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4/4 Classifying toposes of geometric theories

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Institut des Hautes Études Scientifiques (IHÉS)
 Lafforgue, Laurent

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4/4 Classifying toposes of geometric theories
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Abstract
The purpose of these lectures will be to present the theory of classifying toposes of geometric theories. This theory was developped in the 1970's by Lawvere, Makkai, Reyes, Joyal and other catagory theorists, systematising some constructions of Grothendieck and his student Monique Hakim, but it still deserves to be much better known that it actually is. The last part of the lectures will present new developpments due to Olivia Caramello which, based on her principle of "toposes as bridges", make the theory of classifying toposes more applicable to concrete mathematical situations : in particular, the equivalence between geometric provability and computing on Grothendieck topologies, and general criteria for a theory to be of presheaf type.
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Mengentheoretische TopologieÄquivalenzklasseQuadratische FormPhysikalische TheorieGeometrieAxiomTopologieAbelsche KategorieLaurent-ReiheGarbentheorieAlgebraische ZahlRelation <Mathematik>TermTheoremPunktFunktorInverser LimesElement <Gruppentheorie>Formation <Mathematik>TopostheorieCoxeter-GruppeGrothendieck-TopologieKategorie <Mathematik>Objekt <Kategorie>TopologieTermPhysikalische TheorieGeometrieDifferenteMathematische LogikPunktLineare GeometrieModulformAxiomFunktionalRelativitätstheorieElement <Gruppentheorie>Quadratische FormAssoziativgesetzKlasse <Mathematik>Gerichteter Grapht-TestSigma-AlgebraQuotientDruckverlaufInvarianteOrdnung <Mathematik>BeweistheorieKörper <Algebra>RichtungProdukt <Mathematik>Einfacher RingBimodulResultantePrimidealVektorraumTranslation <Mathematik>MereologieArithmetisches MittelVerschiebungsoperatorWiderspruchsfreiheitMultiplikationsoperatorWasserdampftafelMetrisches SystemDifferenzkernSpezielle unitäre GruppeGruppenoperationEvolutionsstrategieBetragsflächeZeitzoneFaserbündelMinkowski-MetrikSummierbarkeitDivergente ReiheHill-DifferentialgleichungReelle ZahlRegulärer GraphNachbarschaft <Mathematik>Allgemeine RelativitätstheorieGruppendarstellungAbstandComputeranimation
09:12
TheoremAbelsche KategoriePunktÄquivalenzklasseFunktorElement <Gruppentheorie>Inverser LimesLaurent-ReiheGarbentheoriePhysikalische TheorieModelltheorieAussage <Mathematik>VollständigkeitMorphismusModelltheorieGruppendarstellungKategorie <Mathematik>NichtunterscheidbarkeitDruckspannungLineare GeometrieFinitismusEinfacher RingMengenlehreFamilie <Mathematik>PunktEndlich erzeugte GruppeMorphismusAussage <Mathematik>MereologieTopostheorieFunktorOrdnung <Mathematik>Objekt <Kategorie>VektorraumGruppenoperationCoxeter-GruppeElement <Gruppentheorie>TopologieMaßerweiterungTheoremInvarianteTermPhysikalische TheorieIdempotentAlgebraische StrukturÄquivalenzklasseExogene VariableQuaderOrientierung <Mathematik>Physikalischer EffektVollständigkeitAssoziativgesetzFormation <Mathematik>Klasse <Mathematik>ParkettierungErwartungswertInverser LimesWellenlehreMultiplikationsoperatorKomplex <Algebra>FrequenzOffene MengeTabelleSpieltheorieSchießverfahrenSpezielle unitäre GruppeHeegaard-ZerlegungUrbild <Mathematik>Vorzeichen <Mathematik>DifferenteProzess <Physik>ZweiGarbentheorieEreignishorizontDiophantische GeometrieEbeneVerschiebungsoperatorMathematische LogikWeg <Topologie>TeilbarkeitComputeranimation
18:08
GeometrieQuadratische FormPhysikalische TheorieAbelsche KategorieQuotientGarbentheorieTopologieAuswahlaxiomNatürliche ZahlWürfelFunktorObjekt <Kategorie>Familie <Mathematik>MorphismusAggregatzustandMathematische LogikTopostheorieGibbs-VerteilungPhysikalische TheorieVerschiebungsoperatorDifferenteCoxeter-GruppeGeometrieMultifunktionModelltheorieTopologieKategorie <Mathematik>SterbezifferKlasse <Mathematik>ElementargeometrieOptimierungFächer <Mathematik>Objekt <Kategorie>PrimidealSpieltheorieArithmetisches MittelGruppenoperationSchätzungFamilie <Mathematik>Grothendieck-TopologieAusdruck <Logik>MorphismusFunktorEindeutigkeitÄquivalenzklasseAxiomQuotientQuadratische FormMengenlehreComputeranimation
22:34
Lineare DarstellungSiebmethodeAusdruck <Logik>TopologieAbelsche KategorieGeometriePhysikalische TheorieQuadratische FormIndexberechnungLemma <Logik>GarbentheorieMultifunktionObjekt <Kategorie>VollständigkeitHeegaard-ZerlegungModelltheorieTheoremÜberlagerung <Mathematik>PolstelleWechselsprungKategorie <Mathematik>Objekt <Kategorie>Inhalt <Mathematik>Familie <Mathematik>NichtunterscheidbarkeitProjektive GeometrieTheoremVerschiebungsoperatorCoxeter-GruppeKörper <Algebra>Reelle ZahlDruckspannungHeegaard-ZerlegungFormation <Mathematik>FastringSpieltheorieGleitendes MittelMultiplikationsoperatorTermArithmetisches MittelAggregatzustandGeradeAusdruck <Logik>TopologiePhysikalische TheorieFigurierte ZahlEinfacher RingEinfach zusammenhängender RaumGrothendieck-TopologieLineare DarstellungStörungstheorieKategorizitätGeometrieMathematische LogikModelltheorieMultifunktionElementargeometrieBijektionBeweistheorieVollständigkeitTopostheorieIndexberechnungRechenschieberMorphismusResultanteInvarianteDruckverlaufComputeranimation
29:37
TheoremPhysikalische TheorieGeometrieQuadratische FormKonditionszahlGarbentheorieModelltheorieElement <Gruppentheorie>Familie <Mathematik>Ausdruck <Logik>MultifunktionMorphismusSortierte LogikQuadratzahlTeilmengeNatürliche ZahlEinfügungsdämpfungMengenlehreMatchingModelltheorieVerschiebungsoperatorModulformKategorie <Mathematik>Inverser LimesKonditionszahlFamilie <Mathematik>GruppenoperationDivergente ReiheOrbit <Mathematik>TopologieForcingSchätzungWellenlehreDruckspannungRichtungAusdruck <Logik>Element <Gruppentheorie>AuswahlaxiomElementargeometrieSigma-AlgebraAnnulatorProdukt <Mathematik>BAYESHill-DifferentialgleichungSterbezifferProfil <Aerodynamik>Klasse <Mathematik>KugelArithmetisches MittelCoxeter-GruppeSpezielle unitäre GruppeFächer <Mathematik>Metrisches SystemBeweistheorieGrundraumWald <Graphentheorie>MultiplikationsoperatorFastringLeistung <Physik>Physikalische TheorieÄquivalenzklasseSortierte LogikAssoziativgesetzTeilbarkeitKovarianzfunktionSpieltheorieFolge <Mathematik>TopostheorieGerichteter GraphTeilmengeVariableFunktionalLineare DarstellungMultifunktionGeometrieTermFunktorQuadratische FormEreignishorizontRelativitätstheorieMorphismusComputeranimation
36:41
Sortierte LogikMorphismusModelltheorieQuadratzahlAusdruck <Logik>TeilmengeGerichtete MengeÄquivalenzklasseObjekt <Kategorie>TopostheorieQuotientTopologieLineare DarstellungPhysikalische TheorieTopologieCoxeter-GruppeAusdruck <Logik>Rechter WinkelMathematische LogikKomplex <Algebra>Physikalische TheorieStreuungsdiagrammLineare DarstellungSterbezifferKategorie <Mathematik>SpieltheorieNatürliche ZahlÄquivalenzklasseGeometrieMathematikMereologieRangstatistikBeweistheorieSummengleichungDifferenteKombinatorVorzeichen <Mathematik>Minkowski-MetrikKompakter RaumGruppendarstellungHauptidealExistenzsatzSummierbarkeitModelltheorieLeistung <Physik>MultiplikationsoperatorWellenpaketReelle ZahlSortierte LogikVarianzObjekt <Kategorie>TheoremForcingEinsRichtungFigurierte ZahlProzess <Physik>TropfenVerschiebungsoperatorProjektive GeometrieMinimumPrimidealGeradeWechselsprungElementargeometrieTermAggregatzustandGrundraumFormation <Mathematik>MatchingWald <Graphentheorie>Singularität <Mathematik>SuperstringtheorieKartesische KoordinatenEinfacher RingKlasse <Mathematik>DruckspannungModulformSpezielle unitäre GruppeSchätzungFamilie <Mathematik>MatrizenringFolge <Mathematik>MultifunktionThetafunktionMorphismusFunktionalTopostheorieQuotientGrothendieck-TopologieProdukt <Mathematik>AssoziativgesetzInvarianteMengenlehreResultanteFunktionalanalysisExistenzaussageStatistische HypotheseKondensation <Mathematik>Computeranimation
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