Hallo zusammen, willkommen zurück zur Vorlesung DIF-Geo, schön Sie wieder zu sehen. Der Plan für heute ist wie folgt, ich hätte letztes Mal mit der Kurventheorie schon so fast abgeschlossen,

obwohl Kurven natürlich bis zum Ende des Semesters da sein werden, aber wir hatten diesen ganzen Block Kurven im r hoch n, Frannikurven speziell, wir waren sogar mitten im Beweis eines Satzes und trotzdem habe ich angekündigt, dass wir so ganz langsam von der Kurventheorie zur Flächentheorie übergehen. Das wird dann wahrscheinlich erst in der nächsten Vorlesung stattfinden. Der Plan für heute ist wie folgt, erstens mal,

wir kümmern uns weiterhin um diesen Hauptsatz, nämlich dadurch, dass die Frannikurven selbst bestimmen, das ist ein ganz wichtiger Satz, der wichtigste Satz der Kurventheorie, den wir zumindest momentan sehen, und danach kümmern wir uns um die Frage, wenn wir beliebige Kurven ansehen, welche davon sind irgendwie die kürzesten oder die geradesten oder sowas in dieser Art?

Das ist eben auch eine leichte Frage und auf Flächen, auf gekrümmten Dingen, wird es eine schwierige Frage sein. Deswegen machen wir da so ein paar Vorüberlegungen über Längen von verschiedenen Kurven, die uns dann ein gutes Konzept von den optimalen Kurven auf Flächen liefern werden. So, zunächst mal stieg sich also das ab, was wir letztes Mal schon begonnen haben,

nämlich den Satz, der sinngemäß besagt, wenn wir eine Frannikurve haben und alle möglichen Frannikrümungen oder wie man einen Haufen von glatten Funktionen, dann können wir eine Kurve so finden, dass diese Kurven, also diese Krümungen, gerade die Frannikrümungen der Kurve sind.

Okay, da hatte ich schon angefangen zu beweisen. Ich schalte den Satz trotzdem nochmal hin, damit Sie sich erinnern, was da geschah. Und dann geht es los mit dem Rest des Beweises. Einen Teil hatte ich Ihnen ja schon vorgestellt. Also ganz kurz Wiederholung. Erste Wiederholung, das brauchen wir natürlich sowieso.

Eine Kurve ist Frannikurve. C ist Frannik, wenn C' bis Cn-1 linear unmenglich ist.

Das war also eine Frannikurve oder Frannik als Adjektiv. Und dann hatten wir diese Frannik-Gleichungen, also Folgerung. Es gibt ein sogenanntes Frannik-N-Bein oder Frannik-Rahmen oder Frannik-N-Vectorfelder

mit der Eigenschaft, dass es eben so geht. Also es existiert dann eine Ortonormalbasis E1 bis EN positiv orientiert

Mit zwei Eigenschaften erst einmal, dass der Spann der E1 bis EI, vielleicht der Spann der C1 bis CI, was die Ableitung betrifft, ist, also so dass für alle Ielement 1 bis n-1 gilt Spann C'Ci

gleich von E1 EI. Das war die erste Sage. Und das war die Hauptsache, dass nämlich diese Vektoren linear unabhängig gemacht werden.

Sie werden sogar ortonormal gemacht. Und weil es so ein paar Freiheiten noch übrig bleibt, können wir zusätzlich noch so ein klein wenig vorgeben, ob diese EIs in die eine oder andere Richtung zeigen. Deswegen können wir zusätzlich noch sagen, dass das Skalarprodukt von diesem Vektor hier mit dieser Ableitung hier positiv sein soll.

Und immer noch für den Altquantor EI CI 0. Insbesondere ist das Ganze ungleich 0. Das war die Aussage für die Frannik-Kurven und für die Frannik-Basis.

Ja, und dann kommt die Cummings-Bild. Da hatten wir eben diesen Satz, also Satz, wenn C. Wenn wir eine Frannik-Kurve haben, also insbesondere ist die dann regulär. Das habe ich auch gesagt, denn wenn die Vektoren unabhängig sind, kann nicht einer davon 0 sein.

Wenn wir so eine Kurve haben, die Frannik ist und nach Bogenlänge parametrisiert, Blp. Und mit C mache ich immer eine Kurve, die geht von I, I wie Intervall in den Rn. Das schreibe ich jetzt in der Wiederholung nicht hin. In den neuen Sätzen schreibe ich dann die Voraussetzungen wieder vollkommen hin.

Wenn wir also so eine Frannik-Kurve haben, dann gibt es eine Matrix-Differentialengleichung für diese Ableitung, wo wir dann diese Ableitung von all diesen EIs in Beziehung setzen können mit den EIs und bestimmten Zahlen. Also dann können wir schreiben, sozusagen in der Notation mit Matrizen,

wenn wir E1 bis En als Maßdruck schreiben. Das gilt, dass es sozusagen Krümungen gibt. Na, wie soll ich sagen, wenn wir sagen E1 bis En Frannik-Rahmen.

Es existieren dann Funktionen Kappa 1 bis Kappa n-1.

Definitiv auf demselben Intervall wie Cs ist. Mit Kappa 1 ist immer positiv und so weiter bis Kappa n-2 immer positiv.

Also alle sind positiv, bis auf eventuell der Letzte. Und somit E1 En Strich gleich E1 En mal der Matrix,

die da lautet Kappa 1 hier bis Kappa n-1, 0 hier und minus Kappa 1 hier.

Okay, das hatten wir schon gesehen. Dabei hatten wir uns schon unterhalten. Und dies jetzt schreiben wir jetzt kürzer als Matrix-Gleichung, indem wir diese Vektoren hier zu einer Matrix zusammenfassen, die nennen wir E, E Strich gleich E, bei diesem Matrix K.

Das ist jetzt der Satz über die Frannik-Krümungen. Die Frannik-Krümungen sind diese Zahlen Kappa 1 bis Kappa n-1. Kann ich hier gleich nochmal dazusagen.

So, all das wissen wir bereits. Wir brauchen es aber heute wieder, deswegen schreibe ich es nochmal hin. So, das war der erste Satz.

Wenn wir die Kurve zuerst haben und uns dann um den Rahmen kümmern, dann können wir den Rahmen bekommen und dann können wir diese Kappas hier bekommen. Okay, also gegeben die Kurve erhalten wir Krümungen, n-1 Stück. Das ist der Satz, der hier steht. Und was wir danach angefangen haben zu überlegen, ist ob es anders herum geht.

Nämlich nicht gegeben die Kurve haben wir denn eine Krümung, sondern gegeben die Krümung zuerst, können wir dann eine Kurve finden mit diesen Krümungen. Also können wir sozusagen, so wie im R auch 2, können wir aus der Krümung einer Kurve und vielleicht Anfangspunkt und Anfangsrichtung können wir daraus die Kurve rekonstruieren. Die Antwort war ja. Ist die Frage im R auch n wieder.

Gegeben ein Anfangspunkt, eine Anfangsrichtung oder vielleicht besser ein Anfangsn-Bein oder ein paar Vektoren am Anfang und vielleicht ein paar Krümungen, so n-1 Stück ungefähr, können wir dann eine Kurve finden, die Frannik-Kurve ist und diese Frannik-Daten hat. Also das war der erste Satz und die Umkehrung davon ist das, was uns jetzt als erstes umtreibt.

Also umgekehrt.

Was war umgekehrt? Heißt bei einem Satz, der viele Voraussetzungen hat und eine Schlussfolgerung. Jedenfalls sage ich, dass die Schlussfolgerung eine der Voraussetzungen sein wird. Und eine der Voraussetzungen wird die Schlussfolgerung sein. Also genau wie ich gesagt habe, gegeben all diese Krümungen und so ein paar Anfangsraten P und E an der Stelle Null,

dann haben wir dann sozusagen die Kurve, die wir gerne hätten. Ja, nennen wir es mal Hauptsatz oder wie auch immer. Wenn wir gegeben kappa 1 bis kappa n-1 Funktion,

sagen wir mal, die sind definiert von I nach R. Die meisten davon sogar nach R plus.

Und die sollen jetzt mal, weil es eine Voraussetzung ist, muss ich etwas dazu sagen. Ich sage mal, die sollen glatt sein. Glatt und kappa 1 größer Null, kappa n-2 größer Null. Das heißt, wir haben dieselben Daten wie da oben.

Außer das ist sozusagen die Anfangsraten, sondern nicht die Funktion, die wir berechnen. Dann haben wir jetzt dieses Anfangsraten. Und gegeben vielleicht noch ein Anfangsvektor, denn bei Freinet-Daten haben wir nicht nur einen Vektor, sondern gleich N. Deswegen gebe ich mal ein N-Stück vor. Also gegeben heißt sozusagen für alle.

Das heißt, gegeben diese Daten beliebe ich. Dann kommt das Folgende, kann ich konstruieren. Und für alle P-Element R hoch N. Das ist der Punkt, wo die Kurve losgehen wird. Das ist der Anfangspunkt. Und gegeben E-autonomal-Basis oder E-Null sage ich mal.

Autonomal-Basis. Und vielleicht noch am besten positiv orientiert. Positiv orientiert, nochmal so zur Erinnerung. Das heißt, so als Kleingedrucktes die Determinante von den Vektoren in genau dieser Reihenfolge E1 bis EN,

die in diesem Basis drinstecken. Die ist dann positiv. Also sozusagen dead. Ich habe das E0 mal als E1 von T0 bis EN von T0.

Und hier das Kleingedruckte ist eben, dass diese Determinante von genau diesen Daten größer als Null ist. In diesem Fall sogar wenn es autonormal ist, dann kann es ja nur plus minus eins sein.

Deswegen muss die Determinante gleich plus eins sein. Okay, das sind die Anfangsdaten. Was ist dies T0? T0 wird sein der Anfangszeitpunkt, an dem es losgeht. Ich habe gesagt, diese Kurven gehen von I nach R. I soll sein ein Intervall. Also I soll sein das Intervall von A bis W.

Ich mache es mal offen, aber der Satz klappt im Wesentlichen auch für abgeschlossene Intervalle. Und wir haben also ein T0-Element. Mit diesem Intervall. Das sieht jetzt so aus wie ein Setup für gewöhnliche Differenzangleichungen. Wir haben da ein Anfangswert-Problem, weil hier sind Anfangswerte.

Und die Differenzangleichung, die kommt jetzt gleich noch in der Behauptung. Die Behauptung ist genau die. Es gibt eine Kurve C vom Intervall I in den R auch N, die diese Franné-Daten hat. Also das waren alles Voraussetzungen bis hier.

Dann ist die Z-Folgerung, die kommt hier. Es existiert eine wogenlängenparamtosierte Franné-Kurve C von I nach R hoch N.

Insbesondere genügend auch defensive, aber damit es klappt. Sodass diese Kurve gerade an diesem Punkt losgeht. Mit C von T0 gleich P. Das ist der Anfangswert. An diesem Anfangsteilpunkt geht es durch diesen Punkt.

Und sodass die Anfangsrichtungen oder fast alle von diesen Daten gerade so vorgegeben sind. Also sodass E1 bis EN.

Das schreibe ich besser noch in die Vorgezeile. Kurve CIN. E gleich E1 bis EN. Sodass der C den Franné-Rahmen E hat.

N-Vektoren kann ich nicht gleich zu Rahmen ansehen. Und jetzt kommen die Krümel in das Spiel. Und die Kappers sind die Franné-Krümel von C.

Das ist also der Hauptsatz. Und wie die meisten Sätze bei gewöhnlichen Differenzialgleichungen ist er relativ lang hinzuschreiben. Weil man nicht nur die Differenzialgleichung hinschreiben soll. Die Differenzialgleichung steckt hier in dem Wort Franné-Rahmen. Sollen wir uns auch Anfangswerte dazuschreiben?

Nämlich dieses P und dieses E an dieser Stelle. Vielleicht sollte ich den Anfangswert bei T0 noch dazuschreiben. E von T0. Gleich dieser Rahmen hier.

E0. T0 ist eine gewöhnliche Differenzialgleichung immer so ein bisschen implizit. Hier schreibe ich es nochmal extra hin. Okay. So, mit dem Beweis hatten wir uns schon so ein klein wenig befasst. Und wir hatten gesagt, na gut, wir sagen folgende Dinge. Erstens mal müssen wir uns irgendwie um die Matrix kümmern.

Und Existenz und Eindeutigkeit von solchen Gleichungen ansehen. Das hatten wir auch schon getan. Und was wir letztes Mal getan hatten, war Folgendes. Also das ist der Formulierung des Satzes. Und beim Beweis, was wir schon gesehen hatten, war Folgendes. Die Matrix F gleich E, T, E.

Die hatten wir uns angesehen. Und wir hatten studiert, welche Differenzialgleichung die Matrix F erfüllt. Und da hatten wir gesehen, erfüllt F Strich gleich eine Gleichung, die nur von F und von k abhängt. Fk minus kf war es in diesem Fall.

So, das hatte ich letztes Mal vorgerechnet. Dieses Mal schreibe ich es einfach hin. Sie können es aber leicht ausrechnen, indem Sie einfach diese Gleichung hier nehmen. Und immer wenn Sie differenzieren, nach Produktregeln und so weiter, die Gleichung, die da oben steht, E Strich gleich E mal k einsetzen.

Und wenn Sie noch die Schiefsymmetrie von k benutzen, k transminiert, es ist minus k, dann kommen Sie gerade auf das hier her. Wir hätten also gesagt, dies erfüllt dieses und wird gelöst. Und das Anfangswertproblem, AWP, Anfangswertproblem,

dies hier F Strich gleich Fk minus kf und F von einer Stelle t null oder auch null oder wie auch immer, ist gleich eins, eine als Matrix.

Dies hier wird gelöst eindeutig durch F, ist konstant die eine als Matrix.

Ja, so geht es eben. Wir stellen schöne komplizierte Differenzen auf und am Ende kommt heraus, es ist doch die konstante eine als Matrix, die die Lösung ist. Das hatten wir letztes Mal schon gesehen. Wir haben auch die Schlussfolgerung gesehen, dass nämlich E eine orthogonale Matrix ist, wenn et mal e gleich eins ist, dann muss e Element o von n sein.

Hier endet so langsam die Wiederholung. Und hier schließe ich nahtlos der Rest des Beweises an. Wir wollen noch ein paar kleine Dinge zeigen, dann ist der Beweis zu Ende. Nämlich erst mal müssen wir uns noch überlegen, dies e ist nicht nur o, sondern auch ein so.

Und das ist deswegen so, weil hier dies e ist so eine Funktion von t. Die Matrix hier ist auch eine Funktion von t. Als nächstes sage ich, das ist auch ein Element von S o n, weil da da det e von t 0 gleich plus eins ist.

Für autonormale Matrizen ist die Define natürlich immer in plus minus eins. Det von e von t Element plus eins und minus eins ist.

Und die Determinant ist außerdem stetig, ist ja ein Polynom.

Stetig gilt e Element S o n. E ist eine spezielle orthogonale Matrix der Größe n. Das gilt also sozusagen im Kleingedruckten für alle t im Definitionsbereich.

Das heißt, wir haben Folgendes. Es gibt eine Lösung. Diese Lösung exzielt nicht nur lokal, sie exzielt global, weil sie ja da steht. Da kann ich sie hinschreiben. Ich habe eine autonormale, sogar speziell autonormale Matrix. Das heißt, ich habe alle Voraussetzungen für den Fereinierrahmen erfüllt. Ich muss nur noch zeigen, dass die Krümmungen gerade die entsprechende Größen Kapai sind.

Dann bin ich auch fertig damit. Als nächstes, um das zu zeigen, dass die Krümmungen die Kapai sind, muss ich die Kurve 10

natürlich irgendwie erst mal konstruieren, denn das ist eigentlich die Hauptsache, dass die Kurve hier existiert. Noch ganz kurze Erinnerung, wenn Sie Probleme haben, bei dieser langen Textwüste zu sehen, was die Voraussetzungen, was die Behauptungen sind, ist natürlich so, alles vor dem Implikationszeichen sind die Voraussetzungen, also all dies hier.

Voraus. Metzung. Und das, was hier steht, ist dann die Folgerung.

Auf dieser Tafel merken Sie sich mal diese Defizitei gleich E-Strich, gleich E mal K. Die brauchen wir gleich im Beweis. Und merken Sie sich diese Matrixstruktur.

Die haben wir letztes Mal schon gesehen, deswegen können Sie sich die gleich merken. Dann kann ich die gleich weiter benutzen.

Erste Frage, ganz einfach, wie sollen wir die Kurve konstruieren? Ich habe da so Vektoren E1 bis EN. Und die sind so sinngemäß die Ableitungen der Kurve. Und ich habe dann Punkt P, wo sie losgeht. Können Sie mir eine Formel sagen für die Kurve? C ist als Funktion von T abhängig von diesen Daten.

Von P, vielleicht von allen Ableitungen, was es so gibt. Wenn Sie sagen, na gut, das ist ja nun kinderleicht, denn E1 ist ja sinngemäß die erste Ableitung der Kurve. Oder genauer gesagt, E1 ist proportional zur ersten Ableitung der Kurve. Und weil sie in Bogenlängen parametrisiert ist, und E1, Element einer autonormalen Basis, auch Länge 1 hat, sind sie gleich.

Das heißt, ich brauche einfach nur E1 zu integrieren, und dann habe ich C. Das heißt, die Formel für C ist ganz simpel zu finden. Also wir definieren jetzt mal, definiere C von T den Punkt P plus Integral von T0 bis T über diesen Vektor E1.

Das hier ist die Definition. Oder Sie können schreiben, Physiker zum Beispiel mögen diese Definition überhaupt nicht, wenn ich keinen Integrant hinschreibe. Ein Physiker würde schreiben, E1 von S, D, S oder so. Also wenn Sie das irritiert, was hier steht, können Sie dazuschreiben, müssen aber nicht.

E1 von so einer Variable, deswegen S, D, S. Ein Mathematiker kann das auch weglassen, denn Mathematiker haben ja Funktionen, wo die Zahl der Variabeln schon von vornherein feststeht. Und deswegen kann man nur mit Abhängigkeit von diesen Variabeln integrieren.

Okay, so oder so haben wir diese Konstante plus dieses Ding hier. Das gilt wegen E1 gleich C'. Das war die erste Verne-Gleichung. Zumindest für bogenbelängeparantosierte Kurven macht dies Sinn. Also ist dies vielversprechend.

Na gut, vielversprechend ist jetzt noch irgendwie so eine vage Formulierung. Warum ist jetzt die Frene-Basis, die ich produziere, der Frene-Rahmen,

genau der, der hier herauskommt. Und da müssen wir noch so ein klein wenig rechnen, aber nicht besonders viel. Erstmal überlegen wir uns, was wollen wir denn überhaupt zeigen? Ich wollte jetzt zeigen, diese Kurve, die habe ich jetzt konstruiert, hat einen Frene-Rahmen, also Vektoren E1 bis EN, die gerade durch die Ableitung von C gebildet sind. Okay.

Übrigens, Sie müssen nicht in Erinnerung halten, im Gegensatz zu vorhin, wo Sie die Kurve abgeleitet haben und dann diese EIs konstruiert. Machen wir das andersherum. Wir haben vorhin diese Kappas und jetzt haben wir das C. Und die EIs, die wollen wir auch wieder konstruieren. Und die sollen rauskommen. Aber das, was da oben steht, dies E0, ist nicht der Frene-Rahmen überall. Das ist nur der Frene-Rahmen an einem einzigen Zeitpunkt T0.

Okay, dann kümmern wir uns mal um diesen Frene-Rahmen. Und was war da gleich ein Frene-Rahmen? Das war das Ding, so dass der Spann der ersten I-Vektoren gleich der Spann der ersten I-Ableitung von C ist. Erstens. Und so dass der Ithe-Vektor EI in ungefähr dieselbe Richtung zeigt wie C I.

Wie die Ithe-Ableitung von C. Zumindest positives Skalarprodukt. Na gut, dann rechnen wir das Skalarprodukt aus. Und wir rechnen aus, ob die linearen Kombinationen so stimmen. Also das gilt. Erste Linearen Kombination. C Strich gleich E1 habe ich ja schon geschrieben.

Das heißt logischweise ist C Strich oder C1 eine Linearen Kombination von E1. Na gut, banalerweise. Und dann sage ich, das gilt auch ansonsten. Und für alle I Element 1 bis N minus 1.

Ich nehme die Kurve C und will die Ithe-Ableitung. Und jetzt will ich zeigen, dass die im Spann der ersten I-Vektoren sind. Und dann sage ich hier Element Spann von E1.

Ja, E oder C kann ich schreiben, ich schreibe mal die Es. E I minus 1. Plus Kappa 1 mal Kappa 2 und so weiter bis Kappa.

Also hier steht ein Malzeichen. I, ich überlege gerade welches der höchste Termin ist. I minus 1. E I.

Okay, hier steht eine Form, die werde ich jetzt per Induktion beweisen. Weil für Induktion I gleich 1 ist offensichtlich richtig. Weil der steht sich schon. Also der C ist Element Spann von gar nichts plus leeres Produkt mal E1. Das steht schon richtig da. Für C2, also I gleich 2, können Sie das auch prüfen.

Und wenn Sie jetzt Folgendes machen. Sie haben so eine Behauptung. Die Ithe-Ableitung von C ist im Spann von irgendwelchen Vektoren. Sie wissen jetzt noch nicht die Linearkombination, aber irgendwie im Spann. Plus eine Funktion mal E I. Okay, sonst wissen Sie nichts. Und Sie wissen vielleicht noch, dass die I I's eine, diese hier, autonormale Basis sind.

Können Sie jetzt eine Aussage machen über das C I plus 1 Ableitung? Vielleicht manche von Ihnen, wer ganz ganz schnell ist, kann das im Kopf. Die meisten müssen so ein bisschen anstarren. Also deswegen sage ich mal hier Beweis per Induktion.

Also war für I gleich 1, wenn Sie da zufrieden sind. Oder I gleich 2, wenn Sie leere Produkte nicht mögen.

Und aus dieser gleichen, die da steht, aus C I Element Spann, diese Vektoren folgt.

Wenn Sie jetzt diese Gleiche nehmen. Hier steht eine unbekannte Linearkombination. Und jetzt differenzieren Sie. Folgt C I plus 1.

Wir leiten ab. Und was passiert jetzt, wenn wir hier ableiten? Wir müssen immer so eine Produktregel anwenden. Wir haben hier alpha 1 e 1 plus alpha 2 e 2 und so weiter. Und alles hängt im Allgemeinen von T ab. Die Vektoren hängen von T ab. Und die Linearkombination, die Alphas, die hängen auch von T ab. Das heißt, wenn ich irgendwie differenziere, wenn ich so einen Term alpha 1 e 1 differenziere,

was habe ich dann? Habe ich alpha 1 Strich mal e 1 plus alpha mal e 1 Strich. So ist eine Art. Und das heißt, wenn ich dies hier habe, ich habe hier diese Linearkombination. Welche Vektoren kommen dann vor, wenn ich das Ganze differenziere? Wenn ich das e 1 ableite, kommt hier nach dieser Behauptung ein Vektor raus,

der aus e 1 und e 2 gebildet ist, aber nicht mehr. Aus dem Karten Vektor kommt ein Vektor von e 1 bis e k aus und e k plus 1 dazu, aber nicht mehr. Das heißt, wenn ich hier differenziere, hier steht ja sozusagen eine Behauptung,

jeder von diesen Vektoren ist eine Linearkombination von diesen Dingen mit einer ganz speziellen Linearkombination mit dem letzten Vektor. Wenn ich also noch mal ableite, dann kommt hier sozusagen als Ableitung von diesen e i's immer noch ein Vektor dazu, nämlich der e i plus 1. Und ich habe diese Linearkoeffizienzen alpha 1 bis alpha i minus 1 auch abgeleitet.

Das gibt dann andere Linearkombinationen. Deswegen schreibe ich die Alphas e i's auch nicht hin, weil hier sozusagen in jedem Schritt anders sind. Aber es gilt Folgendes, c plus 1, das ist sozusagen also gleich alpha, also wenn ich das hier schreibe, wie gesagt, als alpha 1 e 1 plus alpha i minus 1 e i minus 1.

Ja, sozusagen ableiten gibt d nach dt alpha 1 strich e 1 plus alpha 1 e 1 strich plus und so weiter

alpha i minus 1 strich e i minus minus 1 plus alpha i minus 1 e i.

So kommt es ja raus, wenn man das Ganze differenziert. Hier muss noch mal abgeleitet werden. Und weil eben hier steht, dass ich in jeder Hälfte noch einen Termin dazu gewinne, dann entsteht hier eben so eine Linearkombination. Ich kann jetzt all diese Koffizienzen mit den e i's ungestrichen wieder einsammeln. Die fallen in diesen Termin hinein.

Und diese anderen sind wegen der Phrenie-Gleichung. Da steht der Phrenie-Gleichung besagt ja, wenn ich die, sagen wir mal, die fünfte i-Koordinat ableite, hängt das Ergebnis von der vierten und der sechsten ab und sonst von gar nichts. Und weil das so ist, kommt immer noch nur noch eine Koffiziente dazu und sonst sozusagen keine.

Das war sozusagen die Voraussetzung. Noch mal ganz oben, wenn wir diese Sachen haben, dann haben wir das eben gerade so. Also diese Gleichung, e strich gleich k mal e, die sozusagen implizit dahinter steht, diert gerade dies hier zur Konsequenz. Also das hier ist dann eben, wie gesagt, Element Spann.

Spann von diesen Vektoren und noch einem dazu. e 1 bis e i plus. Und jetzt will ich mich um diesen Term kümmern. Warum ist der zusätzliche Termin gerade das Produkt von den bisherigen Krümungen?

Was würden Sie sagen, wenn ich diese Gleichung ableite und dann Term, Konstante mal e i plus eins produzieren will? Wo kommt diese Konstante her? Kommt sie aus der Summe links? Offenbar nicht, denn hier treten ja nur Terme auf bis zum Vektor e i minus eins.

Nach der Vernägleichung kann mit Ableitung eines e i immer nur das nächste vorkommen, sonst keins. Das heißt, in diesen hier abgeleitet kommen nur Vektoren von e 1 bis e i vor. Und den Vektor e i plus eins, um den ich mich eigentlich kümmern will, ich habe ihn mal jetzt hier in gelber Farbe, weil es klein ist, aber das ist der wichtigste.

Das ist sozusagen die Ableitung hier von kappa eins mal bis kappa, ich habe mal alles hin, was hier steht, i minus eins e i in Klammern abgeleitet.

Das ist jetzt ein bisschen klein zu lesen, deswegen mache ich oben weiter, wo es interessant ist. Wenn Sie dies hier ableiten, viele Funktionen mal e i. Das wollen Sie ableiten, gibt nach der Produktregel viele Terme. Viele Terme, wo Sie dies oder jenes ableiten, mal e i plus einen einzigen Term, wo Sie diese Terme alle konstant lassen und das e i ableiten.

Das heißt, Sie bekommen hier nochmal den Element im Spann von diesen Vektoren plus einen einzigen Vektor, wo Sie dies hier haben und e i Strich, was ja kappa mal e plus eins ist, dazu nehmen. Das kann ich gleich weiterschreiben.

Also Element von dem hier gleich Spann von e eins bis e i plus kappa eins kappa n

oder i, i minus eins war es noch, e i Strich. Und jetzt kommen wir nämlich um dieses e i Strich. Ich benutze jetzt die Frene-Gleichung.

Was waren die Frene-Gleichungen, die sagen jetzt gerade e i Strich ist gleich was? Also zur Erinnerung, ich benutze jetzt so eine Linearkombination von dem e i minus eins und von dem e i plus eins.

Und dies war gerade das kappa aus der Frene-Gleichung. Das war gerade die i-te Frene-Krümung. Also wenn Sie so eine Reaktion benutzen, das heißt beim Differenzieren, bekommen Sie Terme von niedriger Ordnung sozusagen oder niedriger Indexzahl

und einen Term von Möhrerindexzahl. Das heißt, Sie bekommen sozusagen wieder denselben Spann plus e i Strich mal kappa i, diesen Term hier und das ist gerade was Sie haben, kappa i e i plus eins.

Das ist sozusagen das Ende dieses Induktionsbeweises. Also hier geht sozusagen der Induktionsbeweis los und hier geht er zu Ende.

Okay, jetzt habe ich also eine Behauptung, so ein klein wenig linearer Algebra eingeschoben und das ist gerade das, was wir für die Frene-Gleichung brauchen, denn die Frene-Gleichungen sind die gerade, was hier steht, dass der Spann der ersten i E-Vektor vielleicht der Spann der ersten i Ableitung von C ist. Das haben wir hier gezeigt. Es bleibt noch ein winzig kleines Detail zu zeigen, nämlich dass das Skalarprodukt auch positiv ist und das folgt daraus, dass wenn wir das Skalarprodukt von dem hier nehmen,

mit e i plus eins, was kommt dann raus? Natürlich diese Term, die hier steht. Also das gilt für alle i Element eins bis n minus eins, gilt das Skalarprodukt e i Strich und e i und c i.

Wieso sollte das positiv sein? Nun, wenn Sie das hier nehmen oder diese gleichen hier nehmen oder diese gleichen hier nehmen, Sie nehmen das Skalarprodukt von der linken Seite mit e i.

Haben Sie das Skalarprodukt hier mit e i. Diese Vektoren sind allesamt senkrecht auf e i. Bleibt also nur dieser Term, der hier von e i steht, also ist gleich Kappa eins mal Kappa i minus eins. Kappa i minus eins.

Und weil ich in der Voraussetzung stehen hatte, dass diese Kappas alle positiv sein sollen, zumindest bis auf den letzten, also bis auf den n minus zwei kann ich gehen und wenn ich hier sage, i ist kleiner als n minus eins, ich schreibe e i minus eins, das steht da höchstens da, n minus zwei, die ist also größer Null nach Voraussetzung.

Und dann bin ich mit den Vernähtdaten eigentlich auch schon im Wesentlichen durch. Bleibt noch ein wenig die Differentialeichung selbst zu analysieren, e Strich gleich e mal K, das habe ich ja behauptet und das gilt hier eben auch wieder.

Also es folgt Folgerung, erst e Strich gleich e mal K und Kappa eins bis Kappa n minus eins

sind die Vernähtdaten aus K.

Das ist jetzt nicht so trivial wie es klingt, ich habe jetzt sozusagen die Notation verkürzt, ich habe gesagt, einmal haben wir eine Matrix K, die ist gebildet aus diesen drei Diagonalen, Null in der Mitte und Kappa i auf der einen Seite und Minus Kappa i auf der anderen Seite der Diagonalen. Und das war die Matrix K und jetzt habe ich in diesem Satz gesagt, wenn ich die Funktion Kappa vorgebe, dann kommt so ein Matrix raus,

der hat genau diese Gestalt mit genau diesen Funktionen Kappa i. Und das ist gerade so, weil ich das hier sozusagen so produzieren kann. Dann werden Sie diese gleich nehmen, dann kommt es gerade so richtig heraus. Okay, das heißt, ich habe ja sozusagen diese Gleichung. Was gibt es überhaupt noch zu tun? Jetzt muss ich vielleicht noch kurz argumentieren,

dass diese Definitiegleichung, die hier steht, e Strich gleich e mal K, dass die überhaupt irgendwie eine globale Lösung hat. Ich habe jetzt gesagt, dass mir den Kappa klappt, die Kurve C habe ich konstruiert, so dass es hinkommt. Jetzt muss ich vielleicht als letztes noch kurz argumentieren, dass diese Kurve überhaupt eine globale Lösung hat, also die Kurve der e.

Mit e habe ich noch wenig gesagt, außerdem hier. Und das ist aber auch nicht schwer, denn wenn Sie diese Definitiegleichung angucken, also es gilt, e hat eine, oder e, also diese Definitiegleichung, e Strich gleich e K,

hat eine ganz i definierte Lösung.

Und das Anfangswertproblem, AWP Anfangswertproblem, das gebildet wird aus diesen beiden Daten, e Strich gleich e K und e von t Null gleich e Null.

Dieses Anfangswertproblem, das hier steht, hat eine eindeutige Lösung.

Ganz i definierte Lösung. Okay, sehen Sie das an? Klar. Also es gibt hier so zwei verschiedene Arten von Leuten an dieser Zuhörerschaft. Manche Leute, die kennen sich mit Defizial-Extremen gut aus. Die gucken nur drauf von Ferne, so aus 100 Meter Entfernung.

Die sehen Sie vor, da gibt es eine Lösung, die ist eindeutig. Und andere kennen so gerade den Satz von P.K. Lindelöf. Wenn Sie nicht so ganz sicher sind bei Defizialgleichung, es gibt zwei Sätze, die müssen Sie wissen. Erster Satz, haben Sie eine Defizialgleichung, irgendwie x Strich gleich f von x oder so. Und die rechte Seite ist in x lokalen Lipschitz stetig.

Und vielleicht in t auch noch stetig, aber das t steht ja nicht so prominent drin. Wenn sie lokalen Lipschitz ist, dann gibt es lokalen eine Lösung. Und der zweite Satz, wenn sie global Lipschitz ist, wenn Sie eine globale Lipschitz Schrank haben für die rechte Seite von x Strich gleich r von x, dann ist die Lösung auch global definiert, eindeutig.

Zum Beispiel hier, wenn Sie sagen, die rechte Seite ist e mal K. Wenn die Matrix K beschränkt ist, dann haben Sie eine globale Lipschitz Schranke für die Defizialgleichung. Nämlich durch Zahlen, die nur von der Matrix abhängen. In diesem Fall habe ich jetzt zwar nicht gesagt, dass diese Kappas beschränkt sind, also auf einem offenen Intervall können die vielleicht nach unendlich gehen, aber es ist so, jedes kompakte Teilintervall von I,

egal wie nah es da herangeht, hat ja die Eigenschaft, auf jedem kompakten Intervall sind die Funktionen Kappa, habe ich vorsichtigerweise als glatt hingeschrieben, sind diese glatten Funktionen beschränkt. Und damit ist auch die Matrix beschränkt auf jedem kompakten Teilintervall. Auf jedem kompakten Teilintervall existiert die Lösung und ist eindeutig.

Und wenn ich sozusagen das Intervall an die Grenzen fortsetze, dann existiert sie auch auf dem offenen Intervall. Ich habe es nicht gesagt über die Defizierbarkeit am Rand. Also wegen Lipschitz-Bedingungen gilt da,

da alle Kappa I beschränkt auf jedem kompakten Intervall.

Wie kürze ich kompakt ab? Komp-Intervall Ni.

Okay, ich kürze ich gerade noch an diese Zeil ein, weil der Beweis nämlich mit dieser Bemerkung auch schon zu Ende geht. Wir haben jetzt das E konstruiert, wir haben das C konstruiert, wir haben überprüft, dass das C gerade diesen Rahmen hat und wir haben überprüft, dass das C diese Krümmung hat und wir haben überprüft, dass die Skalarprodukte EI und CI das richtig vorzeichnen haben.

Wir sind also sozusagen fertig mit diesem Hauptsatz der Kurventheorie. Uff, langer Beweis, jetzt können wir durchatmen, jetzt wird es wieder ein bisschen leichter. Schauen Sie das noch ein bisschen an, wenn nicht, die Tafel durch und dann kommen wir zum nächsten Thema.

Okay, alle tief durchgeatmet, gut. Kommen Sie zurecht mit diesem Beweis? Das ist auch der längste Beweis, der heute vorkommt. Und es gibt noch einen, der kommt in ein paar Minuten, der ist aber ein bisschen kürzer und viel, viel anschaulicher, weil es dann um weniger Vektorfelder geht,

nämlich nur um eins und Kurven mit weniger Termen, die wir betrachten müssen. So, jetzt machen wir das anschauliche oder zwei anschauliche Dinge. Und zwar, als erstes überlegen wir uns mal ganz kurz, wenn wir eine Kurve haben, die geht auch so durch den Raum, sagen wir mal durch den Rh2. Ja, wir sind Kurven in der Tafel-Ebene. Wenn es mit dem Rhn mit Franné-Kurven ein bisschen viel war,

machen wir es jetzt ganz einfach und sagen, wir kümmern uns mal um Ebene-Kurven. So, mal sehen, was hier passiert. Wir nehmen das Thema Parallel-Kurven. Ein ganz kurzes Thema, nimmt nur ein paar Minuten Anspruch.

Und das geht so. Stellen Sie sich vor, Sie haben da so eine schöne Kurve, die wollen Sie betrachten. Hier ist Ihre Kurve C. Und jetzt sagen Sie, ich mache jetzt Folgendes, ich gehe von der Kurve weg und gehe, ob das hier in diesem Fall so geschickt war, mit diesem Wendepunkt, sagen wir mal dahingestellt.

Aber ich mache jetzt eine andere Kurve. Die geht so. Die wird hier parallel 1 cm in diese Richtung gehen. Also ich mache jetzt so eine Kurve, die geht mal ein wenig hier lang. Naja, ob das hier gut geht, sagen wir mal dahingestellt. In diesem Fall klappt das gerade, aber das ist nicht so selbstverständlich. Also ich mache jetzt eine Kurve, die soll sozusagen hier hingehen.

Und vielleicht noch mehr. Was meine ich damit, dass ich die hier verschiebe? Ich meine Folgendes, ich nehme den normalen Vektor, oder ich nehme eine ganze Familie von Kurven. So, ich mache jetzt mal mehrere. Und das hier ist C. Jetzt gebe ich dem C meine Richtung,

das geht meinetwegen von links nach rechts. Also Parametrisierung ist so herum. C soll jetzt eine bogenlängenparametrisierte Kurve sein. Schreibe ich vielleicht mal nach, oder zumindest regulär. Aber bogenlängenparametrisiert ist noch besser. Ich mache jetzt Folgendes. Ich mache mal ein Vektorfeld an die Kurve,

das senkrecht dazu ist, das normalen Vektorfeld. Das zeigt dann sozusagen hier hin. Hier ist das Feld nu.

Und wenn ich jetzt das Feld nu habe, kann ich die Kurve betrachten. C plus Konstante mal nu. Es gibt eine andere Kurve. C Strich oder C Stange oder in diesem Fall C D. Also wir definieren mal. Weil das sei C.

L mal C will ich mal schön defensierbar sein. Sagen wir mal glatte Kurven. Obwohl in diesem Fall brauche ich nicht mehr als eine Ableitung für das, was ich vorhabe. C1 von einem Intervall I. Vielleicht alle Zahlen in die L-Zahlen. R hoch 2.

Also C geht von I nach R hoch 2. Und jetzt will ich auch noch, dass die Kurve regulär ist. Okay. Und jetzt sage ich mal, ich gebe mir manchmal einen Abstand vor. Und dieser Abstand soll D sein. Und deswegen ist das jetzt D.

D wie Distanz. Und dann ist diese Kurve C D. Ich werde sie definieren. Also Definition. Und die Kurve C D.

Und die definiere ich als C. C plus D mal Nü. Und Nü ist wie gesagt der normale Vektor, wie immer.

Insbesondere für Bogenlängen-Promptose-Kurven. Das ist einfach der normale Vektor 90 Grad nach links gedreht. So das ist jetzt C D gleich C plus D mal Nü. Hier wird nicht differenziert. Hier wird einfach die Zahl D malgenommen mit dem Vektor Nü.

Und das kann ich auch umschreiben, wenn ich so will. Aber ich lasse mal diese Form. C plus D mal Nü ist der parallel verschobene Parallelkurve. Kurve heißt Parallelkurve.

Oder Offsetkurve.

Jemals zu C. Okay, ganz simple Konstruktion. Das ist aber ein gutes Denkbeispiel, für das wir später noch kommen. Später werden wir noch jede Menge von Kurven nehmen. Und die in bestimmte Berichtungen variieren oder verschieben. Und hier können wir schon mal überlegen, wie das so geht. Okay, also ich habe nichts anderes als eine Kurve genommen.

Den normalen Vektor, der war schon da. Der ist bei regulären Kurven hier immer da. Und ich habe gesagt, längst dieses normalen Vektor, das verschieben wir jetzt. Wir bekommen sozusagen eine ganze Familie von Kurven. Damit ist eine neue Kurvenschale definiert. Auf ganz simple Weise. Und jetzt überlegen wir uns mal, zum Beispiel ist die wieder regulär? Ist die wieder eine schöne Kurve?

Kommt da vielleicht ein Knick rein? Oder geht das einfach ein Punkt zusammen? Oder was passiert da? Also die erste Überlegung ist, wenn C regulär ist, muss die Kurve CD nicht auch wieder regulär sein. Denn wenn Sie zum Beispiel einen Kreis nehmen, eine Konzerte Krümung. Und dann diese Offset Kurven betrachten, haben Sie Kreise mit anderer Krümung.

Und wenn Sie gerade D gleich den Radius nehmen, dann kommt daraus ein Punkt. Also CD muss nicht wieder regulär sein.

Und wenn Sie sagen, C von T ist gleich Kreis von Radius, also R mal Kosen aus T, Sinus T, also Kreis von Radius R.

Und wenn ich die Formel so geschrieben habe, wie ich es gedacht habe, wird diese Kreismathematik im positiven Sinne durchlaufen, also gegen den Uhrzeigersinn. Und hier kommt dann raus das CD, also die normalen, zeigt nach innen für diese Orientierung.

CD ist Kreis von Radius minus D.

Insbesondere für R gleich D kommt raus, das ist ein Punkt. Ja, und da passiert dann eben nichts. Also insbesondere ist also für R gleich D nicht regulär.

Für die anderen Ds ist es allesamt regulär. Also die anderen Ds sind alle gut, nur D gleich R, das ist wiederum schlecht. So, jetzt kleine Übungen. Das ist eine ganz kleine Entspannungsübung für Sie.

Überlegen wir uns mal, was ist die Ableitung dieser Kurve D, also CD. Und was kommt sozusagen raus als Kriterium an die Regularität. Also gegen eine Kurve C gleich C0 sozusagen. Und die ist regulär. Und Sie kennen die Krümmung an allen Punkten. Unter welchen Bedingungen ist dann die Kurve CD wieder eine reguläre Kurve?

Vielleicht sollten wir erstmal belegen, was die Ableitung von CD ist, von der Parallelkurve. Wenn wir die Ableitung von C schon kennen. Vielleicht hat das eine ja was mit dem anderen zu tun. Also erstmal eine Bemerkung oder Rechnung. Oder man könnte es auch als Satz formulieren, aber das passiert sozusagen nicht.

Deswegen kann ich gleich mal als Bemerkung hinschreiben. Bemerkung CD'. Also die Ableitung in die Zeitrichtung ist ja, wenn Sie das hier angucken. Na gut, da steht Cstrich plus D mal Nüstrich.

Und an dieser Stelle kommt die Frenet-Gleichung. Würden Sie auch zwei anwenden. Wie war denn auch gleich die Frenet-Gleichung? Im R auch zwei, da war es so die Kurve ist meinetwegen Bogenlänge parametrisiert. Dann kommt da raus Cstrich ist ein Vektor der Länge eins. Und C2strich war gerade proportional zur Nü.

Kappa mal Nü. Und Nüstrich, da gibt es auch eine Richtung, auch eine Beziehung. Das ist wiederum eine andere Funktion mal sozusagen Cstrich. Und zwar minus Kappa. Also meinetwegen so was.

Eins minus Kappa D mal Cstrich. Sagen wir mal für, jedenfalls für Kurven, sagen wir mal für BLP-Kurven C. Insbesondere regulär.

Das heißt, für solche Kurven sehen wir schon, wenn wir so eine Bedingung hinschreiben. Eins minus Kappa mal D. Dann ist das hier regulär. Also das Cstrich war immer ungleich Null. Das heißt, wenn diese Klammer nicht Null ist, ist doch dies hier regulär. Also das heißt, Folgerung.

Für eins minus Kappa D ungleich Null ist Cstrich oder C, ja, ist Cdstrich ungleich Null. Und deswegen ist Cd regulär.

Und genau genommen ist es so, dass dies nach Bogengängen parametisiert ist, war eigentlich nicht so furchtbar wichtig. Denn ob eine Eins steht im Betrag oder was anderes, ist nicht so besonders wichtig. Denn es gilt ja sozusagen das Cdstrich gleich eins minus Kappa D mal Cstrich.

Das ist niemals Null. Und deswegen ist dies hier die einzige Größe, die dies zu Null machen kann. Ja, und dann haben wir sozusagen ein Kriterium für die Regularität dieser Gleichung.

Als nächstes können wir uns vielleicht mal fragen, das sehen wir beim Kreis schon. Ich mache mal das zweite Diagramm mit dem Kreis. Wenn ich also hier diesen Kreis hinmale, meinetwegen so rum parametisiert, hier sind die normalen Vektoren.

Und hier sind jetzt die Parallelkurven, sind natürlich Kreise mit kleinem Radius. Erste Frage, ganz simpel unter diesem Beispiel auch so im Kopf zu brechen, ohne dass wir es groß nachdenken müssen.

Wenn Sie die Länge vom Kreis des Radius R betrachten, wie groß ist der? 2Pr. Also die Länge von diesem Kreis ist vollkommen ganz klar. Wenn dies hier R ist, der Radius, ist dies 2P mal R. Wenn Sie Cd betrachten, Kreis von Radius R minus D, ist die Länge natürlich 2P mal R minus D. Ganz klar.

Insbesondere, das ist also die interessante Beobachtung, wenn Sie die Längenänderung betrachten, nehmen wir an, Sie gucken dies als ganze Familie von Kurven an, dann haben Sie auch eine ganze Familie von Längen. Geht los bei der Länge von der Kurve C ohne Variation, also mit D gleich Null. Und dann ändern Sie hier die Länge.

Für eine gestoßene Kurve, für eine nicht gestoßene Kurve, wie auch immer. Irgendwie ändert sich die Länge, wenn Sie diesen Parameter ändern, okay? Und wir wollen betrachten, das machen wir heute auch um eine, also diese Form eine weitere. Was ändert sich an der Länge der Kurve? Wenn Sie die Kurve verschieben oder mehr drehen oder die Krümmung verändern oder solche Dinge.

Kurz wenn Sie an der Variation dieser Kurve betrachten, an der ganze Schale von Kurven, an der Familie von Kurven, zum Beispiel parallel verschobene. Wie ändert sich dann die Länge? Ja, das ist die Frage, die uns umtreibt. Und hier im R2 ist die Frage noch relativ leicht. Da sehen Sie schon, naja, die Länge, die hängt irgendwie ab von der Krümmung. Wenn die Kurven parallel sind, so wie hier, an diesem Stück ändert sich wahrscheinlich nicht viel.

Hier ändert sich relativ viel. Also noch ein Diagramm für den noch offensichtlicheren Fall, dass wir eine Gerade betrachten, etwa so. Und eine parallele Familie hier daneben. Meinetwegen parametrisiert über dem Intervall von 0 bis 1 in einer bestimmten Orientierung, zum Beispiel dieser hier.

Und dann haben Sie dieses Vektorfeld dieser Richtung von konstanter Größe. c ist hier und cd ist hier.

Also die Frage, ich formuliere es erstmal als Frage und Sie sagen mir dann die Antwort, zumindest im R2. Also, Frage. Wie hängt die Länge?

In der Kurve wird ct, c, mit diesem Parameter d, von d.

Mit anderen Worten, wenn ich Kurven von endlicher Länge nehme, zum Beispiel gerade über ein ähnliches Intervall parametrisiert, oder geschlossene Kurven von 0 bis 1 parametrisiert, oder von 0 bis irgendwas. Und dann mache ich parallel Kurven, also eine Familie von Kurven. Wie ändert sich dann die Länge als Funktion von d? L von d ist jetzt eine Funktion von einer reellen Variable.

Und ich will wissen, wie die von der Kurve abhängt. Und erstmal die Intuition sagt uns schon, hier wo die Krümung der Kurve c verschwindet, also eben haben wir Richtung Krümung, normalen Vektor und sonst gibt es da nichts, wenn die Krümung verschwindet, ist die Länge wahrscheinlich dieselbe. kappa gleich 0 impliziert, Länge ändert sich gar nicht.

Hier, wenn die Krümung positiv ist oder sowas, ändert sich die Länge der Kurve. Diesmal bei positiver Krümung wird die Länge in diese Richtung kleiner, in diese Richtung größer. Also steht da irgendwie ein Term, Änderung der Länge muss sein so eine Funktion, die hängt ab von der Krümung der Kurve, oder dessen Integral, so ist es in der Art.

Das als Motivation. Intuitiv also muss da eine Formel stehen, die genau das tut, und genau das kommt dann eben sozusagen raus.

Während ich den Haft putze, kann ich ja schon mal versuchen, eine Formel zu erraten, die genau dies tut.

Und, so sind sie drauf gekommen. Wenn nicht, rechne ich mal sozusagen für Sie vor, wie die Formel aussieht.

Noch eine ganz kurze Bemerkung, wenn dieses Term 1 minus kappa d, da habe ich ja gesagt, der soll nicht 0 sein, sonst wird die Kurve vielleicht nicht regulär, vielleicht schon, aber das kann ich zumindest nicht garantieren, eigentlich werde ich das eigentlich nie haben, aber wenn 1 minus kappa d, wenn das eine positive Zahl ist, dann zeigt diese Kurve cd sogar in dieselbe Richtung,

und ansonsten zeigt sie in die andere Richtung. Also bei diesem Kreisbeispiel, da habe ich jetzt ein paar Kurven gezeichnet, die sich auf einen Punkt zusammenziehen, wenn sie das d noch größer machen würden, dann wäre die Kurve sogar wieder regulär, weil diese Kreise würde sich zusammenziehen, und dann würde sie wieder auseinander gehen, und so eine Kurve in der anderen Richtung. Aber bleiben wir mal bei 1 minus kappa d ungleich 0, für alle Zeiten.

Ja, was denn jetzt die Länge von cd? Also es gilt, eine Bemerkung über die Länge, über,

jetzt will ich die Länge von dieser Kurve cd betrachten. Nehmen wir mal, meint ihr in dem Fall,

dass z.B. das Intervall i endlich ist, sonst macht es keinen besonders großen Sinn Gesundheit. Dies hier ist gleich, integral, von, ja sagen wir mal c und cd, gehen von einem Intervall i, in den r auch 2, und am besten i,

soll endlich eine Länge haben, i gleich a bis b. Was ist jetzt die Länge von cd? Na gut, das ist ja nichts anderes, als das Integral von a bis b, über dies hier c-Strich, oder wenn sie so wollen, im Kleingedrucken c-Strich von s ds.

Und wie hängt jetzt c-Strich von c ab? Das haben wir vorhin schon ausgerechnet, c-Strich kann man einfach schreiben als, oder cd-Strich, ich würde sagen, hier fehlt nur ein d, cd-Strich, weil genau, 1 minus kappa d mal c-Strich,

also L von cd, gleich Integral von a bis b, 1 minus kappa d,

Betrag c-Strich, jeweils als Funktion von t, also integriert über dieselbe Variable, die hier steht, und hier. Ja, und jetzt sehen wir, na gut, dies hier kennen wir schon, wenn z.B. c-Bogenlänge promptisiert war, kommt irgendwie was Konstantes raus,

und ansonsten bleibt die Form ebenso da stehen. Das d ist jetzt eine konstante Funktion, und das kappa steht also sozusagen einfach in dem Integral herum. Das heißt, da haben wir ja, das, was hier steht. Und ich ziehe mal das hier heraus, nehmen wir mal einfach den Fall an, dies hier ist ein a,

dass dieser Time immer positiv ist, der ist immer positiv oder immer negativ für eine reguläre Kurve cd. Das heißt, ich kann jetzt hier sagen, das ist gleich Integral, also a bis b

über c-Strich, plus dann eben dieser Time hier. Das d kann ich vielleicht noch rausziehen, dann habe ich noch kappa hier stehen, d mal kappa mal c-Strich,

jeweils als Funktion von t, also wenn Sie so das Integral dazu haben wollen, können Sie ihn wie gesagt jedes Mal reinschreiben, dt, und hier ist noch ein t, und hier ist noch ein t, und im d steht kein t,

das ist eine konstante Funktion, und jetzt steht hier sozusagen Integral c-Strich, also meinetwegen dt, die Länge der Kurve c, das heißt die Länge der Kurve c-Strich oder cd ist gleich die Länge der Kurve c,

plus einen anderen Term, der irgendwie das Integral der Krümung ist, oder Integral der Krümung mal Geschwindigkeit, wenn Sie so wollen, kappa mal c-Strich. Das heißt, wir haben sozusagen eine Beobachtung aufgestellt,

durch simpler Rechnung, die werden wir später noch brauchen können, wenn wir die Kurve variieren, und in diesem Fall variieren wir sie so, dass wir sie parallel verschieben, es gibt noch andere Variationen, wenn wir die Kurve so variieren, dass wir sie parallel verschieben, ist hier eine neue Länge, gleich die alte Länge, plus eine Änderung, und die Änderung ist gerade gegeben durch die Krümung der Kurve an diesem Term,

oha, ich wieder ein Minuszeichen, für den Fall, dass dies hier immer positiv ist, dass ich also sagen, den Betrag hinschreiben kann, sagen wir, sei 1 minus kappa d

größer 0. Also kümmern wir uns mal um den einfachsten Fall, das ist nicht der einzig mögliche Fall, aber der einfachste Fall, dass c eine reguläre Kurve ist und cd auch eine reguläre Kurve ist, zumindest für manche Werte von d, dann können wir die Länge von d folgendes aussagen, die Länge der neuen Kurve

ist die Länge der alten, plus irgendwie ein Term, der irgendwie von der Krümung abhängt, je mehr Krümung, desto mehr Änderung der Länge, in diesem Fall gerade mit negativen Vorzeichen, aber das Vorzeichen ist nicht so wichtig, sondern wichtig ist die Tatsache, dass das Integral der Krümung die Änderung der Länge angibt, ganz wichtig Beobachtung, also es gibt nämlich,

und das ist die entscheidende Beobachtung, es gibt zwei Arten, eine Kurve länger zu machen, oder kürzer zu machen, erstens mal, wenn die Kurve hier so ist, sie können sie zusammen schieben, und die Enden irgendwie verkürzen, dann wird sie natürlich kürzer oder länger, und zweitens, sie können sie irgendwie gerade machen oder weiter ausgebeult, dann wird sie auch länger oder kürzer. Das ist eine ganz entscheidende Beobachtung,

die sehen wir hier im R auch 2, und die wird dann genau in dieser Form im R auch n wieder auftauchen, die wird auf manche Faltigkeiten wieder auftauchen, das wird dann in der sogenannten Variation von Kurven wieder auftauchen, und bei den wichtigsten Kurven, die wir studieren, der sogenannten geodetischen, wird das auftauchen, deswegen ist dieses Prinzip extrem wichtig, also es ist ein einfaches, intuitives Prinzip, aber das müssen Sie verstanden haben,

weil wir das später sehr gut brauchen können. Also nochmal, sozusagen zum Mitschreiben, wenn ich zwei Kurven habe, ich nehme mal eine Kurve, hier ist eine Kurve, und die geht irgendwie durch den Raum, meinetwegen mal gerade.

Es gibt jetzt zwei Möglichkeiten, wie ich diese Kurve die Länge ändern kann, und ich kann sie natürlich in die Länge ziehen, dann ändert sich logischerweise die Länge, also die Punkte, die durchlaufen werden, sind dieselben, und am Ende kommt noch was hinzu, trivialerweise eine Kurve Länge zu machen, ist aber nur eine von zwei Weisen, die es überhaupt gibt, also wenn ich die Kurve an den Enden variiere,

wird sie länger oder kürzer, klarer sagen. Zweite Beobachtung, und die ist schon etwas weniger trivial, wenn ich die Kurve, also das ist natürlich ein Ding von endlicher Dicke, damit ich hier was zum zeigen habe, aber wenn ich jetzt diese Kurve nehme, und sie ist jetzt meinetwegen gekrümmt,

und wenn ich diese Krümmung ändere, also ich halte meinetwegen die Endpunkte fest, die sind hier haltig fest, und hier schiebe ich die Kurve so ein wenig, und die Kurve wird gerader, dann wird sie vielleicht, also wenn ich sie aufwickele, kürzer. Also hier ist die Krümmung, in diesem Fall nach oben, wenn Sie die Kurve mal parametrisiert denken, als im Uhrzeigersinn parametrisiert,

also das heißt in diesem Fall von Ihnen aus gesehen nach, von links nach rechts. Wenn ich also sozusagen die Krümmung ändere, wird die Kurve kürzer. Wenn ich die Krümmung vergrößere, wird sie länger. Offensichtliche Beobachtung im R auch 2, stimmt aber genauso im R auch N,

und ist eine ganz wichtige Beobachtung, die wir immer mal brauchen können. Oder in dieser Note 2, mit diesen blauen und roten Kurven, werden wir mehrere Kurven auf einmal betrachten. Also betrachten wir mal manchmal eine Kurve, und verschiedene Variationen, manchmal mal eine gekrümmte Kurve. Also stellen Sie sich vor, Sie haben jetzt eine blaue Kurve, die Sie gerade besonders interessiert,

und diverse Variationen, die kurz oder längre sind. Machen wir mal ein paar gekrümmte Kurven hier hin. Okay, hier haben wir ein paar gekrümmte Kurven. Naja, das ist vor allem jetzt ein bisschen

Fingerspitzengefühl. Die blaue ist die originale Kurve, und die roten sind Variationen. Nicht nur parallel Kurven, diesen verhalte ich in einem Punkt fest. Also jetzt haben wir eine Variation, die keine parallel Verschiebung ist, sondern eine andere Variation, aber Sie werden das selbe Prinzip wieder sehen. Ich werde jetzt eine von diesen roten Kurven, zum Beispiel, weniger krumm machen, so zum Beispiel, und dann ist die weniger krumm, und plötzlich wird die Länge,

der oberen Kurve in diesem Fall, weniger. Also Beobachtung. Änderung der Länge hat zu tun mit dem Integral der Krümmung über die gesamte Kurve, von links nach rechts. In diesem Fall zum Beispiel ist die Krümmung null, und die Kurve ist am kürzesten, und wenn ich sie länger mache, so wie zum Beispiel die andere Kurve, dann wird die Krümmung groß, und die Länge auch.

Also das ist die erste Beobachtung. Krümmung und das Integral darüber bestimmt die Länge einer Änderung. Das Vektorfeld sehen Sie jetzt nicht, aber das Vektorfeld wäre in diesem Fall zum Beispiel die Vektoren, die just senkrecht nach oben zur Decke zeigen. Okay, dieses Prinzip nennt man Variation von Kurven, Variationsprinzip, und das entstehende Vektorfeld würde man Variationsvektorfeld nehmen.

Und ob diese Kurven parallel sind oder nicht, war wie gesagt für diese Argumentation völlig belanglos. Ich kann die Punkte an beiden Enden festhalten, die gehen durch denselben Punkt links und denselben Punkt rechts, und trotzdem stimmt dieses Argument immer noch, dass die Variation, die Änderung, von der Integralität der Krümmung abhängt, und vielleicht von dem, ob ich sie am Ende länger ziehe oder kürzer mache.

Und sonst von nichts. Und dieses simple Prinzip, der Variation von Kurven, das ist so mächtig, das können wir auf allgemeine Mannigweichkeiten gebrauchen und wieder formulieren. Also wir kommen dann später zu Flächen, gekrümmende Dinge im RN, heute aber noch nicht. Heute kommt aber dieses Prinzip, was wir hier sehen, Längenänderung hängt irgendwie ab von

diesen zwei Dingen, Endpunkten und Krümmung. Und das sehen wir jetzt wieder. Und das können wir später für die sogenannten geodatischen gut gebrauchen. Also analog oder ähnlich. Nochmal.

Danke, hier fehlen die. Genau, also ähnliches gilt im RN für

beliebige Variationen von Kurven. Vielleicht muss ich noch ganz kurz sagen, was meine ich mit einer Variation, einer Kurve. Also kurz, ich meine, eine Kurve

ist erstmal gegeben seit C. Also sei C von einem Intervall I definiert in den RN regulär. Denken Sie mal entwegen an Bogenlängenparameterisierte Kurven und schön glatt.

Erstmal eine Definition der Variation, also eine Familie von Kurven. C Epsilon.

Epsilonelement einem anderen Intervall, nennen wir es mal J von I nach RN von glatten Kurven heißt

Variation von C. C wenn

J ist vielleicht meinetwegen irgendwas Minus W bis W 10 Null gleich C ist.

Das ist eine Variation von Kurven. Im Folgenden will ich stetige und sogar differenzierbare Variationen betrachten. im Folgenden sei

die Abbildung Epsilon und T C Epsilon von T glatt. C Epsilon soll für jedes feste Epsilon, zum Beispiel Epsilon gleich Null, kommt dann eine Kurve raus und die ist auch schon glatt. Die hat so einen Tangentialvektor, die schlängt

durch den Raum und so weiter. Und wenn ich das Epsilon ändere, habe ich eine andere Kurve. Für jedes Epsilon kommt eine Kurve raus. Wenn ich sage, das sei glatt ein Epsilon, dann hängt natürlich diese Kurve stetig von diesem Epsilon ab. Und sogar differenzierbar. Das ist die Variation eine Kurve. Und das nächste ist das Variationsvektorfeld.

Also also nochmal Definition Variations von

oder der Familie C Epsilon ist V von T hängt nicht von Epsilon ab gleich D nach D Epsilon

an der Stelle Epsilon gleich Null von C Epsilon von T. Ungewohnt, denn diese Kurve hängt vom T ab als Parameter und meist differenzieren wir nach T. Das tun wir jetzt nicht. Wir lassen das T fest und differenzieren nach der anderen Variable. Okay, kommt sozusagen raus

je nachdem, was wir machen. Hier ist eine Kurve C gleich C Null. Und hier haben wir, ich lasse mal für diese Betrachtung die Endpunkte fest. Das muss nicht so sein, aber das macht das Ansehen leichter. Hier habe ich jetzt für

verschiedene Epsilons verschiedene Kurven. So. Hier ist jetzt die C Epsilon. Und das Variationsvector-Feld ist jetzt so, dass ich Folgendes mache. Ich betrachte genau einen Punkt T unter diesem Parameterwert. Und dann habe ich verschiedene Punkte hier

und bekomme sozusagen eine Kurve, die hier lang geht. Das heißt, das Variationsvector-Feld wird hier lang zeigen. Muss nicht senkrecht sein, kann aber senkrecht sein. Und wenn es so wie hier, dass ich sage, die gehen alle durch den selben Punkt,

wird das Feld sogar Null sein an den Randpunkten. Also Sie denken so über das Variationsvector-Feld V nach. Das ist jetzt eine Variation, eine Kurve. Und die Frage, die uns jetzt interessiert ist, wie ändert sich die Länge dieser Kurve als Funktion dieser Variation?

Oder anders ausgedrückt, wenn Sie die Länge von C schon kennen und so eine Familie C Epsilon haben. Sag mal, für kleine Epsilon. Wie ändert sich dann zumindest in der ersten Ableitung diese Epsilon? Und dafür gibt es dann eine Formel, die kann ich noch hinschreiben und

mit dem Beweis müssen wir mal sehen, ob wir noch hinkommen, aber die Formel ist extrem nützlich. Die ist dann einfach folgendes. Es gibt dann die Aussage. werde ich nächstes Mal noch beweisen und als großen Satz hinschreiben. Die Änderung

D nach. D Epsilon. L von C Epsilon. Jede von diesen Kurven hat eine Länge, zumindest dann, wenn sie eine Länge hat und endlich und so weiter. Und jetzt nehme ich die Änderung der Länge nach diesen Parameter, den nach Epsilon sozusagen. Und dann kommt daraus ein Term, der hängt von genau zwei

Dingen ab. Genau wie diese Kurven, die ich Ihnen vorgeführt habe. Erstens von der Änderung an dem Endpunkt, ob ich die Endpunkte auseinanderziehe oder zusammentue. Das ist der Endterm. Und dann von der Krümmung in der Mitte. Das ist der zweite Term, den Sie sehen werden. Also da steht es hier. Zweitens einmal ein Skalarprodukt

von diesen hier. Das Skalarprodukt von V dem Vektorfeld. V und C Strich. An den Punkten a bis b. Endpunkt des Intervalls. Sozusagen, wenn ich am Ende des Intervalls hier und da

die Kurven die Länge ziehe. Also wenn das Vektorfeld da nach unten und da nach oben zeigt, dann werden die Kurven natürlich länger. In diesem Bild hier gerade nicht, aber das kann ich so haben. Und dann Minus am anderen Term. Integral von a bis b. Ein Term, der von der Krümmung abhängt. In diesem Fall wird es der Term sein Skalarprodukt,

das Vektorfeld und der zweiten Krümmung, der zweiten Ableitung von C. Zumindest an der Stelle Epsilon gleich 0. Also wenn ich das hier differenziere und ich sage

das hier an der Stelle Epsilon gleich 0. Wenn ich sage an Epsilon gleich 1 geht es auch, dann müsste ich C1 schreiben und so weiter. Aber Epsilon gleich 0 kommt gleich diese Formel heraus. Und diese Formel, diese Aussage, alles was hier steht, ist nicht mehr und nicht weniger, als was ich Ihnen gezeigt

habe. Hier ein Term, Änderung an den Enden. Wenn Sie sozusagen das Vektorfeld proportional zu C Strich haben bei b und proportional zu Minus C Strich bei a. Also hier an der rechten Seite nach rechts zeigen und an der linken Seite nach links zeigen. Hier ist b und hier ist a. Wenn bei a Sie nach Minus C Strich

zeigen und bei b nach Plus C Strich, dann wird die Kurve natürlich länger und das ist die erste Beobachtung. Und da kommt dieser Term her. Und genauso gut, wenn Sie sozusagen die Kurve nach unten zeigt, dann steht auf diesem C Strich steht dann das Vektorfeld gerade senkrecht und es gibt keine Änderung der Länge. Das besagt diese Term, die hier steht.

Und der Term, der hier steht, besagt das mit der Krümmung. C2 Strich ist wesentlich die Krümmung. Wenn die Krümmung in dieselbe Richtung zeigt wie das Variationsvektorfeld, wird wegen der Minus die Gesamtlänge kleiner. Also hier ist die Krümmung zeigt nach oben. Und wenn das Vektorfeld auch nach oben zeigt, dass die Kurve so nach oben biegt, dann wird sie kürzer.

Und wenn das Vektorfeld die Kurve nach unten verschiebt, wird sie länger. Das steht hier in diesem Term drin. Okay, das ist sozusagen die Aussage über die Variation von Kurven. Ich könnte Ihnen einen Beweis hinschreiben, ich soll nochmal ungefähr 5 Zeilen differenzieren. Also noch so viel Geduld.

Ansonsten zeige ich Ihnen das nächste Mal. Warten Sie. Ich zeige Ihnen dieses nochmal einmal. Ich mache mich auch ich werde mich auch beeilen. Also ein Beweis.

So, der Beweis in Kurzform geht im Wesentlichen so.

Diese Aussage kann ich formulieren, einmal als Aussage. Und deswegen ist es Beweis. Da muss ich nichts tun als einfach hier die Länge differenzieren. Also D nach D Epsilon bei Epsilon gleich 0 von L von C Epsilon

ist gleich, ich schalte einfach mal die Länge hin, gleich D nach D Epsilon von diesem Integral. Das ist die Längesintegral von der Ableitung Strich, also Wurzel aus C Epsilon Strich

C Epsilon Strich. Okay, das Dt lasse ich weg, weil das ja das einzige Argument hier ist, was noch frei ist. Und wenn ich das hier ableite, das kennen Sie schon, Ableitung von Wurzel gibt 1 durch 2 mal Wurzel mal diesen Term. Also erstmal kann ich

Differenzation und Integration vertauschen, weil die Funktion im Inneren stetig ist, differenzierbar und wir auf einem kompakten Intervall sind, von A bis B. Das heißt, ich habe das Integral von A bis B von 1 durch 2 mal Wurzel.

Ich brauche gar nicht hinzuschreiben, was da drin steht, weil die im Folgenden verschwindet. Sagen wir mal für Bogenlängenparameterisierte Kurven oder so. Also, ich stoppe jetzt mal hier dazu. Seid C B L P. Dann muss ich in der Rechnung gleich

keine großen Terme reinschreiben. Also für Bogenlängenparameterisierte Kurven geht die Formel, die da steht. Einzig zweimal Wurzel mal zweimal Skalabdruck mit dem Term abgeleitet. C Epsilon Strich D nach D Epsilon

C Epsilon Strich und dann muss ich noch irgendwie die Wurzel einbauen. Wo war das? Hoch ein halb oder so.

Genau. Und dies D nach D Epsilon an der Stelle Epsilon gleich 0 von C Epsilon Strich, das war nach Definition gerade dieses Vektorfeld V von T. Ich kann dann sozusagen hier ein V von T reinschreiben. Das heißt, ich habe das Integral da stehen. Von A bis B, von fast dem Term, den ich habe.

Nämlich also sagen diese zwei und diese zwei kurz sich weg. Und dies hier ist wegen Bogenlängenparameterisierung gleich 1. Ich habe also da stehen D nach Dt V also das Strich geht an das V.

Achso, vielleicht soll ich noch eine Sache sagen. Hier ist D nach D Epsilon D nach Dt, ja? Strich ist D nach Epsilon, D nach Dt. Jetzt gibt es den Satz von Schwarz, der sagt, Ableitung darf man vertauschen, wenn alles schön stetig ist. Also D nach D Epsilon, D nach Dt ist gleich D nach Dt, D nach D Epsilon. Ich darf also diesen Strich D nach Dt und dies D nach D Epsilon andersrum

schreiben. Ich kann also sozusagen das so schreiben. V Strich oder kann auch gleich dieses schreiben. V C Epsilon Strich D nach Dt V ist V Strich. Und jetzt ziehe ich den Term ab, der fehlt. Minus V

C Epsilon Doppelstrich nochmal mit Dt integriert. Ok, also sozusagen dies hier ist nach dem Skala abgedruckt, das hier, außer dass diese Term fehlt, nämlich sozusagen das Ableitung kommt das hier raus, bis es den einen fehlenen Term und wenn ich jetzt hier aufintegriere, dann steht da gerade

Integral, Ableitung Dt und das ist natürlich genau der Term, der eben integral steht. Integral und Ableitung hebt sich weg und da steht also V C Epsilon Strich zwischen A und B Minus, das Integral hier rechts verschwindet nicht, Integral

von A bis B von dem Term hier V C Epsilon 2 Strich und zwar an der Stelle, hier steht es sozusagen an der Stelle Epsilon gleich 0 also

und deswegen kann ich das Epsilon hier entfernen und das steht dann einfach C ohne Epsilon und das war gerade die Formel die ich da rechts behauptet habe Ende des Beweises Ok, und das zeigt uns sozusagen wie die Formel

für die Variation der Länge an das Vektorfeld ist abhängend von ersten den Randpunkten und zweitens der Krümung im Inneren. So, das war es für heute, vielen Dank fürs Zuhören, bis zum nächsten Mal.