Präsentiert von OpenLearnWare, die Plattform für Lernmaterialien an der TU Darmstadt. So, ein wunderschönen, guten Morgen zusammen. Willkommen zurück zur Vorlesung Differentialgemetrie.

So, kurzer Überblick, was bisher geschah. Wir haben uns jetzt mit Kurven beschäftigt, Kurven im R auch 2, Kurven im R auch n. Fangen wir weiter. Und letztes Mal haben wir uns beschäftigt mit dem Thema Krümmung, wie sich eine Kurve, die sich durch die Gegend krumpt und eben nicht gerade ist, von der Graben unterscheidet. Wir haben das quantifiziert, wir haben eine präzise Größe, die Krümmung, eine Kurve kennengelernt.

Und damit können wir Kurven im R auch 2 gut unterscheiden. Und all das können wir jetzt. Heute geht es weiter. Wir machen dasselbe Konzept nochmal im R auch 3 und im R auch n. Und außerdem gibt es noch eine Formel, wie man die Krümmung von nicht-Bogenlängen-parameterisierten Kurven ausrechnet. Ein nütziges Hilfsmittel, das hatte ich Ihnen letztes Mal noch versprochen.

Kleine Wiederholung zu dem, was wir bisher gesagt haben, weil wir die Notation brauchen. Und was sich heute ein klein wenig ändern wird. Also Wiederholung. Was wir schon wissen,

regulär parametrisierte Kurven von I nach R auch 2 können wir unparameterisieren. Also wir kennen die Bogenlängenparameterisierung. C Strich ist vom Betrag Konstant 1.

Das Konzept der Bogenlängen kennt wir bestens. Das heißt einfach die Kurve hat Ableitungsvektor, der der Länge nach immer genau gleich 1 ist. Was wir auch noch kennen, ist der normalen Vektor.

Nü gleich J C Strich.

Und hier war J die Rotationsmatrix, die 90 Grad nach links in die Ebene dreht. Das hier war für Kurven im R auch 2. Also für C von I nach R 2.

J 1 0. Dies hier ist die Drehmatrix 90 Grad oder genau genommen einer der zwei Drehmatrixen. Wenn ich die Vorzeichen ändere, habe ich auch eine Drehmatrix. Ich nehme jetzt gerade diese hier.

Und für solche Kurven haben wir also aus der Geschwindigkeit auch einen normalen Vektor gemacht. Und dann haben wir zwei Vektoren im R auch 2. Zwei Vektoren der Länge 1 sind senkrecht aufeinander und bilden deswegen eine Otto-Konal-Basis, sogar Otto-Normal-Basis. Also was wir somit auch noch wissen,

ist das Tupel, C Strich und Nü ist Basis von R auch 2.

Und wenn Sie schon manche Faltigkeiten kennen, dann werden Sie Vektoren eigentlich an Punkte angeheftet denken. Und deswegen denken Sie diesen Punkt C Strich Komma Nü oder C Strich von T Komma Nü von T angeheftet an den Punkt C von T. Dies sozusagen an diesen zwei Vektoren,

einen Rahmen aus zwei Vektoren an einem Punkt, wobei Sie im R auch 2 natürlich jeden Punkt zu jedem anderen schieben können. Aber denken Sie dies als zwei Vektoren, die am Punkt C von T sind und da gerade senkrecht aufeinander stehen und Länge 1 haben. Das wissen wir also alles längst und damit können wir die Krümmung definieren. Die Krümmung war nämlich einfach die zweite Ableitung

und davon der Anteil in Richtung der normale. Und was wir auch noch wissen, so ein generelles Faktum, wenn C Bogenlänge parametrisiert ist,

das impliziert, dass die zweite Ableitung der Kurve, also sagen die Änderung des Richtungsvektors, die Änderung eines Vektors der Länge 1, die steht dann immer senkrecht auf dem Richtungsvektor selbst. Denn wenn Sie einen Vektor der Länge 1 haben und Sie ändern irgendetwas, aber Sie dürfen die Länge nicht ändern,

dann können Sie keine Ableitung in Richtung des Richtungsvektors selbst haben. Sie können ihn nicht länger oder kurz machen. Sie können ihn nur kippen. Und deswegen ist die Ableitung immer senkrecht. Die steht in irgendeiner Richtung senkrecht zur originalen Richtung und zumindest immer auch zwei. Gibt es nur eine solche Richtung, das ist gerade die normalen Richtung. Das heißt, die zweite Ableitung muss proportional zur normalen sein.

Also das heißt, hier gilt immer C 2' ist senkrecht auf C'. Will sagen an jeden Punkt T. Im Intervall ist C 2' von T senkrecht auf C von T. Also das heißt, alle T Element i gilt C 2' von T.

Steht senkrecht auf C' von T. Und dies benutzen wir jetzt, um die Krümung zu definieren. Die war ja gerade der Proportionalitätsfaktor von dem hier zu diesem Nü hier. Also dann wissen wir auch noch die Krümung.

C 2' gleich kappa mal nü. Und das wäre die Definition der Krümung. Oder eine von vielen äquivalenten Definitionen. Wir können genauso gut sagen, kappa ist das Skalarprodukt aus C 2' und nü.

Da kommt dasselbe heraus. So diese Formel rufe ich deswegen in Erinnerung, denn heute werde ich wieder über Krümung sprechen. Es wird wieder eine große kappa dastehen, aber im R auch 3. Und im R auch 3 ist die Definition dann etwas geringfügig anders. Und auch das hier wird sich so ein wenig ändern. Im R auch 2 ist dies nämlich noch eine Größe, die ein Vorzeichen hat. Die Krümung kann positiv oder negativ sein, je nachdem, welche Richtung Sie die Kurve durchlaufen.

Zum Beispiel wird es so sein, dass eine Kurve, die sich von Ihnen aus gesehen so herumkrümmt, da wird kappa ein positives Vorzeichen haben. Während bei einer Kurve dieser Art wird kappa ein negatives Vorzeichen haben. Speziell im R auch 2. In höherdimensionalen Kurven geht uns das Vorzeichen verloren, wie ich gleich noch zeige. Deswegen ist es gut, sich das nochmal erinnern zu rufen. Was aber irgendwie stimmen wird,

die Krümung wird immer etwas zu tun haben mit der zweiten Ableitung. Grob gesagt, die Krümung ist sozusagen die zweite Ableitung, wenn Sie sich auf den Vektor nicht so genau schauen, bei bogenlängenparamitisierten Kurven. Denken Sie also immer an Krümung als die zweite Ableitung oder ein Physiker würde sagen, die Beschleunigung oder erklären wir dazu die Kraft, die bei einer Beschleunigung auftritt.

So, wenn Sie nun immer aufgefahren, neben dem Fahren mit konstanter Geschwindigkeit, sagen wir Tempo 100 auf der Autobahn, dann ist die Kraft genau proportional dazu, wie schnell Sie um die Kurve fahren. Mit anderen Worten, wenn Sie eine sonstige Kurve nehmen, haben Sie kein Problem und wenig Kraft seitlich wirkt auf Sie. Wenn Sie versuchen, auf der Stelle zu wenden,

aber das mit 100 Kilometer pro Stunde tun, dann werden enorme Kräfte wirken und die werden sehr unangenehme Konsequenzen auf das Fahrvergnügen und die Langlebigkeit des Autos und des Passagiers haben. So, das sind alles Dinge, die kennen wir schon. Ende der Wiederholung.

Und heute, wie gesagt, immer auch drei. Und zuvor noch eine Frage. Hier war noch die Frage, die Krommung ist jetzt so definiert bei bogenlängenparametrisierten Kurven. Also, so als bemerkenswert zu sagen, C muss bogenlängenparametrisiert sein. In dem Fall kann ich die Krommung nämlich einfach ausrechnen,

habe ich C und dann C' ableiten und C' nochmal ableiten, kann ich einfach kappa ausrechnen, nämlich sage, na gut, ich nehme einfach das Skalarprodukt von dem mit diesem und dann bin ich fertig. Und das klappt auch so. Was machen Sie jetzt, wenn Sie die Krommung einer Kurve ausrechnen wollen, aber die ist nicht nach Bogenlänge parametrisiert?

Wie wollen Sie das anstellen? Ich gebe Ihnen irgendeine Kurve, eine schöne Formel oder eine komplizierte Formel, je nachdem, wie es Ihnen passt oder irgendjemand aus einer Anwendung gibt, eine Formel und Sie möchten die Krommung ausrechnen. Kommt Ihnen der Physik sehr oft vor, Sie haben da so einen Partikel, das bewegt sich und die Kraft ist sehr wichtig, für Physiker ist das extrem wichtig, da können Sie das Partikel unterscheiden oder sagen, was sind deren Eigenschaften. Nur die Schwierigkeit ist,

typischweise typische Bahnen sind nicht so, dass die Geschwindigkeit immer eins ist. Weil, wenn Sie mit dem Auto herumfahren, fahren Sie natürlich nicht mit konstanter Geschwindigkeit, das wir auch gar nicht praktisch gerade erklärt haben, sondern die Geschwindigkeit ändert sich. Und was machen Sie also, wenn C nicht Bogenlänge parametrisiert ist? Also, jetzt kommen wir zum Thema Krommung

für reguläre, nicht parametrisierte Kurven.

Ich werde das Wort Bogenlängen parametrisiert und fange einmal als BLP abkürzen. Hier rede ich jetzt aber über Kurven, die nicht Bogenlängen parametrisiert sind. Meinetwegen eine Ebene, machen wir es noch leicht.

C von I nach R2 und die Kurve soll auch schön differenzierbar sein. C zweimal stetig differenzierbar.

Ich hätte gesagt, alle Kurven sollen so differenzierbar sein, wie wir es eben brauchen. Und im Folgenden brauchen wir auch so ein paar Ableitungen, aber das stört uns nicht besonders. Die Frage ist jetzt, was für eine Formel können wir da anbenden

für solche Dinge? Die Kurven sind also nicht so Bogenlängen parametrisiert, aber ich hätte gerne, dass deren Ableitung niemals null ist. Dann kann ich zumindest eine andere Parametrisierung angeben. Mit anderen Worten, ich schließe automatisch Kurven aus, die irgendwann einen Knick haben. Sie haben ja in den Übungsaufgaben schon eroiert. Wenn ich sage, die Kurve ist regulär,

dann kann deren Bild, weil die Menge der Punkte, die sie durchläuft, die kann keine solche Ecke enthalten. Und deswegen kann ich sie umparametrisieren. Das haben wir in der letzten Veranstaltung gesehen, in der letzten Vorlesung. Ich kann sie so umparametrisieren, dass sie nach Bogenlängen parametrisiert ist, aber ich kenne die Parametrisierung a priori nicht. So, und jetzt kümmern wir uns darum,

wie sieht es aus, wenn C nicht in Bogenlängen parametrisiert ist, gibt es dann eine Formel, um Kappa auszurechnen. Und in der Tat, die gibt es. Gesundheit! So, also hier ist folgender Satz, der genau das auslegt.

Sei C Element C2 von I nach R auch 2. Und I ist wie in der bisherigen Vorlesung immer ein Intervall im R auch 1.

Also I können wir nennen als Intervall A bis B. Und wir brauchen in diesem Beweis die Grenzen gar nicht, aber es ist jedenfalls irgendein Intervall mit oder ohne Endpunkte, das ist egal. Offen ist besser, weil wir dann keine Probleme haben, an jedem Punkt zu differenzieren. Sei C also so eine Kurve

regulär, sprich niemals C Strich gleich Null, aber nicht notwendigweise nach Bogenlänge parametrisiert. Ja, dann dann

ist die die Krümmung. Die Krümmung von was? Ich kann entweder über die Krümmung von C sprechen, die ist ja sozusagen dieselbe, egal wie ich sie parametrisiere. Sozusagen die Parametrisierung der einen Kurve gibt eine ganze Äquivalenzklasse.

Eine davon nach Bogenlänge parametrisiert, sogar vorwärts und rückwärts. Und die Krümmung der nach Bogenlänge parametrisierten Kurve in derselben Richtung, die kann ich ausrechnen. Ich nenne das einfach mal die Krümmung von C und einfach die Krümmung. Die ist gegeben durch folgende Formel.

Durch oder zwei Formeln. Die Krümmung war wie gesagt kappa, hängt von dem Parameter ab und ich mache jetzt eine Formel als Funktion von C Strich und C Zwei Strich und deren Ableitung.

kappa von T gleich J, das war diese Rotationsmatrix von oben. J mal C Strich und C Zwei Strich die Skalarprodukt. Das ist auch der Hauptteil. Hier kommt noch eine Normierung in den Nenner. Das ist einfach die dritte Potenz der

Geschwindigkeit. C Strich Betrag hoch drei. Und weil das an jedem Punkt gilt, schreibe ich jetzt genau genommen noch das Kleingedruckte von T im Argument immer dazu. Sie können die Formel natürlich auch ohne T schreiben, dann gilt es einfach allgemein. Das eine Formel für die Krümmung in Abhängigkeit,

wie gesagt von den ersten beiden Ableitungen von C in diesem Punkt und bestimmten Potenzen. Und weil es so schön ist, noch eine andere Formel, die dies hier in Verbindung setzen mit der Determinante von zwei Vektoren. Denn wie ist das, wenn ich einen Vektor habe und in 90 Grad drehe und dann Skalarmultipliziere mit einem zweiten?

Das ist dasselbe wie wenn ich immer auch zwei. Das Skalarprodukt aus diesen beiden Vektoren ersetze durch das die Determinante, so eine Art Kreuzprodukt, also dass es eben immer auch zwei ist und habe ich sozusagen die Determinante aus diesen beiden Einträgen, diesem hier und diesem, ohne das J. C Strich von T

C 2 Strich von T geteilt durch dieselbe Normalisierung C Strich von T hoch drei. Okay. Und das ist jetzt die Krümmung der Kurve C mit einem Worten am Punkt C von T

hat die entsprechende Kurve, die nach Bogenlänge parametrisiert wäre. Die Krümmung Kappa an diesem Punkt. Das nenne ich jetzt Kappa von T. Ich sage nicht, dass dieses Kappa, das da oben steht als Funktion, sich direkt aus der Formel ausrechnen läse, denn das, was da oben steht, C 2 Strich gleich Kappa mal nu,

das haben wir ja nicht. Das gilt ja nur für Bogenlänge parametrisierte Kurven und das, was hier steht, gilt auch für allgemeine Kurven, die nicht nötigeweise nach Bogenlänge parametrisiert sind. Also kurze Bemerkung, Bemerkung,

damit können wir also die Krümmung ausrechnen.

Also wir können damit die Krümmung ausrechnen, ohne die Kurve nach Bogenlänge umparametrisieren zu müssen. Und das aus zwei Gründen praktisch. Grund eins, wir ersparen uns Arbeit, denn diese Formel ist recht einfach und Umparametrisierung macht immer etwas mehr Arbeit. Grund zwei, viel wichtiger, im Allgemeinen ist es schwer bis unmöglich eine Kurve nach Bogenlänge um zu parametrisieren.

Beispielsweise haben wir gesehen die Ellipse, eines der einfachsten Objekte, die wir kennen, einfach der Kreis mit einer linearen Transformation versehen, ein bisschen gestaucht oder gestreckt. Das ist schon ein Ding, wo wir die Bogenlänge ganz schwer ausrechnen können, weil wir dann ein bestimmtes elliptisches Integral ausrechnen können und das geht nun mal nicht so ohne weiters. Und deswegen wollen wir das im Allgemeinen nicht tun, denn wenn irgendeine Formel da steht,

hier ist eine Kurve, eine schöne glatte Kurve, defensierbar, zionentisch und so weiter, können wir im Allgemeinen nicht so ohne weiters die Bogenlänge hinschreiben. Aber diese Formel, die können wir immer hinschreiben und da kommt immer etwas heraus. Und deswegen werden wir diese Formel eben immer in solchen Fällen nehmen. Also diese Formel ist sozusagen unser Freund beim Ausrechnen von Krümmungen.

So, warum sollte dies so sein? Wir benutzen zum Beweis nicht viel mehr als die bisherigen Beobachtungen, zum Beispiel die Senkrechtheit von C Strich C Zwei Strich und damit sind wir auch schon ganz schnell am Ziel.

Und im Beweis werde ich jetzt benutzen, dass wir in der Kurve immer, wenn diese Gestalt ist regulär, nach Bogenlänge umparamitisieren können, aber ich werde nicht benutzen, dass wir diese Parametrisierung irgendwie ausrechnen können. Also wir, die C Schlange oder C Tilde

soll sein C nach Phi

von C, und zwar nach nach Bogenlänge. Das heißt, als erstes werde ich diese Kurve umparamitisieren. Wenn Sie sagen, na gut, das ist ja unfair. Er hat gerade gesagt, mit dieser Formel kann man ohne

umparamitisierung oder zumindest ohne was ausrechnen arbeiten. Und jetzt fangen wir an mit dem ersten Wort, wir umparamitisieren nach Bogenlänge. Das dürfen wir aber, denn in diesem Beweis ist die Parametrisierung nichts, was wir irgendwie ausrechnen müssen. Wir sagen, es gibt sie und wir benutzen die jetzt. Also nach Bogenlänge ohne

Phi auszurechnen. Und was heißt das? Umparamitisierung nach Bogenlänge. Das heißt nicht mehr, nicht weniger als das C Tilde Strich ist vom Betrag her eins. Dann rechne ich jetzt von diesem C Tilde die ersten beiden Ableitungen aus und sehen mal, was da so herauskommt.

Es gilt A Ableitung von C C Tilde ist gleich mein Weg am Punkt T. Was ist noch? Einfach nach der Kettenregel. Vielleicht eine Funktion ab

und dann beziehen wir es mit Ableitung der inneren. Also dann haben wir C Strich von oder nach Phi. Das Ganze von T multipliziert mit Phi Strich von T. In diesem Fall ist es eine relle Funktion und die Ableitung ist auch eine relle Funktion,

was dieses Phi angeht. Das ist jetzt die erste Ableitung von C Tilde. Jetzt kommt noch die zweite da her. C Tilde 2 Strich und das Argument T können Sie, wenn Sie es nicht schreiben wollen, auch weglassen, dann ist ja klar,

was gemeint ist. Ich schalte mal diese Formel rein. Wenn ich das Ganze noch mal ableite, muss ich jetzt nach der Produktregel jeden dieser Termen ableiten und entsprechend multiplizieren. Ich habe also, wenn ich den linken Term noch mal ableite, dann habe ich sozusagen die zweite Ableitung hier drin. C 2 Strich nach Phi von T

mal Phi Strich von T. Das stand schon da. Und jetzt muss ich sozusagen noch das die innere Ableitung als Phi Strich dran multiplizieren. Deswegen kann ich einfach diesen Term zum Quadrat nehmen.

Und jetzt nach der Produktregel muss ich diesen Term noch mal ableiten und dann habe ich natürlich einfach Phi 2 Strich von T. Also hier steht dann noch mal C Strich nach Phi von T mal Phi 2 Strich von T.

Also überall wo C Strich steht, da ist ein Vektor gemeint, überall wo Phi Phi Strich, Phi 2 Strich steht, ist da ein Skalar gemeint. Okay, jetzt habe ich dann schon mal eine Größe und habe all diese Größen in Verbindung gesetzt und für das C Tilde, das ihr nach Bogenlänge verwendet, da weiß ich jetzt, die zweite Ableitung kann ich in Verbindung setzen mit der Krümmung,

der Krümmung von C 2 Strich. Genau das werde ich jetzt einfach mal machen. Also ich werde mal die Krümmung von C 2 Strich betrachten und die versuchen auszurechnen. Also die

Kappa Tilde von C Tilde erfüllt und hier habe ich gerade noch genug Platz, um eine Formel anzufügen für die

Krümmung von Kappa Tilde, wenn ich nicht als Groß schreibe, jedenfalls Kappa nach Phi. So sagen die Komposition der Krümmungsfunktion mit der Transformation Phi. Das nenne ich Kappa Tilde. Das ist diese Größe, von der ich hier geschrieben habe,

jeweils von T. Was weiß ich darüber? Die ist ja gebildet durch wie war auch gleich die Krümmung. Ich kann sagen, nach der Formel, die da oben steht, C 2 Strich gleich Kappa Minu oder ich kann sagen Kappa ist gleich Skalarprodukt, C 2 Strich und Nu. Also hier an dieser Stelle schreibe ich das Skalarprodukt

von der zweiten Ableitung dieser Funktion C Tilde hin samt deren normalen Vektor. Also ich habe dann so etwas wie J C Tilde Strich Komma C Tilde 2 Strich. Dies ist der normalen Vektor, J mal C Tilde Strich, der normalen Vektor

an C Tilde. Dies hier ist die zweite Ableitung von C. Und das werde ich jetzt einfach, indem ich diese Formel hier nehme, diese und diese einsetzen und ich muss also das Skalarprodukt nehmen von dieser Größe mal J und diese Größe hier.

Wenn ich alles falsch schreiben muss, überlegen Sie ganz schnell, wenn Sie einen beliebigen Vektor nehmen, V und Sie bilden das Skalarprodukt von J mal V und V. Sagen Sie mir, was kommt heraus? Ich nehme einen beliebigen Vektor, drehe ihn um 90 Grad mit J und nehme das Skalarprodukt mit sich, mit dem Original. Da kommt Null raus, ja.

Ein Vektor, wenn ich um 90 Grad drehe, steht dann senkrecht auf dem Original. Wenn ich also jetzt in diesem Skalarprodukt irgendwelche Terme sehe, z. B. in dieser Summe, wo ich einen Vektor und das gedrehte multipliziere oder auch vielfache davon, skalare Vielfache, da kommt natürlich Null raus. Insbesondere,

wenn ich dieses J, C Strich nehme, dies hier, da steht ja sinngemäß C Strich mal nach V, das ist die Vektorkomponente und hier ist noch ein Skalar und wenn ich jetzt diesen Vektor mit J mal nehme und dann Skalarprodukt nehme mit dem Vektor hier, hier ist der Vektor C Strich, ja, hier steht er wieder mal in einem Skalar, dann ist das schon mal Null.

Sehen Sie das? Also jetzt kommt gleich das Skalarprodukt mit beiden Termen, aber nur diese hier geben einen nicht verschwindenden Anteil und diese hier, zusammen multipliziert, geben einen Anteil von Null. Also dann kann ich gleich mal schreiben. Skalarprodukt von, jetzt steht es hier, sozusagen die J

J mal C Strich nach V und ich habe hier links das T nicht hingeschrieben, deswegen werde ich jetzt rechts auch weglassen können, ich nehme also genau diese Formel ohne das T und ich muss multiplizieren mit V Strich

mal V Strich Quadrat, ja, also ich schreibe es mal außerhalb des Skalarprodukts ein V Strich hoch drei und jetzt das zweite Argument, das gerade diese Vektorkomponente C Strich nach V.

Okay, das ist dieser Term plus ein anderer Term, der Null ergibt, also sozusagen plus Null und das ist auch schon ungefähr sowas, was ich sehen wollte, denn ich habe hier behauptet, dass wenn ich J mal C Strich nehme

und das mit C Zwei Strich mal nehme und durch irgendeinen Skalarteile, der gerade passt, dann kommt die richtige Formel heraus und hier sehen wir schon mal die Skalarproduktkomponente C Strich mal J und C Zwei Strich, das ist schon mal die erste Hälfte der Formel, die wir brauchen. Wir müssen uns jetzt noch um diesen Skalar kümmern.

Ich behaupte nämlich, dass dieser Skalar mir gerade das Inverse der Geschwindigkeit der Kurve ist. Dazu komme ich jetzt. Die letzte Formelzeile werde ich noch ein bisschen weiterführen und ich sage, das ist auch gleich eine andere Größe, nämlich gleich dieser Größe hier

gleich Skalarprodukt. Eigentlich brauche ich die Zeile nicht weiter, das schreibe ich mal eine neue Zeile und das gilt.

Wir müssen uns kurz überlegen, wie steht denn V Strich, das oben steht, zur dritten Potenz, in Verbindung mit C Strich. Und wir wissen nicht, was C Strich ist. Wir wissen auch nicht, was V Strich ist, denn das V kennen wir ja nicht. Das war die unbekannte Unparametrisierung, aber es gibt eins, was wir wissen. Wir wissen nämlich, dass C tilde

eine Unparametrisierung nach Bogenlänge ist, das heißt C tilde Strich ist gleich eins und aus diesem Wissen über C tilde Strich werden wir das Wissen über C Strich und V Strich erlangen. Weil das gilt ein oder null gleich sozusagen die Ableitung von C tilde ist konstant eins

und das C tilde Strich ist ja, wie ich da oben gesagt habe, das Produkt von C Strich. Also sozusagen Betrag. Betrag C Strich

mal V Strich. Ich habe mir jetzt erlaubt, aus diesem, aus dieser Norm den Skalarprodukt gleich herauszuziehen. Ich hätte ja auch links daneben schreiben können und weil die so ist, eins ist immer gleich konstant. Dieser wechseln wir nach dem und also folgt somit

V Strich gleich eins durch C Strich Betrag. Also und das heißt, jetzt schreibe ich die Form nochmal hin mit dem T drin, ist genau dieselbe Norm noch mit Argument für alle C Element i

gilt V Strich von T gleich eins durch Betrag C Strich von T. Und dies hier kann ich jetzt einfach an die Formel einsetzen. Ich habe dann das Skalarprodukt, das in der Behauptung steht und es kommt dann heraus

Skalarprodukt geteilt durch Norm C Strich Quadrat. Also Folgerung

gleich Jad C Strich C 2 Strich durch C Strich hoch 3. Und dies genau die Folgerung, wobei ich hier erlaubt habe, die Notation nochmal etwas zu zu verkürzen, indem ich das T weglassen habe

und das ist insofern legitim, weil das T sowieso durch Unparametrisierung zu einem anderen wird und deswegen eigentlich irrelevant ist. Jedenfalls ist es aber so, an jeder Stelle, wo Sie in dieses C und C Strich C 2 Strich ein T einsetzen, haben Sie einen Punkt und an diesem Punkt ist die Krümmung der Bogenlänge-parametrisierten Kurve, genau dies Kappa, das links steht. Gut, jetzt habe ich zumindest ein von den zwei Behauptungen bewiesen.

Die andere ist noch nicht schwer, denn das, was rechts steht, leht im Land von zwei Vektoren. Das ist ja ziemlich genau das, wie wenn ich den ersten Vektor um 90 Grad multipliziere, mit einem Rotationsmatrix, 90 Grad drehe und ihn dann mit einem anderen Mal nehme. Und dann habe ich die zweite Behauptung. Also wegen

det v v Skalarprodukt j v v gilt auch

V Strich hoch 3. Das heißt, die zweite Formel ist einfach eine Umschreibung der ersten, wo ich statt einem Skalarprodukt und eine Rotation gleich die Determinante geschrieben habe.

Und es kommt dasselbe raus. Der Rechnaufwand wäre in der Praxis übrigens genau derselbe. Wenn Sie die Determinante ausrechnen, dann hätten Sie diesen 2 mal 2 Vektor. Und dann müssten Sie die Zahlen entsprechend multiplizieren und sozusagen zusammenfügen. Wenn Sie diese Form nehmen, ist das ungefähr derselbe Aufwand. Zumindest wenn Sie das Multiplizieren mit j leicht hinbekommen.

Und mit j kann man recht leicht multiplizieren. Sie müssten einfach nur die die Spalten entsprechend vertauschen und mit Minuszeichen versehen. Und dann nehmen Sie das normale Skalarprodukt. Okay, das heißt, jetzt kennen wir uns bestens aus mit Kurven im R auch 2 und wie man deren Kurven bestimmt. Gibt es auch zu fragen.

Wenn nicht, komme ich gleich zum nächsten Thema. Und das ist eine Kurven von Kurven im R auch 3 und was man so alles braucht. Das war jetzt im R auch 2 und im R auch 3. Da werden wir eine Schwierigkeit haben, die wir uns gleich mal von Anfang an begleiten. Im R auch 2 hat man diese zwei Vektoren, Geschwindigkeit und normalen Vektor. Die waren eine

engrechte Basis, eine autonormale Basis. Im R auch 3 wird das jetzt nicht mehr gelten und da müssen wir uns als erstes fragen, wie man so die Kurven überhaupt definieren kann. Gibt es ja nicht irgendwie konstante mal der normalen Vektor, denn den normalen Vektor, den haben wir erst mal noch nicht. Okay, also zum Thema R auch 3.

Ja, wie ist das bei Kurven im R auch 3? Grupp gesagt, da wird es wieder eine Kurven geben und die wird sein proportional zum normalen Vektor.

Aber den normalen Vektor, den haben wir noch nicht. Also bei im R auch 3 ist C' und Nü noch

keine O-N-Basis. Außerdem ist die die Umdefinition

von Kappa müssen wir uns überlegen.

Also die Überlegung wird nicht lang sein und es kommt dann einfach heraus, na gut, wir nehmen hier die zweite Ableitung. Die ist ein ein beliebiger Vektor. Diesen Vektor normalisieren wir. Wir machen den auch zu Länge 1 und dann ist das unsere neue Krümmung. Also sinngemäß C 2'

durch na ja, das soll irgendwie sein, die zweite Ableitung von der Bogenlenkung der Sintkurve soll sein, irgendwie Kappa mal und jetzt die Frage, was setzen wir hier ein? Und das genau die Stelle, an der wir nachdenken müssen.

Wir kommen gleich zur Kurve im R auch 3 und zu allgemeinen Aussagen. Ich sage Ihnen, wie man noch ein drittes drittes Element, die sogenannte wie normale, dazutut und dann wieder einen normalen einen Satz von Dingen hat, die man mit der man die Kurve beschreibt. Bevor wir beim R auch 3 uns genau überlegen, wie man eine Kurve beschreibt, sollten wir uns vielleicht nochmal im R auch 2 überlegen.

Wir hatten da die Kurve, deren Ableitung, deren zweite Ableitung und deren Krümung. Jetzt werden Sie sagen, na gut, was mit weiterer Ableitung, mit der dritten und so weiter, mit weiteren Vektoren vielleicht. Brauche ich vielleicht noch mehr, um die Kurve zu beschreiben. Warum nehme ich gerade so viele, nicht andere? Und einer der Gründe ist,

nehmen wir, ich habe die Kurve und kenne die Ableitung an jedem Punkt. Dann wissen Sie aus der Theorie von Defensivangleichung, wenn Sie einen Standpunkt haben und alle Ableitungen, also ich sage, die Kurve C' von T ist folgender Vektor. Für alle Vektoren, für alle Zeiten T. Und hier geht es los. Dann werden Sie sagen, na gut, dann kann ich das integrieren.

Es gibt dann eine eindeutig bestimmte Kurve von diesem Punkt aus, mit dieser Geschwindigkeit. Nennt man Existenz und Eindeutigkeit für Lösungen von Defensivangleichungen, speziell für Kurvendaten. Wenn ich Ihnen jetzt sagen, wir komplizierterweise die Krümung vorgebe, die zweite Ableitung,

aber nicht die erste, außer, dass die Länge 1 hat und nicht die nicht sonst was, können Sie dann zu einer Frage kommen, Sie stellen die Kurve Rekonstruieren. Im R auch 2, oder im R auch 3, oder im R auch n. Also ich sage Ihnen, hier ist dann eine Funktion F von T. Das soll sein die Krümung einer Kurve.

Und manchmal sage ich noch, die Kurve geht los an einem bestimmten Punkt, zum Beispiel dem Nullpunkt im Koordinatensystem. Und die gehen an einer bestimmten Geschwindigkeit los, manchmal wegen dem ersten Koordinateneinheitsvektor. Können Sie dann aus diesen Daten die gesamte Kurve alle Punkte zu allen Zeiten rekonstruieren.

Was glauben Sie? Glauben Sie, es wird eher gehen, oder wird eher nicht gehen? Und hängt das vielleicht von irgendwas ab? Hängt das davon ab, ob wir im R auch 1, R auch 2, R auch 3 sind, oder vielleicht nicht? Überlegen Sie genau. Gibt es vielleicht zwei verschiedene Kurven, die genau dieselbe Krümung haben, mit dem selben am selben Punkt losgehen,

mit der selben Geschwindigkeit? Also das ist jetzt so eine Metafrage. Wir werden gleich einen präzisen Satz formulieren, der genau das ausdrückt. Aber um das zu verstehen, sollten Sie sich erstmal fragen, gibt es zwei Kurven, mit dem selben Anfangsdaten, sagen wir mal, die Krümung. Und ist diese Frage abhängig davon, ob wir im R auch 2, R auch 3 sind?

Kommt nämlich heraus, auf die Dimension kommt es an. Die Antwort ist einmal Ja und einmal Nein. Im R auch 2 bzw. R auch 3 und höher. Wenn ich die Tafel putze, können Sie mal kurz drüber grübeln, dann werde ich etwas formulieren.

Was glauben Sie? Zu welchem Schluss sind Sie gekommen? Können Sie aus der Krümung eine Kurve

und deren Anfangspunkt, Anfangsgeschwindigkeit, die Kurve eindeutig rekonstruieren oder nicht? Sie sehen etwas unschlüssig zu sein. Es kommt heraus, ich sage Ihnen, was herauskommt, im R auch 2 genügt die Krümung vollkommen, um die Kurve zu rekonstruieren. Es gibt genau eine mit diesen Anfangsdaten und im R auch 3 wird es nicht stimmen.

Ich mache gleich ein Beispiel an die Tafel. Überlegung oder Beobachtung. R auch 2

Rechtkenntnis von kappa aus, C zu rekonstruieren.

Oder präzise gesagt, wenn ich sage, geben eine Bogenlänge parametrisierte Kurve C, ich sage aber nicht, was das C ist, sondern ich sage nur, dass kappa von T, kappa als Funktion von T auf demselben Intervall, dann können Sie aus den Anfangsdaten,

das heißt, also wenn C von 0 und C Strich von 0 bekannt sind.

Machen wir Folgendes. Hier ist ein Punkt im R auch 2, nennen wir den Punkt P. Zu diesem Punkt gibt es jetzt einen Vektor, V, ebenfalls im R auch 2 oder wenn Sie sich kompliziert ausdrücken wollen, im internationalen Raum des R auch 2, aber das ist dasselbe. Und jetzt sage ich Ihnen,

hier geht eine Kurve los, man wegen, wenn man neben einem Intervall das in 0 enthält, C geht von I nach R auch 2, das soll schön differenzierbar sein, sagen wir C Element

2 und I soll sein, gleich A, B und die 0 soll drin sein. Es ist eigentlich ganz egal, ob wir den Anfangspunkt 0 nennen, Sie können auch T 0 nennen, dann haben Sie nur eine Variable mehr. Und jetzt geht also die Kurve, die geht mit dieser Geschwindigkeit los, das ist schon mal klar. Nehmen Sie mal, Sie wissen jetzt,

die Krumlung ist Konstant plus oder dann muss ich anders abbiegen, sagen wir an dieser Stelle minus 0,5, sozusagen der Kreis mit Radius 2, dann können Sie und müssen Sie hier nach dieser Richtung abbiegen, was anderes geht gar nicht und weil jetzt die Geschwindigkeit des Kippens, des tangentialen Vektors, vielleicht der Krumlung ist, ist sozusagen der tangentiale Vektor

an jeder Stelle vorgegeben und da gibt es sozusagen nur eine Art und Weise, wie man da voranschreiten kann. Würde ich an einer von diesen Stellen woanders lang gehen, sagen wir mal hier, wenn ich entscheide, woanders abzubiegen, dann hätte diese andere Kurve an dieser einen Stelle und in dieser Umgebung eine andere Krumlung. Kann also im R auch 2 nicht wirklich sein

und auch wenn ich mit einer anderen Richtung losgehe, naja, und wenn ich dieses V treffen will, das heißt, wenn ein Vektor V und C Strich von 0 equal V sein, dann kann ich gar nicht in einer anderen Richtung losgehen und deswegen gibt es sowas wie hier eigentlich nicht. Sowas ist also sozusagen nicht erlaubt. Zumindest im R auch 2.

Das sieht so aus, als ob ich diese Kurve nicht so richtig da wegbewegen kann. Also das hier ist jetzt ein Bild im R auch 2. Ja, was jetzt mit im

R auch 3? Was sagen Sie im R auch 3? Da ist diese Überlegung jetzt wieder richtig, nicht wahr? Nicht wahr? Nein, ist sie nicht. Sie ist falsch. Im R auch 3 gilt das nicht.

Denn, überlegen Sie sich zum Beispiel, wenn wir eine von den Kurven nehmen, die wir schon kennen und zwar die, was nehmen wir? Nehmen wir zum Beispiel die Helix. Das wäre die Kurve, die sich einfach konstant durch den Raum schraubt und Sie gucken sich die andere Helix, andere Spiegelbild davon. Die schreiben sich durch den Raum mit derselben Kurvung, aber sozusagen anders herum. Also wenn Sie diese zwei Helixen

oder Helices, wenn man sich vor mal ausdrücken will, betrachten. Also, die Helix C von T gleich Cosinus T, Sinus T

und A mal T, das A ist wichtig und die andere Kurve, ich nenne sie auch mal Helix, C von T gleich, ich kann zum Beispiel eine der Koordinaten spiegeln. Manchmal die zweite, das ist ja auch egal. Also, Cosinus T

minus Sinus von T A mal T. Das hier ist nicht die Ableitung, das ist auch nicht eine Rotation, das ist eine Spiegelung. Das sind jetzt zwei verschiedene Kurven und wenn wir jetzt die Krommung davon ausreichen würden, Krommung R auf 3, was auch mal das ist,

denn wir haben ja den Begriff von Krommung noch nicht so richtig definiert. In R auf 2 war Krommung so ein Ding, das hat so zwei mögliche Wortzeichen, das kann positiv sein oder negativ. Im R auf 3, wenn Sie diese Sachen betrachten, vielleicht können wir die Krommung nicht so richtig unterscheiden, aber wenn Sie diese beiden Objekte unterscheiden,

die sind Spiegelbilder voneinander und das heißt, Sie können an jeden Punkt

und durch jeden Vektor beide Helix Cs anfügen. Das heißt, durch einen Punkt, also gegeben PRL mit R auf 3

und V, Element R auf 3, gibt es Kurven C1 von T

C2 jeweils von sagen mal naja, R nach R auf 3, so dass die Bilder von C1 und C2 jeweils kopieren sind von diesen Helix Cs nach einer Rotation und Translation.

Dass die Bilder C1, C2 nach

Stern die erste

beziehungsweise zweite Helix ergeben. Also ganz verschiedene Kurven, das eine ist sozusagen ein Korkendreher, der dreht sich nach rechts, der geht so durch den Raum und das andere ist ein Korkendreher, der dreht sich nach links, der geht so durch den Raum und ganz klar ein Korkendreher, der nach rechts und der sich nach links dreht, den können Sie leicht unterscheiden.

Wenn Sie das versuchen, mit dem einen die Flasche aufzumachen, na gut, bei Flaschen geht es noch, aber Schrauben ziehen und Schrauben müssen Sie schon aufpassen, die kann man nicht einfach so vertauschen, dann passen die nicht ins Gewinde. Die Helix ergeben, aber C von Null

gleich P gleich C C1 gleich C2 von Null und C1' die Ableitung an der Stelle Null der ersten Kurve soll sein, diese Vektor V gleich C2'

von Null gilt. Mit anderen Worten, hier gibt es zum Beispiel auch drei, zwei verschiedene Kurven. Zwei Arten von Helix, die irgendwie gleich, krumm sind nur auf die eine oder andere Weise

und die kann man da durchlegen. Das können Sie auch leicht überlegen. So eine Helix, so wie ich die hierhin geschrieben habe, ist ja ein tangentialer Vektor, der nicht gerade ein koordinativer Einheitsvektor ist, aber Sie können die eine und die andere drehen und dann können Sie an einen Punkt, in eine Richtung, beide von diesen Kurven anlegen. Das heißt sozusagen, wenn Sie nur die Krümmung haben, die Krümmung auch daran müssen wir noch definieren, aber wenn Sie nur die Krümmung haben

und nicht wissen, ob das in die eine Richtung oder andere Richtung so eine Torsion hat, Torsion müssen wir auch noch definieren, dann haben Sie noch zu wenig Daten. Und deswegen werden wir im R auch drei, ich werde noch mehrere Daten definieren müssen, eben um solche Dinge eindeutig festzulegen und im R auch zwei brauchen wir das nicht. Im R auch zwei können wir einfach einen Satz formulieren, kann ich auch einfach sagen,

der sagt nicht mehr, nicht weniger, das was hier steht, das gilt immer. Gegeben, diese Funktion und deren Ableitung und Krümmung ist die Kurve eindeutig definiert, eindeutig bestimmt und im R auch drei brauchen wir dazu noch mehr, mehr Größen. Ja, und genauso machen wir das jetzt.

Sehr schwarz, ich darf ihn zum selber reparieren, aber das hält uns nicht auf.

Gleich werde ich einen simplen Satz formulieren darüber, was diese eindeutig festzulegen, im R auch zwei ist und Sie können derzeit schon mal überlegen für sich selbst, wie viele Größen und welche Arten brauchen Sie denn, um R auch drei so einen Satz wahr werden zu lassen, dass Anfangsdaten die Kurve eindeutig bestimmen.

Er hat sozusagen über

Anfangsdaten bestimmen

Kurven eindeutig. So, der Satz wird genau die Beobachtung, die eine Tafel drüber steht,

nochmal ganz ausführlich hinschreiben, ganz präzise, mit allen Voraussetzungen und als Nebenprodukt nehmen wir das, die sogenannte Winkeleindeutigkeit mit, die ich dann nachher auch noch zeige. Da oben steht noch nicht, wie oft der Funktier bei der Krümmung sein soll, das schreibe ich jetzt in diesen Satz dazu. Also für alle,

Intervall i Teilmenge R meinetwegen offen, sagen wir, i gleich a

b enthaltend t 0. Wenn Sie nicht wollen, dass das Intervall die Nullen hält, das ist kein Problem. Sie können aber das immer umformatisieren, sodass Sie es verschieben. Jedes in der Wall und jede 10 0 Funktion

kappa Element 10 0 von i nach r. Also die Krümmung soll zumindest stetig sein, das ist ja auch in den Felden, die uns so zitieren, immer gegeben. Und noch zu jeden Anfangsdaten, die wir formulieren können, sagen wir mal

Anfangspunkte, nennen wir sie wieder p und Anfangsvektoren meinetwegen v oder soetwas. Jedes br mit r auch 2

und jeden Einheitsvektor v Element s 1

mit s 1 meine ich jetzt der Einheitskreis oder die Menge der Punkte im r auch 2 von Länge 1, also gleich Menge aller w Element r auch 2, sodass gilt Betrag w gleich 1 Mit anderen Worten, gegeben die Krümmungsfunktion,

gegeben einen Punkt, gegeben eine Richtung. Jetzt kommt die Aussage, existiert und zwar eindeutig genau die Kurve C, die da durchgeht, mit Bogenlänge parametrisiert ist und all diese richtigen Daten hat. Existiert

genau eine

C. Existiert genau eine Kurve C, welche nach Bogenlänge parametrisiert ist und nebenbei noch zweimal differenzierbar ist. Und die jetzt diese Daten hat, die Krümmung soll sein kappa, der Anfangspunkt soll sein p,

und die Einheitsbeständigkeit v, also mit anderen Worten mit C von 0 oder t 0 gleich p C Strich von t 0 gleich v

und dortens für alle t Element i Gesundheit, für alle t Element i soll gelten, die Krümmung von

C ist die dergebene Funktion

an der Stelle t und mit anderen Worten, wenn ich die die Krümmungfunktion von diesem C ausrechne, meinetwegen kappa

tilde nenne ich das, dann ist kappa tilde konstant gleich kappa oder kappa tilde minus kappa konstant gleich 0. Okay, das ist die Behauptung, die ich mache, mit anderen Worten, die Krümmung, zweite Ableitung der Kurve, definierte Kurve eindeutig, bis auf Anfangsdaten, Anfangspunkt und Anfangsrichtung. ganz einfache Aussage,

aber Zusatz, hier steht extra R hoch 2, dies hier gilt nur im R hoch 2. P ist im R hoch 2, der Vektor ist im R hoch 2, und die Kurve C, die wird auch nur in diesem Fall eindeutig definiert sein. Okay, Aussage klar. Dann kommt es zum Beweis und der Beweis,

da müssen Sie auffassen, der hat nämlich noch ein Nebenprodukt, als Nebenprodukt kommt so ein Art Winkel heraus und den können wir später auch noch brauchen, deswegen werden wir ihn gleich mal etwas sorgfältiger definieren. ja, also sagen als

Beweis. Der Beweis ist nicht kompliziert, im Prinzip benutzen wir eigentlich nur die Extens- und Eindeutigkeitsaussage für gewöhnliche Defizialgleichung und zwar den Satz von P.K. Lindelöf, den Sie alle schon kennen. Also wir sagen jetzt,

wir definieren uns mal einer oder andere Weise, sei also P, definiert als Cosinus Teta Null Sinus Teta Null. Sie wissen schon immer, wenn ich sowas schreibe wie

Cosinus Alpha, Komma Sinus Alpha, ist es ein Winkel, also ist es ein Ding, das auf dem Kreis rumläuft, je nachdem, was ich für Alpha nehme. Umgekehrt kann ich auch jeden Punkt auf dem Kreis schreiben als Cosinus Alpha, Komma Sinus Alpha. In diesem Fall nenne ich es mal Teta Null, denn das Teta brauche ich noch, ja. Das ist nicht die Zahl Null, das ist ein Teta, ein Griechischer Buchstabe.

So, mit anderen Worten hier, ich definiere nicht P, sondern P ist gegeben und ich definiere durch diese Gleichung den Winkel Teta Null, ja. Teta Null wird sein, der Wert einer Funktion Teta am Punkt Null. Und jetzt sage ich mal, ja bitte,

oh, das ist vollkommen richtig, P ist am beliebigen Punkt und V hat die Einheitslänge. Dankeschön. So, dieses V wird nämlich die abladende Kurve sein, und die wird immer sein, Cosinus von Teta, Komma Sinus von Teta.

aus, dass sich das Theta gleich mit der Zeit ändern wird. Okay, jetzt werden wir als nächstes eine Funktion Theta nicht nur an diesem Punkt, sondern für alle Zeiten von T definieren. Also, definiere Theta von T. Ich schaffe es mal als Index oder Theta von S.

Ja, und jetzt will ich integrieren. Ich werde sozusagen diese Größe, die Ableitung, aufintegrieren und sehe mal, was da herauskommt.

Kappa von sigma d sigma. Ich könnte auch T dt schreiben, Hauptsache, das Argument verschwindet. Und jetzt habe ich eine Funktion, die für alle Zeiten S definiert ist, denn wenn ich eine Funktion, die zumindest stetig ist, in diesem Fall war sie stetig vorausgesetzt, die ist integrable, dann habe ich hier eine Funktion,

die ist automatisch schon mal einmal integrierbar und es ist vielleicht besser, wenn ich noch den Anfangswert dazu addiere. Deswegen schreibe ich hier noch gleich mal diesen Term plus Theta null. Dies erste Integral an der Klammer garantiert, dass die Ableitung von Theta,

Theta Strich also, genau gleich Kappa ist und diese Konstante garantiert, dass der Wert von Theta an der Stelle T null genau gleich Theta null ist. Okay, dann ist Theta ist C1 von I nach R.

Als nächstes definiere ich die Funktion C und definiere C oder C von T,

das ist die Kurve, die ich eigentlich finden will und ich sage, na gut, jetzt integriere ich mal folgenden Vektor. Ich nehme also dieses P, an dem Punkt soll es losgehen, plus und jetzt kommt ein Integral von T null bis T und ich nehme jetzt einen Vektor, der gebildet wird aus so einem Vektor,

CosinusTheta, SinusTheta, das will ich integrieren, deswegen gebe ich dir mal ein Argument, S oder so von S, SinusTheta von S, dS.

Können Sie das lesen, hier steht SinusTheta von S, dS und das ist jetzt eine Funktion abhängig von T, die ist einmal mehr differenzierbar als diese. Integrabel ist die Funktion sowieso, weil sie sogar stetig war, sogar C1, das heißt, das Integral wird C2 sein, also C ist C2 von I nach R

oder C Element C2 von I nach R. Okay, das ist jetzt die zweite Beobachtung. Was mit den Anfangsdaten, gilt jetzt C von T null gleich P, setzen wir das ein, C von T null ist P plus Integral T null bis T null,

ist also null, also gleich P null plus null, also gleich P und es gilt C von T gleich P.

Jetzt zur Ableitung, was ist denn C Strich von T null? Wenn ich das hier ableite, die Konstante verschwindet und ich habe hier gerade diesen Vektor hier und der ist gerade gleich V. Also habe ich C Strich von T null gleich V.

Das heißt, die Kurve, die ich explizit hingeschrieben habe, einfach durch integrieren von Kappa, ich integriere es einmal, dann bekomme ich einen sogenannten Winkel, ich integriere es nochmal, dann habe ich die Kurve selbst und das ist eine Kurve C, die erfüllt schon mal zwei von den drei Bedingungen, nämlich die beiden Anfangsdaten, diese sind schon mal erfüllt.

Als nächstes gucken wir uns die Ableitung an und gucken, ob C2 Strich diese Krümmung Kappa hat. Vielleicht kurz noch eine Überlegung. Ich habe hier behauptet, gesucht, dass diese Kurve nach Bogenlänge parametrosiert ist. Hier habe ich eine Kurve konstruiert und ich habe gezeigt, sie ist zweimal schädlich differenzierbar.

Ich habe gezeigt, sie erfüllt die Anfangsdaten, was ich noch zeigen muss. Sie ist auch nach Bogenlänge parametrosiert und hat auch gerade die Krümmung, die ich vorgebe. Ja, dann schauen wir mal. Überlegen Sie, warum ist diese Kurve nach Bogenlänge parametrosiert? Wenn ich sie ableite, dann bekomme ich, die ist hier verschwindet

und ich habe einen Vektor von dieser Art. Ich habe einen Vektor Cosus irgendetwas, Comasinus von irgendetwas und das wissen Sie schon, sind alles Vektoren auf dem Einheitskreis. Ja, also gilt, das gilt dies. Ich kann sozusagen dazuschreiben, für alle t Element i,

c Strich von t hat die Länge 1. Das heißt, die Kurve ist schon mal Bogenlänge parametrosiert. Noch eine Behauptung, die damit gezeigt ist. Und weil dies so ist, kann ich die Krümmung einfach durch die zweite Ableitung,

die ich noch ausschreibe, hinschreiben. Und jetzt sehen wir eigentlich schon, wie es ist, wenn ich nämlich die zweite Ableitung bilde, c 2 Strich von t. Ja, das ist die erste Ableitung von dem hier nochmal abgeleitet. Und wenn ich das einmal ableite, habe ich gerade, dass es hier im Integral drin steht. Dieses Winkel Cosus, Comasinus. Und jetzt muss ich das t noch mal ableiten,

dann komme ich genau auf die Größe, die mir so vorschwebt.

Okay, also zur Krümmung von c.

Also ich weiß schon, dass c Strich von t ist gerade dieser Vektor, der da im Integral in der mittleren Zeile steht, sprich Cosinus theta von t, Sinus theta von t.

Ein Vektor der Länge 1. Sie wissen schon, wenn Sie ein Vektor der Länge 1, vor allen Zeiten t der Länge 1, ableiten, kommt heraus ein Vektor, der senkrecht drauf steht. Mit anderen Worten, es muss senkrecht auf diesem Teil hier sein. Oder genauer genommen, wenn Sie es hinschreiben, dann haben Sie einfach die Formel Minus Sinus, Cosinus

und multiplizieren mit c Strich von t. Also c 2 Strich von t. Hier muss man zwar etwas aufpassen mit den Vorzeichen, die fallen aber später sowieso weg, deswegen kann ich es eigentlich auch ignorieren. Minus Sinus theta von t,

Komm mal, Cosinus theta von t, mal theta Strich von t. Und die Ableitung kennen wir auch, denn wegen der Oberordnung oben, wir haben gesagt, theta soll sein das Integral über kappa. Deswegen ist theta Strich gleich kappa selbst.

Das heißt, was das hier steht, ist just die Kurve selbst. Und dies hier ist gerade der normalen Vektor an die Kurve. Also dies hier ist der Vektor nü von t und dies hier ist kappa von t.

Also erfüllt die Kurve die geforderte Krümmungsgleichung c 2 Strich gleich kappa mal nü. Das ist für alle c Element i,

die Krümmung von c bei einem Punkt c von t gegeben kappa von t,

was ja zu beweisen war.

Okay, entschuldigen Sie die komplizierte Formulierung, ist so, ich will nicht schreiben, die Krümmung von c von t ist gegeben als kappa von t, denn c von t ist ja ein Punkt, und ein Punkt hat keine Krümmung. Wenn ich sage, die Krümmung der Kurve c bei einem Punkt c von t, das ist natürlich eine skalare Zahl und dies gleich kappa von t. Das ist ein richtig formulierter Satz. Und jetzt habe ich was gezeigt.

Ich habe gezeigt, es gibt eine Kurve mit genau dieser Krümmung, genau diesen Anfangsdaten, sprich Position und Geschwindigkeit, die das erfüllt. Okay, und damit sind wir im Prinzip mit dem Satz fast durch. Eine Sache habe ich noch behauptet, die wollte ich noch zeigen. Ich habe behauptet, die Krümmung definiert nicht nur Kurven,

sondern eine eindeutige Kurve mit diesen Daten. Davon steht noch das Wort eindeutig und das Zeichen auch noch. Nicht nur gibt es eine Kurve, die gibt es deswegen, weil hier habe ich sie ja hingeschrieben, da steht sie, exibitie definiert, c ist eigentlich das Integral vom Integral von kappa,

mehr nicht, vielleicht noch nicht anfangsdatengeschickt dazu addiert. Ist immer so, wenn ich sage, hier ist eine Defizite gleich in 2. Ordnung, 2. Ableitung ist gleich irgendwas, finden Sie meine Lösung, dann werden Sie sagen, na gut, die 1. Ableitung wird wahrscheinlich sein, das Integral daraus und die 0. Ableitung ist das Integral aus der 1. Ableitung. Ganz simpel, ja.

Die gleiche muss nichts erfüllen, die muss nicht linear sein oder sonst was, obwohl sie in diesem Fall eigentlich ziemlich leicht ist. So, jetzt überlegen wir uns im nächsten Schritt, ist denn diese Kurve eindeutig? Also ich habe hier eine hingeschrieben und das, was da steht, ist natürlich eindeutig. Ich habe genau einen Integral hingeschrieben und ein Integral, das ich jetzt hinschreibe, hat natürlich genau einen Wert an jedem Punkt t

und deswegen ist die Formel, die da steht, die liefert schon mal eine Lösung. Gar kein Zweifel, die liefert auch genau eine Lösung. Aber vielleicht gibt es noch irgendwelche anderen Lösungen, die jetzt noch nicht dastehen, die vielleicht nicht aus dieser Formel gewinnbar sind, die aber trotzdem dieselben Anfangsdaten und dieselbe Krümmung erfüllen.

Was glauben Sie? Ist möglich oder nicht? Na gut, wenn ich da schon einen Satz formuliere, dann wissen Sie eigentlich schon, das kann natürlich keine zweite Lösung geben. Und um das zu sehen, mache ich das wie folgt. Ich werde jetzt mal nicht durch diese Differenzhalerlöchen durchgehen und die Eindeutigkeit zeigen, denn es ist in der Tat so, dass Teta, der Winkel,

ist gar nicht eindeutig. Also zum Winkel können Sie immer 2pi dazu addieren, dann haben Sie genau dasselbe. Es ist also nicht so, dass Teta eindeutig bestimmt ist, obwohl bis auf 2pi ist es eindeutig bestimmt, sondern ich sage, gegeben diese Kurve, betrachten Sie mal mit dem Existenz- und Eindeutigkeitssatz eine kleine Umgebung

eines Punktes. Kurze Erinnerung, der Existenz- und Eindeutigkeitssatz oder P.K. Lindelöf, wenn Sie wollen, sagt ja, wenn Sie eine Differenzhalerleitung haben, beispielsweise erste Ordnung, vergessen Sie mal die zweite Ableitung, eine Gleichung, erste Ordnung, und Sie haben einen Punkt im Definitionsbereich und die Ableitung ist eine Funktion,

die ist stetig und lokal lipschitz-stetig, also in diesem Fall ist die ja sogar mehr, aber also beschränkt zum Beispiel, dann ist die, erfüllt sich das alles, dann wissen Sie schon, lokal ist die Lösung existent und eindeutig. Hier habe ich Ihnen schon die globale Existenz

einer Lösung gezeigt und aus P.K. Lindelöf kennen wir die die Eindeutigkeit zumindest lokal. Ich schraube das mal hin, damit wir es nicht vergessen. Deswegen dem Existenz

und Eindeutigkeitssatz für Lösungen

und Differenzhal-Gleichungen

ist lokal

eindeutig bestimmt. Okay, zeigt das schon überhaupt oder nicht? Kurz überlegen, warum soll das so sein? Denn der Besatz hat ja Voraussetzungen, Voraussetzungen, wie gesagt,

dass die Funktion, die die Ableitung vorgibt, die darf nicht beliebig wild sein. Zum Beispiel soll sie lokal lipschitz sein, aber wenn sie C2 ist, dann ist sie automatisch lipschitz in jeder kleinen Umgebung, jedes Punktes. Und jetzt überlegen Sie noch schnell, wenn ich hier eine globale Existenz und eine lokale Eindeutigkeit habe,

habe ich dann auch eine globale Eindeutigkeit. Vielleicht kennen Sie das schon aus der Betrachtung von Differenzhal-Gleichungen oder P.K. Lindelöf selbst. Wenn Sie sich an den Beweis von P.K. Lindelöf erinnern, dann wissen Sie es sowieso. Aber es ist auch sonst so, wenn Sie sagen, hier ist eine Kurve. An jedem Punkt gibt es eine kleine Umgebung, sodass die Kurve da nicht anders sein kann. Das gilt für jeden Punkt.

Und global ist eine Kurve gegeben, dann ist sie auch global eindeutig. Ganz elementar Beobachtung von gewöhnlichen Differenzhal-Gleichungen können Sie auch selbst machen. Eine lokal eindeutige und global existente Kurve ist global existent und auch global eindeutig. Also wegen der

globalen Existenz ist C auch

global. Was meine ich mit global? Also lokal meine ich immer um jeden Punkt eine Delta-Umgebung. Mit global meine ich auf ganz i. Das heißt, ganz i, denn mal Intervall, eindeutig bestimmt.

Des Beweises. Okay, das war der Satz über die Existenz und Eindeutigkeit der Winkelfunktion. So, jetzt habe ich jetzt, in diesem Weise habe ich was konstruiert.

Ich habe einmal das C konstruiert, also das zweifache Integral und ich habe noch was anderes konstruiert. Ich habe dieses Teta konstruiert und gar nicht so viel darüber gesagt. War das jetzt nur so eine Hilfsvariable, die wir einmal benutzt haben und jetzt werfen wir sie weg? Das können wir, aber wir können auf das Teta noch ein klein wenig draufgucken und feststellen. Ich habe mir den Vektor so gebildet,

dass Teta für eine Metkosen aus einem Sinus gerade einen Einheitsvektor gibt. Teta ist also sozusagen der Winkel im Einheitskreis, das Winkelargument, das ihn sagt, wo der Vektor nun steht. Und das können wir gleich mal so als Bemerkung benutzen und sagen, als Corollar formulieren wir, dieser Winkel,

der existiert und ist zumindest mehr oder weniger eindeutig. Also Corollar, also formales Wort für Folgerung, unter denselben denselben Voraussetzungen

wie im vorigen Satz

ist der Winkel Teta gleich Teta von T global

existent. Zu deutsch, es gibt ihn, ja. Ich sage es noch nicht nur richtig eindeutig, aber es ist zumindest mehr oder weniger eindeutig. denn und warum ist das so? Die existence, die haben wir schon gezeigt, denn die steht hier oben da als einfach, Teta ist gleich das Integral oder irgendwas, was wir schon kennen

und damit ist Teta eindeutig definiert. Okay. Bemerkung, Teta ist eindeutig

bis auf Additionen Vielfachen

zwei Pi. Und das heißt, zwei Dinge. Erstmal, das heißt, dass für jeden konkreten Wert Teta von T ist dieses Teta von T eindeutig bis auf diese Addition. Das heißt, wenn ich nur einen einzigen Winkel betrachte und den Rest vergesse,

dann ist dieser Winkel mehr oder weniger eindeutig, kann man sagen, der Winkel ist 0,7 Pi oder 0,7 Pi plus 2 Pi, also 2,7 Pi oder 4,7 Pi oder so. Aussage übergehen in Einzelnen. Noch stärker Aussage, die hier drinsteckt, wenn ich Teta als Funktion betrachte, alle Werte auf einmal und dann habe ich eine Funktion, die ist stetig,

die erfüllt diese Gleichung und jede andere Funktion ist identisch mit der ersten Funktion bis auf Additionen von Konstanten. Also nicht nur punktweise, ist diese eine Aussage, sondern es ist sogar, wenn ich eine einzelne Funktion habe und es gibt eine, es gibt sogar eine stetige Funktion, dann gilt es auch

in dieser Art und Weise. Ich kann also an diesem Corollar sagen, dieser Winkel existiert nicht nur als Funktion, sondern die Funktion ist auch C1. Denn ich habe eine C0-Funktion integriert, da kommt etwas C1 raus. Also ich kann hier dazu sagen, Teta ist C1 oder Teta Element

C1 von I nach R. Also der Winkel existiert nicht nur, ich kann ihn auch irgendwie stetig definieren und das ist dann was ich damit habe. Diesen Teta, den nenne ich den Tangentialwinkel. Also Corollar, Name, Existenz.

Okay. So. Jetzt habe ich also eine Aussage darüber formuliert, wie ich immer auch zwei,

nur aus der Krümmung an Anfangsdaten die Kurve rekonstruieren kann. Und das schließt auch den Teil über R auch zwei ab. In der nächsten Vorlesung reden wir um genau dasselbe Thema wieder, nämlich über Kurven, deren Krümmung und andere Dinge, aber im R auch drei, wie ich schon angekündigt. Sie können zwar schon mal überlegen, was brauchen Sie noch, wenn ich Ihnen die Krümmung gebe, wie die Kurve so in den Raum geht und sich die Kreise abproximieren lässt.

Was brauchen Sie noch, um zum Beispiel die eine Helix in dieser Richtung und die andere Helix in dieser Richtung zu unterscheiden. Das werde ich nächstes Mal definieren. Es wird dann auch so eine Krümmung noch eine weitere Größe geben, die diese Helix unterscheidet. Und damit können wir dann im R auch drei versuchen solche Extens- und Anleitigkeitsaussagen

wieder zu formulieren. Ja, das war's für heute. Vielen Dank fürs Zuhören.