Gesetz der großen Zahlen
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Formale Metadaten
| Titel |
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| Serientitel | ||
| Teil | 23 | |
| Anzahl der Teile | 28 | |
| Autor | ||
| Lizenz | CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland: Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben. | |
| Identifikatoren | 10.5446/35970 (DOI) | |
| Herausgeber | ||
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| Sprache |
Inhaltliche Metadaten
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ErwartungswertSummeVarianzBedingter ErwartungswertZufallsvariableMartingalUnendlichkeitMartingaltheorieWahrscheinlichkeitstheorieBetrag <Mathematik>QuadratComputeranimationVorlesung/Konferenz
08:45
ErwartungswertUnendlichkeitSummeIntegrierbarkeitSigma-AlgebraMartingalPhysikalische TheorieVorlesung/Konferenz
17:22
ErwartungswertMartingalSigma-AlgebraMengeSummeUngleichungZahlenbereichBedingter ErwartungswertQuadratPartialsummePhysikalischer EffektKreisflächeVorlesung/Konferenz
26:00
ErwartungswertZufallsvariableUngleichungQuadratBinomische FormelSummeIntegrierbarkeitBedingter ErwartungswertFünfeckIntegralVorlesung/Konferenz
34:58
ErwartungswertVarianzRichtungSummeQuadratZahlenbereichArithmetisches MittelVariableMittelungsverfahrenZufallsvariableMomentenproblemIntegrierbarkeitVorlesung/Konferenz
43:56
ErwartungswertVorlesung/Konferenz
45:12
Folge <Mathematik>MittelungsverfahrenGrenzwertberechnungSummeAnalysisVollständige InduktionTransfinite InduktionVorlesung/Konferenz
52:46
SummeVorlesung/Konferenz
54:22
SummeSummierbarkeitRekursionsformelModulformVorlesung/KonferenzComputeranimation
59:34
Arithmetisches MittelZufallsvariableSummeZahlIntegrierbarkeitErwartungswertVarianzZahlenbereichAussage <Mathematik>Physikalische GrößeStochastikReiheAlgebraisch abgeschlossener KörperHausdorff-RaumVariableVektorVorlesung/Konferenz
Transkript: Deutsch(automatisch erzeugt)
00:08
So, dann begrüße ich Sie zur Vorlesung Wahrscheinlichkeitstheorie. Ich habe hier noch ein paar Sachen, die ich jetzt heute in der Vorlesung gebrauche, gebrauchen werde, auf einer Folie zusammengefasst.
00:22
Es kann sein, dass die Schrift ein bisschen klein ist. Ich bitte, das zu entschuldigen. Und zwar der Hauptbegriff dieses Kapitels ist der Begriff des Martingals. Und um das Martingal einzuführen oder um den Martingalbegriff zu erklären, braucht man eine Folge von Zufallsvariablen Xn.
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Die sind alle definiert auf dem gleichen Wahrscheinlichkeitsraum, omega ap. Und zu diesen Zufallsvariablen Xn braucht man eine Folge von Sigma-Algebren An.
01:07
Das soll eine aufsteigende Folge sein. In der Literatur sagt man dazu auch Filtration. Und jede Zufallsvariablen Xn soll anb-quermessbar sein.
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Und zusätzlich soll erfüllt sein, dass der bedingte Erwartungswert von Xn plus 1 gegeben an, das ist ein Fehler hier auf der Folie übrigens, gleich Xn fast sicher ist. Das ist eigentlich die Hauptbedingung, die man immer nachrechnen muss.
01:41
Also E von Xn plus 1 gegeben an muss gleich Xn fast sicher sein. Und Professor Kohler hat Ihnen am Ende der letzten Vorlesungen noch den Hauptsatz der Martingaltheorie vorgestellt.
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Und zwar das Sub-Martingal-Konvergenz-Theorien von Duub. Und wir werden da heute ein paar Folgerungen draus vorstellen und die werden wir dann auch beweisen. Ich fange an mit Satz 87. Das Corolla 86 wird Bestandteil der Übungen sein.
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Das überspringe ich deshalb jetzt gleich. Also zum Satz 87. Wir haben eine Folge Vn von quadratisch integrierbaren Zufallsvariablen.
03:10
Da fehlt noch was. Also quadratisch integrierbaren reellen Zufallsvariablen mit Summe n gleich 1 bis unendlich.
03:33
Varianz von diesen Zufallsvariablen echt kleiner unendlich. Dann ist die Summe n gleich 1 bis groß n Vn minus bedingter Erwartungswert von Vn gegeben V1 bis Vn minus 1.
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Wobei das n aus n ist. Fast sicher konvergent.
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Also der Satz gibt uns ein konkretes Kriterium, wann die Folge von Partialsummen, die so gebildet sein muss, konvergent ist.
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Also da gibt es noch einen Zusatz, den hätte ich vielleicht vergessen. Falls zusätzlich die Vn unabhängig sind, dann ist auch die Summe n gleich 1 bis groß n Vn minus Erwartungswert von Vn fast sicher konvergent.
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Wenn man den Satz gezeigt hat, also den oberen Teil, dann folgt es
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einfach aus den Regeln für bedingte Erwartungswerte, dass der untere Teil gelten muss. Denn wenn die unabhängig sind, dann gilt nach Satz 7.3 glaube ich, dass der Erwartungswert von Vn gegeben die anderen Zufallsvariablen gerade der Erwartungswert von Vn selbst ist.
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So, dann komme ich jetzt zum Beweis von diesem Satz.
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Also was wir machen wollen ist, das Submergingal-Konvergenz-Thioreum von Doob anwenden. Das Submergingal-Konvergenz-Thioreum sieht folgendermaßen aus, wenn xn ein Martingal
07:32
ist und der Lieblingsimperior von xn Betrag klein und endlich sind, dann existiert eine integrierbare Zufallsvariable x, die wirklich reellwertig ist und mit xn geht gegen x fast sicher.
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Das heißt, was wir eigentlich zeigen müssen, ist einmal, dass diese Geschichte ein Martingal ist und das Zweite ist, dass der Lieblingsimperior klein und endlich ist.
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So, um das Ganze ein bisschen zu vereinfachen, können wir OBDA annehmen, dass der Erwartungswert von Vn gleich Null ist.
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Das ist so der übliche Anfangstrick. Sonst ersetzen wir einfach Vn durch Vn minus Erwartungswert von Vn.
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Vermutlich die mit dem Erwartungswert. Ich gucke aber nach, sicherheitshalber. Ja, bei dem Erwartungswert. Das ist der zweite Fehler auf meinen tollen Folien.
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Also, das müsste eigentlich da oben stehen. Das ist also die Bedingung, dass der Erwartungswert von dem Lieblingsimperior der Erwartungswert von dem xn klein und endlich ist.
10:10
So, zu Anfang der Notation setzen wir jetzt Wn gleich Vn minus Erwartungswert von Vn gegeben V1 bis Vn minus 1 für n größer als 1.
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Und für W1 nehmen wir einfach V1 minus Erwartungswert von V1. Also, da wir Erwartungswert von Vn gleich Null vorausgesetzt haben für alle n, ist es einfach V1.
11:08
Und außerdem noch Sn gleich Summe J gleich 1 bis N von den Wj.
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Zu zeigen ist jetzt Sn, also die Summe dieser Partialsumme, konvergiert fast sicher.
11:50
Also ist P fast sicher konvergent. Gibt es eine Frage? Ja, da muss ich mir ja kurz Gedanken drüber machen in der Pause.
13:08
Die Behauptung folgt, wie gerade eben schon angesprochen, aus dem Submartingal-Konvergenz-Theorien.
13:44
Sofern wir zeigen, so wir müssen zwei Dinge zeigen.
14:00
Erstens, Sn ist ein Martingal und zwar bezüglich der von W1 bis Wn erzeugten Sigma-Algebra.
14:30
Und zweitens, der Limes Superior von Erwartungswert Sn ist kleiner unendlich.
15:02
So, wir fangen an mit dem Nachweis von 1. Also gibt es so weit Fragen zunächst mal? Okay.
15:26
Dann komme ich jetzt zum Nachweis von 1. Zunächst mal müssen wir die Integrierbarkeit prüfen. Und dazu reicht es zu bemerken, dass mit Vn, Vn war jetzt quadratisch integrierbar.
15:43
V ist also insbesondere selbst integrierbar. Mit Vn ist natürlich auch Wn integrierbar.
16:15
Und das gilt. Also wir müssen uns angucken, den Erwartungswert von Wn plus 1 gegeben.
16:34
V1 bis Wn bzw. eigentlich bezüglich V1 bis Vn. Ich zeige nachher, dass es egal ist, weil ich es immer betrachte davon.
16:49
Aber der Richtigkeit halber sollte man das betrachten. Und das erste, was man macht, ist, man setzt für Wn die Definition ein.
17:02
Also Wn war definiert als, steht hier oben, als Vn minus Erwartungswert von Vn. Also Vn minus Erwartungswert von Vn gegeben. V1 bis Vn minus 1.
17:28
Und das Ganze unter der Bedingung V1 bis Vn. So, jetzt beginnt die übliche Rechnerei mit bedingten Erwartungswerten.
17:42
Zunächst mal nutzen wir die Linearität aus. Also wir können das ganze schreiben als Erwartungswert von, das hier muss ein Vn plus 1 sein. Erwartungswert von Vn plus 1 gegeben. V1 bis Vn plus den Erwartungswert von Vn gegeben.
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Also eigentlich mit dieser Doppelbedingung. Also Erwartungswert von Vn gegeben. V1 bis Vn. Allerdings ist dieses Vn gegeben, V1 bis Vn minus 1, selbst messbar bezüglich V1 bis Vn.
18:43
Es reicht also diese Bedingungen zu betrachten.
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Ich habe noch einen Fehler drin. Also ich habe auch hier das plus 1 vergessen. Weil wenn ich Wn plus 1 betrachte, habe ich da oben auch überall Vn plus 1 stehen. Dann ist hier die Bedingung bis Vn und hier die Bedingung bis Vn.
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Dann sieht das Ganze auch besser aus. So, also hier habe ich also auch im Endeffekt den bedingenden Erwartungswert von Vn plus 1 gegeben. V1 bis Vn stehen.
19:42
Das war jeweils Satz 7.3. Ich habe mal ein paar Nummern dazu aufgeschrieben. Also das erste war Satz 7.3d. Und das andere war Satz 7.3f.
20:10
So, das heißt insgesamt kommt 0 raus. Also das, was wir eigentlich haben wollten.
20:33
Und was jetzt noch fehlt, ist wegen F und V1 bis Vn.
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Also es ist eigentlich noch nicht das, was wir haben wollten, sondern wir wollen ja zeigen, dass es martingal ist.
21:07
Allerdings hatten wir dazu einen Satz in der Vorlesung, der uns das hier als Kriterium gegeben hat. Sofern wir jetzt noch eine Messbarkeitsgeschichte klären. Und zwar es gilt einmal, dass die von V1 bis Vn erzeugte Sigma-Algebra gerade die von W1 bis Wn erzeugte Sigma-Algebra ist.
21:31
Und dann folgt daraus Erwartungswert von Vn plus 1 gegeben.
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V1 bis Vn ist gleich 0.
22:02
Und 1 ergibt sich aus Satz 8.3.
22:22
Satz 8.3 sagt folgendes aus. So eine Summe von Zufallsmachergaben ist genau dann ein Martingal bezüglich der Sigma-Algebra, die von den Teilsummen erzeugt wird.
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Wenn Vn integrierbar ist und der Erwartungswert von Vn plus 1 gegeben V1 bis Vn gleich 0 ist. Fast sicher, für alle n. Das ist also genau das, was wir jetzt hier nachgerechnet haben. Ja, wir haben gezeigt, der Erwartungswert ist gleich 0.
23:05
Also handelt es sich bei Sn um einen Martingal bezüglich der von W1 bis Wn erzeugten Sigma-Algebra. Und dass wir noch zeigen müssen, dass das zweite dann mehr der Satz bewiesen.
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Kann ich die Tafel auch benutzen?
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Okay. Gibt es so weit Fragen? Okay, dann komme ich zum Nachweis von 2.
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Es gilt, der Erwartungswert von Sn ist nach der ungleichen vorkurrischen Schwarz kleinergleich Wurzel aus 1 mal Wurzel aus Erwartungswert von Sn².
24:42
Und ja, das ist der Trick, der in letzter Zeit dauernd kommt, glaube ich. Und der Erwartungswert von Sn² ist, wenn man die Definition einsetzt, der Erwartungswert von Summe i gleich 1 bis N Vi zum Quadrat.
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Das Ganze kann man ausmultiplizieren und zerlegen in die Summanten, bei denen man Vi
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mit sich selbst multipliziert und die Summanten, bei denen man Vi mit Vj multipliziert. Und dann bekommt man die Summe j gleich 1 bis N Erwartungswert von Wj² plus die
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Summe über alle i ungleich j für ij aus der Menge der Zahlen von 1 bis N.
26:04
Das ist der Erwartungswert von Vi mal Wj.
27:12
Und für j größer 1 gilt, dass der Erwartungswert von Wj² kleinergleich 2 mal dem Erwartungswert von Vj² plus 2 mal Erwartungswert von Vj gegeben.
27:54
V1 bis Vj-1 zum Quadrat.
28:30
Also Hintergrund ist der, ich setze jetzt für Wj die Definition ein. Verwende dann die Ungleichung, dass a plus b in Klammern zum Quadrat kleinergleich 2a² plus 2b² ist.
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Also a plus b in Klammern zum Quadrat ist kleinergleich 2a² plus 2b². Ja, das kann man direkt nachrechnen.
29:01
Ich bringe das auf die andere Seite, löse das auf mit binomischer Formel und dann steht hier rechts nochmal eine binomische Formel und die ist größergleich 0. Und jetzt kommt der übliche Schritt. Ich will das Quadrat hier reinziehen, also verwende ich die Jensen-Schulung Ungleichung.
29:30
Dann habe ich also immer noch vorne 2 mal Erwartungswert von Vj² plus 2 mal Erwartungswert vom bedingten Erwartungswert von Vj² gegeben.
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V1 bis Vj-1. Der Erwartungswert von dem bedingten Erwartungswert ist aber gerade gleich dem Erwartungswert von Vj².
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Also habe ich insgesamt, das ist gleich 4 mal Erwartungswert von Vj² und das ist kleiner und endlicher.
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Naja, das hier ist ja eine Zufallsvariable, die messbar ist bezüglich dieser Sigmar-Algebra dahinten.
31:03
Und das Integral darüber, über diese Zufallsvariable stimmt überein mit dem Integral von Vj², solange ich mich in Mengen bewege, die von diesen Zufallsvariablen erzeugt werden. Und da gehört Omega auf jeden Fall dazu. Also Erwartungswert ist nichts anderes als ein Integral über Omega.
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Und ich werte diese Zufallsvariable als Integral über Omega aus. Und da Omega in dem Sigmar-Algebra-System, das von V1 bis Vj-1 erzeugt ist, drin liegt, stimmt also dort das Integral mit Vj² überein.
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Also ich kann es auch nochmal ausführlich hinschreiben, wenn ihr das...
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Ok, was wir jetzt gezeigt haben ist, dass Vj² integrierbar ist. Also ist Vj² integrierbar.
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Und was wir jetzt davon haben, ist, es wurde in der letzten Vorlesung im Satz gezeigt, dass wenn Vj in Martingales und quadratisch integrierbar ist, dann ist der Erwartungswert von Vi, weil Vj, Vi und gleich J gleich Null. Also dahinten diese ganze Summe ist gleich Null.
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Ja, das wurde gezeigt im Satz 84. Also ist Vj² integrierbar.
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Und mit Satz 84 folgt...
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Also wir haben hier den Erwartungswert von Sn². Der ist kleiner gleich, nach dem was da vorne links auf der Tafel steht, der ist kleiner gleich der Summe J gleich 1 bis N.
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Erwartungswert von Vj² plus Null. Also die Summe fällt halt einfach weg.
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So, und das ist nach dem, was wir hier gezeigt haben. Wir haben ja gezeigt, dass für alle J größer gleich 1 gilt, dass Vj² kleiner gleich 4 mal Erwartungswert von Vj² ist.
36:00
Wenn wir jetzt den Fall 1 noch hinzunehmen, dann haben wir also, das ist kleiner gleich dem Erwartungswert von V1² plus die Summe J gleich 2 bis N, 4 mal Erwartungswert von Vj².
36:37
Und da die Erwartungswerte von V1 bzw. auch von Vj gerade Null sind,
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nach der Annahme, die wir am Anfang der Beweise gemacht haben, ist das also gerade gleich der Varianz von V1 plus der Summe J gleich 2 bis N, 4 mal Varianz von Vj.
37:09
Also können wir das ganze abschätzen durch 4 mal die Summe J gleich 1 bis und endlich
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Varianz von Vj. Also da ging ein, dass der Erwartungswert von Vj gleich Null ist für alle J. So, und nach Voraussetzung ist die Summe der Varianzen kleiner und endlich, also ist das ganze kleiner und endlich.
37:56
So, insgesamt folgt das selime superior vom Erwartungswert der N kleiner gleich 2 mal Wurzel aus Summe J gleich 1 bis und endlich Varianz von Vj ist.
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Und das ist kleiner und endlich. Ja, und das war das, was zu zeigen war.
38:54
Gibt soweit noch Fragen zu dem Beweis, also abgesehen von der Geschichte von euch.
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So, dann kommen wir zum nächsten Satz, also 8, 8.
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Auch hier ist wieder Vn eine Folge von quadratisch integrierbaren Zufallsvariablen, reellen Zufallsvariablen mit Summe N gleich 1 bis und endlich N hoch minus 2 Varianz von Vn kleiner und endlich.
42:00
So, wenn wir das haben, dann gilt, dass das arithmetische Mittel 1 durch N J gleich 1 bis N Vj minus Erwartungswert von Vj gegeben V1 bis Vj minus 1 gegen Null fast sicher geht.
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So, also das hier bringt uns jetzt schon einen großen Schritt weiter Richtung starkes Gesetz der großen Zahlen.
42:46
Auch hier gilt wieder die Bemerkung von vorhin, wenn wir diese Unabhängigkeit dazu nehmen, dann ist das hier gerade Vj minus Erwartungswert von Vj. Und das sagt dann nichts anderes aus, als das arithmetische Mittel, der Vj gegen den Erwartungswert von Vj konvergiert, unter dieser Voraussetzung.
43:09
Also was wir im Moment als Voraussetzung drin haben, ist, dass diese Summe kleiner und endlich sein muss.
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Also wir haben da Bedingungen und Varianzen und können daraus folgern, dass das starke Gesetz der großen Zahlen gilt. So und ich würde sagen, jetzt machen wir es erstmal 10 Minuten Pause. So, dann würde ich ganz gerne nochmal weitermachen.
43:42
Während dem Beweis vom letzten Satz kam irgendwann die Frage, warum das auch funktioniert, wenn man Vn durch Vn minus Erwartungswert von Vn ersetzt. Das habe ich vorhin nicht direkt gesehen, aber eigentlich ist es trivial. Also wenn man Vn durch Vn minus Erwartungswert von Vn ersetzt, dann fügt man eigentlich
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einfach den Erwartungswert von Vn einmal ein und zieht ihn auf der anderen Seite wieder ab. Also hier haben wir ihn abgezogen und hier wird er wieder hinzugefügt.
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Und dadurch ändert sich halt überhaupt nichts. So, damit komme ich jetzt zu einem vorbereitenden Lämmer, um diesen Satz zu beweisen.
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Also der Beweis von Satz 88 soll im Endeffekt mit Satz 87 geführt werden.
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Und außerdem brauche ich noch das sogenannte Lämmer von Kronecker bzw. ein Spezialfall davon. Also und dem folgenden etwas spezialisierten Lämmer von Kronecker.
45:55
So, das Lämmer von Kronecker ist ein Resultat über reelle Folgen. Und zwar sagt das aus, wenn Cn eine reelle Folge ist mit suba n gleich 1 bis unendlich Cn durch n konvergent.
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So gilt, dass C1 plus Cn durch n gegen 0 geht für ein gegenendlich.
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Also das eigentliche Lämmer von Kronecker ist noch ein bisschen allgemeiner. Da kann man glaube ich n noch durch eine allgemeine Folge ersetzen, die gegenendlich geht.
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Man muss glaube ich zusätzlich noch irgendwelche Bedingungen erfüllen. Aber das hier reicht uns aus, um den Satz zu zeigen. So, zunächst mal führen wir wieder ein paar Bezeichnungen ein.
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Also wir setzen wieder Sn als die Partialsummenfolge. Also die Summe j gleich 1 bis n Cj durch j und S als den Limes dieser Folge.
48:04
Also das soll eigentlich ein kleines S sein, aber nicht besonders gut unterscheiden. Also S ist der Limes n gegen unendlich von diesem Sn.
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Dann gilt, das ist eigentlich der Hauptteil, was ich gleich zeigen werde, dass diese Sache gilt.
48:44
Also 1 durch n plus 1 Summe j gleich 1 bis n plus 1 Cj ist gleich Sn plus 1 minus Sn durch n plus 1.
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Also das muss ich jetzt gleich zeigen, dass es wirklich gilt. Der Grund warum man das so aufschritten will, ist folgender.
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Nach Analysis 1, das ist ein sogenanntes Cesaro Mittel, konvigiert diese Sache gegen S, also gegen den gleichen Grenzwert wie diese Si.
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Insgesamt hat man also dann, dass der Limes von dieser Geschichte gerade der Limes von dieser Geschichte ist. Und wenn das gegen den S kommen wir gehen, das gegen den S kommen wir gehen, sind wir fertig. So, dass diese Beziehung hier gilt, das ist jetzt, wie ich schon angesprochen, der Hauptteil von dem Beweis.
50:06
Also, dann gilt das hier, was man leicht mit vollständigen Induktionen zeigt. Also ich fühle die Induktionen auch gleich aus, das passt man leicht mit.
50:57
So, also wir fangen mit n gleich 1 an. Also für n gleich 1 ist nämlich, so was müssen wir zeigen?
51:14
Also wir fangen mit der rechten Seite an. Da haben wir hier für n gleich 1 S2 minus S1 halbe.
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So, jetzt setzen wir für S die Definition ein.
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Das ist also S2 ist gerade die Summe j gleich 1 bis 2, ja j gleich 1 bis 2 über Cj durch j. Also haben wir C1 plus C2 durch 2.
52:07
S1 ist einfach nur C1, also minus C1 halbe. Und das ist gerade ein halb C1 plus C2.
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Und der Schluss von n auf n plus 1 folgt aus.
52:54
Okay, also wir fangen an mit Sn plus 2 minus S1 plus und so weiter bis plus Sn plus 1 durch n plus 2.
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So, ich verändere jetzt in hinteren Termen ein bisschen. Also S1 plus 2 bleibt zunächst mal stehen.
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Da ziehe ich 1 durch n plus 2 raus. Mal, so, dann haben wir n plus 1 mal die Summe der ersten n. Also S1 plus und so weiter bis plus Sn durch n plus 1.
54:08
Minus ist n plus 1 plus n plus 1 mal Sn plus 1 plus, ja, wenn man sich das genau anguckt,
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dann sieht man, dass noch ein Sn plus 1 fehlt. Ist dann so. Also wenn man diesen Beweis selbst führt, dann kommt man natürlich nicht darauf, dass man die Zulegen direkt so machen muss. Aber wenn man ein bisschen mit den Summen rumspielt, sieht man, dass das eigentlich die geschickte ist.
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So, jetzt kann ich die Induktionsvoraussetzungen einsetzen. So, wenn ich die Induktionsvoraussetzungen einsetze,
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Sn plus 2 bleibt immer noch stehen. Dann habe ich plus 1 durch n plus 2 mal n plus 1 mal minus 1 durch n plus 1
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plus mal die Summe über die Cj. Also j gleich 1 bis n plus 1 Cj plus n plus 2 mal Sn plus 1.
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So, und das ist gleich Sn plus 2 minus Sn plus 1 plus 1 durch n plus 2 mal Summe j gleich 1 bis n plus 1 von Cj.
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Ich hole vielleicht mal eine andere Tafel und schreibe ein bisschen größer.
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Das ist gleich j gleich 1 bis n plus 2 Cj durch j minus Summe j gleich 1 bis n plus 1 Cj durch j plus 1 durch n plus 2 j gleich 1.
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Ich habe hier n minus 1 stehen, aber ich habe irgendwie das Gefühl, das müsste n plus 1 sein.
58:06
Ich schreibe mal gelb hin über die Cj.
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Und da sollte dann eigentlich 1 durch n plus 2 Summe j gleich 1 bis n plus 2 Cj rauskommen.
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So, mal gerade gucken. Also, wenn wir das von dir abziehen, dann bleibt nur noch Cn plus 2 durch n plus 2 übrig.
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Das Einzige n plus 2, ja, also das plus stimmt. So, jetzt schreibe ich noch. Also das zeigt diese Rekursionsformel. Ja, das ist ein leicht rekursiver Ansatz.
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Kommen wir jetzt zum Schluss, wo man weiß, also da Sn gegen S geht für ein Gegenundendlich,
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also sei das auch, das ist das, was ich vorhin schon mal angesprochen habe, S1 plus Sn durch n plus 1.
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gegen s für n gegen endlich impliziert folgt daraus limes n geht gegen endlich von c1 plus
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und so weiter bis cn durch n ist gleich n geht gegen endlich von sn plus 1 minus s1 plus und so
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weiter bis sn durch n plus 1 nach voraussetzung geht das hier so haben wir das gerade gewählt
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gegen s und mit dem angesprochenen analysis 1 resultat konvergiert auch das gegen s also geht das ganze gegen 0 zu fragen ok dann komme ich jetzt zum beweis von satz 8 8 steht er
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noch hier dran also wir wollen satz 8 7 anwenden da wurde schon mal gezeigt wann das arithmetische
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gegen 0 geht fast sicher und indem wir satz 8 7 mit einer leicht mit einem leicht veränderten
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ja mit mit einer bisschen anderen folge anwenden folgt das ganze schon direkt aus also beweis von satz 8 8 aus satz 8 7 angewendet mit vn durch n statt vn folgt das summe k
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1 bis vk minus 1 durch k bei n ist also satz 8 7 angewendet mit vn durch n statt
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vn folgt dass diese summe fast sicher diese summe ist d fast sicher konvergent sondern
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das lemma von chronica sagt uns jetzt dass wenn sowas konvergiert dass dann die partialsumme
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gegen 0 gehen also mit dem lemma was wir bekommen ist 1 durch n summe k gleich 1
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bis n vk minus erwartungswert von vk gegeben v1 bis vk minus 1 das geht gegen 0 das ganze
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halt p fast sicher ja also wenn wir uns länger von chronica angucken dann sehen wir wir
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solche folgen das ist genau das was wir hier betrachten wir wissen dass das ganze
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ding konvergiert ja das ist also gleich bedeuten mit im lemma von chronica dass diese reihe konvergent ist und das sagt uns dass die arithmetischen mittel gegen 0 gehen ja das
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macht dass man also irgendwelche resultate aus der analysis dann an so einer stelle ins spiel bringt die einfach nur aussagen machten über folgen konvergänze da rein
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konvergänze und damit dann solche aussagen zeigt so komme ich zu 89 bemerkung das was
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ich vorhin schon mal so halb angesprochen habe also aus satz 87 und beziehungsweise satz 88
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ergibt sich unmittelbar ergibt sich unmittelbar für eine folge vn quadratisch integrierbarer
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zufallsvariablen eine hinreichende bedingung für die fast sichere konvergenz der
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reihe beziehungsweise für die arithmetischen mittel ja wird noch realer zufallsvariablen
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eine hinreichende bedingung für die fast sichere konvergenz der reihe so mal über
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die vn beziehungsweise für eins durch n summe j gleich eins bis n vj geht gegen
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so und in der nächsten definition komme ich jetzt zu was das vielleicht zuerst mal
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bisschen ungewöhnliches und zwar führt mir jetzt in der wahrscheinlichkeitstheorie den begriff ein dass man vom dass man davon spricht dass eine folge ein gesetz der großen großen zahlen ein gesetz der großen zahlen genügt wenn bestimmte bedingungen
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also umgekehrt als in der einführung der stochastik wo wir gesagt haben das starken gesetz der großen zahlen ist erfüllt wenn die arithmetischen mittel der zufallsvariablen fast sicher gegen den erwartungswert von x1 konvergieren geht
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mir jetzt hier eigentlich umgekehrt rum vor also wir kommen zu 18 definition eine folge
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xn von integrierbaren reellen zufallsvariablen auf einem gemeinsamen
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wahrscheinlichkeitsraum omega ap also auf einem d raum omega genügt dem
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schwachen beziehungsweise dem starken gesetz der großen zahlen wenn also im
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k gleich 1 bis n xk minus erwartungswert von xk gegen 0 geht für n gegen endlich und
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zwar nach wahrscheinlichkeit ja ich kürze mal ab beziehungsweise dem starken
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gesetz der großen zahlen genügt so eine folge wenn einzig n summe k gleich 1 bis n xk minus e von xk gegen 0 geht für n gegen endlich p fast sicher also auf dem begriff konvergänz nach wahrscheinlichkeit will ich jetzt hier nicht genauer eingehen der wurde schon mal eingeführt bei der
01:15:22
einführung die stochastik das kommt allerdings noch mal in etwa einer woche da wird werden eingehend diese konvergänzbegriffe behandelt es gibt da noch einen dritten konvergänz begriff neben konvergänz nach wahrscheinlichkeit und konvergänz
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zum abschluss kommen wir noch zum kriterium von kolmogorow für das starken gesetz der großen zahlen also 8 11 satz kriterium von kolmogorow für das
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starke gesetz der großen zahlen sondern das sagt folgendes aus eine
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unabhängige folge xn von quadratischen integrieren zufallsvariablen die so eine varianzbedingung erfüllt gleich
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anschreiben werde genügt dem starken gesetz der großen zahlen also eine unabhängige folge quadratisch integrierbarer
01:17:47
reeller zufallsvariablen mit so jetzt kommt dieser varianz bedingung also n gleich eins wissen endlich n hoch minus zwei varianz von xn kleiner und
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endlich genügt dem starken gesetz der großen zahlen
01:18:29
so wenn man das vergleicht mit dem was wir heute schon gezeigt haben dann sieht man dass man eigentlich gar nichts mehr zu machen hat also beweis
01:18:49
also es gilt dass der erwartungswert von xj gegeben x1 bis xj-1 das ist auf
01:19:02
grund der unabhängigkeit das ist auch wieder satz 7 3 ist dieser erwartungswert einfach der erwartungswert von xj
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also unabhängigkeit von xj und dem zufallspektor x1 bis xj-1 folgt die
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behauptung aus satz 8 8 hat mir das ganze eigentlich schon bewiesen bis auf
01:20:19
die tatsache dass da noch so ein bedingter erwartungswert am schluss
01:20:26
und den werden wir jetzt halt durch diese unabhängigkeit los und kommen so zu dem kriterium von konnberg auf so das war es für heute vielen dank
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