen wir die obige Aussage ab, dass wir jeder Menge, also allen in der
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Potenzmenge enthaltenen Mengen, eine Fläche zuordnen wollen und beschränken uns auf eine geeignete Sigma-Algebra, so finden wir ein eindeutiges Maß, welches uns die gewünschten Eigenschaften liefert. Die borelische Sigma-Algebra ist daher wie folgt definiert.
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Sei x und o ein topologischer Raum, wobei o das Mengensystem der offenen Mengen ist, dann heißt die von diesen offenen Mengen erzeugte Sigma-Algebra die borelische Sigma-Algebra. Der wichtigste Fall ist die borelische Sigma-Algebra auf dem R hoch D, hier eingeschränkt auf den Einheitswürfel.
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Die Schreibweise mit dem geschwungenen b lesen wir also als die borelische Sigma-Algebra auf der in den jeweils runden Klammern angegebenen Menge. Welches Wahrscheinlichkeitsmaß finden wir nun auf der borelischen Sigma-Algebra? Auf der borelischen Sigma-Algebra auf dem Einheitswürfel im
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R hoch D finden wir ein eindeutig bestimmtes, verschiebungsinvariantes Wahrscheinlichkeitsmaß, das sogenannte Lebesq-Maß eingeschränkt auf das Intervall 0,1 hoch D. Man kann dieses als Maß auf dem R hoch D verallgemeinern, das heißt, dass das Maß dann nicht mehr auf 1 normiert ist.
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Es bildet die Grundlage der Lebesq-Integration und obwohl die Konstruktion des Lebesq-Maßes aufwendig ist, lohnt sie sich, denn wir können damit auch auf nicht diskreten Grundräumen stochastische Modelle bilden. Der Preis, mit dem diese Eigenschaft erkauft wird, ist der Verzicht, jeder Teilmenge des Grundraumes eine Wahrscheinlichkeit zuzuordnen.
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Wir schränken uns also bewusst auf das von den offenen Intervallen erzeugte Mengensystem ein, auf die borelische Sigma-Algebra. Man kann sich nun fragen, ob diese für die Praxis groß genug ist. Und ohne hier näher ins Detail zu gehen, die Antwort ist ja.
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Es gibt zwar nicht borel messbare Mengen, diese sind jedoch für die Praxis kaum relevant und sehr komplex. Kommen wir damit zur Zusammenfassung. In diesem Video haben Sie gelernt, warum Mengensysteme für die Modellbildung in der Stochastik grundlegend sind. Dass die Potenzmenge auf diskreten Grundräumen stets eine Sigma-Algebra ist
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und die Laplace-Wahrscheinlichkeit ein geeignetes Wahrscheinlichkeitsmaß. Was eine Sigma-Algebra ist? Ein Wahrscheinlichkeitsmaß, ein Messraum und ein Wahrscheinlichkeitsraum. Was eine Zufallsvariable ist, Messbarkeit bedeutet und ein Bildmaß ist.
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Warum der naive Ansatz, die Potenzmenge als Sigma-Algebra zu wählen, auf nicht diskreten Grundräumen scheitert und dass die borel Sigma-Algebra hier das Maßproblem löst und das Lebesmaß als das eindeutig bestimmte Verschiebungsinvariante, Wahrscheinlichkeitsmaß auf dieser konstruiert werden kann.
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