Herzlich willkommen zu meiner Vorlesung Thermodynamik. Im heutigen Teil wollen wir uns damit befassen, wie schnell Teilchen sich bewegen, also wie groß die mittlere Geschwindigkeit von Teilchen ist. Das ist wichtig, weil wir in der letzten Lektion gelernt haben,

dass die Teilchen eine kinetische Energie haben, die zur inneren Energie des Systems beitragen. Die Teilchen bewegen sich nicht nur mit gleichmäßiger Geschwindigkeit. Sie wissen, Teilchen haben eine braun-schöne Molekularbewegung, sondern die Teilchen haben sehr unterschiedliche Geschwindigkeiten in die drei Raumkoordinaten x, y, z.

Diese Verteilung der Geschwindigkeiten sieht sehr kompliziert aus. Das ist die Maxwell-Boltzmann-Geschwindigkeitsverteilung. Ich habe hier die Formel einmal aufgeführt und die sieht sehr komplex aus. Die lernen Sie dann später in der statistischen Thermodynamik noch mal näher kennen,

woher diese Formel kommt oder wie die hergeleitet werden kann. Wir wollen jetzt erst nur die wichtigsten Elemente dieser Geschwindigkeitsverteilung diskutieren. Zum einen müssen wir uns merken, dass bei sehr kleinen Geschwindigkeiten die Funktion quadratisch sich verhält.

Also sie ist proportional zu V². Bei sehr großen Geschwindigkeiten fällt die Funktion exponentiell ab, und zwar mit e hoch minus V². Und die Funktion läuft durch ein Maximum.

Dieses Maximum ist sozusagen die wahrscheinlichste Geschwindigkeit, die wir in dem System vorfinden. Wir haben dort die meisten Teilchen, die diese Geschwindigkeit aufweisen. Jetzt sehen Sie aber, dass die Funktion asymmetrisch ist. Wenn wir jetzt so praktisch einen Schnitt durch diese wahrscheinlichste Geschwindigkeit machen,

dann sehen Sie, dass die Funktion links davon anders ist. Die Fläche unter dieser Funktion ist anders als auf der rechten Seite der Funktion. Und wenn wir jetzt über alle Geschwindigkeiten, die die Teilchen im Prinzip haben können, mitteln, dann können wir die mittlere Geschwindigkeit ausrechnen.

Und diese mittlere Geschwindigkeit ist höher als die wahrscheinlichste Geschwindigkeit. Ich habe die Formel für die mittlere Geschwindigkeit hier einmal dargestellt. Für die kinetische Energie ist noch interessant, dass wir das mittlere Geschwindigkeitsquadrat betrachten.

Das heißt, wenn wir dort mitteln über alle V-Quadrattherme, dann erhalten wir einen Ausdruck, der noch mal größer ist als die mittlere Geschwindigkeit. Also, dass die Wurzel aus dem mittleren Geschwindigkeitsquadrat höher als die mittlere Geschwindigkeit.

Und alle drei Formeln für die wahrscheinlichste Geschwindigkeit, für die mittlere Geschwindigkeit und für die Wurzel aus dem mittleren Geschwindigkeitsquadrat sehen Sie hier noch mal aufgeführt. Und wenn man die Verhältnisse dieser drei verschiedenen Geschwindigkeiten sich anguckt, dann verhalten die sich wie 1,414 zu 1,596 zu 1,732.

Und das liegt daran, dass wir hier unterschiedliche Terme unter der Wurzel dieser Ausdrücke haben. Diese Ausdrücke resultieren daher, dass wir eben diese ganz komplizierte Formel verwenden, um das Mittel dort auszurechnen.

Schauen wir uns diese Formel noch mal näher an. Und wir sehen, dass zum Beispiel die mittlere Geschwindigkeit eines Teilchens abhängig ist von der Temperatur T und von der Masse der Teilchen. Wenn wir also bei einer tiefen und einer hohen Temperatur uns die Geschwindigkeitsverteilungen anschauen,

dann können wir feststellen, dass die Teilchen bei den höheren Temperaturen im Schnitt größere Geschwindigkeiten haben. Das leuchtet ja auch ein. Wir wissen ja, die Temperatur ist mit der kinetischen Energie der Teilchen verknüpft. Und wenn die Temperatur größer ist, muss die kinetische Energie größer sein

und damit auch die mittlere Geschwindigkeit bzw. die Wurzel aus dem mittleren Geschwindigkeitsquadrat. Schauen wir uns die Abhängigkeit von der Masse an. Dann können wir feststellen, dass leichte Teilchen eine andere Geschwindigkeitsverteilung haben als schwere Teilchen. Nehmen wir zum Beispiel Neon und Xenon.

Das Neon ist bei der gleichen Temperatur im Schnitt deutlich schneller unterwegs als das Xenon. Das ist ein bisschen schwerer und behäbiger. Und deswegen sind die Maxima dieser Geschwindigkeitsverteilungen in Abhängigkeit der Masse ebenfalls unterschiedlich.

Und somit haben Sie jetzt hier einen Ausdruck für die mittlere Geschwindigkeit bzw. das mittlere Geschwindigkeitsquadrat. Und wir haben hier Größen, die wir kennen. Also wir müssen die Geschwindigkeiten gar nicht messen, um auszurechnen, wie die kinetische Energie eines Teilchens ist, sondern wir können hier direkt diese Formeln verwenden und können die einsetzen in unsere Formel für die Translationsenergie unserer Teilchen.

So und damit haben wir einiges jetzt über die Geschwindigkeit der Teilchen gelernt. Und in der nächsten Lektion befassen wir uns jetzt nun endlich damit, wie Volumenarbeit geleistet wird.