Anwendungen der Fenchel Dualität
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Formale Metadaten
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| Teil | 11 | |
| Anzahl der Teile | 22 | |
| Autor | ||
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| Identifikatoren | 10.5446/31343 (DOI) | |
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DualitätGleichungGraphMaß <Mathematik>MengeMultiplikatorOptimierungSymmetrieTopologieFunktion <Mathematik>Physikalische GrößeKonvexitätLösung <Mathematik>Raum <Mathematik>Bruch <Mathematik>StörungstheorieVariableOperatorZeitbereichGanze FunktionAlgebraisch abgeschlossener KörperUngleichungKonvexe FunktionAffiner RaumAussage <Mathematik>DualitätstheorieEbeneEbene KurveEinfach zusammenhängender RaumGruppenoperationHaar-MaßHausdorff-RaumHyperebeneIndexKonstruktion <Mathematik>Konvexe MengeLokales MinimumMomentenproblemNorm <Mathematik>Positive ZahlRestriktion <Mathematik>TensorZielfunktionSummeEckeNichtlinearer OperatorMinimierungKonkave FunktionAdditionNegative ZahlInnerer PunktOptimierungsproblemInklusion <Mathematik>RichtungSchnitt <Mathematik>MinimumMaximumObere SchrankeVorzeichen <Mathematik>Karush-Kuhn-Tucker-BedingungenTupelKerndarstellungWald <Graphentheorie>Matching <Graphentheorie>ProduktraumUnendlichkeitNebenbedingungBidualraumFunktionalKomplementaritätLinearer OperatorRang <Mathematik>TermUnbeschränkter OperatorUnterraumStetig differenzierbare FunktionPunktDimension 1HerleitungRelationalsystemKonvexes FunktionalAbgeschlossenheit <Mathematik>Lagrange-MethodeUngleichungsrestriktionDualraumLagrange-DualitätComputeranimationVorlesung/Konferenz
Transkript: Deutsch(automatisch erzeugt)
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Dann nochmal Wiederholung von letzter Woche, ein bisschen ausführlicher diesmal, wir haben das konjugierte Funktional eingeführt, was in meiner Vorlesung immer noch eine Menge C enthält,
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das Supreme wird also nur über eine konvexen Menge definiert und wenn C der ganze Raum ist, dann schreibe ich auch manchmal nur F Stern und allgemein bildet F Stern nicht F Stern x,
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sondern F Stern einfach und F Stern ist ein Funktional auf dem Dualraum x Stern und mag auch, so muss ich mal endlich sagen, kann ich auf Werte unendlich annehmen. Und ja, damit kann man da die Fenchel-Dualität formulieren und zwar sehr viele Voraussetzungen, alles sehr abstrakt,
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gehen wir so peu à peu durch, ich habe zwei konvexen Mengen, die sich nicht durch eine Hyper-Ebene trennen lassen, beispielsweise was oft vorkommt ist, dass die eine Menge der ganze Raum ist, ist das denke ich klar, eine konvexen Funktion auf der einen Menge,
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eine koncave Funktion auf der anderen Menge, der Schnitt aus beiden Mengen, der soll nicht leer sein, das ist aber klar, wenn der leer wäre, dann gäbe es so eine Hyper-Ebene. Sonst macht die ganze Aufgabe keinen Sinn, weil ich hinterher das Infimum über diesen Schnitt bilde. Dann brauche ich noch, damit ich, weil das ganze basiert auf einem Trennungssatz, dafür brauche
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ich immer innere Punkte, denk mal an diesen einheitlichen Trennungssatz und ich mach die Trennungssatz für die Epigrafen, einerseits das, was unter der koncaven Funktion liegt und über der konvexen Funktion und einer der beiden Epigrafen muss nicht leer sein,
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können auch beide nicht leer sein, aber einer auf jeden Fall. Und dann brauche ich noch, dass das Infimum, das ist letztendlich die Optimierungsaufgabe, ich betrachte will, also nehme den Schnitt und dann die Differenz der konvexen minus die koncaven Funktion, die Differenz ist natürlich auch wieder konvex und das will ich minimieren und ich muss erstmal,
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nehme jetzt nicht an, dass das Infimum existiert, beispielsweise wenn die Mengen nicht abgeschlossen sind, dann wird das schwierig sein im Allgemeinen, aber das Minimum muss existieren, aber das Infimum muss existieren, das soll größer als minus und endlich sein. Okay,
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das ist so das Setting und dann kann ich beweisen, dass dieses Infimum J gerade das Supremum von einer Aufgabe ist, wo ich die Differenz der entsprechend konjugierten Funktionale bilde, ist also eine Aufgabe im Dualraum und nicht nur das, dieses Supremum
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wird auch angenommen, also deshalb steht hier richtig auch Max durch irgendein Mühe, muss nicht eindeutig sein, ist egal, so diese Aufgabe ist am Ende die duale Aufgabe zu der, hier habe ich einen Inf, da habe ich einen Sub und falls dieses Infimum angenommen wird, an einem mit einem x quer hier, dann geht die Aussage noch weiter, dann gelten folgende
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Relationen, also wenn ich hier dieses Supremum suche, als eigentlich das konjugierte Funktional angewandt auf Mühe, dann wird das angenommen in x quer und entsprechend auch bei dem
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konjugierten Funktional von G, also so sind diese Sachen, sehr abstraktes Ergebnis und man sieht noch nicht so wirklich wofür es gut ist, aber da kommen wir dann, da werden wir im weiteren zahlreiche Beispiele kennenlernen. Ich wollte auch nochmal, weil das am Ende ein bisschen schnell ging, nochmal die Beweisskizze erläutern, weil so ähnliche Beweise
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werden uns jetzt häufiger begegnen. Sie sind noch einmal eigentlich. Also die Idee ist, die grundlegende Idee ist, dass eine Hyper-Ebene existiert, die die beiden Epigrafen trennt. Hier mal so im Eindimensionalen aufgemalt, mit dem Konkarve, Konvexfunktion und jetzt nicht die
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beiden Epigrafen, sondern ein Epigraf wird um dieses J, das Infimum verschoben. Dann kann man sich überlegen, dann berühren die sich gerade so und da muss man eben eine Hyper-Ebene durchführen können. Das geht unter den entsprechenden Voraussetzungen. Man findet also mit Hilfe des Trennungsatzes so eine Hyper-Ebene. Das ist ein Element des Dualraums. Wir sind mit
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dem Epigraf immer in so einem Produktraum R Kreuz X und da sieht dann natürlich so eine duale Paarung so aus. Okay, dann als nächstes muss man zeigen, dass das Alpha nicht null ist, auch nicht positiv, sondern echt negativ. Dafür braucht man die Voraussetzungen, dass man die beiden Mengen C1 und C2 nicht durch eine Hyper-Ebene trennen kann. Sonst könnte Alpha auch null sein. Klar, dann hätte ich hier C1, C2 und ich könnte eine vertikale
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Hyper-Ebene durch. Das darf es nicht sein. Ja, und obdr kann man dann Alpha gleich Minus einsetzen. Wenn das nicht der Fall ist, kann man einfach Mu umskalieren. Gut, dann nehme ich wieder in diese Beziehung rein und setze jetzt für R1 und R2 einfach
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f von x1 minus j und g von x2 ein. Das sind per Definition trivialerweise Elemente in dem Epigrafen. Dann habe ich hier eben f von x1 minus j und g von x2 und kriege, weil das dann für alle x1 aus C und x2 aus C2 gilt, kann ich Sub und Inf bilden und kriege diese Relation.
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Ja, dann kann ich noch das j hier rausziehen aus dem Inf und scharf hingucken. Nach Definition ist das genau das konjugierte Funktional zu f und das das zu g und damit habe ich diese Aussage bewiesen. Das ist genau die erste Aussage. Das heißt,
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das eigentlich noch nicht. Eigentlich habe ich hier nur ein kleiner Gleich. Die umgekehrte Inklusion, das größer Gleich gilt und zwar für alle x Stern, für alle Elemente aus dem Dualraum, nicht nur für das Mu. Das haben wir ganz am Anfang gemacht und das folgt direkt
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aus Definition des konjugierten Funktionales. Also das ist fast schon trivial. Und die haben wir eins gefunden, nämlich das, was aus dieser Hübe-Ende kommt, wo das mit kleiner Gleich erfüllt ist und damit muss das Gleichheit sein und dort wird eben dieses Supremum, dieses Maximum angenommen. Okay, das ist also die erste Aussage.
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Basiert einfach auf dem Trennungssatz. Du weißt, wird uns jetzt häufiger begegnen. Okay, jetzt nehme ich diese Aussage und mach noch die beiden anderen Aussagen. Die
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beiden letzten Aussagen der Fenchel-Dualität. Alle nur Powerpoint-Vorlesungen. Die Tafel und
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das Ding benutzt. So, also zweite Aussage der Fenchel-Dualität. Wir wissen, also
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erste, wir wissen, das haben wir jetzt gerade gezeigt, das war die erste Aussage,
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dass J gleich G-Stern, C2, X-Stern, ach, µ, µ minus von µ ist. Okay, was wir uns
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angucken wollen, oder was zu zeigen ist, zu zeigen ist, dass also letztendlich G-Stern
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in Kurzschreibweise C2 von µ, dass das nichts anderes ist als X-Quer, mal noch mal hinschreiben,
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was X-Quer ist. Entschuldigung. Also X-Quer, Lösung von, das kann ich direkt mit hinschreiben,
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weil es wird angenommen, F von X minus G von X. Das Infimum J wird angenommen. Gesundheit.
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So, und das, was ich zeigen will, ist, dass G-Stern C2 µ, das ist Inf X-Element C2,
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duale Paarungen mit µ minus G von X und dass das genau in X-Quer angenommen wird. Also das gilt X-Quer minus von X, also dass das Infimum bei der Definition von
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konjugierten Funktional genau von X-Quer angenommen wird und genau das Supremum bei dem konjugierten Funktional zu µ, äh zu F. Also X-Quer µ minus F von X-Quer. Okay, so. Ja, und das ist gar nicht schwer. Gucke ich mir mal den Ausdruck an hier.
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X-Quer µ minus G X-Quer. Ach so, genau. Und ich weiß ja schon, das ist nach Definition das J.
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J war das Inf. Hier existiert das Inf in X-Quer. Also es ist gleich diesen Min. Das heißt, ich kann das hier umschreiben als X-Quer µ und das ist nichts anderes als minus F von X-Quer plus J.
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Ist klar, ne? Das Min wird angenommen, also F von X-Quer minus G von X-Quer ist gleich dem Infimum, nämlich das J. Und das habe ich da ausgenutzt. Okay, gut. Das kann ich
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jetzt nach oben abschätzen über das Sub. X-Element C1 Xµ minus F von X plus J. Klar,
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als X-Quer ist irgendeins aus C1. Und das ist nichts anderes als das konjugierte Funktional an der Stelle µ, nach der Definition von konjugierten Funktional. Und da weiß ich jetzt,
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weil ich habe ja das schon bewiesen im ersten Teil, das ist nichts anderes als G von, müssen Sie sehen, das ist wieder mit den Vorzeichen, ja richtig, Stern µ, nach der
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ersten Aussage, die ich bewiesen habe, das ist gleich, noch mal hingeschrieben, was ist das, X-Element C2 Gesundheit, für die gilt das. Jetzt schreibe ich einfach weiter,
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wische ich dann nachher weg. Ja, und das ist natürlich kleiner wegen dem Inf, als wenn ich ein bestimmtes nehme, nämlich das von X-Quer. Weil X-Quer es löst, die Aufgabe liegt im Schnitt von C1, C2, also auch in C2, damit habe ich diese Ungleichung. Ja, jetzt habe ich schon
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wieder aufgehört, also sind die alle gleich. Okay, ja, und dann muss man nur noch scharf hingucken, dann steht genau die Aussage da, dann steht nämlich, was war jetzt noch mal die
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Aussage? Ja, genau, dass das gleich dem ist, denn die ganzen Ungleichungen sind alle gleich, das ist gleich dem, kommt das J raus, habe ich genau das da stehen, also X-Quer µ minus F von X-Quer ist gleich Sub X-Element C1 µX minus F von X, das ist genau das. Und als zweites
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habe ich, genau, und hier auch das mit gleich, also X-Quer µ minus F von X-Quer
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ist gleich dem Inf X-Element C1 C2 µX minus F von X, ja. Also wenn ich beispielsweise
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das µ kenne, dann könnte ich meine optimale Lösung X-Quer aus diesen Optimierungsproblemen bestimmen, könnte möglich sein. So könnte man das nutzen, um in bestimmten Fällen wirklich auch eine optimale Lösung auszurechnen. Das heißt, nichts anderes als das duale Problem
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zu lösen, genau das werden wir auch vielleicht heute nicht mehr am nächsten Mittwoch noch machen. Für ein Beispiel. So, damit haben wir jetzt die Fencheldualität im Sack. Im Script schließt sich
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jetzt eine Bemerkung an, die sagt, dass ich bei der Maximierung von der Differenz der konjugierten Funktionale, das genau ja in µ angenommen wird, auch nur über die Domänen gucken muss, aber das ist trivial, weil außerhalb der Domänen ist das Ding minus unendlich und plus unendlich. Das heißt, die Summe aus beiden ist auf jeden Fall, wenn eins, wenn ich nicht in
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den Domänen bin, minus unendlich, dann kann das Maximum nicht angenommen werden. Also das ist trivial. Und ich will jetzt noch mal zu der Bemerkung, zu der Voraussetzung, auf die Voraussetzung näher eingehen, dass sich die beiden Mengen, die ich dort betrachte, C1 C2, nicht durch
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eine Hyper-Ebene trennen lassen. Und jetzt mal so ein paar Fälle angeben, wo das so ist. Es ist völlig klar, dass wenn jetzt eine Menge der ganze Raum ist, dann kann das gar nicht gehen. Relativ trivial, kann man sich zu Hause überlegen, ganz einfach. Und ein anderes Beispiel ist
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folgende Proposition 3, 3. C1 C2 konvex mit C1 oder int C1 nicht leer. Gibt es ein
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Element C2 geschnitten, int C1, dann lassen sich C1 und C2 nicht durch eine Hyper-Ebene trennen.
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Anschaulich ist das völlig klar. Zwei konfekte Mengen, zwei Kugeln, was weiß ich. Wenn die sich gerade tangieren, dann kann ich eben noch eine Hyper-Ebene da durchlegen. Aber wenn die sich
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in das Innere der anderen Menge geht, dann geht das natürlich nicht mehr. Das werde ich aber auch formal, korrekt, rigoros hier beweisen. Beweis, Widerspruchsannahme. Es gibt eine Hyper-Ebene, die die beiden trennt. Also es existiert ein x Stern ungleich Null,
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sodass x Stern x1 kleiner gleich x Stern. Ja und jetzt x2 aus der Menge C2 und dann nehme
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ich direkt ein bestimmtes, nämlich das y liegt ja in C2 und das muss für alle x1 aus C1 gelten. Und jetzt ist ganz einfach. Der y Element interior C1 existiert ein kleines Rho, größer Null
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mit der Eigenschaft, dass B Rho y auch in C1 liegt. Nehmen wir mal den Abschluss,
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dann kann ich bei euch da nicht so rumhampeln. Und daraus folgt jetzt natürlich sofort, da das hier für alle x aus der Menge C1 gilt, nehme ich jetzt y plus Rho h kleiner
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gleich x Stern y und das muss für alle h gelten aus meinem Raum x mit Norm h gleich 1. Dann ist
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die H Kombination natürlich in dieser Rho Umgebung um das y bleibt damit in C1 und damit muss diese Ungleichung gelten. Ja und jetzt sieht man schon, weil das für alle für beliebige Richtung gelten muss, also insbesondere für plus h und minus h. Daraus folgt x Stern h
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gleich Null für alle h mit der Eigenschaft, dass die Norm 1 ist. Ja und daraus folgt dann
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direkt x Stern, das ist ja das Supremum über alle mit Norm 1, ist also die duale Norm ist auch Null. Daraus folgt x Stern gleich Null nach Norm Eigenschaften Widerspruch. Weil
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Ungleichung trivial. Ist klar, hier einfach die entsprechende Addition eingesetzt, dann x Stern y rausgeworfen, kleiner gleich Null in alle Richtungen, macht gleich Null, durch Rho noch dividiert und fertig. Okay, also dann kann ich die trennen, das ist auch sehr anschaulich klar.
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In Lundberger steht jetzt noch was mit dem relativen Individuen, aber da habe ich meinen Zweifel, dass das stimmt. Wenn beide jetzt irgendwie, also er sagt, wenn das eine
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keine relativen Punkte von dem anderen enthält, wenn ich jetzt hier irgendwie einen Unterraum habe und ich habe eine Konvexenmenge, die da drin liegt und eine andere Konvexenmenge, meinetwegen einfach nur länger, dann ist völlig klar, die Hyper-Ebene sind ja in zweiter
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nur gerade. Diese Hyper-Ebene trennt diese beiden Mengen schwach. Nämlich immer alles mit Gleichheit erfüllt. Ich meine, es ist keine starke Trennung, aber es ist eine schwache Trennung. Das ist ein bisschen Banane, das Beispiel. Und das Relative
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Innere hat hier, die Stimmen haben ja hier, die eine ist ja sogar in der anderen Menge enthalten. Also ich glaube, so geht das nicht. Das ist ein schwachsinniges Beispiel, aber egal. Vielleicht kann man auch mit strikter Trennung argumentieren, aber für unsere Zwecke reicht diese Proposition völlig aus. Also nicht immer alles glauben,
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was in Lehrbüchern steht. Ist sowieso schon Lachs der Luhnberger, egal. Okay. So und jetzt möchte ich mit Hilfe der Fencheldualität, jetzt steht da so vollmundig
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Beispiel, also richtig Beispiel, ist es jetzt auch nicht, möchte ich jetzt noch mal das beweisen, was wir vor ein paar Wochen schon hatten, nämlich Dualität bei minimalem Abstand. Irgendwo habe ich doch hier Kreide. Zeige mit Hilfe Fencheldualität
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die Dualität bei minimalem Abstand. Das ist ein bisschen langweilig, denkt man sich, weil haben wir ja schon bewiesen, was jetzt normal beweisen, aber es ist eine schöne Anwendung der Fencheldualität. Weil man jetzt da auch schon sieht, wie man spielen muss. Mit den Mengen, mit den Konvexen, Konkapen, Funktionalen, um das auszunutzen. Bei einem
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minimalen Abstand. Das ist im Skript der Satz, so jetzt geht es los, Kapitel 2, 2, 1, 1, 20. Und der sagt folgendes aus, dass ich nämlich den Abstand eines
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Punktes y zu einer Konvexenmenge c bestimmen kann, also diesen skalaren Wert, den kann ich bestimmen, über folgendes Dualproblem. Kleiner gleich 1, x Stern, y, minus das
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Support Funktional. Kann sich auch keiner mehr dran erinnern, was das war, ich
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x Stern, x Support, das ist das Stütz Funktional. Hatten wir doch in der letzten Woche schon, Stütz Funktional, Stütz Funktional. So und das wollen wir jetzt mit der Fencheldualität
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beweisen. Jetzt muss ich mir erstmal ein Setting zurechtbauen, was ist mein F,
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was ist mein G, was ist mein C1, was ist mein C2. Also, wähle C1 gleich C, die Funktion F
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gleich Null ist es Konvex. C2, das macht man oft den ganzen Raum, dann habe ich zum Beispiel diese Trennung der Mengen über Hyper-E existiert, dass ich die nicht mit Problem mehr und das G, ja das wähle ich jetzt als, irgendwo muss ich auch mal hier,
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das ist mein primales Problem hier mit dem Inf, das wird dann mein duales Problem werden und irgendwo muss ja das auch mal auftauchen, das wähle ich jetzt, aber das ist Konvex, hier G muss konkarst sein, also wähle ich das als das Negative. So ist das Setting. Jetzt muss ich noch die Voraussetzung, jetzt muss ich noch die Voraussetzung überprüfen,
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das habe ich gerade überfordert, muss ich das fordern, dass das Impfung hier größer Null ist, dass das Impfung größer unendlich ist. Wenn die Menge nicht leer ist, sollte
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das immer so sein. Da kann man sich irgendwas absurdes vorstellen, geht, ne. Ich schaue mal. Scheiße. Inf x Element c, x minus y, gleich hot, größer, minus unendlich,
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das passt. Was haben wir noch für Voraussetzungen? C1, C2 lassen sich nicht trennen, die Hyper-Ebene ist klar. Da C2 gleich x gibt es keine Hyper-Ebene, die ein und C2 trennt. Kann ja nicht sein,
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so eine Ungleichungskette, wenn das einer der ganzen Raum ist, dann kann das nicht erfüllt sein, also eine entsprechende Ungleichung für die Hyper-Ebene. Was habe ich noch für Voraussetzungen? Der Epigraph muss nicht leer sein. Ja, g ist konkarf, ist klar, brauche ich nicht wegen Konvexität der Norm. Und von irgendeinem muss der Epigraph nicht
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leer sein. Ja, und damit ich, beim Epigraphen, da ist ja eine Bedingung, wenn ich zum Beispiel den Epigraph jetzt an die Nullfunktion hier nehmen würde, dann wäre das, also ich nehme alle Tupel eher x und das x muss in C sein. Das heißt aber insbesondere,
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ich muss um das x noch eine kleine Kugel rumlegen können. Dafür brauche ich, dass die Menge C nicht leer ist. Das will ich nicht. Welche Voraussetzungen an C will ich nicht haben. Ich nehme deshalb nämlich den anderen Epigraph. So, und was ist das?
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Das ist, schauen wir mal so mal hin, Rx Element R Kreuz x. Ja, C2 ist ganz x, also x aus x. Ja, wollen wir hinschreiben. Und g von x größer gleich R, also minus x
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minus y größer gleich R, y das gefeste Datum. Und daraus folgt jetzt das, beispielsweise der Punkt minus eins y, der liegt natürlich im Inneren. Ist klar,
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dann steht hier die Null, ist ja echt größer, minus eins, kann ich ein bisschen an dem x rumspielen, kann ich ein bisschen an dem, also hier um den y rumgehen, um ein bisschen an der minus eins, bleibt immer noch die Ungleichung erhalten, wenn ich im Inneren. Sehr schön. Also, haben wir alle Voraussetzungen erfüllt.
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Kann ich dann die Fencheldualität anwenden? Und das liefert mir Inf x Element C,
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x minus y ist gleich, Max wird richtig angenommen, weiß ich schon. Aufgabe im Dualraum, g Sternchen von x Sternchen, da lasse ich jetzt den Index x weg,
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weil es über den ganzen Raum geht, minus, ja und f Sternchen f ist die Null und konjugiert das funktional bezüglich der Menge C und x Sternchen. So, das muss ich jetzt noch ein bisschen umformen, dass ich genau dahin komme. Okay, mit. Das haben wir
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ausgerechnet. Was ist das? Schreibst du mal hin. Sub x Element C, x Sternchen x,
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ja, minus f von x, das ist aber die Null. Ja, kann ich direkt weglassen und das ist das Support-Funktional. Ha ha, habe ich schon mal dieses Minus-Dings hier. Das sieht ja schon mal gut aus. So, muss noch den Rest hinprökeln. Wir überlegen, was das g ist.
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Und der Trick ist jetzt immer so bei diesen ganzen Konstruktionen. Wichtig ist dann, wenn ich eine konkrete Anwendung habe, ich will das Fencheldualität anwenden, wie wähle ich C1, C2, f und g. Und der Trick ist jetzt, weil es ist jetzt hier und das wird auch in folgendem so sein, man muss das immer ein bisschen aufteilen. Das eine
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Funktional wird trivial. Dafür kommt hier die Menge rein. Was ist das? Und hier ist das Funktional irgendwie kompliziert. Dafür habe ich als Menge den ganzen Raum, was einfach ist. So, das ist immer so relativ Erfolg versprechen. Jetzt wische ich noch mal hier. Und ist das so schlimm? Ja, und genau. Jetzt gucke ich mir den
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Schmuder noch an das g-Stern. Und das ist auch so eine Rechnung, wie wir die schon mal so ähnlich hatten. g-Stern, x-Stern ist nach Definition inf x. Und jetzt das Schöne über den ganzen Raum. X-Stern, x minus g von x. Okay. Und da muss ich jetzt ein bisschen
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rumtricksen. Da kann ich ja direkt die Definition von g einsetzen. Entschuldigung. Hier setze ich direkt die Definition von g ein. Das ist g war minus
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Norm der Differenz, also plus das Teil hier. Genau. So, jetzt bräuchte ich hier irgendwie noch einen y. Deshalb addiere ich hier einmal y drauf, ziehe es wieder ab. Dann habe ich einen Term x-Stern, y, dualer Part, der nicht von x abhängt, ziehe ich aus dem Infimum
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raus. Das heißt, ich kriege hier x-Stern, y, plus, und dann bleibt der Rest überall. Ich habe eine Null addiert. x-Stern, x minus y. Jetzt habe ich erst mal eine schöne
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Symmetrie. Ja, und es ist klar, wenn ich hier über den ganzen Raum gehe, das dann gehe ich natürlich mit x-Schlange auch über den ganzen Raum. Das heißt, ich kann das hier ersetzen in plus Inf x-Schlange Element x, der einfach minimiert hier über
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den ganzen Raum. x-Schlange plus von x. Und das sieht so ähnlich aus wie das, was wir uns letzte Woche angeguckt haben. Da haben wir, gerade am Mittwoch, da haben
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wir nämlich das Konjugiert-Funktional zur Norm gesucht. Und jetzt mache ich genau den selben Trick, den ich da auch gemacht habe. Plus, ich kann jedes x-Schlange im Raum, weil das jetzt der ganze Raum ist, kann ich darstellen mit einem Alpha größer Null
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und x-Hut meinetwegen mit Norm 1. Ich gehe einmal über die Einheitskugel-Oberfläche und skaliere dann entsprechend mit einem positiven Alpha. Weil ich jedes x-Schlange so darstellen kann, kriege ich hier auch, ach mal hin, zwei Schritte. Kann ich das auch so
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schreiben. Das ist genau wie am Mittwoch. Jo, ein bisschen kleinschrittiger jetzt. Plus,
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jetzt spiele ich das auf. Einmal habe ich dann ein Infimum, weil hier in den Bedingungen bei dieser Minimierung oder Infimumsuche ist Alpha und x-Hut nicht gekoppelt. Da ist klar, ich kann über Alpha gehen. Hier kann ich das Alpha rausziehen. Alpha ist positiv, nicht negativ, ziehe ich aus der Norm raus. Das ist sowieso linear. Norm,
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positiv, homogen. Ziehe ich das Alpha raus und habe dann noch das innere Infimum. Einheitskugel-Oberfläche, ja. So, was steht hier? x-Stern, x-Hut, plus, dann bleibt hier nur
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noch das Alpha, habe ich positive Homogenität rausgezogen, nur noch das. Naja, das ist aber eins, weil ich ja nur über die Einheitskugel-Oberfläche gehe. Das heißt, ich habe x-Stern, y-Hut, plus Inf, Alpha größer als Null, Alpha, ist ja nicht irgendwo
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Minus eins hin? Nee, plus eins, stimmt. Aber irgendwo, achso. Eins plus Inf, so.
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Ich habe mich ja auch noch eins aus der Infimumsbildung da rausgezogen. Und was ist das?
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Das hatten wir uns schon mal angeguckt. Das gebe ich genau im Vorfeld von dieser Diskussion der Dualität bei minimalem Abstand. Das Ding ist nichts anderes als Minus die Norm von x-Stern im Dualraum. Ja, noch mal zur Erinnerung, Norm von die Stern im
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Dualraum war sup über die Einheitskugel-Oberfläche und das konnte man dann wegen der Linearität hier so ein bisschen da die Minus rein- und rausprökeln und dann wird aus dem Inf ein Sub und so weiter. Das ist, hier mal angeben, noch mal, als
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ich anschauen will, wie der genaue Beweis ging, Lemma 2.1.20. Da haben wir uns das überlegt, dass das so ist. Ja, und jetzt bin ich fertig. Jetzt habe ich, jetzt brauche ich hier noch ein bisschen Platz. Machen wir hier zu Ende auf der
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Tafel. Genau. So, das heißt, ausfolgt, g-Stern x-Stern ist gleich, habe ich hier
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die duale Paarung, plus Inf Alpha größer als Null und dann eins minus Norm von x-Stern. Und dann ist es völlig klar, wenn das innen drinnen hier, das ist ja
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irgendwie eine Zahl, wenn die negativ ist, dann wird das Impfhymne bei Alpha gleich Null angenommen. Also Null, wenn das negativ ist, also wenn x-Stern kleiner gleich eins ist. Wenn das aber x-Stern größer eins ist, dann ist das irgendwie eine positive Zahl und dann eine negative Zahl, wird das hier
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die Differenz negativ. Und dann ist klar, das Infimum kann ich beliebig aufblänen. Dann gehe ich mit dem Alpha gegen Minus unendlich. Dann kommt hier Minus unendlich raus. Stern größer eins. So, okay, jetzt gucken
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uns das aber nochmal an. Hier soll aber das Maximum gebildet werden. Das heißt, wenn die Norm von dem x-Stern kleiner als eins, größer eins ist, dann ist das hier schon mal Minus unendlich. Diese x-Stern brauche ich also bei der Maximusbildung nicht zu berücksichtigen. Okay, habe ich dem eine Nummer gegeben?
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Ja, das war 38. Wegen Max in 38 folgt damit. Gehen wir nochmal in 38 rein.
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x Element c, das ist die Aufgabe, die ich lösen wollte. Ach so, minimaler Abstand. x minus y gleich Max. Ja, wie gesagt, über die mit Norm größer eins brauche ich nicht mehr zu gehen.
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Dann gehe ich also nur die mit Norm kleiner gleich eins. Dann habe ich das G-Stern von x-Stern. Wenn das Ding Norm kleiner als eins hat, ist das hier hinten null. Dann bleibt also nur die duale Paarung hier über.
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Und dann steht Minus null Stern. Und da haben wir uns schon überlegt, dass das Support funktioniert. Also Minus sc x-Stern. Ja, und das war genau diese Aussage von diesem einen Satz. Sehen wir also, es ist eigentlich nur ein Spezialfall
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dieser Fenchel-Dualität. Und es zeigt aber sehr schön, wichtig ist die erste Zeile da oben, wie man das immer so verteilt. Strategie, ich habe eine Optimierung einer Zielfunktion über irgendwann eine komplizierte Konvexenmenge. Und dann verteile ich das immer so. Triviales Zielfunktional, konvexenmenge,
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triviale zulässige Menge, ganzer Raum hier. Und dann kommt auf das Konvex Funktional g, weil eigentlich ist die Funktional drauf. Und dann kann ich, dann muss ich mir genau überlegen, was sind die, das Schwierige ist sich dann immer zu überlegen, was sind die konjugierten Funktional. Und jetzt will ich noch einen wichtigen
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Spezialfall bringen. Der schwebt so ein bisschen im luftleeren Raum. Das ist ein bisschen schade, weil da gibt es zahlreiche Anwendungen für. Im Wesentlichen fällt mir einer. Die lineare Elastizität, aber das kann ich nicht machen, das führt zu weit. Da müsste ich irgendwie Tensoren,
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müsste ich eine Einführung in Tensore-Rechnung geben und so, dass man da überhaupt das ganze technische Rüstzeug hat. Das wäre ein bisschen nervig. Ja, vielleicht mache ich das im Januar nochmal, wenn ich die ganzen Beispiele im Funktionraum durch x.
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Der Spezialfall, der jetzt kommt, der geht oft alleine schon als Fanthildualität durch. Also es ist jetzt nun eigentlich ein Spezialfall von unserem etwas allgemeineren Resultat. Wenn man manchmal in so Bücher guckt, habe letztens noch in so einem Science Review Artikel ein Zitat
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gesehen, hier der Fanthildualität, da stand auch nur dieser Spezialfall Gut, wichtiger Spezialfall. Folgende Aufgabe über den ganzen Raum,
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f von x, eine irgendwie ein konvexes Funktional, g ein anderes konvexes Funktional, es wird dann noch a von x reingestopft.
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Da passt einiges an wichtigen Anwendungen rein, beispielsweise ja, wie gesagt, die lineare Elastizität. Kann ich jetzt aus Zeitgründen leider nicht darauf eingehen. Mit f ist irgendwie konvex und g, da steckt ja noch ein Operator drin, der möglicherweise
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einen anderen Raum abbildet, nämlich den ich mal mit y bezeichnen möchte, die sind konvex und a ist irgendwie ein linearer Operator von x nach y. Habe ich das l immer so geschrieben oder als normales l? Ist doch egal. Gut, jetzt wollen wir darauf Fanthildualität anwenden.
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Habe ich meinen eigenen Satz da ausgemacht. Das sei 5. Okay, bei f und g schreibe ich die selbe Zeit in Norma hin. Sehr schön.
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Konvex, linear, stetig von x nach y. Dann brauche ich noch mehr
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Voraussetzungen für die ganze Voraussetzung für die Fanthildualität. Es existiere Schlange x und ein ro größer 0. Das brauche ich damit
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hinter der Epigraph nicht leer, sodass f auf b ro Schlange nach oben
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sei. Brauche ich natürlich, wenn ich diese Aufgabe da lösen will,
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eine Bedingung bei Fanthildualität, dass das gleich j echt größer minus unendlich ist und dann kann ich Fanthildualität anwenden.
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Dann gilt, wenn ich das tue, führt das auf dieses Dualproblem, nämlich Max wieder eine Aufgabe im Dualraum a, aber diesmal nicht
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im Dualraum von dem x hier, sondern im Dualraum des Bildraumes von a. Also in y Stern von minus f Stern von a Stern von y Stern
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von minus g Stern von minus y Stern. So sieht das aus, wenn ich
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Fanthildualität hier anwende. Das wollen wir jetzt mal beweisen. Und auch hier wieder genau dieselbe Beweisstruktur. Ich muss mir jetzt also irgendwie nur sich das in mein Setting von meinem allgemeinen Fanthildualitätssatz reinstopfen. Wieder ein Beweis dazu.
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Wie wähle ich das Setting jetzt? Zunächst formuliere ich die Aufgabe um. Mich stört dieses a hier und das will ich irgendwie
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wegkriegen. Und ich formuliere das Ganze jetzt als Aufgabe auf den Produktraum x Kreuz y. Das C sage ich gleich. Und dann brauche ich hinten
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immer bei Fanthildualität ein konkales Funktional. Deswegen mache ich da mal ein Minus vor. Da habe ich minus g von y. Das ist konkar.
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Was ist C? Damit das gleich ist, muss eben dieses y da hinten a von x sein. Also ich führe künstlich eine neue Variable sozusagen ein. Und
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restringiere das aber darauf, dass die neue Variable immer a von x ist. Und dann sind die beiden natürlich a von x, dann sind die beiden natürlich äquivalent. Das Impf kann ich jetzt nicht wie das eben mit dem Impf über Alpha und über Xh so auseinander ziehen, weil die natürlich
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hier in der Menge C gekoppelt sind. So, und jetzt Fanthildualität anwenden mit f auf dem Produktraum ist gleich einfach f von x wirkt halt nur auf der einen Komponente
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c1 gleich c g xy wirkt nur auf der zweiten Komponente g von y und c2 ist wieder der ganze
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Raum dann habe ich wieder keine Schere rein damit dass ich die dass ich die Mengen irgendwie durch eine Hyper Ebene nicht trennen darf, weil das bei einem ganzen Raum so nicht geht. Gibt es eine Frage? Naja das ist ja jetzt ein Element y. Wieso? Ich habe die doch hier
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dadurch festgelegt. Ich gehe hier über alle x und das y ist eben ax. Hier ist nicht mehr
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über x sondern über den ganzen Produktraum sondern nur über die Menge c und die legt eben fest, dass dieses y dann ax ist. Stimmt. Naja genau, das wäre der Graf der Funktion. Das wäre natürlich eine elegante Schreibweise. Die Leute vom Hiber kommen, die sehen das. Genau, nur der Graf.
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Stimmt. Richtig. Ja und dann sind die, das ist natürlich äquivalent. Ok, jetzt habe ich das
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alles. F und minus und dieses g sind natürlich dann konvex beziehungsweise konkarf. Dass die zweite Komponente hier fehlt ist völlig egal. Oder hier die erste. Durch das Minus wird es natürlich konkarf. Die Mengen c2 und c1 lassen sich wieder nicht trennen, weil das der ganze
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Raum ist. Und dann muss ich mir noch gucken, was ist mit dem Epigrafen. Das war ja noch eine Voraussetzung, damit ich Eventualität anwenden kann. Und dafür schaue ich mir den Epigrafen an. Welchen nehme ich denn eigentlich? Das ist, wenn man sich die Sachen selber
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überlegt. Da ist ein Fehler im Skript. Ich wollte jetzt, ich meine jetzt ist schon wieder klar. Jetzt ist schon wieder klar, wenn ich an das Beispiel eben denke, wie muss ich argumentieren. Der Trick ist jetzt zu zeigen, ich bin ein Holzkopf. Der Trick ist jetzt
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zu zeigen, wenn ich, ich brauche einen inneren Punkt im Epigrafen. Im Epigrafen steht immer drin, dass einerseits xg von xy muss größer sein als eben das entsprechende R und so. Aber xy auch zulässig. Das heißt, aus entweder der Menge oder eben der Menge. Und die Menge ist
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schlecht, weil dann brauche ich innere Punkte in der Menge, wenn ich einen inneren Punkt im Epigrafen brauche. Deswegen will ich das nehmen. Völlig klar, ist genau wie eben. Ich nehme, wenn ich die Existenz von inneren Punkten im Epigraf zeigen will, dann nehme ich das,
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wo ich den ganzen Raum habe und nicht wie im Skript für die Funktion f. Okay, jetzt weiß ich auch, warum das beim Eckeland-Thema immer mit g war. Ja, egal. So, das heißt, das muss man hier übersetzen, sodass g auch beschränkt
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ist. Also ich brauche das für g, Fehler im Skript, nicht für f. Ich brauche für g eine Kugel, eine Schlange und eine Kugel drumrum, sodass das nach oben beschränkt ist. Stimmt, genau, weil g lebt ja auch in y. Danke. Kacke, Entschuldigung. So,
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jetzt gucke ich mir erstmal den Epigrafen an. Epi g. Naja, und die zulässige Menge ist also alle r, x, y, Element r, x, y mit der Eigenschaft, dass g x, y größer
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ist, das bedeutet hier g von y kleiner gleich minus r, direkt ungefroren. Okay, sei,
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es tut mir leid, habe ich einfach einen Fehler gemacht, sei m, oder eine obere
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Schranke von g auf b pro y-Schlange. Ich weiß, auf b pro y-Schlange ist g nach
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oben beschränkt und da habe ich jetzt hier so eine obere Schranke m. Und dann ist dann ist, nehmen wir mal, jetzt nehme ich da, m minus m, jetzt muss ich das ein bisschen
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umtragen, minus m plus eins, genau, minus m plus eins, null, y-Schlange, Element, von diesem Epi-Dings. Epi g c2. Ja, ist klar. Was habe ich dann hier? g, also wenn ich
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nicht an dem Punkt wackele, habe ich hier g von y-Schlange, kleiner gleich m plus eins, mit dem Minus hier löscht sich aus, dann ist klar, m ist irgendwie eine
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obere Schranke, dann kann ich an dem y ein bisschen rumzittern, dann kann ich an dem m plus eins ein bisschen rumzittern, die Ungleichung bleibt immer noch erhalten, bleibt im Inneren. Ja, und hier habe ich das x einfach null genommen, das x taucht hier gar nicht auf, da kann ich beliebig dran rumspielen, das hat überhaupt gar keinen Einfluss auf die Bedingungen und taucht den Definition des Epigrafen gar nicht mehr auf. Das heißt, hier bin ich auf jeden Fall im Inneren. So, tut mir leid, da muss ich mit dem
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y-Schlange, da ist noch ein Fehler im Skript. Ja, dann ist das ja gut, dann freue ich mich ja, dann bin ich nämlich, habe ich nämlich genau das Resultat von Ekelantemam. Und die beweisen das ganz anders als das mit, als das jetzt über diesen diesen Luhnberger Geschichte. Ach, da ist ja noch Tafel. Aber man sieht sehr schön, wie man das aus dem Luhnberger Ergebnis
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rauszaubern kann. Bei denen, deren Beweis von Fencheldualität läuft immer über so ein permutiertes Optimierungsproblem mit so einer, mit so einer gewissen Störung, wo man erst gar nicht weiß, woher das kommt. Ja, kann man auch machen, ich finde das hier eigentlich besser.
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So, also, was haben wir jetzt? Konvex, koncav, keine Hyper-Ebene, die die beiden trennt. Epigraf von G hat inneren Punkt, also Fenchel ist anwendbar. Und das liefert mir J gleich
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inf x element x, das war meine Aufgabe. Ne, ich schreibe das nochmal anders. x, y element c,
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dass wir wenigstens hier dieselben Räume haben. Quatsch, noch haben wir hier noch. f von x minus
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g von y, ist gleich. Und jetzt die entsprechende Maximierung im Dualraum,
58:40
Dualraum vom Produktraum ist der Produktraum der Dualräume, hatten wir gestern glaube ich und jetzt kommen hier die ganzen wunderbaren konjugierten Funktionale. Dann habe ich einmal
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das g Stern, das ist auf dem ganzen Raum c2 ist x kurz y, deshalb kein Index. Und dann habe ich das f Stern, das ist c, x Stern, y. Okay, so, jetzt besteht wieder die große
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Aufgabe daran, sich zu überlegen, was sind denn das für konjugierte Funktionale. Da fange ich erstmal mit dem g Stern an. Wichtig ist jetzt auch wieder zu sehen, ja ich schreibe
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Die duale Paarung spaltet sich dann auch wieder so aus.
01:00:21
Hier kommt die große Klammer zu. Also duale Paarung in so einem Produktraum sieht, wenn man den mit der Topologie unterlegt, dass ich einfach die Normen addiere, genau so aus. Und jetzt ist das Wichtige hier zu sehen. Ja, das koppelt natürlich Y, X-Stern und Y-Stern nicht. Das heißt, ich kann das hintereinander weg, das Infimum bilden.
01:00:45
Hey, was mache ich denn jetzt hier? Da muss ja gar kein X-Stern mehr rein. Tut mir leid, da war jetzt ein Fehler.
01:01:00
Irgendwie biste ich aber heute nicht so ganz. Ja, wir hatten wieder eine harte Nacht mit meiner Tochter. So. So, ne? Genau. Das ist nämlich die Definition von dem konjugierten Funktional. Dann habe ich das plus Y-Stern Y.
01:01:21
Und jetzt kommt der nächste wichtige Punkt. Was ist das? Nein, das ist einfach nur G von Y. Wirkt nicht auf X. So, und jetzt gucke ich mir die innere Infimumsbildung an. Da habe ich hier irgendwas, was für gegebenes Y-Stern und gegebenes Y konstant ist. Und dann habe ich hier nur noch was Lineares.
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Und daraus folgt, das ist, dieses innere Infimum ist entweder Minus unendlich, falls X-Stern ungleich Null ist.
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Oder, falls X-Stern Null ist, fällt das hier raus. Und ich habe nur noch das Infimum über Y, Element Y. Y-Stern Y plus G von Y da stehen, falls X-Stern gleich Null ist.
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Wenn das ungleich Null ist, dann gibt es mindestens einen X, dass die duale Paarung auch ungleich Null ist. Wenn es so einen X nicht gäbe, dann wäre das X-Stern X für alle X gleich Null. Das kann nur das Null-Element erfüllen.
01:02:43
Sonst wäre die Norm von X-Stern Null und nach Norm-Eigenschaft wäre ein X-Stern Null. Also, wenn es ungleich Null ist, gibt es irgendeinen X, sodass die duale Paarung nicht Null ist. Und dann nehme ich mit diesem X einfach Alpha mal X. Und dann schreibe ich das Alpha je nachdem, was das Vorzeichen der dualen Paarung ist,
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nach Plus oder Minus unendlich. Und so kriege ich das Ding dann nach Minus unendlich. Und dann ist das Infimum hier für alle Y minus unendlich. Und die Infimum-Führung ist dann schon egal. Und ansonsten, wenn X-Stern Null ist, dann fällt das raus und okay.
01:03:21
Und bleibt der Rest über. So, okay. Gut. Ja, und was ist das? Kann ich direkt schon weitermachen. Ich brauche eigentlich nochmal neu aufzuschreiben. Ja, da mache ich mal hier weiter.
01:03:44
Das ist Inf Y-Element Y. Y-Stern Y. Minus.
01:04:00
Was habe ich denn da eigentlich gemacht? Nee, da muss ich doch nochmal ein bisschen ausfüllen. Sonst wird das hier auch so hingeprökelt. Also gut, das heißt, mit anderen Worten, ich muss nur die X-Stern überhaupt berücksichtigen. Weil ich muss nur X-Stern gleich Null berücksichtigen. Weil sonst ist das immer Minus unendlich. Und das heißt, bei der Maximumsbildung hier kommt auch Minus unendlich raus.
01:04:24
Und das kann nicht sein, weil das J-endlich ist. Okay, brauche ich also nicht mehr. Mann, ist das ja ein Gudel.
01:04:55
Es muss nur X-Stern gleich Null berücksichtigt werden.
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Wie sieht das? Haben wir uns jetzt schon überlegt? G-Stern von Null und Y-Stern. Inf Y-Element Y. Y-Stern Y plus G von Y.
01:05:29
Dann muss ich jetzt noch ein bisschen umformen, dass da auch das konjugierte Funktional von dem G draus wird. Und davor, dafür, Linearität der dualen Paarung.
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Und kriege hier auch ein Minus.
01:06:00
Das ist aber Minus Sub Y-Element Y. Minus, wann er nach außen, aus dem inf wirkt ein Sub. Von Minus Y-Stern Y minus G von Y. Und was ist das?
01:06:21
Duale Paarung, Minus, konvexe Funktion, Supremum darüber. Das ist nichts anderes als das G-Stern. Ja, aber auf was angewandt? Auf Minus Y-Stern. Und mit dem Minus hier vorne. Das ist schon mal das, was ich hier brauche, was ich weggewischt habe.
01:06:44
Hier stand nämlich G-Stern von Minus Y-Stern. Also habe ich das schon mal. Okay, das war das eine. Jetzt brauche ich noch das andere konjugierte Funktional. Da habe ich F-Stern, C, X-Stern, Y-Stern, ist gleich.
01:07:10
Das ist das konjugierte Funktional zum Konvexenmenge, also Sub. Aber jetzt schreibe ich schon mal hin, Y ist AX. Das ist die Menge C, Y-Stern.
01:07:25
So, genau, richtig. Und ich weiß ja schon, X-Stern ist Null. Wenn X-Stern nicht Null wäre, wäre hier Minus und endlich geht nicht bei der Maximio. Dann kann ich das schon hier benutzen. Ich nehme, gucke mir nur das für Null an. Dann fällt die erste duale Paarung raus.
01:07:41
Es bleibt nur die da stehen. Und hier hinten steht Minus F von XY. Und da weiß ich schon, das hängt nur von X ab.
01:08:02
So, und jetzt mache ich das genau wieder rückgängig. Und was ich hier gemacht habe, dieses künstliche Einführen von zusätzlichen Variablen Y, die ja durch das X eindeutig festgelegt ist, die schmeiße ich jetzt wieder raus. X geht dann über einen ganzen Raum.
01:08:21
Und mein Y ist AX. F von X. Was ist das? Das ist Sub X Element X. Jetzt werfe ich hier den adjungierten Operator über. A Stern Y Stern X minus F von X.
01:08:47
Jetzt habe ich wieder diese Struktur. Support, duale Paarung minus konvex Funktion. Das ist das konjugierte Funktional über den ganzen Raum angewandt auf A Stern Y Stern.
01:09:08
Und das muss ich dann jetzt hier verdammt. Ich habe alles das, was ich brauche weggewischt. Das muss ich dann jetzt hier einsetzen. G Stern minus F Stern, F C Stern.
01:09:22
Und da habe ich jetzt herausgefunden, was das ist. Jetzt setze ich das noch ein. Schreibe ich noch mal hier hin. Daraus folgt INF X Element X.
01:09:44
F von X plus G AX. Das war meine Ursprungsaufgabe. Ist gleich Max. X Stern Y Stern. Über X Stern weiß ich schon, das muss 0 sein. Sonst wäre das immer minus unendlich. Geht nicht.
01:10:02
Also nur über Y Stern. Und jetzt kommt einmal das G Stern. Schmeiß ich mal nach hinten. Minus das F Stern. F Stern ist das. Also minus konnegiertes Funktional von F. Mal adjungierter Operator.
01:10:22
Y Stern plus das G Stern. Und G Stern haben wir hier ausgerechnet. Das war das, was ich zeigen wollte.
01:10:43
Also so ein bisschen tricky hinten durch die Brust ins Auge, dass man hier eine neue zusätzliche Variable einführt. Das ist einfach künstlich. Die ist durch das X eigentlich eindeutig. Wenn ich ein festes X habe, dann hier ist das Y eigentlich festgelegt. Ich führe die ein und schmeiße den hier wieder raus.
01:11:15
Moment. Man kann auch für unbeschränkte Operatoren adjungierten Operator definieren.
01:11:23
Und der Punkt ist aber, da muss man verdammt vorsichtig sein. Damit ich bei unbeschränkten Operatoren, Städtigkeit, linearen Operatoren, damit das gilt, muss alles immer in den jeweiligen Domänen sein.
01:11:43
Das heißt, das X muss hier in der Domäne sein. Aber es sollte gehen. Wenn das X nicht in der Domäne ist, dann kriege ich hier unendlich. Würde ich ermuten.
01:12:09
Ich denke schon, dass zum Beispiel so etwas hier geht. Wenn ich das sub-Bilde, und das ist ein unbeschränkter Operator, dann kann ich das doch hier nach unendlich führen. Und das darf ich nicht, weil ich hier Max minus f Stern habe.
01:12:23
Dann wäre das Minus unendlich. Solche X muss ich dann praktisch nicht berücksichtigen. Das ist immer derselbe Trick. Ich habe hier eine Maximierung stehen. Und ich weiß schon, das Max ist nicht. Das ist wohl definiert. Beziehungsweise, das brauche ich dann noch nicht mal, dass das gleich J ist.
01:12:40
Es ist klar, wenn da Minus unendlich steht, ja, die Dinger muss ich bei der Maximierung nicht berücksichtigen. Dann kann ich die rausschmeißen. Dann kann ich mich vielleicht wirklich auf die Domänen zurückziehen. Und das würde gehen. Könnte sein, ja. Das könnte wirklich sein.
01:13:02
Aber an der Stelle ja, aber sonst wäre ich bis zurück. Könnte gehen. Okay. Jetzt haben wir also zwei Dinger kennengelernt, wie das funktioniert mit der fältigen Dualität.
01:13:23
Ich denke, man kann sich überlegen, dass das oft so ist, dass ich die Mengen so geschickt verteile. Einmal triviales Zielfunktional, komplizierte Menge und umgekehrt. Und dann habe ich nämlich, das Kritische ist dann immer,
01:13:40
die konjugierten Funktionale auszuwerten. Das haben wir jetzt eigentlich auch gesehen. Und da muss man dann immer ein bisschen rumtricksen. Deshalb muss man sich so ein bisschen immer aufpassen, wie man die Menge und das Funktional so verteilt. Auf G und F.
01:14:00
So. Und jetzt kommen wir zum nächsten Dualitätsbegriff. Das ist die Lagrange-Dualität, die sicherlich den meisten, außer nicht den Optimio, sehr viel bekannter ist. Und ich möchte die Lagrange-Dualität hier jetzt in zwei Teile aufspalten.
01:14:20
Einmal für Gleichungs-, einmal für Ungleichungsrestriktion. Man kann das dann auch zusammen diskutieren. Das spare ich mir. Das mache ich hinterher nur, wenn ich zu nicht-linearen Aufgaben, also nicht mehr konvexen Aufgaben komme. Und diese, hier möchte ich sie jetzt trennen. Und die Gleichungs-Restriktion, die möchte ich auch
01:14:41
über Fenchel-Dualität herleiten. Kann er sicherlich anders machen. Die Lagrange-Dualität für Gleichungs-Restriktion möchte ich jetzt auch wieder auf Basis der Fenchel-Dualität herleiten. Das kann er sicherlich anders machen, aber ich mache das jetzt mal hier so. Da haben wir nämlich noch eine schöne Anwendung der Fenchel-Dualität.
01:15:07
Also, wir haben jetzt Abschied 4. Und jetzt wird es ein bisschen vertrauter. Die Lagrange-Dualität. Aber ich sollte für Fenchel wirklich nochmal ein Beispiel bringen. Das ist ja echt unbefliegend so.
01:15:22
Und ich fange an mit der Lagrange-Dualität bei Gleichungs-Restriktion.
01:15:42
Und das ist völlig klar. Gleichungs-Restriktion. Wenn ich die irgendwie behandeln will, dann muss der unterliegende Operator linear affin sein. Sonst ist das nicht konvex. Ich bin ja hier in der konvexen Optimierung. Also, wie sieht meine Aufgabenstellung also aus?
01:16:02
Irgendwie so. Wenn f von x Subject 2, also unter den Nebenbedingungen, haben wir schon mal gehabt a x gleich b. Aber ich setze jetzt nicht mehr voraus, dass hier irgendwas, dass das f jetzt differenzierbar ist.
01:16:22
Dafür soll es konvex sein. Wenn ich das jetzt wieder hinschreibe, schreibe ich es gleich nochmal hin. Egal. Und den b.
01:16:48
Irgendeine gegebene rechte Seite y. Um Ihre Frage schon mal vorzubeugen, das geht dann, was jetzt kommt, geht nicht mehr. Da brauchen wir wirklich Stätigkeit.
01:17:06
Platz 4.1. Und das ist jetzt so ein bisschen eine Form der Lagrange-Dualität für nicht differenzierbare Zielfunktionen. Wenn man sich das überlegt, differenzierbare Zielfunktionen, wir erwarten Gradientengleichung. Das hatten wir auch alles schon. KKT-System, irgendwie Gleichungsbedingungen
01:17:25
und dann hier eben eine Gradientengleichung. Ungleichungsnehmbedingungen gibt es nicht, deshalb gibt es auch keine Schlupfbedingungen usw. Jetzt ist das Ding aber nicht differenzierbar. Muss man sich überlegen, wie kann man das umformulieren? Das kommt jetzt. Bei C, x, also die Menge, die die Nebenbedingungen beschreibt,
01:17:44
ist natürlich konvex, weil h lineal ist. Nicht leer. Nicht leer.
01:18:03
Konvex. Auf dem ganzen Raum definiert. Und für die Existenz von inneren Punkten bei Fenchel brauche ich jetzt wieder genau diese Voraussetzung, die ich eben hatte. Ferner, hier ein x-Schlange Element x
01:18:26
und rho größer 0. Das f auf genau die selbe Voraussetzung wie eben,
01:18:41
die ich eben so verbockt habe. x-Schlange nach oben beschränkt ist. Unbeschränkt ist. Richtig.
01:19:02
Genau, was brauche ich noch für Fenchel, dass das Infimum überhaupt existiert? Außerdem sei also inf hx gleich b f von x
01:19:23
gleich j echt größer minus. Endlich. Infimum existiert. Und, haha, das ist die Constraint Qualification, die wir vor ein paar Wochen schon mal kennengelernt haben, dass der Range abgeschlossen ist.
01:19:47
Wenn das alles erfüllt ist, dann gilt Folgendes.
01:20:06
Ist gleich jetzt auch wieder über einen Bildraum, wie eben schon. Und da drin habe ich jetzt noch einen Inf.
01:20:20
Das kommt von der Definition des konjugierten Funktionals. Plus y Stern. So sieht jetzt auch alles irgendwie noch nicht so ganz nach Lagrange. Dualität aus. Aber immerhin, was erkennen wir denn hier? Zielfunktion plus Multiplikator mal Nebenbedingung.
01:20:43
Lagrange Funktion. Ist die Lagrange Funktion. Nebenbedingung mal Gleichungsmultiplikator plus Zielfunktion. Wir haben hier aus einem Inf-Aufgabe eine Max-Aufgabe gemacht. Das ist wieder so eine Dualitätsgeschichte.
01:21:02
Und auch hier, und das Max in hier zwei Wert. Es gibt tatsächlich einen Lagrange Multiplikator. Durch ein mu Element
01:21:21
y Stern angenommen. Wer weiß, manche noch.
01:21:42
Und jetzt, ich will immer nicht auf irgendeinem affinen Raum hier, ich will das Ganze in den Unterraum des Kerns, also h x gleich Null transportieren. Deshalb betrachte ich wieder diese verschobene Aufgabe. Und das mache ich wie folgt. Ich weiß, c und gleich Null.
01:22:01
Daraus folgt, es existiert zumindest ein x. Wer ist es genannt? Hut. Hut Element x mit h x Hut gleich b. Und dann betrachte ich die Aufgabe.
01:22:24
Die transformierte Aufgabe. Inf. Wie ist das geschrieben? Ja, mach ich direkt. x im Kern von h, also h x gleich Null. Und f Hut von x. Und das definiere ich als f von x
01:22:43
plus x Hut. Plus x Hut, ja. Das ist 4,3. Dann gilt,
01:23:00
dass das Infimum von der Aufgabe, also x Element, Kern h von x, das ist auch j. J das aus dem Satz. Das ist meine Aufgabe. Denn es ist klar, wenn ich hier über den gesamten Kern gehe, kann ich hier natürlich alle
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durch x plus x Hut, alle x erreichen, für die h x gleich b ist. Ist das jedem klar? Dass das das selbe ist? Dass das das selbe j ist? Stellen Sie sich einfach vor, Sie haben ja das Infimum j. Jetzt sehen Sie hier die entsprechende Infimalfolge.
01:23:40
Für alle xk, die gegen das f von xk gegen j konvergiert. Für alle xk gilt h xk gleich b. Dann spalte ich das xk auf in ein Element auf dem Kern, nennen wir es xk Schlange, plus x x Dach.
01:24:02
Dann ist klar, dass das f Hut von xk Schlange auch gegen das j konvergiert. Und auf der anderen Seite kann man dann auch sehr einfach zeigen, dass es keine anderen Elemente aus dem Kern geben kann, sodass ich kleiner werde als das j. Weil dann würde ich hier auch kleiner als das Infimum werden.
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Deswegen haben wir alle so geguckt. Sehr schön. Die beiden Infimar stellen wir immer ein. Das kann gar nicht anders sein. Wenn es hier ein anderes gelbe, was kleiner ist, dann wäre das auch, dann gäbe es hier eins,
01:24:42
was auch kleiner wäre und umgekehrt. Kann nicht sein. Jetzt fänd ich für 4,3 mit, was machen wir?
01:25:01
f gleich f Hut, c1 gleich x, g identisch 0 und c2 gleich Kernh. Alles wieder genauso. Hier das komplizierte, da der ganze Raum, hier das Triviale, da die Menge.
01:25:25
Dann folgt Inf x Element Kernh, f Hut von x ist gleich Max x Stern aus einem Dualraum,
01:25:43
0 Stern von c2, von x Stern minus f Stern, ganzer Raum, deshalb der Index weg von x Stern, f Hut Stern.
01:26:01
Jetzt muss ich mir wieder überlegen, was sind die Dualen? Das ist Inf x Stern x Element c, also x Element
01:26:22
Kernh, x Stern x, minus g, also minus 0 und das ist 0, falls x Stern aus dem orthogonalen Komplement ist. Dann ist die Duale Paarung ja für alle 0.
01:26:40
Und ansonsten, wenn ich nicht im orthogonalen Komplement bin, dann gibt es also hier ein x aus Kernh, sodass das ungleich 0 ist und dann wieder dieselbe Argumentation wie immer. Wenn es eine Duale Paarung gibt, hier mit dem x, das ungleich 0 ist, dann nehme ich alpha mal dieses x und treibe das alpha entweder echt plus, minus und endlich und kriege hier minus und endlich. Wenn ich nicht
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im orthogonalen Komplement bin. So, jetzt gehe ich wieder oben in die Maximierung rein. Das heißt, ich muss nur hier die x Stern aus Kernh senkrecht berücksichtigen.
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Warum gebe ich den ganzen Geplache immer keine Namen hier?
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Man muss in Stern nur die x Stern Element Kern senkrecht betrachten. Oder nur die über die optimieren.
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Okay. Und da sieht man sofort, da fliegt das 0 Stern raus. Gut. So. Ist klar, das ist die Supportfunktion von einem Unterhau. Okay. So. Haha. Genau. Und jetzt weiß ich noch. RGH abgeschlossen.
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Daraus folgt das orthogonale Komplement, da hat man diesen einen Satz auf dem Kern, aus dem das x Stern jetzt auf die Linie,
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wo die x Stern bei der Maximierung rauskommen müssen. Das ist nichts anderes als RGH Stern. Das war dieser eine Satz, wo ich den Satz über die stetigen Verse angewendet habe. Und so weiter das. Da war diese abgeschlossenheit ganz wichtig. Aha. Dafür muss ich mir noch hinschreiben, dass das Banachräume sein müssen.
01:29:01
Das habe ich glaube ich nicht vorausgesetzt. Wichtig. Dafür müssen in dem Satz hier das alles Banachräume sein. Sollte ich noch hinschreiben. Muss ich dann denken. Das ist diese Proposition in Kapitel 2,
01:29:20
2.10. Da hatten wir das gesehen. Da gab es Beziehungen zwischen zwischen orthogonalen Komplementen vom Kern und range von x Stern und so weiter. Eine, die gab es ohne Voraussetzung und die, da braucht man die Voraussetzung der abgeschlossenheit des ranges. Ok. Und das ist in dem Fall eine Constraint Qualification.
01:29:42
Und daraus folgt dann für die rechte Seite hier. Ich habe es schon gesagt. Ich muss nur für 0 Stern C2 x Stern minus
01:30:01
f u Stern x Stern. Das ist gleich das ausgewertet G nur über den R G von H Stern orthogonales Komplement. Dann steht hier jetzt noch minus
01:30:21
f also minus sub x Element f ist der ganze da war es der ganze Raum. Duale Paarung x Stern x minus
01:30:42
f u von x ja, genau. Ja, wenn ich weiß die x Stern sind aus dem range von H, dann kann ich direkt über die über den Urbildraum
01:31:01
von H Stern optimieren oder maximieren. Das ist der y Stern. Und ich gehe hier sub x Element x mit jetzt habe ich es erstmal umgeschrieben.
01:31:22
Das muss man hinkriegen. Ob ich das jetzt hier so transformiert kriege. H Stern y Stern x minus f u von x.
01:31:42
Klar, die liegt damit erfasse ich den gesamten R G H. Wenn ich alle y zulasse. So, wo schreibe ich jetzt weiter? Ich bin verwirrt. Hier oben.
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Worauf ich hinaus wollte, wahrscheinlich habe ich das jetzt wieder weggewischt. Hier möchte ich, aber jetzt habe ich hier schon fast sowas mit einem y Stern. H Stern, y Stern, aber hier noch mit dem sub. Da wollte ich einen innen fahren.
01:32:21
Jetzt ziehe ich das da raus. Gleich. Also max, y Stern Element y Stern. Da stand jetzt minus sub von irgendwas. Das ist gleich dem impf.
01:32:41
x Element x vom negativen und das negative ist dann einfach nur f u von x minus hier fehlen nur irgendwie vielen Klammern. Hier Klammern zu wenig, ja egal. H Stern, y Stern,
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x. Und jetzt muss ich das noch wieder in die Welt ohne Hut transformieren. Das heißt impf h x gleich b
01:33:21
von f von x ist gleich impf x Element Kern h f Hut von x. Das ist gleich, haben wir jetzt gerade gesehen. Max, y Stern, Element y Stern.
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Und jetzt von diesem ganzen Apparillo da. Impf, x Element x. Warum schrei ich eigentlich alles zweimal auf? Weiß ja auch nicht. f Hut von x plus minus
01:34:02
y Stern h von x. Jetzt habe ich den Operator hier übergeworfen. Das ist gleich.
01:34:27
Wenn ich hier über alle x gehe, kann ich auch Folgendes machen. Ich gehe über impf,
01:34:41
nennen wir es mal z Element x f Hut von z plus x Hut. Ich bastel mir mein x Hut da jetzt wieder rein. Plus y Stern h von z
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plus x Hut. Ne, ich muss dual paar und so. Wenn ich hier den ganzen Raum halbdecke mit x, dann tue ich es auch hier mit. Kann ich einfach so ein x Hut da drauf addieren. Naja, und das ist Max, y Stern
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Impf z Element x. Was habe ich hier? Das ist einfach nur f von z. Die Ausgangsfunktion plus y Stern h z plus h von x Hut ist hier plus b.
01:35:42
Warum kriege ich plus b? Ach so, ich will auch ein minus noch. Shit. Jetzt habe ich irgendwas mit Vorzeichen gemacht. Aber man kann sich einfach überlegen, das will ich jetzt nicht mehr machen. Das mache ich nächstes Mal in der Wiederholung.
01:36:02
Wieder richtig. Dann habe ich irgendwo einen Vorzeichenfehler drin. Ich bin hier schon mit minus angekommen. Ach ja, weil hier oben steht ein minus. Da muss das ein minus sein. Dann haben wir hier ein minus. Dann kriege ich hier ein minus, aber hier auch. Warum da auch ein minus? Da er jetzt gerade überfordert.
01:36:23
Muss ich nochmal gucken. Ich glaube da habe ich jetzt irgendwo einen Fehler gemacht. Das reiche ich nächste Woche nach. Muss ich jetzt nicht hinbrückeln. Muss mal die gute Frau auch eigentlich früher wegwollt. Ja gut. Also bis nächste Woche Mittwoch.