So, dann mal herzlich willkommen. Wir waren in der letzten Woche hängen geblieben im Begriff bei der Behandlung des Kurvenintegrals, also ein Integral in mehreren Variablen, bei

dem die Besonderheit ist, dass wir immer noch über ein eindimensionales Gebilde integrieren, also wir integrieren immer noch über sowas wie ein Intervall, nur dass das Intervall jetzt verbogen ist. Das Intervall liegt im Rn als sogenannte Kurve, eine kurve, eine stetige und stückweise differenzierbare Abbildung von einem

Intervall nach Rn und diese Abbildung Gamma sagt eben, wie dieses Intervall verbogen wird oder andere Anschauung. Es sagt ihnen, man stellt sich ein Teilchen vor, das durch den Rn fliegt und das dann zum Zeitpunkt A am Anfangspunkt ist, zum Zeitpunkt B am Endpunkt und Gamma

von T sagt ihnen, an welcher Stelle ist das Teilchen zum Zeitpunkt T zwischen A und B. Dann haben wir uns zunächst mit der Frage beschäftigt, wie lang ist so eine Kurve und waren auf diese Formel hier gekommen, die, wenn man drüber nachdenkt, eigentlich relativ

naheliegend ist. Man kriegt die Länge der Kurve, indem man die Geschwindigkeit des Teilchens, nimmt den Betrag der Geschwindigkeit des Teilchens, dass die Kurve entlang fliegt und wenn man die Geschwindigkeit aufintegriert, kriegt man die Strecke. Also wenn man alles, alle Beiträge der Geschwindigkeit zusammenzählt, die das Teilchen im Lauf der Zeit hatte, dann kommt man auf die Länge der Kurve. Deswegen, also Gamma Strich ist die Geschwindigkeit

von dem Teilchen, dass den Weg Gamma entlang fliegt. Wenn ich den Betrag nehme und aufintegriere, komme ich auf die Länge. Und dann hatten wir uns dem eigentlichen Thema zugewandt, dem sogenannten Arbeitsintegral. Wir wollen ein Vektorfeld, stellen sich ein Kraftfeld vor, durch das das Teilchen fliegt. Dieses Vektorfeld wollen wir entlang der Kurve

integrieren, um zum Beispiel die Gesamtarbeit auszurechnen. Und dazu hatten wir uns dieses Arbeitsintegral, oder auch Kurvenintegral genannt, definiert. C Integral über den Weg, f von x dx, ist eine formale Schreibweise für dieses Arbeitsintegral. Und ausrechnen

tut man das, indem man seinen Weg Gamma nimmt, in das Vektorfeld f einsetzt. Damit kommt ein Vektor raus. Dieser Vektor wird im Skalarprodukt multipliziert mit dem Geschwindigkeitsvektor des Weges. Und das gibt dann eine Zahl. Und diese Funktion hier, dieses Skalarprodukt von f

verknüpft mit Gamma mal Gamma Strich. Das wird dann ganz normal eindimensional integriert auf dem Intervall a bis b, auf dem die Kurve definiert ist, über die Variable t. Das ist das Arbeitsintegral. Und von den Dingern bin ich sicher, werden sie reichlich in ihrem Studium

sehen. Ich will jetzt die Vorlesung anfangen, indem wir mal ganz konkret zwei solche Arbeitsintegrale ausrechnen als Beispiel. Und dieses Beispiel dient gleichzeitig dazu, auf

also Beispiele für Kurvenintegrale. Das ist der Abschnitt 2010. Also wir geben uns ein Kraftfeld, Vektorfeld f vor und eine Kurve Gamma und integrieren dieses Vektorfeld über

die Kurve. In dem Fall jetzt mal zweidimensional. Das Vektorfeld f von xy ist gegeben als zwei mal xy und der zweiten Komponente x² plus y². Und die Kurve muss jetzt eine nach R² sein. Dann nehmen wir mal T mal Cosinus von T, T mal Sinus von T und das T soll

laufen von Null bis Pi halbe. Das ist eine Kurve, das ist eine stetige, stückweise differenzierbare Abbildung von dem Intervall Null Pi halbe in den R². Und von der

über diese Kurve wollen wir jetzt dieses Vektorfeld integrieren. Vielleicht kurz, wie sieht diese Kurve ungefähr aus? Also hier ist die, hier ist die x-Achse, da ist die y-Achse. Zum Zeitpunkt T gleich Null startet die Kurve im Ursprung. Zum Zeitpunkt T gleich

Pi halbe ist der Cosinus Null und der Sinus eins. Steht da also Null Pi halbe. Das heißt, der Endpunkt ist irgendwo hier oben in Null Pi halbe. Was macht diese Kurve? Wenn Sie mal

für einen Moment das T mal vorne vergessen. Cosinus T, Sinus T, T aus Null Pi halbe. Das kennen wir. Das ist die Parametrisierung des Einheitskreises. Also dieses, wenn ich die beiden Ts vorne vergesse, dann laufe ich einmal ein Viertelkreis im Bogen. Das heißt,

man macht ein Viertelkreisbogen, wobei der Radius dieses Kreises mit T wächst. Das heißt, am Anfang ist es ein Radius Null und am Schluss ist es ein Radius Pi halbe. Es gibt dann so eine Spirale. Der läuft hier aus dem Ursprung raus und spiralt sich da hoch.

So sieht also dieser Weg ungefähr aus. Also das hier ist die Spur Gamma. Und jetzt können wir das Kurvenintegral ausrechnen nach Formel. Also integral über Gamma über dieses Kraftfeld.

Setzen wir ein, wie es da drüben steht. Wir müssen integrieren eindimensional über das Intervall, auf dem der Weg definiert ist. Also in dem Fall von Null bis Pi halbe.

Dann müssen wir das F nehmen und da das Gamma von T einsetzen. Das Ganze im Skalarprodukt mit Gamma Strich von T multiplizieren und nach T integrieren. Also setzen wir ein, was das in diesem speziellen Fall ist. Integral von Null bis Pi halbe. Skalarprodukt

von der ersten Vektor ist F von Gamma von T. Also Sie müssen das Gamma da oben mit F einsetzen. Überall wo in dem F also ein X steht, kommt ein T Cosinus T hin. Wo ein Y steht, kommt ein T Sinus T hin. Also 2 mal X mal Y ist 2 mal die erste Komponente von Gamma mal die zweite Komponente von Gamma ist 2 mal T mal Cosinus T mal T mal Sinus T. Also 2T² Cosinus

T Sinus T. Und die zweite Komponente von diesem Vektor ist F. Die zweite Komponente von dem F an der Stelle Gamma von T. Also erste Komponente von Gamma Quadrat plus

zweite Komponente von Gamma Quadrat ist T Quadrat Cosinus Quadrat T plus T Quadrat Sinus Quadrat T. Also das hier ist das F von Gamma von T. Jetzt brauchen wir die Ableitung von dem Gamma. Also wir differenzieren Gamma nach T. Gibt den beiden Komponenten eine

Produktregel. In der ersten Komponente, wenn Sie nach T integrieren, differenzieren Sie zuerst das T weg. Bleibt nur der Cosinus T übrig. Und dann plus T mal die Ableitung vom Cosinus. Ableitung vom Cosinus ist der Minus Sinus. Also Minus T Sinus von T. Und in der zweiten

Komponente genauso Produktregel. Zuerst das T weg differenzieren. Gibt ein Sinus von T plus das T stehen lassen. Mal die Ableitung vom Sinus ist der Cosinus. Das ist das, was das

Kurvenintegral ist. Skalarprodukt. Integral über Skalarprodukt von F von Gamma von T mal Gamma Strich von T. Jetzt müssen wir noch die ganzen Cosinus und Sinus Terme sortieren. Das Beispiel ist insofern schön gemacht, als das hier sich mal zu einem T Quadrat zusammenschnurrt, weil Cosinus Quadrat plus Sinus Quadrat eins ist. Und wenn man dann das Skalarprodukt aus x-t,

kriegt man Integral von 0 bis Pi halbe. Na jetzt muss man erste Komponente mal erste Komponente plus zweite Komponente mal zweite Komponente rechnen. Also das erste ist,

also bei der, wenn ich die erste Komponente mal erste Komponente rechne, erste Komponente

mal erste Komponente gibt zwei. T Quadrat Cosinus Quadrat T Sinus T. Das ist der mal der. Dann minus zwei T hoch drei Cosinus von T Sinus Quadrat T. Dann kommt zweite

Komponente plus zweit mal zweite Komponente. Die vorne ist nur T Quadrat, also T Quadrat Sinus von T plus T hoch drei Cosinus von T. Das ist jetzt kein schönes Integral. Irgendwelche

Potenzen von Sinus und Cosinus mit jeweils noch Ts davor. Kann man aber ausrechnen, gibt längere partielle Integration und längere Schlachten mit den Integralen. Die will

ich jetzt gerade hier nicht genau ausführen. Dann, aber wenn man es tut, kommt irgendwann Pi hoch drei Vier und Zwanzigstel raus. Wichtig im Moment ist, in dem ganzen Kapitel

ist immer die Frage, wie führe ich das Kurvenintegral aufs Eindimensional Integral zurück und das ist dann wieder ein ganz eigenes Problem. So, das als erstes Beispiel

und die Schwierigkeit bei dem Beispiel ist wirklich nur am Schluss das Integral zu berechnen. Aber was jetzt ja das wesentlich Neue ist, ist die Umsetzung des Kurvenintegrals in ein eindimensionales Integral. Das haben wir dann im Beispiel schon gesehen. Ich will jetzt nochmal das gleiche Vektorfeld nehmen, aber dann einen anderen Weg. Und

dieser Weg soll so sein, dass er den gleichen Anfangs- und Endpunkt hat wie unser Weg Gamma. Wenn man jetzt einen anderen Weg mit gleichem Anfangs- und Endpunkt sucht, dann gibt es eine relativ einfache Wahl. Wenn man von dem Punkt Null Null nach Null Pi Halbe laufen

will und es keinen anderen Grund gibt, dann entscheidet man sich für gewöhnlich dafür, den direkten Weg zu nehmen. Also einfach auf gerade Linie rauf. Machen wir daraus mal einen Weg. Also im zweiten Beispiel will ich wieder das gleiche Vektorfeld betrachten. f von xy ist

2xy und x² plus y². Und als Weg jetzt den oder einen Weg mit dieser Spur hier, also gerade Verbindungsstrecke von Null Null nach Null Pi Halbe. In der ersten Komponente

hat man die ganze Zeit Null. Und wie kommt man in der zweiten Komponente von Null nach Pi Halbe? Na ja, man nimmt halt T und das T laufen von Null bis Pi Halbe. Das ist die

einfachste Möglichkeit das Ding hinzuschreiben. Das ist die gerade Verbindungsstrecke von Null Null nach Null Pi Halbe. So, der Weg hat den großen Vorteil, dass er einfacher ist,

macht das Kurvenintegral leichter. Aber natürlich ist zu beachten, im Allgemeinen

kommt jetzt auch was anderes raus. Es ist ein anderer Weg. Ich laufe also anders durch das Kraftfeld durch. Keine Begründung warum die beiden Integrale was miteinander zu tun haben sollten, außer dass zufällig Anfangs und Endpunkt identisch sind. Also was passiert

hier? Wir rechnen wieder das Arbeitsintegral aus, indem wir über das Intervall integrieren, wo der Weg definiert ist. Der Weg ist hier auch wieder auf dem Intervall von Null bis Pi Halbe definiert. Skalarprodukt F an der Stelle Gamma von T mal Gamma Strich von T

dt. Also Integral von Null bis Pi Halbe. Was passiert, wenn Sie das Gamma ins F einsetzen?

Gamma Hut von T ist Null T. Also überall da wo ein X steht kommt ein Nuller hin und überall da wo ein Y steht kommt ein T hin. Oben haben wir also zwei mal Null mal T ist Null und unten haben wir Null Quadrat plus T Quadrat ist T Quadrat. Und jetzt

brauchen wir noch die Ableitung von dem Weg. Die ist besonders einfach. Die ist einfach Null eins. Null T nach T Ableiten gibt Null eins. Sie sehen das ist diesmal ein erträgliches Integral. Integral von Null bis Pi Halbe T Quadrat dt. Gibt Stammfunktion

ein Drittel T hoch drei in den Grenzen von Null bis Pi Halbe. Oje ein Drittel mal Pi hoch drei Achtel also ein 24. Pi hoch drei. Und wenn man sich jetzt A und B wieder anschaut, dann stellt man fest, Zufall oder nicht, tatsächlich kommt beides

mal dasselbe raus. Und wie gesagt, das ist in keiner Weise zu erwarten. Ich hatte letztes Mal gesagt, das Weg Integral hängt tatsächlich nicht ganz total vom Weg ab.

Es hängt im Prinzip nur von der Spur und der Durchlaufrichtung ab. Wenn Sie den Weg, den gleichen Weg durchlaufen, die gleiche Spur durchlaufen in gleicher Durchlaufrichtung mit einer anderen Parametrisierung. An einer Stelle ein bisschen langsamer, an

einen völlig anderen Weg nehmen, müsste sich im Allgemeinen schon das Weg Integral ändern. Kann natürlich auch sein, dass wir hier einen reinen Zufall haben. Ich will jetzt diesem scheinbaren Zufall auf den Grund gehen und werde Ihnen zeigen, es ist kein Zufall. Und in diesem Fall hätte man das etwas Theoriewissen im Hintergrund auch vorher schon wissen können,

dass die beiden Integrale gleich sind und hätte sich den ganzen Ärger in dem A-Teil mit meiner Mogellei einige Zeit später sparen können und statt dem A-Integral das B-Integral in B ausrechnen können. Und ich hoffe Sie sehen ein, dass das eine Zeitersparnis ist und

dass es lohnenswert ist zu wissen, wann man das darf und wann man das nicht darf. Es gibt nämlich eine wichtige Klasse von Vektorfeldern, von Kraftfeldern, die so schön sind, dass das Integral tatsächlich noch weniger vom Weg abhängt, nämlich dass es nur vom Anfang zum Endpunkt abhängt. Es ist völlig egal, wie Sie von A nach B kommen,

sondern es ist nur die Frage, wo geht es los und wo hört es auf. Das ist in diesem Fall, das ist so einer und den wollen wir jetzt nachspüren. Und diese Vektorfelder, die diese schöne Eigenschaft haben, dass das Kurvenintegral nur vom Start und Endpunkt

abhängt und nicht von dem Weg dazwischen. Das sind die sogenannten Potentialfelder und dazu muss ich Ihnen erstmal erklären, was ein Potential ist. Eindimensional kennen Sie Potenziale schon. Eindimensional ist ein Potential nichts anderes als eine

Stammfunktion. Also dieser Begriff des Potentials ist die mehrdimensionale Verallgemeinerung für Vektorfelder des Begriffs der Stammfunktion. Also wir geben uns ein Vektorfeld vor Das ist definiert auf irgendeiner Teilmenge des Rn. Ein Vektorfeld von diesem M in den Rn und

dann heißt eine Funktion Phi von M nach R, also jetzt auch in N Variablen, aber nur mit einem Ergebnis. Die nennt man Potential von F, falls zwei Dinge gelten. Zunächst mal das

Phi muss differenzierbar sein, weil nämlich sonst das, was jetzt kommt, keinen Sinn macht. Und das Phi muss in gewissem Sinne eine Stammfunktion von F sein. Also ein Potenzialfeld,

ein Vektorfeld mit Potenzial ist ein Vektorfeld, das eine Stammfunktion hat. Und diese Stammfunktion Phi heißt das Potenzial von F. Und was heißt es eine Stammfunktion? Das heißt, die Ableitung von Phi ist F. In dem Zusammenhang, also der Gradient von Phi

ist dasselbe wie groß F für alle x in M. So wie es da steht, stimmt es nur zu 95 Prozent, weil der Gradient ist nach unserer Konvention ein liegender Vektor und das Vektorfeld ist nach unserer Konvention ein stehender Vektor. Also hier noch irgendwo transponiert dran. So,

aber das ist technische Feinheit. Das Entscheidende ist ein Potenzial, ist so eine Stammfunktion. Also wenn Sie ein gegebenes Vektorfeld haben, dann ist ein Potenzial eine Funktion, der in Ableitung dieses gegebenen Vektorfeld ist. Und so ein Vektorfeld nennt man dann auch ein Potenzialfeld, weil es eben ein Potenzial hat. Also dieses Feld F heißt

dann Potenzialfeld oder insbesondere die Physiker und Mechaniker sagen dazu auch

ein konservatives Feld. So und was ich Ihnen jetzt zeigen will ist, diese Potenzialfelder, die sind was ganz Kostbares, weil Potenzialfelder, das sind genau, das sind die, bei denen man,

wenn alle sonstigen Voraussetzungen passen, den großen Vorteil hat, dass das Integral, das Kurvenintegral durch so ein Potenzialfeld entlang irgendeinem Weg tatsächlich gar nicht komplett vom Weg abhängt, sondern nur vom Start und Endpunkt. Und wie Sie vom Start zum

Endpunkt kommen, ist egal. Das heißt, wenn Ihnen irgendjemand ein Potenzialfeld gibt und die Aufgabe, rechnen Sie das Kurvenintegral aus. Wenn die Aufgabe ist, irgendein gegebenes Potenzialfeld, irgendein gegebenes Vektorfeld und diese Kurve hier, rechnen Sie mir mal da das Kurvenintegral aus und Sie stellen fest, Ihr Kurvenintegral ist ein Potenzialfeld,

dann ist es total egal, wie Sie von A nach B kommen, dann können Sie diesen Weg hier ersetzen durch irgendein Ihrer Wahl, zum Beispiel den. Und das ist zu teilen sehr praktisch.

Warum ist das so? Schauen wir uns das an. Also wir schauen uns an Kurvenintegrale von Potenzialfeldern. Potenzialfelder und im Prinzip passiert hier das gleiche,

ja sehen wir gleich wie im Eindimensionalen. Also wir sind in der Situation von gerade eben, wir haben also wieder ein Vektorfeld auf eine Menge groß M gegeben, die eine Teilmenge von Rn ist nach Rn. Und das ist ein Potenzialfeld, das heißt, es gäbe so eine, wir setzen

voraus, es gibt so eine Funktion Phi, so ein Potenzial Phi, sodass der Gradient von, dass F genau der Gradient von dem Phi ist. Also Phi ist auch jetzt eine Funktion auf M definiert, aber nach R, Funktion von n Variablen nach R hat als Ableitung, als Gradient ein

Vektorfeld von Rn nach Rn. Und das soll eben mit groß F übereinstellen. So, jetzt geben wir uns irgendeine Kurve her, nehmen wir uns irgendeine Kurve her und schauen uns das Kurvenintegral entlang Gamma von unserem Vektorfeld F an. So, was passiert

dann? Was wir ja ausrechnen müssen ist, wir wollen das Kurvenintegral von unserem Vektorfeld F

entlang der Kurve Gamma ausrechnen. Das ist, die Formel hatten wir jetzt schon mehrfach,

das Integral von A bis B, Skalarprodukt von F verknüpft mit Gamma, mal die Ableitung von Gamma. Jetzt wissen wir, dass dieses F, groß F, wissen wir ja ist ein Potenzialfeld. Also

wir können das groß F ist gleich dem Gradienten von unserem Phi. Also steht hier Skalarprodukt vom Gradienten von Phi an der Stelle Gamma multipliziert mit Gamma Strich. Und wenn man

ein paar Minuten anschaut und länger darauf rummeditiert, dann stellt man fest, so was hat man schon mal gesehen. Was steht da? Da steht die Ableitung von Phi an der Stelle Gamma, mal die Ableitung von dieser inneren Funktion Gamma. Das ist genau die Kettenregel. Das ist die rechte Seite der Kettenregel. Äußere Ableitung von der inneren Funktion mal

innere Ableitung. Was da steht, ist die rechte Seite der Kettenregel. Super, also schreiben wir mal die linke Seite der Kettenregel hin. Das ist das Gleiche wie das Integral von A bis B, Phi von Gamma von T und das abgeleitet. Wenn Sie diese Funktion,

die hier im T, die Zahl Phi von Gamma von T, Phi von Gamma, Phi nach Gamma ist jetzt eine Funktion von R nach R. Das Gamma schluckt reelle Zahlen und spuckt Vektoren im Rn aus. Das Phi nimmt diese Vektoren im Rn und macht wieder Zahlen draus. Phi von Gamma von T ist eine Zahl. Also hier steht eine ganz normale Funktion von R nach R. Die kann ich

ableiten und wenn ich die ableite, dann muss ich die Kettenregel ziehen und die Kettenregel beim ableiten gibt gradigen Phi von Gamma von T mal Gamma Strich von T, genau das was drüber steht. So und was steht jetzt da? Jetzt steht der Traum jeder eindimensionalen

Analysis da. Was steht hier? Steht das Integral über die Ableitung der Funktion Phi nach Gamma. Was ist die Stammfunktion von der Ableitung? Nee, die Funktion. Hauptsätze Differential und Integralrechnung. Das ist dasselbe. Also oder anders ausgedrückt,

Sie brauchen ja jetzt, um dieses Integral auszurechnen, eine Stammfunktion der Ableitung von Phi nach Gamma. Stammfunktion der Ableitung von Phi nach Gamma ist Phi nach Gamma. Also hier kommt raus Phi von Gamma von T in den Grenzen von A bis B und das heißt hier

kommt raus Phi von Gamma von B minus Phi von Gamma von A. Und jetzt ist das Wunder passiert. Was haben wir denn jetzt ausgerechnet? Wir haben jetzt ausgerechnet, wenn wir so ein Vektorfeld haben, das ein Potentialfeld ist und ein Potential hat, dann können Sie irgendeine Kurve nehmen und mir ist total egal welche und wenn Sie das Kurvenintegral

dieser Kurve ausrechnen, kriegen Sie raus die Differenz von Potential am Endpunkt minus Potential am Anfangspunkt. Was die Kurve dazwischen macht, ist völlig schnurz. In die Formel geht nur ein Potential, Potential an der Stelle Anfang, Endpunkt

minus Potential an der Stelle Anfangspunkt. Und das bedeutet, für das Kurvenintegral hängt nur vom Endpunkt und vom Anfangspunkt ab und wie Sie vom Anfang zum Endpunkt kommen ist total egal. Also das heißt, wenn F ein Potentialfeld ist, dann hängt das

Kurvenintegral nur vom Anfangswert, also vom Anfangs- und Endpunkt des Weges ab und nicht von nichts anderem. Also vom Potential natürlich noch, aber der Weg spielt nur der Anfangs- und der Endpunkt eine Rolle und nicht von der sonstigen Spur ab.

Wenn Sie also ein Potentialfeld haben, dann brauchen Sie um das Kurvenintegral auszurechnen, nur das Potential, den Anfangspunkt, den Endpunkt und der Rest von der Kurve sind egal. Sehr angenehm, insbesondere wenn die Kurve schrecklich ist. Insbesondere und das ist

ein wichtiger Spezialfall, der oft auftritt, wenn Sie einen geschlossenen Weg haben, Anfangspunkt und Endpunkt sind identisch. Also Sie haben ein Potentialfeld und gamma,

eine geschlossene Kurve. Das heißt Anfangspunkt gleich Endpunkt, naja dann ist phi am Anfangspunkt gleich phi am Endpunkt und wenn Sie die beiden voneinander abziehen,

dann ist das Gesamtintegral nur ein ganz wesentlicher Spezialfall. Übrigens auch was, was man, wenn man im Geiste, wenn man bereit ist, das Thema Reibung auszuklammern,

aus dem Alltag kennt, ein ganz wichtiges Kraftfeld, ein ganz wichtiges Potentialfeld, ein konservatives Kraftfeld, das Sie alle kennen, ist das Gravitationsfeld. Das Gravitationsfeld, das Kraftfeld der Erde ist ein konservatives Kraftfeld, hat nicht ein Potential und das bedeutet sozusagen, wenn Sie vom Reibung und allem absehen, wenn Sie mit Ihrem Fahrrad eine

Rundtour machen, haben Sie insgesamt keine Energie reingesteckt und keine gekriegt, weil so viel wie Sie rauf fahren, fahren Sie auch runter und insgesamt ist die Gesamtarbeit Null. Und es ist eben egal, auf welchen Umwegen Sie von A nach B fahren, insgesamt müssen

Sie halt einmal die Höhendifferenz überwinden, die zählt, alles andere ist wasch. Und die Höhendifferenz ist genau das Potential, ist die Differenz der Potential. Wenn die Formel

seltsam aussieht, auch noch mal der Hinweis, kennen Sie aus dem Eindimensionalen alles. Im Eindimensionalen passiert nämlich genau das Gleiche. Was ist denn das Integral? Im Eindimensionalen, das ist die Stammfunktion am Endpunkt des Intervalls minus Stammfunktion am Anfangspunkt des Intervalls. Genau das Gleiche steht hier. Das Phi, das Potential

spielt die Rolle der Stammfunktion und Sie können das Kurvenintegral ausrechnen, indem Sie die Stammfunktion am Endpunkt des Intervalls auswerten minus die Stammfunktion am Anfangspunkt des Intervalls. Nur, dass der Intervall jetzt halt eine verbogene Kurve ist. Aber das Ergebnis ist genau das gleich. Was der Hauptunterschied ist

Und darauf komme ich jetzt. Im Eindimensionalen ist die Welt toll, weil zumindest, sagen wir, jede stetige Funktion hat eine Stammfunktion. Also im Prinzip hat jede Funktion, das würden mich meine Kollegen steinigen, aber im Prinzip hat jede Funktion eine Stammfunktion.

Und deswegen kann man im Eindimensionalen so relativ gute Integrale ausrechnen, wenn man denn eine Stammfunktion hat. Und das ist was, was einen im Übergang zu mir macht. So, dann würde ich gerne in den zweiten Teil einsteigen und ein bisschen

diese Integralitätsbedingungen mit Ihnen diskutieren. Und das erste, was ich Ihnen zeigen will, ist das vorhin schon angesprochene, diese Integralitätsbedingungen ist eine sehr restriktive Bedingung, die eigentlich im Großen und Ganzen fast alle Vektorfelder

ausschließt. Das sieht man schon, wenn man sich ein bisschen überlegt, was hier gefordert wird, ist ein Stapel Gleichheiten, wirklich Gleichheiten von Funktionen. Das muss schon sehr gut laufen, bis diese Funktionen gleich sind. Und das macht man am besten sich klar, indem man mal

einfach versucht, mal einfach in irgendeinem Vektorfeld hinschreibt und mal probiert, was passiert. Also, nicht wundern, dass das hier mit B anfängt, A kommt gleich auch noch. Die

sozusagen Message von diesem Abschnitt ist, oder von diesem Beispiel B ist, Potenziale sind etwas seltenes und kostbares. Bitte nicht davon ausgehen, dass man die an jeder Ecke findet. Und das kann man klar sagen, ein ganz entscheidender Unterschied zwischen eindimensionaler und

mehrdimensionaler Analysis. Im Eindimensionalen hat jede stetige Funktion eine Stammfunktion, ja sogar noch manche mehr, aber zumindest jede stetige hat schon eine Stammfunktion. Sie brauchen minimale Voraussetzungen, damit sie eine Stammfunktion haben. Im mehrdimensionalen

kann man so im Prinzip sagen, fast keine Funktion hat eine Stammfunktion und die mit Stammfunktionen sind die absolute Ausnahme. Und das ist, wenn man dann weiter durch die Analysis geht, das ist nur so als Hintergrund, also wenn man dann für Sie in Mathe 3 oder später in allen möglichen Zusammenhängen schaut, ist dieser Unterschied fundamental für

viele Probleme, die es bei höheren Fragestellungen gibt. Sie werden in der Mathe 3 gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen sehen zum Beispiel. Gewöhnliche Differentialgleichungen

sind schon schwer genug, aber relativ gut verstanden. Leider sind die meisten Dinge, die in der Natur vorkommen, werden beschrieben durch partielle Differentialgleichungen. Die sind hölle viel komplizierter und eigentlich, wenn man ehrlich ist, nicht wirklich verstanden. Und der Hintergrund, wenn man ganz tief bohrt, ist am Ende für gewöhnliche

Differentialgleichungen kann man alles zurückspielen, zumindest in der Theorie, auf den Hauptsatz der differentialen Integralrechnung, auf die Existenz einer Stammfunktion. Und für partielle Differentialgleichungen geht das nur, wenn man eine Stammfunktion von einem Vektorfeld hat. Und dabei fangen die Probleme an, weil das hat man im Allgemeinen nicht.

Das ist ein Beispiel. Aber das ist ein fundamentaler Unterschied zwischen eindimensional und an dem man nicht vorbeikommt. Wie gesagt, schreiben Sie sich einfach irgendwas hin. Ich habe jetzt mal f und x, y ist x, x plus y. Super braves Vektorfeld, beliebig oft

differenzierbar. Alles schön. Prüfen Sie nach, ob die Integrabilitätsbedingungen erfüllt sind. Was müssen Sie tun? Sie müssen die Komponenten von f nehmen und nach den verschiedenen Variablen ableiten. Also in dem Fall die erste Komponente von f nach

der zweiten Variable ableiten und die zweite Komponente von f nach der ersten Variable. Und das muss gefälligst das Gleiche sein. Also in dem Fall nehmen Sie i und j, 1 und 2. Was passiert? Also Sie nehmen die erste Komponente von f und leiten sie nach der zweiten Variable ab. Die heißt hier y. Die erste Komponente

nach y abgeleitet ist 0. Sie nehmen die zweite Komponente und leiten sie nach der ersten Variable ab. x plus y nach x ableiten ist 1. Und Sie sehen schon so ein einfacher Vektorfeld x, x plus y hat kein Potential. Fällt schon bei der Integrabilitätsbedingungen durch. Brauchen wir gar nicht weiter versuchen.

Ich lade Sie gerne ein. Probieren Sie es auch. Schreiben Sie sich drei Vektorfelder hin und probieren Sie mal aus. Die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Integrabilitätskriterium Ding zufällig erfüllt ist, die ist im Wesentlichen 0. Ist ja auch wenn man sich überlegt, was die Bedingungen bedeutet. Total stark. Da müssen zwei Funktionen für alle Werte x, y

übereinstimmen. Und wenn sie noch mehr dimensionaler werden, wenn sie dreidimensional werden, dann müssen schon dreimal zwei Funktionen übereinstimmen. Erste Komponente nach y abgeleitet muss gleich zweite Komponente nach x abgeleitet sein. Erste Komponente nach z abgeleitet muss gleich dritte Komponente nach x abgeleitet sein. Zweite Komponente nach

z abgeleitet muss gleich dritte Komponente nach y abgeleitet sein. Ja, da gibt es Unmengenbedingungen und die sind nur in seltensten Fällen erfüllt. So, also nach den schlechten Nachrichten gehen wir zu den guten. Schauen wir uns doch unser altes Beispiel wieder an. Vom ganz von

x, y, x² plus y². Da hatten wir schon gesehen, dass das ein Potentialfeld ist. Rechnen wir mal kurz die Integrabilitätsbedingungen nach. Damit wir sehen, die tut hier auch. Also was ist die

Integrabilitätsbedingungen hier? Erste Komponente wie gerade eben nach der zweiten Variablen muss gleich zweite Komponente nach der ersten Variablen sein. Integrabilitätsbedingungen bei Funktionen zwei Variablen ist nur eine einzige Gleichung, weil wenn sie für i und

j nur eins und zwei zur Verfügung haben, gibt es nur eine Möglichkeit die beiden verschieden zu wählen. Der eine ist eins und der andere ist zwei. Deswegen fällt die Integrabilitätsbedingungen bei Funktionen in zwei Variablen auf eine Gleichung zusammen. Ja, das können wir hier mal schnell nachprüfen. Also wir nehmen die erste, so jetzt, wir nehmen die erste

Komponente von dem f, das ist 2xy und leiten nach y ab, also df1 nach dy. Ableitung von 2xy nach y ist 2x. df2 nach dx leiten sie die zweite Komponente von dem f nach x ab, kriegen sie auch 2x. Also in dem Fall passt die

Integrabilitätsbedingung. Wie gesagt, wir werden noch sehen, dass die Integrabilitätsbedingung greift, ist nicht unbedingt, ist nah dran, werden wir sehen, aber nicht unbedingt ein Garant dafür, dass es ein Potenzial gibt. Trotzdem als V-Austräge, wenn es tut, dann ist man, wie gesagt, sehr nah

dran, dann lohnt es sich mal zu versuchen das Potenzial zu bestimmen. Natürlich, die nächste Frage ist, wie bestimmt man denn jetzt das blöde Potenzial? Ich hatte es Ihnen vorhin schon hingeschrieben, aber die Variante, wir finden ein Orakel, das uns zufällig verrät, wie das Potenzial ist, ist nicht

alltagstauglich. Irgendwie muss man ja an das Potenzial kommen. Ich will Ihnen jetzt an dem Beispiel zeigen, wie man als Potenzial drankommt. Also anhand dieses Beispiels mal, wie bestimmt man denn jetzt dieses Potenzial? Und

das macht man so ein bisschen bastelmäßig Schritt für Schritt. Was muss denn für das Potenzial gelten? Was suchen wir? Wir suchen eine Funktion, Phi, in zwei Variablen nach R, sodass die Ableitung nach x, 2xy ist und die Ableitung nach y, x² plus y². Fangen wir also mit der ersten

Bedingung an. Es muss gelten, die Ableitung von dem Phi nach x muss die erste Komponente von unserem Vektorfeld sein, also 2xy. Naja, das ist doch jetzt eine schöne eindimensionale Integralaufgabe. Wir suchen eine Funktion in x und y, sodass die Ableitung nach x, 2xy ist. Also ist

Phi von x, y irgendwas von der Form integral über diese Funktion 2xy nach x, irgendeine Stammfunktion von 2xy. Dann ist die Ableitung 2xy plus unter Umständen noch irgendeine Funktion g, die nur von y abhängt.

Wenn ich jetzt nach x differenziere, fällt die weg. Das habe ich mit der Methode nicht im Griff. Aber ich weiß jetzt, mein Phi von x, y ist eine Stammfunktion nach x gesehen von 2xy plus unter Umständen noch irgendwas, was nur von y abhängt. Gut, diese Integral da vorne kann man aus xen.

Stammfunktion von 2xy als Funktion in x betrachtet ist ein halbes x²y, ne, ist x²y plus eine möglicherweise eine Substante plus diese Funktion g von y. So, damit haben wir die erste Information ausgeschlachtet. Jetzt haben wir noch eine zweite. Wenn ich meine

Funktion Phi nach y differenziere, dann muss x² plus y² rauskommen. Also differenzieren wir doch mal dieses Phi nach y. Also was wir jetzt auf die Weise schon mal eingestellt haben, ist die Ableitung von Phi nach x ist 2xy. Das haben wir schon mal. Und wie sieht

jetzt mit unserer Ableitung nach y aus? x²y nach y abgeleitet x². Die Konstante nach y abgeleitet ist uns egal. Und hinten gibt es noch die Ableitung von dieser Funktion g. So, damit hat man dabei jetzt weiß man,

was mit dem g ist. Wir wissen, dass das hier soll ja sein, x² plus y². Also muss g' von y gleich y² sein. Also nehmen Sie sich irgendeine schöne

Stammfunktion davon. Zum Beispiel g von y ist ein Drittel y hoch 3 plus irgendeine Konstante c, wenn Sie Lust haben. Und damit kriegen Sie zusammen zum Beispiel als Potenzial die vorhin schon angeschriebene Funktion Phi

x²y plus ein Drittel y hoch 3. Ich habe jetzt die ganzen Konstanten c null gesetzt. Das können Sie machen, das ist egal, weil auf Konstanten kommt es beim Potenzial nicht an. Wenn Sie ein Potenzial haben, können Sie auch sieben dazu addieren, dann haben Sie immer noch ein Potenzial, weil Potenzial heißt

denn nur die Ableitung ist f, Konstanten fallen beim Ableiten weg. So, aber das ist zum Beispiel ein Potenzial von unserer Funktion und die Methode an so ein Potenzial zu kommen ist im Prinzip hier immer die, sie arbeiten sich variablenweise vorwärts. Man fängt mit der ersten

Bedingung an, die Ableitung nach der ersten Variable muss die erste Komponente von f sein, integriert die rauf, dann hat man den ersten Summanden sozusagen plus irgendwas, was nur von den anderen Variablen abhängt und so kann man sich Variable für Variable hoch hangen. Aber wie gesagt,

fangen Sie um Himmels willen erst an, Potenzial zu suchen, wenn Sie über die Integrabilitätsbedingungen gecheckt haben, Sie haben eine Chance, weil es seitens steht da, bestimmen Sie das Potenzial des folgenden Vektorfelds. Aber wenn Sie es nicht vorher wissen, die Integrabilitätsbedingungen schnell zu checken, kostet 25 Sekunden, die ist schnell, da müssen

Sie zweimal kurz ableiten und fertig oder je nachdem, wie viele Variablen Ihre Funktion hat, vielleicht auch ein paar Mal mehr. Aber diese Integriererei ist im Service-Fall viel Arbeit und das macht man nicht, wenn man nicht wenigstens vorher getestet hat, ob es vielleicht Erfolgsversprechend ist. So und jetzt komme ich zu unserem dritten notorischen

Beispiel zurück. Jetzt nehmen wir wieder das Vektorfeld aus, das war 2013b, dieses Wirbelfeld f und xy ist minus y durch x Quadrat plus

y Quadrat und x durch x Quadrat plus y Quadrat. Das war dieses Kraftfeld von dem Tornado. Da hatten wir vorhin gesehen, wenn wir da über einen geschlossenen Weg integriert haben, um die Null rum, dann kam zwei Pi raus, das war dieses Phänomen, wo wir die ganze Zeit

Rückenwind hatten. Das heißt, das Wegintegral ist in dem Fall nicht wegunabhängig, es hängt eben davon ab, wie ich Start und Endpunkt verbinde. Es sollte hier also kein Potenzial geben, kann hier kein Potenzial geben. Trotzdem lade ich Sie ein oder will mit Ihnen

mal die Integrabilitätsbedingungen nachrechnen. Das geht hier schnell, weil wir nur zwei Variablen haben. Das heißt, wir müssen einmal die erste Komponente von f nehmen und nach der zweiten Variablen differenzieren und dann die zweite Komponente von f nehmen, nach

der ersten Variablen differenzieren. Also was passiert, wenn wir die erste Komponente nach y differenzieren? Dann ärgern wir uns erstmal, dass das der schwierige Fall ist, nach x wäre einfacher. Nach y müssen wir eine volle Quotientenregel aus x'en, aber nutzt nichts. Also was kriegen wir raus? Erst Ableitung vom Zähler ist eine minus eins mal Nenner, also minus x² plus y² minus der

Zähler mal die Ableitung vom Nenner, also plus y mal den Nenner nach y ableiten gibt nochmal 2y, also plus 2y². Geteilt durch den Nenner zum Quadrat. x² plus y²², das ist die

Quotientenregel. Jetzt können Sie da oben noch so ein bisschen vereinfachen. 2y² minus y² gibt ein y², gibt y² minus x² durch x² plus y²². Gut, das ist die Ableitung der

ersten Komponente nach y. Jetzt müssen wir die Ableitung der zweiten Komponente nach x ausrechnen. Also Ableitung der zweiten Komponente nach x. Wie der Quotientenregel. Ableitung vom Zähler ist eins mal den Nenner ist x² plus

y² minus den Zähler, also x, mal die Ableitung vom Nenner nach x. x² plus y² nach x ableiten gibt nochmal 2x, also minus 2x² durch das Quadrat des Nenners.

So kann man oben wieder aufräumen. Gibt y² minus x² durch x² plus y²². Und Sie sehen dieses Beispiel taucht diese Vorlesung ganz bewusst auf, weil das ist das Vorsicht, Vorsicht, Vorsicht Beispiel. Wenn man genau

schaut, dann sind die beiden gleich. Ja, diese Vektorfeld erfüllt also die Integrabilitätsbedingung. Aber wir haben vorhin gesehen, irgendwas kann jetzt nicht stimmen, weil das kann kein Potential haben. Wenn es ein Potential hätte, wenn es ein Potential hätte, dann wäre

dieses Integralfeuer null gewesen und nicht zwei Pi. Was ist los? Also gucken wir mal, was passiert, wenn wir versuchen, das Potential auszurechnen. Also wir

bestimmen das Potential. Was müssen wir tun? Also es muss gelten, das Potential heißt wieder Pi. Es muss gelten, wenn Sie das Pi nach x differenzieren, dann

kommt raus die erste Komponente, also minus y durch x² plus y. Also muss Pi irgendwas von der Form sein. Integral, eine Stammfunktion von minus y durch x² plus y² dx plus irgendein Rest in y. So,

Stammfunktion von diesem Ding da. Geht aber, ist nicht so schlimm, wie es aussieht. Man muss auf die Idee kommen, dass man so eine ähnliche Stammfunktion

kennt. Wenn Sie sich erinnern, die Stammfunktion, wenn Sie mal das y einsetzen, ein Geiste und das Minuszeichen vergessen, dann steht da eins durch eins plus x². Davon kennen wir eine Stammfunktion. Das ist der Akus tangens. Und das zieht es jetzt, das Ganze darauf zu prügeln, dass da was von der Form eins durch

eins plus irgendwas quadrat steht. Und das macht man. Also erst mal ziehen wir das minus y vor und dann klammern wir unten noch ein y² aus. Dann kriegen wir x durch y² plus 1². 1 plus 1 reicht. Und

jetzt müssen wir noch das y² vorziehen plus g von y. Habe ich das richtig gemacht? Nö, habe ich nicht richtig, doch. Ja, also minus eins durch y, Stammfunktion von eins durch eins plus x durch y² dx.

Jetzt sieht es schon so aus, wie eine Stammfunktion von Akus tangens. Eins durch eins plus irgendwas quadrat. Das irgendwas kriegt jetzt noch einen entsprechenden Namen. Das substituieren wir jetzt. Das nennen wir mal z. Also z ist x durch y. Dann

ist dz eins durch y dx. Das ist hübsch, weil dieses eins durch y haben wir da vorne. Also kriegen wir minus Integral eins durch eins plus z d z plus g von y. Na, jetzt steht es da. Stammfunktion

davon ist minus der Akus tangens von z plus eine Konstante. Setzen Sie das z wieder ein, substituieren Sie das z zurück, kriegen Sie minus Akus tangens von x durch y. So, minus Akus tangens plus g

von y, wenn man genauer ist, g ist lange, weil jetzt habe ich das c jetzt ins g rein gestopft. So, also wenn das Ding ein Potential hat, dann

in der Form minus Akus tangens von x durch y plus irgendwas, was das noch von y abhängt. Prüfen wir mal. Also damit haben wir jetzt dv nach dx. Ist, wenn Sie das differenzieren,

nach x kriegen Sie eins durch eins plus x durch y Quadrat. Das Minuszeichen haben wir noch. Mal, die innere Ableitung ist eins durch y. Jetzt habe ich mich irgendwo mit einem Minuszeichen verhuft. Unten das y Quadrat

wieder rausziehen. Doch, doch, kommt alles

hin. Erweitern Sie den Bruch mal mit y Quadrat. Haben wir minus y Quadrat durch y Quadrat plus x Quadrat mal eins durch y ist minus y durch x Quadrat plus y. So, also das

passt schon mal. Wie sieht es aus mit der zweiten Komponente? Wir wollen ja noch, dass dv nach dy gleich die zweite Komponente von unserem f ist. Also differenzieren wir das Ding mal nach y. Oh, wie hässlich. Also

differenzieren wir erstmal den Akkus Tangens. Eins durch eins plus x durch y Quadrat. So, und jetzt mal die innere Ableitung und die innere Ableitung nach y. Wenn Sie x durch y nach y Ableiten, ist das x mal

minus eins durch y Quadrat. x mal x durch y nach y differenzieren. Das x bleibt stehen. Ableitung von eins durch y ist minus eins durch y Quadrat. So, die beiden Minuszeichen machen sich mal vom Acker. Oben bleibt ein x stehen und

unten ein y Quadrat mal eins plus x durch y Quadrat. Naja, das ist ja zu schön um wahr zu sein. Das ist x durch x Quadrat plus y Quadrat. Und das ist f zwei von x y. Hä? Unser Elektrofeld

hat ein Potential. Irgendetwas stimmt nicht. Irgendetwas kann nicht stimmen. Die Integrationsbedingung ist erfüllt. Das Ding hat ein Potential, nämlich diese Funktion Minus Argus Tangens von x durch y. Also, g können Sie null nehmen.

Also, das Potential ist Phi von x y ist Minus Argus Tangens von x durch y. Und wir haben gesehen, das ist ein Potential. Warum kam dann vorher nicht

null raus? Wir haben doch über einen geschlossenen Weg integriert, über einen Potential, wenn muss so null rauskommen. Wo ist der Fehler? Und der Fehler ist an einer Stelle, wo ich immer wieder darauf hinweise. Ich habe es jetzt hier mal ganz ruchlos gemacht. In dieser ganzen

Herleitung habe ich ziemlich viel durch x und durch y geschrieben, ohne mir Gedanken zu machen, was eigentlich passiert, wenn die null sind. Insbesondere schauen Sie sich mal, ist mal die Frage, auf welcher Menge ist denn dieses Potential überhaupt definiert. Wenn Sie sich das Potential anschauen, sehen Sie, naja, ein Problem gibt es doch wahrscheinlich, wenn y null wird. Wenn y null ist,

gibt es da ein Problem. Und das ist genau der Schlüssel zu der Frage, was hier schief geht. Das Ding ist ein Potential von unserem Vektorfeld, das ist richtig. Aber auf der Menge R2 ohne, ich schreibe jetzt mal,

dass ich hoffe, Sie verstehen, was ich meine, R2 ohne die x-Achse. Also, alle Punkte für die y gleich null sind. Nein, das geht mir gegen die mathematische Ehre. So, also, wie schreiben wir die x-Achse richtig? Das ist die Menge aller Punkte x null x aus R. Ja, so, das ist die x-Achse.

So, dieses Potential existiert und ist da, aber nur auf R2 ohne die x-Achse. So, jetzt mal ich ein Bild und erkläre, was hier passiert. Und dann sieht man, dass alles wunderbar zusammenpasst. Auch wenn dieses

wunderbar zusammenpasst, im Endeffekt bedeutet, man muss völlig aufpassen und es verhält sich nicht immer alles, so wie man es haben will. Also, wir haben den Potential und jetzt nochmal, was haben wir vorhin ausgerechnet? Wir haben vorhin ausgerechnet integral über gamma, dieses Vektorfeld groß f,

das wir hier betrachten. Wenn Sie dieses Vektorfeld groß f über gamma ausrechnen, wobei gamma, gamma war vorhin die Kurve, die einmal den Einheitskreis rumläuft, das war das

gamma und über dieses Ding haben wir integriert und haben festgestellt, da kommen zwei Pi raus und zwei Pi ist erfahrungsgemäß nicht null. Aber wir haben jetzt andererseits ausgerechnet, unser Vektorfeld hat Potential, also

müsste da null rauskommen. Und das Problem ist folgendes, das f, das f auf R2 ohne den Ursprung. Dieses Vektorfeld f, hoffentlich steht es noch irgendwo, nein, steht nirgends mehr. Also,

dieses Vektorfeld f minus y durch x Quadrat plus y Quadrat und x durch x Quadrat plus y Quadrat. Das war definiert auf R2 ohne den Ursprung. Das hatte also eine Problemstelle und diese Problemstelle war hier. Die war für uns kein Problem, weil um die integrieren wir ja weit rum. Wir

integrieren auf dem Kreis, da ist uns die Null total wurscht. Und was passiert jetzt, wenn wir das Potential ausrechnen? Wir haben festgestellt, das Ding hat einen Potential, aber, und das ist das perfide, beim Potential bestimmen kann der Definitionsbereich kleiner werden. Das Potential existiert nicht auf dem ganzen Definitionsbereich von groß f, sondern es existiert auf

R2 ohne der x-Achse. Das heißt, es existiert auf R2 ohne diese Achse. Und das tangiert unser Kurvenintegral sehr wohl. Unser Vektorfeld hat nicht

auf dem ganzen Weg ein Potential, sondern hier an diesen Problemstellen hat es keins. Und deswegen können Sie hier die schöne, vorhin gefundene Regel, wenn Sie einen Potential haben, dann hängt es nur vom Anfang zum Endpunkt ab, insbesondere

wenn das Integral geschlossen ist, die Kurve geschlossen ist, kommt die Null raus, nicht anwenden, weil Sie integrieren nicht über ein Potentialfeld, sondern Sie integrieren über die Definitionslücken des Potentials drüber. Und das ist das Problem. Und das ist fies, weil man auf die Weise, ja, über die

Integrabilitätsbedingungen die Idee kriegt, da müssten Potenziale geben und dann aber feststellt, das Potential ist nicht so gut wie die Funktion, die Definitionslücke von der Funktion, die kann ausstrahlen. So wie es hier passiert, das Vektorfeld ist definiert auf R2

ohne den Ursprung und das Fiede ist definiert auf R2 ohne die X-Achse. Man könnte sozusagen sagen, die Singularität von f, die strahlt aus.

Das ist das, was hier passiert. Sie integrieren um die Singularität von dem f einmal rum. Das f hatten nur im Ursprung ein Problem. Sie integrieren einmal um die Problemstelle rum. Und das merkt man am Potenzial. Die strahlt aus. Und das passiert sehr, sehr oft.

Also, deswegen muss man aufpassen, wenn man solche Funktionen hat mit einer Definitionslücke und sie integrieren um die Definitionslücke rum. Das ist, da muss man sehr genau hinschauen, wie das mit Potenzial ist. Also, was man daraus sehen kann, ist, die Integrabilitätsbedingung allein reicht nicht.

Es ist ja eigentlich sogar noch schlimmer. Wir haben gesehen, die Integrabilitätsbedingung reicht nicht. Es reicht noch nicht mal, wenn man ein Potenzial ausrechnet. Wir haben ja sogar ein Potenzial ausrechnen können. Man muss sehr genau auf die Definitionsbereiche schauen.

Und das ist natürlich, wenn die Funktionen komplizierter werden, schwieriger. Es ist sogar oft so, dass man denen die Integrabilitätsbedingungen noch nachrechnen kann. Kein Kunststück, da muss man auch nur ein paar mal differenzieren. Das ist aber völlig hoffnungslos, das Potenzial zu bestimmen. Trotzdem wäre es ja total super zu wissen, das Ding hat ein Potenzial. Ich muss es ja, das Gute ist, ich muss das Potenzial gar nicht ausrechnen.

Es reicht mir zu wissen, das Ding hat ein Potenzial und wenn ich jetzt ein geschlossenes Kurvenintegral abkomme, null raus. Ich muss das Potenzial dazu nicht wissen. Wenn ich weiß, es hat ein Potenzial und ich habe ein geschlossenes Integral, kommt null raus, egal wie das Potenzial aussieht. Und deswegen gibt es an dieser Stelle oder glücklicherweise gibt es an dieser Stelle eine Abhilfe.

Und was jetzt dazu kommt, ist eine geometrische Bedingung an den Definitionsbereich, die solche Situationen hier ausschließt. Und da gibt es jetzt eine ganze Latte von

Resultaten von Kriterien, mit denen man solche Situationen ausschließen kann. Ich zeige Ihnen hier die eine davon, da kann man jetzt vier Vorlesungen drüber machen über das Thema. Ich zeige Ihnen ein Kriterium, das den Vorteil hat,

dass es in der Alltagsanwendung sehr leicht feststellbar ist. Das ist nicht das allgemein mögliche, aber das werden Sie auch nicht brauchen. Das ist eins, das im Alltag gute Dienste tut und bei dem man nicht viel nachprüfen muss, sondern dass man eigentlich per draufgucken entscheiden kann. Und das sind sogenannte sternförmige Mengen.

Ich erkläre Ihnen, was das ist. Also Potenzial auf sternförmigen Mengen. Mit dem Begriff werden Sie genau an dieser einen Stelle zu tun kriegen. Aber hier ist er extrem wichtig. Also wir haben wieder ein Vektorfeld auf einer Teilmenge, das er N definiert

und das erfüllt die Integrabilitätsbedingungen. Also wir könnten gute Hoffnung sein. Das ist vielleicht ein Potenzial hat. Wenn nicht, dann ist eh verloren. Ich meine, dann müssen Sie ihr Kurven integral zu Fuß ausrechnen. Wenn Sie kein Potenzial, wenn die Integralitätsbedingungen

nicht erfüllt ist, dann gibt es garantiert kein Potenzial. So, also es erfüllt die Garant Integralitätsbedingungen. Und wenn man. Und jetzt haben wir vorhin gesehen, dass die Integralitätsbedingungen erfüllt. Es reicht nicht für diesen Akkus Tangens Ding hier. Für dieses Akkus Tangens Biest ist die Integralitätsbedingungen erfüllt.

Trotzdem gibt es nicht in dem Sinne ein Potenzial, dass das Integral über jede geschlossene Kurve 0 ist. Und was dahinter steckt, ist eben im Wesentlichen. Man kann im Definitionsbereich, man kann im Definitionsbereich um eine Definitionslücke rumlaufen.

Das müssen wir noch verbieten. Und eine Möglichkeit, also die Bedingung, die jetzt noch fehlt, ist eine der Geometrie des Definitionsbereichs. Das Problem hier ist die Geometrie des Definitionsbereichs R2 ohne 0, der so doof ist, dass man innerhalb des Definitionsbereichs um die Definitionsrücke rumlaufen kann.

Daran sieht man auch, dieses Problem kann im Eindimensional nicht auftreten. Wenn Sie im Eindimensional eine Definitionslücke haben, dann werden Sie es nie schaffen, innerhalb der reellen Achse um diese Definitionsrücke rumzulaufen. So viel Platz bietet Ihnen die reelle Achse nicht. Eine Lücke raus, dann ist Lücke. Im R2 geht das.

So, wenn man jetzt eben so was ausschließt, und das kann man am schönsten folgendermaßen ausschließen. Man braucht, dass das M offen ist und sogenannt sternförmig. Dann gibt es ein schönes Resultat, das sagt, wenn M offen und sternförmig ist und F erfüllt die Integrabilitätsbedingungen,

dann hat F auf ganz M ein Potenzial. Also dann ist die Integrabilitätsbedingung nicht nur eine notwendige Bedingung, sondern sogar eine hinreichende Bedingung. Wenn Sie eine sternförmige Definitionsbereich haben

und ihr F erfüllt die Integrabilitätsbedingungen, dann haben Sie automatisch ein Potenzial. Sie können es vielleicht nicht ausrechnen, das ist aber vielleicht auch egal, weil man will ja nur, wenn Sie Glück haben, haben Sie nun ein geschlossenes Integral. Dann brauchen Sie das Potenzial eh nicht. Dann wissen Sie, es kommt nur was.

Und das ist sehr praktisch. Und jetzt muss ich Ihnen nur noch sagen, was heißt sternförmig. Sonst ist das Kriterium ein bisschen nutzlos. Also was heißt sternförmig? Ich könnte Ihnen jetzt eine wilde Definition hinschreiben. Aber ich schreibe Ihnen beides hin, eine wilde Definition.

Und dann sage ich Ihnen noch, was das bedeutet. Sternförmig heißt, es gibt einen Punkt, den sogenannten Sternpunkt, in dem M. Also es gibt irgendwo einen Punkt P in M, sodass die Verbindungsstrecke zu X, die Verbindungsstrecke von P zu X

für alle X in M vollständig in M liegt.

Also Sie müssen irgendwo in Ihrer Menge M einen Punkt finden, schön in der Mitte, der so liegt, dass Sie von dort aus, dass die Verbindungsstrecke zu jedem anderen Punkt M nicht verlässt. So, dann mache ich ein paar Bildchen dazu und ich denke,

dann sieht man auch, warum dieser Begriff sternförmig heißt. Das hier ist eine sternförmige Menge,

weil ich behaupte zum Beispiel, dieses P hier funktioniert. Wenn Sie sich irgendein Punkt X hernehmen, liegt die Verbindungsstrecke immer ganz drin. Das ist eine typische sternförmige Menge. Das können Sie jetzt noch ein bisschen extremer machen.

Sternförmig. Es gibt einen Punkt irgendwo, sodass Sie jeden Punkt in der Menge gradlinig mit dem Punkt verbinden können. Nicht sternförmig. Sagt Ihnen schon ein kleines Kind, dass es nicht sternförmig ist, weil es ein Mond ist.

Der Mond ist nicht sternförmig. Versuchen Sie es, egal wo Sie jetzt irgendwie versuchen, Ihr P hinzulegen. Sie können Ihr P versuchen, hier hinzulegen. Dann kommen Sie aber hier nicht mehr gradlinig hin. Sie können mit Ihrem P rutschen, wie Sie wollen. Es gibt immer Punkte, die im Schatten liegen, die Sie nicht gradlinig erreichen.

Sternförmig heißt, es muss einen Punkt irgendwo geben, von dem aus jeder andere gradlinig erreichbar ist. Und jetzt gehen wir noch zu unserem Beispiel von Vollen zurück. Wie sieht es aus mit folgendem M, das wir Vollen betrachtet haben?

Wie sieht es aus mit R2 ohne den Ursprung? Und ich behaupte, R2 ohne den Ursprung ist auch nicht sternförmig. Deswegen geht es da drüben schief. Warum ist das nicht sternförmig? Na ja, der ganze R2 ist offensichtlich sternförmig. Da können Sie jedes P nehmen.

Nehmen Sie den Ursprung als P, dann kommen Sie überall gradlinig hin. So, was kann man hier als P nehmen? Nehmen Sie, egal was, ich finde Ihnen immer einen Punkt, der nicht tut. Nehmen Sie Ihr P irgendwo. Dann finde ich einen Punkt, sodass die gradlinige Verbindung zu P nicht drin ist, nämlich den gegenüber. Egal, wo Sie Ihr P hinlegen.

Ich finde immer einen Spielverderberpunkt. Dann können auch Ihr P hier drüben hinlegen. Das ist mir ganz egal. Dann gehe ich hier hin. Ich kann mich immer hinter diesem Ursprung verstecken. Und deswegen ist das Ding nicht sternförmig. Und Sie sehen, hier geht es auch schief. Also diese Bedingung, die ist essentiell.

Das ist kein Artefakt, sondern sternförmig oder was Ähnliches, was Verwandtes braucht man, um solche Situationen auszuschließen. Ja, guter, guter, guter Spruch.

Guter, gutes Beispiel. Wie sieht es mit der Menge hier aus? Ich nehme R2 ohne die positive reelle Achse.

Die ist sternförmig. Richtig beobachtet. Warum ist die sternförmig? Legen Sie Ihr P irgendwo hier auf die negative Achse. Binden Sie die Verbindungsstrecke zu, egal welchen Punkt, sie sind drin. Das Problem ist, Sie können natürlich jetzt Ihre Funktion,

Ihr Vektorfeld auf dieser Menge definieren. Dann klappt alles, nur dann liegt der Weg nicht in der Menge. Der Weg, den wir da drüben integrieren, der Weg, den wir da drüben integrieren, geht raus.

Das ist der Punkt. Und deswegen, also man kann, wenn man, wenn man einen Weg hat, der in dieser geschlitzten rechten Ebene ist, also wenn Sie dieses Vektorfeld von da drüben nehmen und integrieren es über diesen Weg, dann kommt Null raus.

Weil das ein geschlossener Weg ist in der sternförmigen Menge und die Funktion hat ein Potenzial. Aber wenn Sie über den Schlitz drüber integrieren, dann ist aus. Genau, gut, vielen Dank für die Geduld, zumindest bei einigen. Und bis morgen, vielen Dank für die Aufmerksamkeit.