Ich fange wie immer mit einer Wiederholung vom letzten Mal an. Bei der linearen Regression passt man eine Gerade so angegebene Punkte an, dass die Summe der Quadrate der Abstände zwischen den Y-Werten der Punkte und den Y-Werten auf der Gerade

minimal ist. Kovarianz und Korrelation haben das gleiche Vorzeichen wie die Steigung der Regressionsgraden und können daher zur Beurteilung eines linearen Zusammenhangs zwischen den X- und Y-Werten einer gegebenen Menge von Punkten verwendet werden.

3. Korrelation ist maßstabsunabhängig und liegt im Intervall minus 1,1. 4. Bei der Regressionsschätzung durch lokale Mittellungen wird der Wert an einer Stelle als arithmetisches Mittel der Y-Werte derjenigen Datenpunkte berechnet, deren X-Wert in der Nähe der Stelle liegt. Ich möchte Ihnen das Ganze noch ein bisschen demonstrieren mit einem kleinen R-Skript.

Okay, klappt soweit. Ich habe Ihnen hier Daten mitgebracht von dem Mikrozensus, ich glaube, 2005 von Hessen.

Und zwar, da wurden die Leute bezüglich allem Möglichen gefragt, zum Beispiel bezüglich dem Alter und auch der Arbeitszeit pro Woche. Und hier sind dann für jeden einzelnen Befragten, also das Stichprobenumfang ist 1000, Stichprobe war größer, aus dieser Stichprobe wurden Stichprobe vom Umfang 1000

ausgewählt. Es wurde für jeden einzelnen Befragten ein Punkt gebildet, der hier zum Beispiel hatte ein Alter von 40 und eine Arbeitszeit von vielleicht so 35 Stunden, so ungefähr, oder 37,5 Stunden die Woche. Und es gab dann die entsprechenden Punkte. Wenn Sie sich das Ganze jetzt in Scatterplot ansehen, was würden Sie sagen, ist

die Korrelation dieser Daten größer als Null oder kleiner als Null? Und wenn ja, warum? Also, wie kommen Sie auf Ihre Antwort? Also, was können Sie aufgrund von diesem Schaubild über die Korrelation der Daten

Punkte aussagen? Vorschläge?

Dass ältere und jüngere Menschen weniger pro Woche arbeiten. Ja, Sie können jetzt dieses Schaubild interpretieren, aber das meine ich nicht, sondern ich möchte eine Interpretation im Hinblick auf einen einzigen statistischen Begriff haben, nämlich die Korrelation.

Was können Sie aufgrund dieses Schaubilds über die Korrelation der Daten aussagen? Also nicht, was sagen Ihnen die Daten, sondern was können Sie aufgrund dieses Schaubilds über die Korrelation der Daten Punkte aussagen? Vorschlag?

Ja, ich weiß nicht. Okay, Sie haben Vorschlag?

Die Korrelation wäre negativ, weil die Regressionsgrade eine negative Steigung hätte. Man sieht hier schlecht, was die Regressionsgrade wirklich ist, aber ich hatte es vorhin schon mal drin. Das heißt, wir könnten es mal einzeichnen lassen direkt. Dann sehen Sie, in der Tat, wenn ich Ihnen so geben würde, wenn ich Ihnen die Regressionsgrade noch mit dazu einzeichnen würde, könnten Sie genau sagen, Korrelation muss kleiner

als Null sein. Korrelation kann auch nicht minus 1 sein, weil die Punkte nicht alle auf der Regressionsgrade liegen. Okay, das wäre eine lineare Regression. Das würde bedeuten, wenn Sie das so schätzen, dass die Leute mit zunehmendem Alter immer weniger arbeiten. Das ist einigermaßen plausibel, weil irgendwann gehen Sie ja in Rente.

Aber erfasst vielleicht nicht so ganz diese feineren Zusammenhänge. Ein bisschen feiner bekommen Sie es mit einer nicht-parametischen Regression. Ich habe Ihnen hier mal den Kernschätzer mit einem Gausskern eingezeichnet. Und dann sehen Sie eben, wenn Sie das jetzt interpretieren, naja, also am Anfang

steigt es natürlich tendenziell eher. Am Anfang steigt es noch an, am Ende fällt es ab. Und dazwischen ist auch hier nochmal zwischen 40 und 50 geht es tendenziell nochmal hoch und dann erst runter. Das würde Ihnen also eine ein bisschen feinere Analyse von dem durchschnittlichen Verlauf der Arbeitszeit pro Woche in Abhängigkeit des Alters liefern.

Ich habe noch ein zweites mitgebracht. Zweites ist das Alter versus Nettoeinkommen. Also wenn Sie die Abhängigkeit zwischen Nettoeinkommen vom Alter betrachten, was können Sie dann über die Korrelation dieser beiden Größen aussagen?

Und das sollte jetzt eigentlich einfacher zu sehen sein. Okay, also Sie müsste größer als Null sein, die Korrelation.

Das ist richtig. Und die Begründung wäre, weil wenn Sie da eine Regressionsgrade durchlegen, dann sehen Sie eigentlich mit dem bloßen Auge, die wird ansteigend sein. Also die Steigung wird größer als Null sein. Ich lege Ihnen die Regressionsgrade mal durch. Und dann sehen Sie wieder bei der linearen Regression. Also in der Tat, die Steigung ist größer als Null.

Bei der linearen Regression käme der Zusammenhang raus. Je älter Sie sind, desto mehr Geld verdienen Sie. Aber das kann natürlich irgendwie nicht ganz sein, weil die Leute gehen ja auch irgendwann in Rente. Und wenn Sie jetzt alternativ einen nichtparametrischen Schätzer durchlegen, dann kriegen Sie eben so einen Verlauf.

Und dann sehen Sie, das Einkommen steigt natürlich in den jungen Jahren. Ja, das ist irgendwie... Das war wohl der falsche Knopf. Das sollte mal weg. Das Alter steigt in den jungen Jahren natürlich irgendwie an. Von 20 aufwärts.

Aber dann bleibt es so einigermaßen konstant, sondern fällt sogar fast schon wieder ein bisschen ab. Und im Älteren, ab 60 oder ab 55, fällt es wieder ab. Was auch klar ist, dann gehen dann so und so für den Vorruhestand und so weiter. Okay, ich habe Ihnen noch ein paar Bilderchen mitgebracht.

Wir sehen hier den Einfluss der Bandbreite beim Gausskern. Nochmal das Alter versus Netto-Einkommen. Einmal mit Bandbreite H gleich 20, also eine sehr große Bandbreite. Dann ist der Schätzer annähernd konstant. Dann H gleich 0,3, eine sehr kleine Bandbreite. Dann schwankt der Schätzer sehr stark, passt sich sehr stark in Einzelnen an.

Und dann die Bandbreite eher so etwas, wie wir vorhin hatten. Dann bekommen Sie eben diese Vielzahl von kleinen Schwankungen, wird weggeklettet. Aber Sie sehen trotzdem noch eine globale Struktur.

Okay, und ich glaube, das Letzte, was ich Ihnen mitgebracht hatte, war noch der Unterschied zwischen Gausskern und Uniformkern. Also das wäre einfach die Indikatorfunktion als Kern zu einer Kugel oder hier zum Intervall. Wenn Sie das einmalseits machen mit dem naiven Kern, also zu einer Indikatorfunktion,

dann bekommen Sie dieses blaue Bild und dann sehen Sie, dann hat der Schätzer eben eine Vielzahl von Sprungstellen. Der Schätzer ist per se eigentlich unstetig. Sieht hier nach einer stetigen Funktion aus, aber das liegt am Zeichenprogramm, das eben die Linien durchzeichnet. Eigentlich sind das eine Vielzahl von Sprungstellen.

Und das stört eben so ein bisschen das Auge, wenn Sie das interpretieren wollen. Während, wenn Sie alternativ so einen glatteren Kern nehmen, dann wird der Schätzer eben auch entsprechend glatt. Und dann bekommen Sie diese rote Linie, die etwas schöner aussieht. Und ich glaube, das war es eigentlich, soweit ich weiß.

Ja, das war es soweit. Okay, haben Sie noch Fragen soweit? Scheint nicht der Fall zu sein.

Dann wäre ich soweit mit den ersten drei Kapiteln der Vorlesung durch. Ich wurde vorhin darauf hingewiesen, ich glaube, ich kann hier noch den Beamer ausmachen und die Leinwand hoch.

Ich wurde vorhin darauf hingewiesen, dass keine Folien mehr online sind. Ja, in der Tat sind nicht mehr, weil ich ab sofort an der Tafel vortrage. Das liegt einfach daran, weil der Stoff etwas schwieriger wird und da ist es eben, also ich erwische eher die richtige Geschwindigkeit,

mit der ich vortrage, wenn ich das an der Tafel mache. Das bringt auch unter Umständen Ihnen was, wenn Sie mitschreiben. Also es gibt keinen Skript dazu. Der Skript ist aber im Prinzip das Buch von mir. Das heißt, in dem Buch steht alles drin, wenn Sie nicht mitschreiben wollen. Aber hier bekommen Sie eben nochmal eine spezielle Zusammenfassung.

Okay, dann kommen wir zu Kapitel 4, das mathematische Modell des Zufalls.

Können Sie das lesen, soweit, wenn ich in der Größe schreibe? Auch wenn Sie weiter hinten sind. Noch mal, lauter.

Ein bisschen größer noch. Okay, das waren jetzt zwei Kästchen, das heißt, Sie hätten eher fast drei Kästchen. Okay, ich gucke mal, dass ich noch ein bisschen größer schreibe.

Ziel folgenden ist die mathematische Beschreibung zufälliger Phänomene.

Also wir möchten irgendwie in der Lage sein, mathematisch Dinge zu analysieren, die unter dem Einfluss des Zufalls entstanden sind. Was genau der Grund für das Auftreten von dem Zufall ist, interessiert mich im Folgenden eigentlich nicht weiter.

Also Sie können sich ziemlich viele Gedanken machen, ob es Zufall in der realen Welt überhaupt gibt. Und auf die Diskussion möchte ich eigentlich nicht eingehen. Also Sie können sich zum Beispiel vorstellen, ein klassisches Beispiel für ein zufälliges Phänomen, Sie werfen eine Münze, eine echte Münze,

und die landet dann anschließend mit Kopf oder Zahl oben. Ob die jetzt mit Kopf oben landet oder mit Zahl oben, können Sie sagen, ist Zufall. Sie könnten sich aber auch überlegen, ja, wenn ich genau wüsste, wie die Münze, wo die Startposition der Münze ist, wie ich sie am Anfall beschleunige und dann könnte ich genau ausrechnen,

wie sie durch die Luft fliegt und könnte im Prinzip eigentlich berechnen, ob da Kopf oder Zahl rauskommt. Das heißt, es wäre eigentlich deterministisch. Allerdings, wenn Sie normalerweise eine echte Münze werfen, dann werden Sie eben nicht alle Informationen haben über den Startzustand, wie Sie am Anfang beschleunigen usw. Und deswegen können Sie das nicht ausrechnen.

Und das, was Sie da nicht haben, das stecken wir dann oder modellieren wir dann mit Zufall. Also eine mögliche Ursache für das Auftreten vom Zufall könnte unvollständige Information sein. Also mögliche Ursachen für Zufall.

Zum Beispiel unvollständige Information.

Ein Beispiel dafür wäre ein Münzwurf. Oder auch Alternativ. Sie haben auch schon kennengelernt, wir haben im ersten Teil der Vorlesung bereits bei Umfragen, was eigentlich eine rein deterministische Sache war,

künstlich Zufall eingeführt, um so einen deterministischen Vorgang zu vereinfachen, um die Durchführung der Umfrage zu vereinfachen. Also eine zweite Möglichkeit wäre, wurde zur Vereinfachung künstlich eingeführt.

Und erstes Beispiel, zum ersten Punkt,

wäre eben Werfen eines Münzens. Beispiel zum zweiten Punkt wäre eine Umfrage, wo Sie künstlich Zufall eingeführt haben. Was wir jetzt machen, um diesen Zufall

mathematisch zu beschreiben, ist, wir führen erst einmal den Begriff der Wahrscheinlichkeit ein. Es gibt Abschnitt 4.1, der Begriff der Wahrscheinlichkeit.

Kriegen Sie die ganze Tafel auf einmal drauf? Ausgangspunkt von dem folgenden wird ein sogenanntes Zufallsexperiment sein.

Und das erste, was ich im Folgenden mache, ist, ich definiere mal, was verstehe ich unter einem Zufallsexperiment. Es gibt Definition 4.1.

Ich werde die Nummerierung so machen, dass ich die Nummern immer vor die eigentlichen Definitionen, und das ganze Fortlaufen durchlaufen lasse. Insofern finden Sie eigentlich Sachen im Skript oder im Mitschrieb relativ schnell. Und ich werde die Definition immer durch DEV abkürzen.

Beispiel durch BSP. Für Beispiel Satz werde ich ausschreiben. Also Definition 4.1, ein Zufallsexperiment, und das werde ich mit Groß Z Groß E abkürzen, ist ein Experiment mit vorher unbestimmten Ergebnissen, das im Prinzip unbeeinflusst voneinander beliebig oft wiederholt werden kann.

Also ein Zufallsexperiment, in Klammern die Abkürzung ZE, ist ein Experiment mit vorher unbestimmten Ergebnissen,

das im Prinzip unbeeinflusst voneinander beliebig oft wiederholt werden kann.

Also Definition 4.1, ein Zufallsexperiment,

in Klammern ZE, ist ein Experiment mit vorher unbestimmten Ergebnissen, das im Prinzip unbeeinflusst voneinander beliebig oft wiederholt werden kann.

Beispiele könnten im Prinzip klar sein. Zum Beispiel Werfen eines Würfels. Es gibt hier zwei Beispiele.

Werfen eines Würfels. Was würden Sie vermuten? Was ist da das Ergebnis?

Oder was würden Sie da als Ergebnis des Zufallsexperiments? Die jeweils geworfene Augenzahl. Das heißt, Ergebnis wäre die Augenzahl, die oben landet.

Ergebnis wäre Zahl oben. Ergebnis gleich Zahl oben.

Wir können es im Prinzip auch modifizieren. Also ich möchte das gleiche Beispiel nochmal machen. Werfen eines Würfels aber ein anderes Ergebnis als Ergebnis des Zufallsexperiments ansehen. Haben Sie da eine Idee?

Zum Beispiel 6 oder keine 6. Also ich könnte irgendwas in Abhängigkeit von der Zahl oben machen. Oder ich mache ein wiederholtes Werfen eines Würfels und mache das so lange bis der Würfel zum ersten Mal mit 6 oben landet. Und das Ergebnis wäre dann die Anzahl der Würfe.

Also b. Wiederholtes Werfen eines Würfels. Also ich spar's mir hinzuschreiben. Wiederholtes Werfen eines Würfels. Und das Ergebnis wäre Zahl der Würfe bis zum ersten Mal 6 kommt.

Wobei Sie müssten sich dann überlegen, wie definieren Sie das? Definieren Sie, diesen letzten Wurf gehört er noch mit dazu oder gehört er nicht mit dazu? Je nachdem werden die Ergebnisse eben eins größer oder nicht eins größer.

Könnten Sie mir irgendwas nennen, was kein Zufallsexperiment ist?

Man nimmt den Würfel so hin und legt ihn so hin, dass die 6 oben ist. Naja, was stört Sie daran? Warum ist es kein Zufallsexperiment? Es ist vorher unbestimmt. Naja, das Unbestimmt ist einen erweiterten Sinn zu sehen. Und ich kann es natürlich unbeeinflusst voneinander beliebig oft wiederholen.

Also eigentlich würde ich sagen, ich habe ein schönes Zufallsexperiment, nur kommt halt immer die 6 raus. Also der Clou muss eigentlich was sein. Sie müssen auch was abziehen, was Sie im Prinzip nicht mehr wiederholen können.

Den Würfel einmal in der Mitte durchspalten, dass zwei Vierwerke entstehen und dann irgendwie zufällig durchspalten, dann sagen Sie, vielleicht das Gewicht ist ein Vier-Ex oder so, oder der Gewichtsunterschied ist der Ergebnis. Ja, aber auch da kann ich mir immer wieder einen neuen Würfel basteln und den durchmachen.

Also ich hatte auch mal ein Beispiel gesehen, da hat jemand dann gesagt, okay, er nimmt einen Knetwurfel und einen richtig schönen Würfel aus Knet. Wenn Sie den einmal geworfen haben, der verformt sich natürlich. Das können Sie nicht mehr wiederholen. Aber andererseits, Sie können diese Knetwurfel immer wieder herstellen und jeden nur einmal werfen.

Also auch da würde ich sagen, das ist noch ein Zufallsexperiment. Also Sie sehen, es ist gar nicht mal so einfach. Ich mache mal selber eins. Also ich würde sagen, kein Zufallsexperiment wäre die nächste Bundestagswahl. Und zwar einfach deshalb, weil das können Sie nicht unbeeinflusst voneinander wiederholen.

Sie können zwar auch die nächste Bundestagswahl nochmal wiederholen, aber eben nicht mehr unbeeinflusst zoneinander. Also kein Zufall, kein Zufallsexperiment, nächste Bundestagswahl.

Und ich schreibe vielleicht ein Klammern dazu, kann nicht unbeeinflusst voneinander wiederholt werden. Kann nicht unbeeinflusst wiederholt werden.

Das Ziel im Folgenden ist es, Aussagen über Ergebnisse von Zufallsexperimenten zu machen.

Das heißt, wir möchten irgendwelche Vorhersagen machen über das, was bei einem Zufallsexperiment herauskommt. Dazu mache ich eine Reihe von, oder zwei Definitionen glaube ich, brauche ich jetzt hier. Erst mal Definition 4.3.

Das erste, was wir uns angucken können, ist, wenn ich so ein Zufallsexperiment habe, was kann überhaupt rauskommen? Also was sind die möglichen Ergebnisse? Und alle möglichen Ergebnisse fasse ich zusammen in einer Menge.

Und das ist die sogenannte Grundmenge des Zufallsexperiments. Also die Menge aller möglichen Ergebnisse des Zufallsexperiments wird als Grundmenge bezeichnet und meistens mit dem griechischen Buchstaben Groß Omega abgekürzt. Teil A. Die Menge aller möglichen Ergebnisse des Zufallsexperiments wird als Grundmenge Omega bezeichnet.

Dann möchte ich Aussagen über die Ergebnisse von Zufallsexperimenten machen und die Art von Aussagen, oder ich möchte es meistens so machen, dass ich sagen möchte,

das Ergebnis hat eine gewisse Eigenschaft. Und diese Eigenschaft werden wir so beschreiben, dass wir sagen, das Ergebnis liegt in gewissen Teilmengen der Grundmenge. Ja oder nein. Oder wird in gewissen Teilmengen der Grundmenge liegen. Ja oder nein. Solche Aussagen möchten wir machen. Und diese Teilmengen der Grundmengen haben dann eine spezielle Bezeichnung,

nämlich die heißen Ereignisse. Also jede Teilmenge A der Grundmenge heißt Ereignis. Das ist Teil B.

Und dann speziell die ein-elementigen Teilmengen der Grundmenge, also auch alles Ereignisse, die bezeichnet man als Elementarereignisse. Also ein-elementige Teilmengen, Teilmengen der Grundmenge heißen Elementarereignisse.

Ein-elementige Teilmengen, ich schreibe vielleicht von A, ist von Omega, ist kurzer,

heißen Elementarereignisse.

Und dritter Sprachgebrauch, was wir jetzt missen möchten, ist, also hat dieses Ergebnis des Zufallsexperiments gewisse Eigenschaften, das formuliere ich so, liegt es in gewissen Ereignissen. Und für dieses Ergebnis des Zufallsexperiments liegt in einem Ereignis,

sage ich, mache ich einen weiteren Sprachgebrauch, nämlich das Ereignis tritt ein. Also ein Ereignis tritt ein, falls das Ergebnis des Zufallsexperiments in dem Ereignis liegt. Also C. Ein Ereignis A tritt ein,

falls das Ergebnis des Zufallsexperiments in A liegt.

Und andernfalls würde ich davon sprechen, dass das Ereignis nicht eintritt.

Okay, wir betrachten nochmal das Beispiel ganz vorne. Nämlich werfen eines echten Würfels.

4,4 Beispiel.

Werfen eines echten Würfels und das Ergebnis wäre die Zahl oben.

Was ist hier die Grundmenge? Omega. Also was sind die möglichen Ergebnisse? Eins bis sechs. Echter Würfel hat sechs Seiten beschriftet mit den Zahlen eins bis sechs.

Und jetzt könnten Sie zum Beispiel fragen, ob Sie eine gerade Zahl gewürfelt haben. Und es würde dann heißen, umformuliert in den Ereignissen, ob das Ereignis A gleich 2, 4, 6 eingetreten ist.

Also A gleich 2, 4, 6 tritt ein, falls gerade Zahl gewürfelt wird.

Und bevor ich zum eigentlichen zentralen Begriff der Vorlesung heute komme, nämlich dem Begriff der Wahrscheinlichkeit, brauche ich noch eine weitere Definition. Nämlich wir betrachten ein Zufallsexperiment mit Grundmenge Omega.

Wir führen dieses Zufallsexperiment wiederholend durch. N mal durch. Klein x1 bis klein xn seien die dabei auftretenden Werte. Dann definieren wir für Ereignisse A, also A ist eine Teilmenge von Omega, absolute und relative Häufigkeiten des Eintretens von A.

Die absoluten Häufigkeiten sollte einfach sein, wie viele von diesen N-Werten x1 bis xn liegen in A. Und die relative Häufigkeit wird die absolute Häufigkeit geteilt durch N sein. Das mache ich in Definition 4, 5.

Wir haben ein Zufallsexperiment mit Grundmenge Omega.

Klein x1 bis klein xn Element Omega sind die bei wiederholendem Durchführen des Zufallsexperiments auftretenden Werte.

So heißen erstens die Anzahl der Indizes 1 kleiner gleich i kleiner gleich n, wo x in A ist.

Dafür schreibe ich die Menge hin, Menge aller 1 kleiner gleich i kleiner gleich n, wo x in A ist. Und schreibe Betrag davon und meine die Mächtigkeit dieser Menge, also die Anzahl der Elemente dieser Menge.

Beziehungsweise diese Zahl geteilt durch N.

So heißen diese beiden Ausdrücke. Der erste die absolute Häufigkeit des Eintretens von A. Der zweite die relative Häufigkeit des Eintretens von A.

Also kann man nicht A für die Menge aller Elemente in Omega liegen, die nicht in A drin liegen. Es kommt darauf an, was Sie unter nicht A verstehen.

Also ich würde dann eben A-Komplement, also Omega, ohne A nehmen. Und das wäre genau das komplementäre Ereignis. Also das würde genau dann eintreten, wenn A nicht eintritt. Ist richtig.

Weitere Fragen? Also was hatten wir bis jetzt? Wir hatten den Begriff des Zufallsexperiments. Das war etwas, wo das Ergebnis unbestimmt ist.

Wobei ich unbestimmt im erweiterten Sinne des Wortes auffassen kann. Also ich kann auch alles, was eigentlich bestimmt ist, als unbestimmt auffassen. Nur es tritt eben über was bestimmtes ein. Aber im Prinzip ist es unbestimmt. Also man ist als zu hastiger da einigermaßen vielseitig. Aber das Entscheidende ist, Sie müssen das im Prinzip unbeeinflusst voneinander beliebig oft wiederholen können.

Wir haben dann die Grundmenge definiert, als Menge aller möglichen Ergebnisse, die vorkommen. Ereignisse sind Teilmengen davon. Und diese Ereignisse treten ein, wenn das Ergebnis des Zufallsexperiments in der Menge liegt.

Und ich habe Ihnen absolute und relative Häufigkeiten des Eintretens definiert, wenn Sie ein Zufallsexperiment wiederholt durchgeführt haben. Das steht hier. Also sind x1 bis xn Element omega die bei wiederholten Durchführen des Zufallsexperiments auftretenden Werte. Also n-maligen Durchführen des Zufallsexperiments auftretenden Werte.

So haben wir die absolute und relative Häufigkeit des Eintretens von a definiert. In Abhängigkeit von diesem x1 bis xn. Dem Ganzen, was wir jetzt im Folgenden tun, steht die folgende Beobachtung oder liegt die folgende Beobachtung aus der Praxis zugrunde.

Und diese Beobachtung aus der Praxis ist das sogenannte empirische Gesetz der großen Zahlen. Schreibe ich hier auf die andere Tafel.

Empirische Gesetz der großen Zahlen besagt, führt man ein Zufallsexperiment und beeinflusst voneinander immer wieder durch. So nähert sich für große Anzahlen von Wiederholungen die relative Häufigkeit des Eintretens eines beliebigen Ereignisses a einer festen Zahl p von a aus 0,1 an.

Also empirisches Gesetz der großen Zahlen führt man ein Zufallsexperiment unbeeinflusst voneinander immer wieder durch.

So nähert sich für große Anzahlen von Wiederholungen die relative Häufigkeit des Eintretens

eines beliebigen Ereignisses a einer festen Zahl p von a aus 0,1 an.

Und diese Zahl p von a bezeichnen wir als Wahrscheinlichkeit kurz wk von a.

Also p von a heißt Wahrscheinlichkeit.

Ich kurz dieses Wort Wahrscheinlichkeit durch wk ab von a.

Okay, was steht da? Die Behauptung ist, ich habe ein Zufallsexperiment. Ich führe es immer wieder durch und zwar unbeeinflusst voneinander, was ich bei dem Zufallsexperiment ja nach Definition des Zufallsexperiments eigentlich kann.

Dann nach endmaligen Durchführen gucke ich mir die relative Häufigkeit des Eintretens eines festen Ereignisses a an. Und dann lasse ich dieses n immer größer werden. Also für immer mehr, immer mehr, immer mehr an und gucke mir diese Folge von den relativen Häufigkeiten an.

Und die Behauptung ist, diese Folge von den relativen Häufigkeiten nähert sich dann einer festen Zahl an. Und diese feste Zahl wird nur vom Ereignis abhängen, als nicht von der konkreten Folge, die ich letzten Endes durchführe.

Das Ganze ist eine Beobachtung aus der Praxis. Das heißt, ich kann es Ihnen hier nicht irgendwie beweisen. Es ist kein mathematischer Satz. Ich kann es Ihnen aber plausibel machen. Oder wir werden nachher einen kleinen Versuch dazu machen. Und ich werde es Ihnen mal versuchen, plausibel zu machen. Aber ich würde sagen, wir machen vorher mal fünf Minuten Pause.

Oder ich meine, ich mache sieben Minuten Pause. Wir machen dann um 20 nach drei weiter. Ich möchte jetzt mal das empirische Gesetz der großen Zahlen oder ich möchte es ein bisschen konkreter betrachten. Beim so ziemlich einfachsten Zufallsexperiment, das es gibt, was wir vorhin auch schon ein paar Mal hatten.

Nämlich beim wiederholten Werfen eines echten Würfels. 4.6 Beispiel wiederholtes Werfen eines echten Würfels.

Was besagt da das empirische Gesetz der großen Zahlen? Naja, das Zufallsexperiment ist, Sie werfen den echten Würfel. Ergebnis ist die Zahl, die oben landet.

Das führen Sie unbeeinflusst voneinander immer wieder durch. Das heißt, Sie würfeln den Würfel immer wieder. Vielleicht hundertmal, vielleicht tausendmal, vielleicht zehntausendmal. Fangen wir mal mit hundertmal an. Dann schauen Sie sich die relative Häufigkeit von Ereignissen an. Im Prinzip Ereignisse ist hier eine Teilmenge der Zahlen eins bis sechs.

Das heißt, welche der Zahlen eins bis sechs oder die Zahlen der eins bis... Sie legen eine mögliche Menge von Zahlen fest. Am einfachsten guckt man sich hier alle sechs Elementarereignisse an. Das heißt, Elementarereignis eins, dass die eins gewurfelt wurde. Elementarereignis zwei, dass die zwei gewurfelt wurde.

Besteht nur aus der zwei und so weiter. Und dann gucken wir uns zum Beispiel das Elementarereignis eins an. Schauen uns die relative Häufigkeit an. Wie oft wurde die eins geworfen bei den hundert Wurfen? Es wird irgendeine Zahl sein zwischen null und eins. Es könnte sein gar nicht. Es könnte sein hundertmal. Es könnte irgendwas dazwischen sein.

Und dann ist die Aussage, für große Anzahlen von Wiederholungen nähert sich diese relative Häufigkeit immer mehr einer festen Zahl P von A aus null eins an. Und irgendwie... Ja gut, das wissen Sie eigentlich alles, was daraus kommt beim echten Würfel. Sie würden aus Symmetriegründen vermuten. Diese Zahlen sind alle groß und jeweils ein Sechstel.

Ich habe es hier mal... Die Strahler noch ausmachen. Ich habe es hier mal konkret gemacht mit 100... Und ich hatte noch einen Pointer.

Ich habe es hier mal konkret gemacht mit 100 Würfen. Das heißt, ein echter Würfel wurde 100 mal geworfen. Und dann... Jeweils nach 10 Würfen, nach 20 Würfen, nach 30 Würfen, nach 40 Würfen und so weiter habe ich für jedes einzelne Elementarereignis, also hier das Elementarereignis besteht nur aus der 1,

einen Punkt gemacht hier an der 40. X-Koordinate war 40. Y-Koordinate war die relative Häufigkeit der 1 bei diesen 40 Würfen. Und dann weiter bei 50 bis 100 und das für alle 6 Elementarereignisse durch. Und verglichen mit dem Wert, den Sie asymptotisch erwarten würden, nämlich 1 Sechstel.

Wenn Sie sich das jetzt angucken, was fällt Ihnen dann auf? Oder was sehen Sie hier? Oder sehen Sie irgendwas?

Je mehr Würfel gemacht worden sind, desto mehr nähern sich diese Punkte der roten Gerade auf der Höhe 1 Sechstel an. Das sehen Sie. Okay. Sehen das alle so, oder?

Also bei manchen ist der Unterschied bei 20 größer als bei 10. Ein Beispiel wäre, ja, ich glaube, hier.

Also bei 20 ist er größer als bei 10. Also es liegt sicher keine monatone Konvergenz vor. Ist auch nicht monoton, aber ich meine, auch die Abstände werden nicht immer kleiner. So kann man nicht sagen. Aber Sie sehen trotzdem den Grenzwert 1 Sechstel? Okay. Sonst noch Kommentare?

Okay. Sie kompensieren gerade die Ausreißer bei geringen Wurfzahlen von der 1. Da weicht es nach oben ab, dafür bei der 6 nach unten. Und das Mittel stimmt dann wieder.

Ja gut, das Mittel stimmt sowieso, weil die ganzen Häufigkeiten aufadiert, die relativen Häufigkeiten aufadiert, für jede feste Zahl von Würfen ergibt immer 1. Also so gesehen, Mittel stimmt immer.

Okay. Also Sie sehen, das nähert sich bei allen Zahlen ziemlich nah an die ersten Punkte an. Ja, also, okay, das ist schön, wenn Sie das so sehen. Also ich muss sagen, ich sehe das so eigentlich nicht.

Weil wenn Sie sich übersehen, was heißt das hier? Das nähert sich für große Anzahlen von Wiederholungen immer näher an. Das ist eigentlich eine mathematische Konvergenz. Das konvergiert. Eine mathematische Konvergenz werden Sie nie sehen für eine endliche Anzahl von Wiederholungen. Aber das ist eigentlich eine Aussage zur Konvergenz.

Es ist auch klar, also hier, es stimmt momentan noch nicht, wenn Sie angucken mit dem 100-Würfen. Da sind immer noch, also zum Beispiel ist hier ja eine Abweichung. Es liegen ja irgendwie nicht alle Punkte auf der roten Linie. Aber es ist auch klar, das liegt an der 100. Sie können sich jetzt überlegen, okay, dann führe ich das eben nicht 100 mal durch, sondern vielleicht 1000 mal, 10.000 mal usw.

De facto haben das Leute auch schon so gemacht, dass sie diese Zufallsexperimente deutlich häufiger durchgeführt haben. Real. Es gibt ein Beispiel für einen Südafrikaner, der zu Beginn des Zweiten Weltkrieges in Kopenhagen weite,

als die Deutschen dort einmarschiert sind und dann bis zum Rest des Zweiten Weltkrieges interniert wurde. Und in diesem kriegsgefangenen Lager hat er relativ viel Zeit. Und die Zeit hat er dann damit verbracht, Zufallsexperimente praktisch durchzuführen. Unter anderem hat er eine Münze 10.000 mal geworfen und sich eben aufnotiert.

Ja gut, ich meine, wenn Sie Kriegsgefangener sind, haben Sie ja auch irgendwie Zeit, ne? Also ich weiß nicht, was die Wörter gesagt haben, ob die gesagt haben, ne, also so. Oder ob man das heimlich machen musste. Aber er hat sich dann aufnotiert, wie groß waren die Abweichungen bei 500, bei 1000, bei 10.000 von dem Anteil ein Halb, den er eigentlich asymptotisch erwartet.

Machen wir natürlich heutzutage nicht mehr so, was ich aber hier machen kann. Also ich führe das Zufallsexperiment nicht real durch, aber ich simuliere es am Rechner. Ist natürlich eigentlich nicht echt, weil der Rechner per se deterministisch ist. Der ist nicht zufällig. Aber wir tun so, als ob wir häufiger würfeln.

Also erstmal würfeln wir nochmal hundertmal. Ich würfle mal hundertmal und mache das gleiche nochmal. Und dann sehen Sie, wenn ich das nochmal mache, dann verändert sich das Bild. Aber es ist klar, wenn Sie das immer wieder machen, also wir können es mal nochmal machen, es ist eben zufällig, es verändert sich. Und dann ist der Witz, dann können Sie es natürlich

statt 100 auch tausendmal machen. Und ich tue jetzt vielleicht nur jedes hundertste Mal das Blotten. Dann kriegen Sie dieses Bild. Und wenn Sie dieses Bild angucken, dann sehen Sie, ja, es sieht schon so ein bisschen besser aus. Aber irgendwie, wenn Sie genau angucken, es stimmt auch noch nicht.

Hier bei der 10.000, das liegt wieder unter 3. Das liegt ja nicht genau auf der Linie. Oder bei der 1000. Also machen wir es vielleicht nicht tausendmal, sondern machen wir es zehntausendmal. Noch einmal mehr. Und dann haben wir es hier.

Und wenn Sie jetzt angucken, es sieht noch besser aus irgendwie. Oder es sieht irgendwie schon gut aus. Aber irgendwie, wenn Sie hier die 100.000 da unten bei der 6 angucken, es stimmt schon wieder nicht. Aber okay, wir hängen noch eine Null mehr dran.

Und Sie ahnen vielleicht, auf was das Ganze hinausläuft. Ja, es sieht langsam schon, man muss zugeben, es sieht langsam ganz klar besser aus.

Aber Sie sehen noch was. Ich bin sicher, ich sehe auch noch was, wenn ich genau hingucke. Also das stimmt noch nicht genau. Das wird auch nie genau stimmen. Das ist das andere. Aber das ist ja auch nicht die Aussage vom empirischen Gesetz der großen Zahlen, dass es für eine endliche Anzahl von Wiederholungen stimmt, sondern die Aussage ist,

dass es für unendlich viele Anzahlen von Wiederholungen stimmt. Und das ist das Entscheidende dabei. Also Beispiel 4.6 beim Werfen eines echten Würfels nähert sich die relative Häufigkeit eines Elementarereignisses immer mehr ein Sechstel an.

Und hier haben Sie eigentlich sowas die Wahrscheinlichkeit von der 1. wäre gleich der Wahrscheinlichkeit vom Elementarereignis wieder 2 usw. bis von dem wieder 6 gleich ein Sechstel.

Und das könnten Sie an der Stelle, ich mache vielleicht noch ein bisschen mehr Licht, strahlen und den kann man wieder wegmachen.

Und das können Sie an der Stelle eigentlich auch begründen, weil wenn Sie sich überlegen, ja aus Symmetriegründen ist es eigentlich klar, dass diese Wahrscheinlichkeiten von den einzelnen Elementarereignissen gleich groß sein müssen.

Und dann wäre nun die Frage, wie groß ist dieser Wert, der letzten Endes rauskommt. Und da können Sie sich überlegen, ja wenn Sie die elementaren, die relativen Häufigkeiten von, bei einer festen Anzahl von Wiederholungen, von der 1, von der 2 usw. bis von der 6 aufaddieren,

naja, dann haben Sie jeweils diese Anzahlen, wie oft würde die 1 gewurfelt durch n, die Anzahl, wie oft würde die 2 gewurfelt durch n usw. alles durch n geteilt. Dann können Sie diese Zähler nur addieren und alles durch n teilen. Und die Zähler addieren Sie einfach, ja wie oft habe ich die 1 gewurfelt, plus wie oft habe ich die 2 gewurfelt usw.

Wie oft habe ich die 6 gewurfelt. Eine dieser 6 Zahlen werfen Sie ja immer, das heißt da kommt n raus, dann haben Sie n durch n gleich 1. Also diese relativen Häufigkeiten von den Elementarereignissen addieren zu 1 auf. Und wenn die dann gegen die, in der Grenze gegen die Wahrscheinlichkeiten konvergieren,

dann müssen die Wahrscheinlichkeiten auch zu 1 aufaddieren. Und wenn sie alle gleich groß sind, müssen sie deswegen 1 Sechstel sein. Das heißt Sie können sich elementar klar machen, in dem Beispiel in der Tat, diese Wahrscheinlichkeiten, die hier im empirischen Gesetz der großen Zahlen eigentlich beschrieben sind, sind jeweils 1 Sechstel.

Und das Ziel im Weiteren ist die Bestimmung von solchen Wahrscheinlichkeiten,

und zwar möglichst ohne die Zufallsexperimente irgendwie wiederholt durchzuführen. Also im Prinzip wollen wir sowas rein theoretisch machen.

Beachten Sie auch, dieser ganze Begriff, der hier zugrunde liegt, dieser Begriff der Wahrscheinlichkeit, ist eigentlich extrem schwammig. Also es ist eigentlich gar keine saubere mathematische Definition, so wie ich das hier gemacht habe. Es ist mehr ein Begriff aus der Praxis. Was wir stattdessen machen werden, wir werden eine mathematische Theorie aufbauen, wo wir auch eine Wahrscheinlichkeit

definieren werden, und da werden wir sie sauber definieren. Und dann werden wir zeigen, dass diese Theorie eigentlich, oder dass in dieser Theorie genau so ein empirisches Gesetz der großen Zahlen vorliegt wie in der Praxis. Und dann werden wir mit dieser Theorie weitermachen oder damit eigentlich uns beschäftigen

und nicht mehr mit diesem praktischen Begriff der Wahrscheinlichkeit. Okay, haben Sie soweit Fragen?

Gut, dann habe ich eine Frage an Sie. Wie würden Sie folgende Aussage interpretieren? Das lesen Sie häufig in Zeitungen in Nordamerika, Tageszeitungen, wenn die Wettervorsage kommt, dann gibt es

ist eine Regenwahrscheinlichkeit. Zum Beispiel die Regenwahrscheinlichkeit von morgen ist 90 Prozent. Wie würden sie sowas interpretieren? 90 Prozent des Tages regnet es. Okay, stimmen alle zu?

Okay, wenn sie 100 Regen, das ist diese folgende Antwort, wenn sie 100 Leben hätten, dann würde es, und sie würden 100 mal den morgigen Tag durchleben, dann würde es 90 mal regnen. Okay, weitere mögliche? Unser Programm hat uns Regen vorausgesagt und es hat eine

Wahrscheinlichkeit von 10 Prozent. Okay, noch Vorschläge? Man sollte eine Regenjacke mitnehmen.

Okay, ja, also wenn sie es mal angucken im Sinne von dem Begriff der Wahrscheinlichkeit hier, wie würden sie es denn dann interpretieren? Eine große Anzahl von Wiederholungen wird

schwer werden, insofern können sie das gar nicht angehen. Also es geht in die erste Richtung, sie könnten sagen, das ist keine Wahrscheinlichkeit, davon kann ich gar nicht reden. Oder ich kann eben das Hypothetische machen, was Sie vorgeschlagen haben, ich kann

meine Leben immer wieder leben, aber es ist ja auch so, wenn sie 120 mal wuffeln, dann haben sie nicht 20 mal die 1, 20 mal die 2 und bis 20 mal die 6, sondern sie erwarten sowas theoretisch in der Grenze, wenn sie eine sehr, sehr, sehr große Anzahl mal wuffeln,

aber das werden sie nie für irgendwas Endliches oder das werden sie normalerweise für irgendeine endliche Anzahl nicht haben. Das heißt, die Aussage wäre hier, wenn sie diesen Tag unendlich oft durchlaufen könnten, dann würde es in 90 Prozent von diesen Tagen in

der Grenze regnen. Und Fläche hat es nichts zu tun eigentlich, also mit der Fläche würden sie nicht annehmen. Also sie würden nicht sagen, 90 Prozent der Fläche regnet, sondern gemeint ist wirklich der gleiche Tag immer wieder. Aber Sie müssen aufpassen, es wäre eben nicht, also man kann, wenn Sie einen Zufall oder auch wenn Sie eine echte Münze, wo mit Wahrscheinlichkeit 50 Prozent Kopf, mit Wahrscheinlichkeit

50 Prozent Zahl kommt, 10 mal werfen, haben Sie nicht immer 5 mal Kopf und 5 mal Zahl. Das ist zufallsabhängig, das kann extrem schwanken. Die Aussage von dieser Wahrscheinlichkeit ist nur, wenn Sie das sehr, sehr, sehr oft machen, nähert sich die relative Häufigkeit immer mehr der einhalb an, aber nicht anders. Okay, gut,

dann was wir machen wollen, ist die Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten ohne Zufallsexperimente durchzuführen und hilfreich dabei sind Grundaufgaben der Kombinatorik oder Formeln aus der Kombinatorik und das machen wir in Abschnitt 4.2. Also ich brauche jetzt so ungefähr eine Zeitstunde, wo ich von

der Wahrscheinlichkeit noch mal weg gehe und dann werden wir auch diese Formeln, die ich hier herleite, mitverwenden, um mal in drei konkreten Beispielen uns Wahrscheinlichkeiten zu berechnen oder zu überlegen, was kann

ich damit überhaupt erreichen und dann werden wir sehen, das Ganze wird ein bisschen unsystematisch und stattdessen werden wir dann mit dem systematischen Zugang im weiteren Verlauf der Vorlesung anfangen. Aber hier ein Einschub Grundaufgaben der Kombinatorik. Wir betrachten das Ziehen von K-Elementen aus einer Menge mit Mächtigkeit N, das heißt,

Sie haben hier irgendwie so einen großen Topf, da sind N verschiedene Kugeln drin und Sie ziehen K davon raus. Ziehen von K-Elementen aus einer Menge mit Mächtigkeit N und da haben Sie jetzt verschiedene Möglichkeiten, nämlich

nachdem Sie etwas gezogen haben, können Sie das entweder wieder in den Topf zurücklegen und dann erst das nächste ziehen, was dazu führen kann, dass Sie unter Umständen zweimal das gleiche Element ziehen oder Sie können, nachdem Sie es gezogen haben, das erste beiseite liegen und beim zweiten Mal ziehen Sie nur noch aus N-1-Elementen.

Das heißt, Sie können ein Ziehen mit zurücklegen oder ohne zurücklegen machen. Weiter können Sie sagen, wenn ich ziehe, dann kommt es mir auf die Reihenfolge, in der ich die einzelnen Elemente gezogen habe, drauf an oder Sie können sagen, wenn ich ziehe, dann mache ich es wie bei den Lottozahlen, den Reihenfolge, mit der die Zahlen gezogen würden, spielt

keine Rolle. Das heißt, man kann ein Ziehen mit beziehungsweise ohne Beachtung der Reihenfolge machen. Diese beiden Single, also für das mit oder ohne zurücklegen haben Sie zwei Möglichkeiten, fürs mit oder ohne Beachtung der Reihenfolge haben Sie zwei Möglichkeiten, können Sie auf alle möglichen Arten kombinieren, gibt Ihnen insgesamt vier Möglichkeiten.

Das heißt, wir haben vier Möglichkeiten. Ziehen mit beziehungsweise ohne zurücklegen und ziehen mit beziehungsweise ohne Beachtung der

Reihenfolge. Und was uns interessiert, sei die Anzahl der möglichen

Stichproben, die ich machen kann, also die Anzahl der möglichen Ergebnisse, die ich bekommen kann, wenn ich K-Elemente aus einer Menge mit Mächtigkeit N ziehe, entweder mit zurücklegen oder ohne zurücklegen und entweder mit Beachtung der Reihenfolge oder ohne Beachtung der Reihenfolge. Also für die Anzahl N der möglichen Stichproben gilt und

dann nehme ich jetzt ein großes N der möglichen Stichproben gilt. Ja,

jetzt gehen wir einfach die einzelnen Fälle durch, zum Beispiel ziehen mit

zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge, wie groß ist dann N, ziehen ohne zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge, wie groß ist dann N und so weiter. Also wir fangen mal an, A beim ziehen mit zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge. Ziehen mit zurücklegen

und mit Beachtung der Reihenfolge. Da ist N gleich und was würden Sie

sagen, in Abhängigkeit von klein N und klein K, was kommt raus? Mit Gründung. N hoch K, weil man K mal N Möglichkeiten hat. Das heißt, wir haben

für das erste Element, das wir ziehen, haben wir N Möglichkeiten, weil wir ziehen ja irgendeines dieser N-Elemente raus. Dann für das zweite Element haben wir wieder N Möglichkeiten, weil nachdem wir es rausgezogen haben, legen wir es wieder zurück und wir ziehen das zweite, also wieder eins aus N.

Für das dritte haben wir N und so weiter, bis für das Karte. Das ist für das erste Element, für das zweite Element und für das Karte-Element. Und es gibt dann N hoch K.

Aber das war einfach. Und weil ich ja die Reihenfolge beachte, ist es

halt ein Unterschied, was ich als erstes gezogen habe, was ich als zweites gezogen habe, ob ich das Element vielleicht eins als erstes und das Element zwei als zweites. Das ist was anderes, als ob ich das Element zwei als erstes und das eins als zweites. Das sind zwei verschiedene Sachen, wenn ich die

ebenfalls relativ einfach betrachte, die das ziehen, ohne zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge. Was würden Sie da sagen? Was kommt da raus? Da

kommt N Fakultät raus. Warum? Als erstes haben Sie N, dann haben Sie

fürs erste haben Sie N Möglichkeiten, dann fehlt eins und haben Sie fürs zweite nur noch N minus eins. Und das machen Sie so lange, bis die Schachtel leer ist. Ja, aber wir ziehen K-Elemente, nicht N. Das machen Sie so lange,

müssen Sie nur noch ein Element ziehen? Nein, dann wäre K gleich N. Also wenn K gleich N wäre, haben Sie recht. Aber ich ziehe ja zum Beispiel, es kann sein, N ist zehn und ich ziehe nur zwei draus. Dann habe ich nicht zehn Fakultätmöglichkeiten, sondern haben Sie nur zehn mal neun Möglichkeiten. Das heißt, Sie müssen

vorher aufhören. Das heißt, Sie haben eigentlich N, das wäre das erste Element, dann N minus eins, N minus zwei und so weiter. Also hier haben wir das erste Element, hier haben wir zweites Element, hier haben Sie das Karteelement. Und wenn

Sie überlegen, beim zweiten steht da N minus eins, dann muss beim Karten eben N minus K plus eins stehen als Faktor. Und dann sehen Sie, dann kommen Sie nicht

auf N Fakultät oder nicht ganz auf N Fakultät, sondern Sie kommen auf N Fakultät geteilt durch N minus K Fakultät. Okay, ist das klar soweit oder

haben Sie Fragen? Dann kommt der dritte Teil. Als drittes betrachten wir

das Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge und überlegen

uns, wie viele Möglichkeiten gibt es da? Da gibt es folgenden Trick. Die

Anzahl Möglichkeiten bezeichnen Sie mal mit groß N und für jede einzelne dieser Stichproben, bestehend aus K Zahlen, da sortieren Sie jetzt jeder diese Zahl auf alle oder jede dieser Zahlenfolge von K Zahlen auf alle

möglichen K Fakultät in Arten um. Das heißt, Sie sortieren die um und wenn Sie das machen, dann bekommen Sie gerade alle Stichproben ohne Zurücklegen aber mit Beachtung der Reihenfolge. Also sortiert man jede

der N Stichproben auf alle möglichen Arten um. So

erhält man alle Stichproben jetzt beim Ziehen ohne Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge. Das heißt, so erhält man alle Stichproben aus B.

Das heißt jetzt aber, wenn Sie jede mögliche Stichprobe, das ist N, haben Sie, auf alle möglichen Arten umsortieren, dieses Umsortieren von K

Zahlen neu anordnenden alle beliebigen Reihenfolgen, dann können Sie eine Zahl ziehen als erste Zahl aus diesen K Zahlen, dann eine zweite Zahl ziehen als zweite Zahl und so weiter. Das heißt, Sie ziehen K Zahlen aus K ohne Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge. Das geht auf K Fakultät viele Möglichkeiten. Das gibt die Zahl aus B. Das ist N Fakultät durch N

minus K Fakultät. Dann sehen Sie die gesuchte Anzahl N, können wir jetzt

K Fakultät mal K Fakultät und das ist der sogenannte Binomial-Koeffizient N über K.

Okay, haben Sie Fragen dazu? Für N setzt sich das aus B ein? Nein, ich meine für

N an dieser Stelle ist dieses N aus C und wenn ich dieses N aus C, diese Anzahl aus C, wenn ich da jede einzelne Stichprobe umsortiere, dann

habe ich für jede einzelne Stichprobe K Fakultät viele Möglichkeiten. Das heißt, statt N habe ich dann N mal K Fakultät viele Stichproben und dafür, das ist der Wert aus B. Das heißt, das ist gleich N Fakultät durch N minus K Fakultät. Okay, noch Fragen? Ja, dann haben wir drei der vier Formeln.

Die vierte Formel, also die drei sind eigentlich mehr oder weniger trivial.

Die vierte, da muss man ein bisschen was nachdenken, die machen wir dann im Freitag. Sehen wir uns am Freitag.