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Formale Metadaten
| Titel |
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| Serientitel | ||
| Teil | 9 | |
| Anzahl der Teile | 14 | |
| Autor | ||
| Lizenz | CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland: Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben. | |
| Identifikatoren | 10.5446/31322 (DOI) | |
| Herausgeber | ||
| Erscheinungsjahr | ||
| Sprache |
Inhaltliche Metadaten
| Fachgebiet | ||
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| Abstract |
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KoordinatentransformationPolstelleObere SchrankeSummeKompakter Träger <Mathematik>Poisson-GleichungGebiet <Mathematik>QuotientRadiusMengeAbleitung <Topologie>LogarithmusFlächeninhaltWärmeleitungSingularität <Mathematik>GrundlösungGleichungStammfunktionKoordinatenFunktionaldeterminanteTrägerBetrag <Mathematik>DeterminanteDifferenzenquotientLösung <Mathematik>BlaseWelleNullIntegralStruktur <Mathematik>ZylinderRationale FunktionComputeranimationVorlesung/Konferenz
09:06
IntegraltransformationEinfach zusammenhängender RaumKettenregelGradientAbleitung <Topologie>FlächenintegralBetrag <Mathematik>Kompakter Träger <Mathematik>Obere SchrankeSingularität <Mathematik>QuadratUnendlichkeitGrundlösungVektorSkalarproduktVariableGebietsintegralPartielle IntegrationFunktion <Mathematik>SphäreRadiusNormalvektorGebiet <Mathematik>VektorrechnungIntegralVolumenVorlesung/Konferenz
18:04
Gebiet <Mathematik>VolumenBeschränktes GebietUnbeschränktes GebietIntegralVorlesung/KonferenzTafelbild
19:20
KonstanteRadiusAbleitung <Topologie>Kompakter Träger <Mathematik>Vorlesung/KonferenzBesprechung/Interview
20:46
Ableitung <Topologie>Betrag <Mathematik>VariableNormalvektorMaximumGlattheit <Mathematik>Positive ZahlIntegralObere SchrankeVektorGradientGrundlösungGlatte FunktionKugelTermSphäreSupremum <Mathematik>FlächenintegralVorlesung/Konferenz
25:35
GlättungObere SchrankeBetrag <Mathematik>SphäreRadiusNorm <Mathematik>LastVorzeichen <Mathematik>Vorlesung/Konferenz
27:43
Ableitung <Topologie>Partielle IntegrationGebiet <Mathematik>BlaseVorlesung/Konferenz
29:45
IntegralGebiet <Mathematik>Vorzeichen <Mathematik>Unbeschränktes GebietAdditionMengeFlächenintegralGauss <Rechenmaschine>RadiusGradientVorlesung/Konferenz
31:18
Gebiet <Mathematik>NormalvektorLängeRichtungEinheitskugelNorm <Mathematik>Betrag <Mathematik>RadiusAbleitung <Topologie>KreisflächeSingularität <Mathematik>GradientVektorFlächenintegralMaß <Mathematik>SphäreRandintegralVorlesung/KonferenzTafelbild
37:44
KoeffizientUmfangSkalarproduktRadiusGrundlösungEinheitskugelQuadratAbleitung <Topologie>EinheitskreisBetrag <Mathematik>VektorTermNormalvektorInhalt <Mathematik>RuhmasseLinieKreisflächeVorlesung/Konferenz
41:57
GasströmungRadiusSphäreStetige FunktionPartielle IntegrationPoisson-GleichungKoordinatenKoordinatentransformationMereologieMonster-GruppeGleichungSummierbarkeitGebiet <Mathematik>Vorzeichen <Mathematik>Vorlesung/Konferenz
47:47
RegularitätAbleitung <Topologie>MathematikerFunktion <Mathematik>Kompakter Träger <Mathematik>GrundlösungVorlesung/KonferenzTafelbild
50:13
Kompakter Träger <Mathematik>Funktion <Mathematik>DistributionenraumInklusion <Mathematik>SinusfunktionVorlesung/Konferenz
52:30
TrägerRadiusMengeAbleitung <Topologie>Kompakte MengeGleichmäßige KonvergenzMultiplikationObere SchrankeGleichmäßige BeschränktheitKompaktheitVorlesung/Konferenz
55:54
ZahlReelle ZahlKompakte MengeAbbildung <Physik>Lineare AbbildungDistributionenraumIntegralBetrag <Mathematik>TrägerAlgebraFunktion <Mathematik>Vorlesung/Konferenz
59:30
Hausdorff-RaumFunktion <Mathematik>StetigkeitReelle ZahlAbbildung <Physik>DistributionenraumAbleitung <Topologie>Vorlesung/Konferenz
01:01:29
DistributionenraumFunktion <Mathematik>Ableitung <Topologie>Kompakter Träger <Mathematik>SummeBetrag <Mathematik>Vorzeichen <Mathematik>Glatte FunktionMultiplikationIndexMonster-GruppeGlattheit <Mathematik>SinusfunktionVorlesung/Konferenz
01:04:58
Ableitung <Topologie>TrägerRadiusUnendlichkeitKompaktheitMengeMonster-GruppeDistributionenraumSignifikanztestOrdnung nObjekt <Kategorie>Vorlesung/KonferenzTafelbild
01:06:53
DistributionenraumHyperbolischer DifferentialoperatorStetige FunktionIndexAbleitung <Topologie>MathematikerRichtungObjekt <Kategorie>Vorlesung/Konferenz
01:11:15
Abbildung <Physik>ZahlEckeZahlenbereichSummeKonstanteFaktorisierungKompakter Träger <Mathematik>IntegralTrägerStammfunktionDistributionenraumVorlesung/Konferenz
01:13:47
Abbildung <Physik>StetigkeitAbleitung <Topologie>Lineare AbbildungEckeTafelbildVorlesung/Konferenz
01:15:34
KonstanteSummeTrägerGleichmäßige KonvergenzHausdorff-RaumObere SchrankeBetrag <Mathematik>Ableitung <Topologie>Vorlesung/Konferenz
01:17:29
Ableitung <Topologie>StetigkeitBetrag <Mathematik>DistributionenraumAbbildung <Physik>ModulformBiproduktVorlesung/Konferenz
01:19:54
Ableitung <Topologie>FaktorisierungDistributionenraumBetrag <Mathematik>Partielle IntegrationEckeKompakter Träger <Mathematik>TermVorlesung/Konferenz
01:23:52
Ableitung <Topologie>DistributionenraumIntegralFunktion <Mathematik>Betrag <Mathematik>Unstetigkeit <Mathematik>Objekt <Kategorie>Abbildung <Physik>QuadratDirac-GleichungStetigkeitDeltafunktionReelle ZahlVorlesung/Konferenz
01:29:24
DistributionenraumAbleitung <Topologie>AbschätzungFunktion <Mathematik>MathematikerGrundlösungLaplace-OperatorMonster-GruppeVorlesung/Konferenz
01:31:41
Laplace-OperatorAbleitung <Topologie>QuadratDistributionenraumOperatorPhysikerDifferentialgleichungEnergieDirac-GleichungGleichungMinimumGrundlösungEnergiemethodeEnergiefunktionalVorlesung/KonferenzTafelbild
01:33:48
Computeranimation
Transkript: Deutsch(automatisch erzeugt)
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Hallo zusammen, weiter geht's mit der großen Rechnerei, die wir in der letzten Vorlesung schon angefangen haben. Und wir wollten diesen Satz beweisen, der,
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ich hoffe dessen, dessen Wichtigkeit sich hier jedem erschließt, auch den Ingenieuren. Also wenn man sich das anguckt, was haben wir hier? Eine Funktion, irgendeine Funktion. C2 bedeutet zweimal stetig differenzierbar und
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dieses Null heißt immer kompakten Träger. Also irgendwie gibt es eine Kugel, die kann auch sehr groß werden, aber die gibt es auf jeden Fall. Da kann ich F reinpacken und außerhalb von dieser Kugel verschwindet F. Also ist F gleich Null. Sowas wie x² geht da nicht. Das geht, wenn ich mit x gegen
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unendlich gehe, auch gegen unendlich. Das verschwindet nie. Das muss also irgendwas sein, was irgendwann mal auf Null abfällt und zwar glatt, weil es auf dem ganzen Raum zweimal stetig differenzierbar sein soll. Es geht irgendwie so glatt, irgendwann mal in die Null rein. Dazwischen kann es machen, was es will. Nicht ganz, sondern natürlich zweimal stetig differenzierbar sein. Dieses F haben wir gegeben und wir konstruieren
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dann so ein U einfach über so ein Integral. Definieren können wir uns, was wir wollen. Definieren wir uns also mal so ein Integral. Was ist das hier? Hier haben wir diese Fundamentallösung. Das war dieses trichterförmige Monster, 2D dieser Logarithmus. Ansonsten so eine rationale Funktion, gebrochene rationale Funktion, die halt so eine Polstelle hat.
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Gut, außerhalb der Polstelle, die hat aber besondere Eigenschaften, die ist außerhalb der Polstelle glatt und unendlich oft differenzierbar und insbesondere ist sie harmonisch. Das heißt, außer natürlich in der Polstelle, wo sie noch niemals definiert ist, also insbesondere nicht
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stetig differenzierbar. Aber harmonisch bedeutet, außerhalb der Null des Ursprungs ist diese Fundamentallösung, erfüllt die Laplace Phi gleich Null und ist auch noch radialsymmetrisch. Okay, hat dann so eine gewisse Struktur, haben wir gesehen. Und das eben mal dieser Funktion F und dann integriere ich das über den gesamten Raum, also so ein
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uneigentliches Integral. Ist das denn integrierbar? Haben wir uns auch schon überlegt, sieht man auch sofort. Da F kompakten Träger hat, das heißt F verschwindet außerhalb von irgendeiner Kugel. Wenn ich den Radius dieser Kugel nur groß genug wähle, ist der Integrant außerhalb dieser Kugel immer Null. Das heißt, ich kann dieses Integral über den
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ganzen Raum ersetzen durch ein Integral über diese Kugel, in der F nicht verschwindet. Außerhalb, wie sagt der Integrant Null, da kommt nichts mehr zum Integral dazu. Okay, das heißt eigentlich gar kein uneigentliches Integral. Das Integral über den, man nennt es ja auch Support Träger von F, also da, wo F ungleich Null ist. Und das ist
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eine beschränkte Menge. Also muss ich da schon mal nicht gegenunendlich gehen. Das ist ja schon mal sehr schön. Okay, dann habe ich aber noch was, und zwar, dass Phi natürlich so eine Singularität hat, wenn y gleich x ist. Im Phi von Null hat diese Polstelle. Da haben wir aber in den Übungen schon gesehen. Ja, es zwar eine Polstelle ist,
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aber trotzdem integrierbar. Kann ich integrieren? Und das heißt, das Integral, der Flächeninhalt da drunter ist anschaulich besprochen, der ist endlich. Und dass das hier noch mit irgendwas glattem multipliziert wird, macht nichts, weil F sowieso beschränkt ist, weil es stetig differenzierbar mit kompakten Trägern. Das hat
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keine Polstelle oder sowas. Dadurch ist das erst mal wohl definiert. Okay, so ist das U jetzt. Das heißt, es macht erst mal Sinn, so ein U hinzuschreiben. Was macht das U jetzt? Erstens wissen wir, das ist zweimal stetig differenzierbar. Das ist irgendwie unscharf, oder? Das ist zweimal stetig
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differenzierbar. U aus C2. Ja, sehr schön. Und es gilt aber noch Folgendes. Die zweistetig differenzierbare Herd brauchen wir auch, damit wir den Laplace hier bilden können. Der Laplace U ist gleich F. Also U erfüllt diese Poisson-Gleichung auf den ganzen Raum. Das ist doch super. Also wenn wir jetzt ein F gegeben haben und wollen diese Poisson-Gleichung im
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ganzen Raum lösen, dann können wir das machen, indem wir dieses Integral ausrechnen. Wenn ich U jetzt an irgendeiner bestimmten Stelle x wissen will, muss ich nur dieses Integral auswerten. Ich kenne diese Funktion, das ist die Fundamentallösung. Ich kenne das, gucke ich in Bronstein, rechne ich aus, fertig. Also hoffe ich, dass ich in Bronstein eine Stammfunktion finde. Ja, das ist
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natürlich von so ein bisschen akademisch, weil diese Gleichung, diese Parzelle für Entgleichung so ein bisschen akademisch ist. Die Gleichung an sich nicht. Die Laplace U spielt schon eine wichtige Rolle. Stichwort stationäre Wärmeleitung. Aber auf dem ganzen Raum sind sie natürlich immer ein bisschen gekünstelt. Wenn wir jetzt an technische
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Anwendung denken. So, wir wollen jetzt diesen Satz beweisen und dafür haben wir erst mal 100.000 Sachen vorher gezeigt, die Eigenschaften der Fundamentallösung, gleichmäßig Konvergenz von Differenzen, Quotienten und all sowas. Und ich will das mal so ein bisschen rekapitulieren, was wir schon haben. Zunächst haben wir
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gesehen, irgendwie ist es besser, wenn wir das umschreiben durch so eine Koordinatentransformation. Das wäre nämlich eigentlich so ein neues Y. Ich habe das mal Y-Schlange genannt. Einführen, was X minus Y ist. Dann machen wir eine Koordinatentransformation. Dann drehen sich die Integrationsgrenzen um. Ich kriege eine Funktionaldeterminante rein. Habe ich noch einen Fehler gemacht. Sie mich korrigiert und
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insgesamt durch das Umdrehen der Integrationsgrenzen, das kompensiert sich mit der Funktionaldeterminante und ich kriege dann diese Formel hier raus. Das Y-Schlange bei einer neue Koordinat habe ich jetzt wieder Y genannt, damit ich nicht immer so eine Schlange darüber machen muss.
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Also ich kann das U auch so schreiben. Jetzt habe ich das X hier in dem F drin. So. X in dem F drin. Und mit dieser Transformation kann man zunächst erst mal zeigen, dass das U wirklich so glatt ist, wie wir das haben wollen. Das haben wir dann auch gemacht. Was macht man? Wenn ich jetzt hier eine
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Ableitung bilde nach X, dann sieht man hier die Integrationsgrenzen hängen nicht von X ab. Bisschen subtiler. Oder das Zeug, wo man aufpassen muss. Die Fundamentallösung, die ja so eine Polstelle hat. Da steckt das X auch nicht mehr drin. Also wenn ich differenziere, muss ich
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hier nur das F differenzieren. Und dann haben wir das einfach mal so ausprobiert, ob das funktioniert. Also Integration, Differenzierung umgedreht und dann nur das F abgeleitet. Und in der Tat, das ist Differenzierung. So stetig. Differenzierung. Ja, hab halt gezeigt. Zweite Ableitung ist stetig. Dann sind die erste Ableitung und
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die Funktion selber sowieso stetig. So. Und dann, naja, so jetzt ein bisschen rumgeswitcht. Also das haben wir jetzt gezeigt letzte Woche. Das heißt, das müssen wir jetzt noch zeigen. Da haben wir auch schon ein bisschen mit angefangen. Dann gucken wir uns das mal an. Also ich hab das angedeutet. Fangen wir erst mal hier. Wenn man irgendwie U. Nee, da sieht
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keiner was. Wenn man U differenziert. Dann kann man hier Integration, Differenzierung in der Schreibweise so, wo das X nicht mehr auf dem Phi ist, einfach vertauschen. Dann mach ich das mal mit dem Laplace. Zieh den Laplace rein, was ich hier aber noch gemacht hab. Ich hab das Integral über Rn aufgespalten. Integral über einen
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kleinen, kleinen Umgebung, über eine kleine Kugel um die Null mit Radius Epsilon. Epsilon ist immer was kleines. Und hab ich hier einmal das Integral über diese Kugel und einmal das Integral über den Rest. Also Rn ohne diese Kugel. Das ist immer hier mathematisch ohne. Also Rn ohne diese Kugel. So, das ist ganz normal. Integral über irgendeine Menge. Da
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kann ich über ein Gebiet, kann ich über das Gebiet in Teilintegrale aufspalten und die Summe über die Integral dieser Teilgebiete bilden. Okay, so kann ich das machen. Warum hab ich das gemacht? Na ja, weil bei Phi von Y hat für Y gleich Null da diese Polstelle. Und die will ich mal dezidiert behandeln. Dass ich mir
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dieses Integral mal isoliert angucke und danach das Integral isoliert, weil man eben hier mit dieser Polstelle ein bisschen aufpassen muss. Okay, wir sehen irgendwie der Laplace geht hier nur auf das F. Okay, ja, dann hab ich das, hab ich hier eine Nutration eingeführt. Den einen Teil hab ich I Epsilon genannt, den anderen Teil J Epsilon.
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Dieses I Epsilon, das vermeintlich Schlimme mit der Polstelle, ist sehr schnell untersucht mit den Sachen, die wir uns schon überlegt haben. Wenn ich, wenn ich das aufspalte, dann sehen wir, na ja, ich ziehe mal das Supremum von dem Laplace F über alle möglichen X da raus. Das Integral wird dann,
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wenn ich davon die Beträge nehme, wird höchstens größer. Ja, und das Supremum, das ist genau diese Unendlich-Norm, also das Supremum vom Laplace F über alle X im ganzen Gebiet, das ist kleiner unendlich. Warum? Weil ich weiß, erst mal ist F, sagen wir mal,
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stetig differenzierbar und hat einen kompakten Träger. Das heißt, das X² ist auch stetig differenzierbar, auch unendlich oft, aber das haut natürlich, ja gut, die zweite Ableitung jetzt nicht, aber X hoch 4, dann ist die zweite Ableitung X², die haut natürlich ab, wenn ich nach unendlich gehe. Das heißt, wenn ich
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da das Supremum im ganzen Raum bilde hier, dann ist das gleich unendlich. Das ist hier aber nicht der Fall, weil das Ding einen kompakten Träger hat, das verschwindet. Das ist irgendwann Null und dazwischen macht das irgendwas, ist aber glatt. Das heißt, das Ding hier ist irgendein fester, endlicher Wert aus meinen Annahmen an F. Und dann habe ich das Integral, habe ich eben das Supremum da rausgezogen aus diesem
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Integral. Was bleibt da noch über dieses Integral über die Fundamental-Lösungen? Betracht davon, ist egal, wenn das Epsilon klein ist, ist das Ding sowieso positiv, weil es so ein umgedrehter Trichter ist, der gegen unendlich läuft. Und was haben wir gesehen? Haben Sie eine Übungsaufgabe gerechnet? Wenn wir dieses uneigentliche Integral
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ausrechnen und das Epsilon gegen Null geht, das ist eine Konstante, das geht gegen, dann geht das gegen Null. Das heißt, das gesamte Produkt geht gegen Null. Das heißt, der Betrag von E Epsilon, der konvergiert gegen Null, damit konvergiert E Epsilon selber auch gegen Null, wenn ich das Epsilon zusammen schrumpfe. Das heißt, dieser Teil geht schon mal gegen Null. Da kann das, was
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wollen wir am Ende haben? Wir wollen am Ende haben, dass hier steht es, Minus La Plus U gleich F ist. Und dieses F kann schon mal aus diesem Teil hier nicht mehr herkommen. Das muss also aus dem Teil herkommen. Und den müssen wir jetzt untersuchen. Und das so ein bisschen
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aufwendiger. Damit geht es jetzt weiter. Hoffen wir mal, dass wir am Ende, wenn wir das Epsilon gegen Null verhandelt, da dann auch das F rauskommt. So, jetzt wird viel gerechnet in der
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Vorlesung und irgendwelche Integraltransformation und Manipulationen. Aber keine Sorge, zusammen kommen wir da schon irgendwie durch. Okay, was mache ich bei J Epsilon? Zunächst definiere
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ich erst mal was, weil ich kurz schreibe Weisen, damit ich nicht, ich schreibe B Epsilon. Ich weiß gar nicht, ob ich das da drüben schon verwendet habe, ist der der Rad, die Kugel, Englisch immer Ball, deshalb B, Ball um Null mit mit Radius Epsilon und
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entsprechend ist S Epsilon, die Oberfläche davon, die zugehörige Sphäre, Sphäre ist immer diese Kugel Oberfläche. Englisch Sphere, deshalb auch S, B und S Englisch. Okay, und dann brauche ich noch folgende Eigenschaft, Kettenregel.
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Wenn ich mir den Laplace angucke, nach X abgeleitet, F von X minus Y, was mache ich da? Da will ich erst mal wirklich Kettenregel. Ich habe hier eine innere Funktion. Ja, gut, die innere Ableitung ist irgendwie immer eins und dann muss ich noch den Laplace von F bilden. So, dann kann man ausrechnen,
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dass das gleich Laplace F von X minus Y ist. Man wundert sich erst, weil wenn ich das nach Y bilde, habe ich hier auch wieder eine innere Ableitung, die ist aber minus eins. Ja, sieht so aus, wegen dem minus eins. Aber das kompensiert sich gerade, weil hier zweimal ab, zweimal differenziert wird. Der Laplace beinhaltet eine
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zweimalige Ableitung. Also das wäre sowas wie D Quadrat, D Y 1 Quadrat plus D Quadrat, D Y 2 Quadrat plus D Quadrat, D Y 3 Quadrat. Und weil ich dort zweimal ableite, fliegt das Minus wieder raus. Machen Sie sich das mal deutlich, einfach die
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Kettenregel darauf anwenden, Laplace ausschreiben und Kettenregel machen. So, das brauche ich. Und dann manipuliere ich J Epsilon. Das ist dieser dieser zweite Teil im Integral. Ich schreibe es noch mal hin, was das ist. Das ist
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Rn ohne diesen Ball Phi von Y Laplace X, F von X minus Y D Y. Nochmal, also X, Y sind jetzt die nicht Komponenten von einem Vektor, sondern X ist ein Vektor aus X 1 bis X n und Y
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von Y 1 bis Y n. Und das ist ein Gebietsintegral und Volumenintegral bezüglich der Variable Y. Vektor ist Y. So, das war dieses Teil. Die Kugel hatte ich ausgeschnitten. Der Rest geht gegen Null. Guck ich mir mal das an. Jetzt nutze ich das aus.
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Was ich dort oben hingeschrieben habe. Da verändere ich nichts. Und ich habe schon gesehen hier. Ist egal, wenn ich nach X oder Y in den Laplace-Bilder kommt dasselbe raus, weil die innere Funktion hier X minus Y so eine einfache Struktur hat. Warum wollte ich das machen?
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Das schrei ich jetzt mal anders aus. Kann ich ja direkt dahinter schreiben. Das ist Integral. Nee, mach mal anders. Also was ich jetzt machen will,
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ist warum ich da eine Ableitung nach Y haben will. Ich will eine Ableitung haben nach der Variable, über die ich dort auch bezüglich der ich auch integriere. Warum? Weil ich will jetzt die partielle Integration anwenden. Das haben wir auch in der letzten
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Woche oder ja in der letzten Woche gesehen. Wie die partielle Integration im mehr Dimensionalen aussieht, das ist nämlich die Green-Sche-Formel. Und dann wird aus so einem Laplace wird ein
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Gradient mal Skalarprodukt Gradient. Das ist der Gradient nach Y. Schreiben wir hier noch mal hin. X minus Y dy. Ja, hier bräuchte ich das nicht hinschreiben, weil da steckt sowieso nur ein Y, denn da ist klar nach was ich ableiten muss.
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Da fehlt aber noch was, was stand noch in der Green-Sche-Formel drin? Ein Oberflächenintegral. Und da habe ich dann naja, was ist die Oberfläche? Ich habe die Oberfläche von dem Ball hier. S epsilon für y df
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dy x minus y ds. Und jetzt machen wir so ein y da dran, um zu implizieren, dass x fest ist und hier y die Variable ist, mit der, nach der ich dieses beziehungsweise der ich dieses Oberflächenintegral bilde. Okay. Sollte ich noch hinschreiben, was nu ist?
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Beziehungsweise ich schreibe jetzt hier erst mal hin. Das nenne ich L epsilon und das nenne ich K epsilon.
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Steht jetzt dieses nu drin. Was war das nu? Wissen wir eigentlich schon aus der Green-Sche-Formel. Mit nu gleich nu von y normalen Vektor
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auf der Sphäre. Ja, oder quatsch, auf diesem Kugel. Was ich hier angewendet habe, ist die erste Green-Sche-Formel. Sche-Formel.
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Wer die nicht mehr im Kopf hat, steht im Skript. Folgt aus dem Satz von Gauss. Haben wir auch mal eine Übung hergeleitet. Jetzt hier angewendet. Kann ich das überhaupt anwenden? Also erst mal. Was brauche ich da? Die Funktionen müssen glatt sein. C2. Sind die das? Boah, Fundamentallösung. Aber ich habe ja den Kugel ausgeschnitten. Nur in null hat die Fundamentallösung
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diese Singularität. Außerhalb des Ursprungs ist das eben wie gesagt dieser Trichter. Und außerhalb des Ursprungs ist die glatt. Das heißt, die ist glatt. Das war sowieso glatt. Also kann ich das anwenden. Aber da gab es noch eine Voraussetzung. Welche Voraussetzung gab es denn noch beim Satz von Gauss, der griechischen Funktion?
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Glaubt mir, dass jeder, was ich jetzt hier gemacht habe. Ja, schon, weil es auch im Skript steht. Aber jetzt wundern Sie sich doch mal. Ich wende das hier an. Auf Rn, auf den ganzen Raum schreibt eine kleine Kugel aus. Und darauf wende ich einen Satz von Gauss an. Auf unbeschränktem Gebiet. Und im Satz von Gauss stand, da soll ein beschränktes Gebiet sein mit C1 Rand.
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Ja, wir sehen das ja auch hier. Was steht denn hier? Hier steht das eine Integral. Das wird wieder zu einem Volumen integriert und dann kommen noch die Integrale über den Rand. Dann habe ich einmal ein Integral über den Rand der Kugel. Das Gebiet sieht ja so aus. Hier ist der Ursprung. Dann schleiche ich eine
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Epsilon Kugel aus. Nee, das wollte ich gerade nicht machen. Ursprung und das Gebiet ist alles, was außen rum ist. Dann habe ich hier einmal diesen S Epsilon. Das ist dieses Integral und den gesamten Raum drum rum. Wo ist denn dann der Rand, der restliche Rand? Den gibt es natürlich nicht. So eigentlich kann ich da formal keinen Satz von Gauss anwenden. Man muss hier
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im Hinterkurs steht auch so ein Skript, könnte man auch formal hinschreiben, noch einen Umweg machen. Denn das habe ich eben bei der Wiederholung auch schon gesagt. Ist das denn hier eigentlich eigentlich steckt hier gar kein Integral über den ganzen Raum drin. Wieder der Trick. F hat kompakten Träger. F verschwindet außerhalb einer Kugel, wenn ich den
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Radius nur groß genug wähle. Da ist F konstant Null. Dann ist auch die Ableitung konstant Null und eine zweite Ableitung auch konstant Null. Also ist der Laplace auch Null. Das heißt, wenn ich ihn, wenn ich nur weit genug weggehe, also außerhalb von einer großen Kugel, dann ist das Null, dann verschwindet das Integral. Das heißt, ich kann das Integral hier ersetzen über ein Integral,
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über eine Kugel, wenn ich den Radius nur groß genug wähle. Außerhalb der Kugel und meinetwegen ich die noch ein bisschen größer wäre die Kugel, auch auf dem Rand der Kugel verschwindet F mitsamt seinen Ableitungen. OK, wenn ich das mache, eine Kugel hat C1 Rand, da ist unendlich glatt der Rand. Das heißt, ich kann hier
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dieses Integral ersetzen über ein Integral über eine Kugel, dann x ich das alles so aus, dann kriege ich auch ein Randtherm, genau so ein Therm hier, nur über den, nicht über S Epsilon, sondern über diesen Rand der großen Kugel, außerhalb derer F verschwindet und auch auf deren Rand F
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und auch auf deren Rand F verschwindet mitsamt seinen Ableitungen. Ja, das ist genau der Punkt. F verschwindet auf den Rand mit S Epsilon Ableitungen. Das heißt, das ist auf diesem Ding null, damit würde dieses Integral, was hier noch zukäme, fliegt raus. Deswegen das habe ich jetzt hier implizit sofort weggelassen. Und genauso hier habe ich dann
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eigentlich auch ein Integral über diese große Kugel, da F aber außerhalb der Kugel verschwindet, kann ich wieder über den gesamten Raum integrieren. Das habe ich jetzt alles so im Hinterkopf gemacht. Streng genommen muss man das immer mitnehmen, dass ich den Satz von Gauss hier wirklich anwenden kann. OK, so steht auch so im Skript. Wer mir das jetzt ein bisschen
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zu schnell gehen, der muss sich das wieder angucken. So, jetzt müssen wir mal gucken. Jetzt haben wir hier wieder einen hübschen Term. Hier so ein bisschen weniger hübschen Term, da steht die Ableitung von dem Vieh drin. Aber das hier ist gut. Und hier wird wieder über einen Außenraum integriert. Aber das ist eigentlich was Schönes. Das ist genau wie unser I Epsilon von eben.
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Da hatte ich über den kleinen Ball integriert und hier integriere ich über die Oberfläche des des Balls und auch wieder steckt hier die Fundamentallösung drin. Das ist ja eigentlich sehr schön, weil wir wissen immer, ja, wenn ich irgendwie Fundamentallösung integriere über etwas sehr Kleines und schrumpft das zusammen auf Null, dann dann
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verschwindet das Integral. OK, genau das wollen wir jetzt auch wieder ausnutzen. Was wir dann noch brauchen ist, was ist denn diese normalen Ableitung oder mal direkt der Betrag davon? An irgendeiner Stelle. Das ist gleich.
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So ist definiert der Gradient von F mal den normalen Vektor und jetzt das kann ich sicher abschätzen durch Gradient von F mal den Betrag vom normalen Vektor und der normalen Vektor ist ein Einheitsnormal Vektor. Das heißt, das ist eins. Das heißt, das ist grad F.
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Ich kann also wirklich punktweise in jedem Punkt diese normalen Ableitung durch den Betrag des Gradienten abschätzen. Genau das nutze ich jetzt aus. Ausfolgt, ich will wieder dieses Oberflächenintegral hier abschätzen. Das ist sicherlich kleiner,
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wenn ich. Ja, machen wir es mal ruhig kleinschrittig. Wenn ich über die Sphäre gehe, Phi von Y dF dNu minus Y dSy.
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Ok. Und das wird wieder kleiner, wenn ich statt der normalen Ableitung jetzt in jedem Punkt das die größte nehme, das Supremum davon. Und das engt dann das Supremum
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von allen. Sicherlich steht hier über die Sphäre, also nimmt auch ein Maximum an, sagt es mal Weiharstrasse. Maximum ist sicher das Integral, weil hier nur noch positive Zahlen stehen durch die Beträge wird sicherlich nur noch nur größer, wenn ich hier das Maximum nehme und das Maximum hängt nicht
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hängt nicht mehr von dem von der Integration variablen Y ab. Deshalb kann ich das hier rausziehen. Das ist der Trick, den ich in der letzten Woche schon andauernd gemacht habe. Df dNu X minus Y.
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So. Das kann ich wiederum abschätzen. Kleiner gleich. Betrag. F vom Gradienten nach dieser obigen Rechnung. Und das ist irgendwie kann ich mal hier
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schon weiterschreiben. Habe ich hier wieder dieses Teil, das Oberflächen Integral über die. Über die Fundamentallösung. Und dann steht hier Supremum Grad F über diese Kugelloberfläche
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verschoben um X hier. Na ja, das kann ich sicherlich abschätzen durch das. Schauen wir es noch mal hin. Sup über alle X Element. Rn. Gradient F von X.
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Und weil das Ding, das ist genau. So ist es definiert, die L unendlich, die unendliche Norm von dem F. Grad F und das ist kleiner unendlich. Warum? Das ist eine glatte Funktion. Wieder immer dieselbe Argumentation. Glatte Funktion, die verschwindet außerhalb einer Kugel. Die geht nicht gegen unendlich.
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Die ist irgendwann null und dazwischen irgendwie glatt. Und das bedeutet insbesondere, die hat jetzt auch keine unendlich großen Steigungen irgendwo. Das heißt, der Gradient verschwindet. Verschwindet Quatsch, der ist irgendwie beschränkt. Die Norm von diesen Gradienten, dieses Supremum ist beschränkt.
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Ist kleiner unendlich. Und von dem Ding weiß ich. Das geht gegen null. Für Epsilon gegen null. Und das haben wir haben sie in der Hausaufgabe untersucht. Und das ist hier im Skript. Lemma 3, 4, R diese. Diese ist genau das, was ich eben hatte. Da war das hier habe ich über den
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Volumenintegral über diesen kleinen Kugel mit Radius Epsilon gebildet und jetzt geht über die Sphäre. Das geht das auch gegen null. Das hatten wir in Hausaufgaben. Das heißt, das geht gegen null. Für Epsilon gegen null. Ich kann also hier den Betrag, der ist sowieso nicht größer gleich null abschätzen durch irgendwas, was gegen null geht. Das heißt,
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dieses der Betrag von K Epsilon damit auf jeden Fall K Epsilon selber auch dieses Integral hier verschwindet. Was verschwindet auch? Jetzt soll mal zurück J Epsilon. Das schreibe ich noch mal hierhin. Müssen jetzt nicht mitschreiben. Just nur zur Erinnerung. Laplace u war I Epsilon
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plus J Epsilon. Und das ist I Epsilon plus was hatte ich da jetzt? L Epsilon plus K Epsilon. Ich verraue mich jetzt nicht mit dem mit den. Vorzeichen hier. Und da habe ich schon gesehen, das geht gegen null. Ich streiche das jetzt einfach mal. Jetzt habe ich gerade gezeigt,
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das geht gegen null. Das heißt, irgendwo wollte ich aber nicht, dass Laplace u gleich null ist, sondern F F von X. Das heißt, das F von X muss da irgendwie rauskommen, wenn ich das Epsilon gegen null fahre. Und das werden wir jetzt sehen. Ich gucke mir jetzt dieses L Epsilon weiter an. So, dann mache ich jetzt genau das, was ich schon mal gemacht habe.
27:44
L Epsilon. Was ist das? Schreib es noch mal hin. Minus Integral. N ohne. B Epsilon. Muss ich gerade mal schauen. Nicht, dass ich da jetzt einen Fehler gemacht habe.
28:16
Pi von Y. Das Y ist F von Y.
28:22
X minus Y. D Y. OK. So das ist dieses Teil, wo wie es da drüben definiert war. Jetzt wenn ich wieder die, ich will noch. Nee, stimmt ja überhaupt nicht. So ein Quatsch. Hier muss. Ich habe ja schon einmal partiell integriert.
28:44
Ich habe ja schon einmal partiell integriert. Was ich jetzt irgendwie nochmal ausnutzen will, was ich noch gar nicht ausgenutzt habe, ist, dass das Pi harmonisch ist, dass das Laplace Pi außerhalb der null immer null ist von dieser Fundamentalfunktion. Und ich habe die null hier nicht bei. Ich habe dieses B Epsilon
29:00
ausgeklammert explizit. Das heißt, auf dem Gebiet könnte ich das ausnutzen. Na ja, da muss ich aber irgendwie ein Laplace Pi generieren. Wie mache ich das? Partielle Integration. Ich schifte, weiß ich, bei Partiellen Integration gucken sich die grinsche Formel nochmal an. Die erste grinsche Formel. Was ich da immer mache, ich schifte Ableitung rüber. Ich schaufle Ableitung.
29:21
Ich habe ein Produkt und ich schaufle immer eine Ableitung auf die andere drauf. Das habe ich hier gemacht. Hier habe ich ein Laplace, also eine zweite Ableitung. Dann habe ich hier eine erste Ableitung und hier wird dann eine Ableitung habe ich auf das Pi geschifft. Und jetzt mache ich das noch mal. Dann habe ich hier gar keine Ableitung mehr und hier eine zweite Ableitung. Genau ein Laplace.
29:40
Das ist das, was ich brauche. Das ist hier wieder erste grinsche Formel. Man steht da. Ich hoffe, ihr habt mir jetzt nicht mehr ein Vorzeichen verhauen. Modulo Vorzeichen. Okay, da ich einmal
30:02
jetzt den Laplace von Phi f von x minus y d y und dann kriege ich aber noch ein Oberflächenintegral beim bei dieser. Das ist immer so ein bisschen das, was ich mir dabei einhandle bei den bei dem bei dem
30:21
bei der bei der partiellen Integration, dass ich immer so Oberflächenintegrale da rein kriege. D s y. Und jetzt ist genau wieder die selbe Argumentation von eben. Ich wende jetzt wieder die grinsche Formel an, was nix anderes ist eigentlich als ein modifizierter Satz von Gauss
30:40
und das wieder auf einem unbeschränkten Gebiet. Ja, aber auch hier wieder Gradient von f verschwindet außerhalb des Gebietes. Das heißt, ich kann. Das ist eigentlich kein Integral über ein unbeschränktes Gebiet. Ich kann das Integral über durch ersetzen durch ein Integral über eine große Kugel, wenn der Radius nur groß genug ist, außerhalb derer und auf dem Rand davon
31:00
verschwindet das f. Deswegen fallen alle Randintegral, die hier möglicherweise entstehen, wieder weg. Und das Integral über die Kugel kann ich wieder am Ende wieder ersetzen über ein Integral wie so unbeschränkende Menge hier. OK, das muss ich im Hinterkopf immer machen, damit ich hier wirklich die grinsche Formel anwenden kann.
31:24
Gut. Vielleicht bin ich immer noch nicht fertig. Ach so, genau. Doch, ha ha. Jetzt habe ich hier ein Gebiet. Jetzt habe ich hier ein Integral mit Laplace-Phi. Der Ursprung, wo Laplace-Phi Ärger macht, ist explizit nicht dabei.
31:41
Das heißt, das ist Null. Immer. Weil das harmonisch ist. Das heißt, was hier überbleibt, ist nur das Integral über die Oberfläche. dPhi dNu yf von x minus y
32:02
dSy. So, das ist auch wieder Null hier. So, jetzt gucken wir uns mal hier hin. Von dem L Epsilon bleibt nur das über. Das heißt, irgendwie muss da dieses F drinstecken. Ich will ja am Ende am Minus Laplace u gleich f. Also irgendwie muss das sich auf f von x hinauslaufen. Und das, um das zu sehen, müssen wir jetzt ein bisschen rechnen.
32:22
Schön ist das nicht, aber ich kann sie nicht ersparen. Nochmal, was ist diese normalen Ableitung? Das ist Gradient Phi von y mal dem normalen Vektor. Hängt natürlich auch von y ab, der ist ja ortsabhängig.
32:42
OK, somit Grad Phi von y. Das muss man jetzt ausrechnen. Spaß macht das nicht, wie gesagt. In den Übungen haben sie das aber gemacht und ich gebe das jetzt einfach an.
33:01
Aber ich habe das auch nachgerechnet. So also die Ableitung davon sieht so aus. Wir sehen das schon. N ist jetzt größer gleich zwei. Das heißt, ich teile hier was lineares durch quadratisch. Das hat schon auch wieder so eine Singularität, aber wir haben gesehen, die ist noch gut, also ich kann integrieren. Erste Ableitung,
33:21
das funktioniert noch. Also das so sieht es halt aus. Und wie mache ich das jetzt? Ich habe y, wenn das jetzt auf dieser Sphäre liegt.
33:41
S epsilon, was ist das? Das ist S, die Sphäre, also die Oberfläche des Kreises um den Ursprung mit Radius epsilon. Dann folgt da raus. Also es sieht dann irgendwie so aus. Brauche ich ja eh gleich noch. Schau ich mal hier an.
34:03
Das sieht jetzt nicht mehr ganz so aus wie S epsilon, weil das ist die Null, weil epsilon ja eigentlich gegen Null gehen soll. Aber gut, das ist jetzt irgendwie dieses epsilon. Y liegt auf dem Rand, also das ist die ganze Kugel
34:21
B epsilon. Der Rand davon ist S epsilon. In 2D ist das natürlich ein Kreis. Y ist irgendein Punkt auf dem Kreis. Der zugehörige Ortsvektor sieht so aus. Das heißt, daraus folgt, dass der Betrag von y, also die Länge, die euklidische Norm ist gerade epsilon.
34:41
Ja, weil y liegt auf der Kreisoberfläche. Und daraus wiederum folgt, dass Gradient phi von y ist minus eins durch omega n y durch epsilon hoch n,
35:01
weil da steht ja der Betrag hoch n. Omega n war die Oberfläche der Einheitskugel im Rn. Kommen wir auch gleich noch zu. Falls y auf der Oberfläche liegt, sieht das so aus. So, dann habe ich jetzt das so mit Hilfe dieser Form, die man aus der Übung hergeleitet hat. Muss man halt ableiten. So, und was habe ich hier noch?
35:22
Den normalen Vektor. Ja, wie ist denn das? Was ist denn der normalen Vektor? Am Punkt y sieht der normalen Vektor jetzt irgendwie so aus. Hat die Länge eins. Epsilon ist klein. Das heißt, er ist irgendwie, weiß ich nicht, ein bisschen größer oder was? Das heißt, das ist nu von y.
35:41
Was beobachten wir? Na ja, ganz klar, der geht in dieselbe Richtung wie y. So, aber gleich y kann er nicht sagen, weil y hat die Länge epsilon und der normalen Vektor soll ein Einheits Vektor sein. Das heißt, ich muss den noch durch die Länge von y teilen. Und das ist y durch epsilon.
36:04
Aber aufgepasst. Was ich hier habe ist, was ich hier mache, ist, ich integriere über ein Außengebiet und wende auf ein Außengebiet den Satz von Gauss
36:21
mit einer griechischen Formel an. Das heißt, mein Gebiet sah ja so aus. Hier ist es Null. Da ist es epsilon. Ball von epsilon ist das Integral. Und das Integral habe ich übers Außengebiet gebildet.
36:43
Wenn ich den Satz von Gauss und auch die griechische Formel und so weiter anwende, dann gab es eine Konvention bei diesen Oberflächenintegralen. Der normalen Vektor ist der nach außen zeigende normalen Vektor. Das Ding, was ich da angezeigt habe,
37:02
zeigt aber ins Gebiet rein, weil ich über das Außengebiet integriere. Das heißt, was ich betrachten muss ist der normalen Vektor soll jetzt hier rechtwinklig sein. Das ist das wirkliche Nü. Das ist die Konvention. Mein Satz von Gauss, ich integriere,
37:21
kriege dort einen Randintegral rein mit einem normalen Vektor. Und der normalen Vektor soll nach außen zeigen. Und außen ist bei mir in Richtung des Ursprungs, weil ich übers Außengebiet integriere. Das heißt, was das hier ist, ist Minus. Ich brauche nicht den, ich brauche den, der nach innen zeigt.
37:40
So, daraus folgt dann insgesamt, dass dV nach dNü von y ist, also einmal diese Ableitung hier, das ist omega n
38:00
mal y durch epsilon hoch n mal den normalen Vektor ist y durch epsilon. Das ist minus eins durch omega n mal Betrag von y durch epsilon hoch,
38:24
ach so, ja sicher, n plus eins. Und was ist das? Was ist? Hier nutze ich dann direkt aus, dass omega n gleich s null eins ist.
38:43
Also, gucken Sie nochmal in die Definition der Fundamentallösung. Da steht dieses omega n definiert drin. Was war das? Das war das Maß, das ist der Oberfläche der Einheitskugel. Maß, was soll das sein für Ingenieure? Das ist der Oberflächeninhalt der Einheitskugel.
39:00
Wie ist das in 2D? Da ist die Einheitskugel der Einheitskreis. Oberfläche ist dort der Umfang. Umfang vom Kreis ist 2PiR. Einheitskreis R ist eins, also 2Pi. 2D ist das 2Pi. 3D Nachrechnung, keine Ahnung. Das ist eigentlich nicht im Kopf. Also, so war das definiert. Dann steht hier minus eins durch s null eins.
39:27
Okay. Und was steht hier? Da steht, ah nee, hier fehlt ein Quadrat. y mal y. Skalarprodukt von y mal y ist Betrag von y Quadrat.
39:40
Also epsilon Quadrat durch epsilon hoch n plus eins. Und das ist eins durch s von null eins. Mal, jetzt unter Einbruch geschrieben, epsilon hoch n minus eins.
40:00
So. Und da haben Sie in der Übung kennengelernt, dass folgendes gilt. S von null und R eins, also der Oberflächeninhalt von einer Kugeloberfläche mit Radius R eins, der ist gleich R eins durch R zwei.
40:22
R zwei ist ein anderer Radius. N minus eins mal s von null und R zwei. So. Ja, wenn ich jetzt zwei Kugeln habe mit unterschiedlichem Radius, dann hängen Ihre Oberflächeninhalte von diesen Kugeln so zusammen.
40:43
Das haben Sie in einer Übung ausgerechnet, in einer Aufgabe. Das macht man einfach über Transformation. Flächenintegral, das muss man immer transformieren. Wenn man, dann ergibt sich hier eine genuine Koordinatentransformation, indem ich das einfach von, wenn R eins jetzt zum Beispiel kleiner ist als R zwei,
41:00
von R eins auf R zwei aufblähe, das ganze Koordinatensystem, dann muss ich das mitschleppen in der Transformation. Dann komme ich genau auf diesen Koeffizienten hier. So ist das. Haben Sie in der Übung gemacht. Okay, so, jetzt weiß ich hier, jetzt muss ich mal hingucken. Setzen wir R zwei eins, eins, R eins ist epsilon. Was kommt dann hier raus? Hier steht genau dieses n hoch minus eins, R zwei ist eins, R eins ist epsilon.
41:23
Das heißt, das ist dann genau epsilon hoch n minus eins. Dann ist das nichts anderes als eins durch S null epsilon. So, das heißt insbesondere, dass dieser Term hier,
41:42
diese normalen Ableitung konstant ist, und nämlich durch den Kehrwert des Oberflächeninhalts, der epsilon Kugel gegeben. So, damit gehe ich jetzt wieder hier rein. Soll ich das da noch aufschreiben? Nee, mache ich hier weiter.
42:03
Also daraus folgt furchtbarer Beweis. Das L epsilon, schreiben wir das nochmal hin, habe ich schon gezeigt, ist integral über die Sphäre minus d phi d nu. Ich habe garantiert irgendwo ein Vorzeichenfehler.
42:23
f x minus y d s y. Von dem Ding haben wir gesehen, das ist gerade die Sphäre, der Oberflächeninhalt der Epsilon-Sphäre S epsilon f von x minus y d s y.
42:52
So, das ist jetzt ein Integral über die Sphäre hier mit Radius epsilon im Ursprung.
43:00
Und das verschiebe ich jetzt, dieses Integral. Mache ich auch wieder eine Koordinatentransformation. Auch die haben sie in der Übung gemacht. Ich setze y Schlange ist x minus y. Ich verschiebe das Ganze. So, lass mal das erstmal so stehen. Da wische ich gleich noch, also vielleicht nicht mitschreiben.
43:23
So, dann transformiert sich natürlich das Gebiet, also die Oberfläche, über die ich integriere, die transformiert sich auch. Und was mache ich hier? Ich verschiebe das ganze Koordinatensystem nur um x. Das heißt, ich lande hier dann nicht mehr in der Sphäre im Ursprung, sondern in der Sphäre mit Mittelpunkt x.
43:45
So, und dann habe ich hier d y Schlange. Und da kriege ich natürlich hier eigentlich auch noch eine Transformation. Durch die Transformation auch noch irgendwie so ein Transformationsterm hier aus dem Integral.
44:01
Aber der ist gerade eins, wie Sie in der Übung gesehen haben. So, und hier steht die Oberfläche, der Oberflächeninhalt der Sphäre, Radius Epsilon um die Null. Ob ich jetzt die Sphäre mit Radius Epsilon um die Null betrachte oder um Punkt x, der Oberflächeninhalt ändert sich natürlich nicht.
44:20
Klar, egal wo ich hier nicht die Sphäre verschiebe, der Oberflächeninhalt bleibt immer gleich. Das heißt, ich kann hier auch x nehmen. So, und was haben wir jetzt? Das konvergiert gegen Minus f von x für Epsilon gegen Null. Woher weiß er das jetzt wieder?
44:43
Das ist nach Lemma 3.10. In Lemma 3.10 hat man genau das gezeigt. Nochmal zur Verständnis, ein bisschen zur Anschauung. Naja, man hat hier was, das verschwindet.
45:01
F ist irgendwie eine stetige Funktion. Also insbesondere endlich, wenn ich das über einen immer kleineren Bereich integriere, dann geht das natürlich gegen Null. Aber das geht für Epsilon natürlich auch gegen Null. Ich habe also irgendwie sowas Null durch Null. Und wir haben gezeigt, im Grenzübergang konvergiert das gegen f von x. Wenn ich das zusammenziehe, dann konvergiert das genau gegen den Wert von f an der Stelle x hier.
45:25
Das ist der Mittelpunkt der Oberfläche, über die ich integriere. Okay, so. Und damit sind wir jetzt am Ende. Und nehmen Monsterbeweis. Daraus folgt also, plus u von x ist gleich, was hatten wir?
45:41
I von Epsilon plus, was habe ich aufgespalten? K von Epsilon plus L von Epsilon. Da haben wir gezeigt, das konvergiert gegen Null. Da haben wir gezeigt, das konvergiert gegen Null. Und da haben wir gerade gesehen, das konvergiert gegen minus f von x.
46:03
Das heißt, das Ganze konvergiert gegen minus f von x für Epsilon gegen Null. Dann mache ich doch einfach diesen Grenzübergang. Kann ich ja machen. Epsilon war irgendwie beliebig, als ich diese Kugel ausgeschnitten habe. Und jetzt fahre ich eben zur Grenze über. Die Gleichheit bleibt natürlich dann bestehen.
46:22
Und daraus folgt minus laplace u von x ist f von x. Und da das x ganz am Anfang von dem Beweis beliebig war, geht das für alle x auf dem Raum, also in Rn. Damit habe ich das bewiesen, was ich wollte.
46:43
Also u tatsächlich über dieses mehrquälige Integral mit der Fundamentalfunktion definiert, löst tatsächlich diese Poisson-Gleichung auf dem ganzen Raum. Ja, ist ein bisschen ekelig der Beweis. Man muss viel rechnen. Wo haben wir? Okay.
47:01
Man muss sehr, sehr viel rechnen und abschätzen. Eigentlich, das Allertechnischste ist eigentlich immer fast zu beweisen, dass u aus C2 ist. Da kommen die ganzen Supremus-Normen. Und ansonsten hilft mir immer die partielle Integration. Und vor allen Dingen der Satz hier. Wenn ich das zusammenschrumpfe, dass das dann gegen f von x konvergiert.
47:21
Und ich muss halt ziemlich viel rechnen mit irgendwelchen Transformationen und so weiter. Okay, so. Kleine Bemerkung noch. Ich hatte jetzt bewiesen und man sieht das auch, dass ich das brauche. Irgendwo sieht man es hier zum Beispiel. Hier steht der Laplace von f. Das heißt, ich brauche hier immer, dass f aus C2 ist. Da steht differenzierbar, damit der Laplace alles wohl definiert ist.
47:41
Okay. Das kann man reduzieren. Das braucht man nicht. Man muss man ausnutzen, dass man hier diese partielle Integration gar nicht braucht. Weil man mehr Regularität von dem 4 hat. Ich glaube nämlich, dass die erste Ableitung von dem Phi, dass das auch nur integrierbar ist. Dann kann man das machen.
48:01
Und dann geht das den ganzen Beweis auch durch für Funktionen f, die nur noch einmal stetig differenzieren. Aber allerdings immer noch mit kompakten Träger sind. Also das geht auch und sich dann aufhängt. Kann man in dem Skript von dem Favik nachlegen. Oder im Buch von Gilbert Tudinger, wo auch das sowieso alles viel genauer, allgemeiner und besserer entsteht.
48:24
Okay. Und wem das jetzt noch nicht gereicht hat mit Mathematik, dem gebe ich jetzt den Rest. Jetzt kommt nämlich was, was sehr abstrakt ist. Das ist jetzt wirklich etwas für die Mathematiker. Die Ingenieure können sich das ja auch mal anhören.
48:42
Und merken sich am Ende von dem Ganzen, was jetzt kommt, dass sie nie wieder in ihrem Leben Delta-Funktionen sagen. Dirac-Funktionen oder so. Wenn ich das höre, dann kriege ich Pickel auf dem Rücken. Also das geht nicht. Also hier haben wir ja noch ziemlich viel gerechnet. Und jetzt kommt wirklich wüste Mathematik. Jetzt schmeiße ich einfach mit ein paar Definitionen um mich.
49:02
Und jetzt nicht den Fehler machen, sich etwas darunter vorzustellen. Wir definieren uns einfach lustig was vor uns hin. So. Was ich jetzt nämlich mache ist, also... Ich will Ihnen eine kleine Mehrhilfe für diese Fundamentallösung geben. Also wir haben jetzt gesehen wofür das gut ist.
49:20
Ich kann U dann als ein Integral darstellen. Und mit Hilfe der Fundamentallösung, wenn ich das Integral auswerte, kann ich dann U als Lösung der Poissongleichung berechnen. Sehr schön. Wie sind die Leute jetzt darauf gekommen das so zu machen? Wie sind die darauf gekommen diese Fundamentallösung da hinzuschreiben? Und die Idee war, dass die sich überlegt haben, was ist denn der Laplace von der Fundamentallösung?
49:40
Und da denkt man jetzt erstmal, ja, da wissen wir schon, das ist harmonisch, also Null. Falsch. Denn das stimmt zwar auch überall, aber eben nicht in der Null im Ursprung selber. Da ist die ja gar nicht definiert. Weil die da noch nicht mal definiert ist, kann ich da natürlich auch keinen Laplace entschreiben. Aber dann kann ich mir einen Laplace von Phi an der Stelle Null macht irgendwie keinen Sinn.
50:04
Phi ist da unendlich, ist nicht definiert. Ja, was soll der Laplace da sein? Das heißt, was muss ich machen? Ich muss mit einem allgemeineren Ableitungsbegriff daherkommen, dass ich überhaupt so was wie Laplace von Phi im ganzen Raum definieren kann in der Null. Und das kommt jetzt.
50:21
Dafür brauche ich aber zunächst einige andere Begriffe. Und da ist wichtig der Begriff der Distribution. Definition 3.15.
50:42
Es sei eine Funktion Phi gegeben aus diesem Raum. Was ist das? Wir erinnern uns an das F in dem letzten Satz. Das war aus C 2 Null. Jetzt ist C unendlich Null, also unendlich oft differenzierbar. Hä? Unendlich oft differenzierbar? Was ist das?
51:00
Kennen Sie auch Funktionen? x²a ist unendlich oft differenzierbar. Sinus x unendlich oft differenzierbar. Aber wieder mit kompakten Trägern. Mit kompakten Trägern. Und eine Folge.
51:20
Phi k. K Element n. Oh, hier ist ein falsches Zeichen im Script. Da ist natürlich Inklusion drin. Die sollen auch alle kompakten Träger haben. So.
51:42
Und jetzt führen wir einen Konvergenzbegriff ein. Wir sagen, dass diese Folge Phi k in D gegen Phi konvergiert.
52:04
Definieren kann ich mir, was ich will. Da gibt es nichts zu verstehen. Wenn Folgendes gilt. Zwei Bedingungen müssen erfüllt sein. Ich könnte jetzt für solche Funktionen auf ziemlich viele Arten Konvergenz definieren.
52:22
Ich könnte zum Beispiel sagen, ich will das verstehen, wenn die hier punktweise gegen Phi konvergieren. Oder sowas. Das will ich aber nicht. Ich will folgende Definition haben. Erstmal.
52:41
Es gibt eine kompakte Menge. Kompakt heißt immer beschränkt und abgeschlossen. Also abgeschlossen ist einfach mal egal, wie sich das beschränkt. Also geht nicht gegen unendlich. Ich kann die in eine Kugel mit einem gewissen Radius packen. Aua.
53:00
Rn. Und für diese Menge gilt, dass der Träger von allen Folge-Elementen, also Träger war immer die Menge, wo die Phi ks ungleich Null waren, der ist in k enthalten. Und das gilt nicht nur für die Elemente dieser Menge,
53:24
sondern auch für den Grenzwert. Also das soll gelten, wenn jetzt irgendeine Funktionenfolge Phi k, das in k liegt, dann soll eben auch dieser Grenzwert,
53:40
gegen den die möglicherweise konvergiert, auch in k liegen. Aber das reicht natürlich noch nicht für einen vernünftigen Konvergenzbegriff. Ich will ja auch irgendwann, dass der Abstand zwischen denen Null wird. Und das, was ich dann noch brauche, ist schon wieder gleichmäßige Konvergenz.
54:01
Gleichmäßige Konvergenz aller Ableitungen. Das heißt folgendes, das Supremum aller x aus k,
54:21
außerhalb von k muss ich nicht gucken, wenn die sowieso alle Null. Das habe ich hier oben schon erfüllt. dAlpha, da sage ich gleich etwas zu, Phi k von x minus dAlpha Phi, Phi von x, das geht gegen Null.
54:48
Auch überall, also insbesondere dann eben fürs Supremum. Und jetzt für alle Multiindizes Alpha.
55:03
Ja, das ist genau diese, jetzt sehen wir mal wofür man diese Multiindizes braucht. Damit kann man zum Beispiel sowas aufschreiben, dass ich alle Ableitungen meine. Ich bin mehrdimensionalen, alle gemischten Ableitungen, alles beliebig hoch. Kann ich insbesondere bilden, weil die alle unendlich oft differenzierbar sind. Also das meine ich da drunter.
55:23
Wenn ich da diesen Konvergenz-Fall schreibe mit dem d oben drauf, dann meine ich immer, ich habe eine Folge, die liegen alle in einer kompakten Menge und den Grenzfunktionen auch. Und die konvergieren gleichmäßig gegen die Grenzfunktionen und auch alle Ableitungen. Extrem starker Konvergenzbegriff. Sehr, sehr starker Konvergenzbegriff.
55:42
Der ist so stark für die Mathematiker, dass ich diese Menge mit so einem Konvergenzbegriff, da finde ich gar keine vernünftige Norm. Ich kann jetzt da so einen Raum D definieren, daher kommt auch dieses D. Aber ich kann den nicht normieren. Der ist dann noch lokal konvex und alles, ja schön, aber ich kann den nicht mehr normieren.
56:05
Weil, was würde sich als Norm anbieten? Ich habe da hier irgendwie so eine C-unendlich-Norm, aber dann kriege ich eins nicht mehr erfüllt. Eins passt irgendwie in diese erste Sache, dass die alle in einer kompakten Menge liegen, dass die Träger, das passt nicht zum Normbegriff.
56:25
Also wüsstes Teil dieser Konvergenzbegriff kann ich keine passende Norm mehr zu definieren, kann ich keinen Raum ausstatten, aber da uns nicht interessieren, wir wollen das halt so. Okay, so was jetzt mit Norm und Raum und so weiter. Vergesst den Ingenieur, die gucken sich das einfach mal an, denken sich, sieht ja irgendwie komisch aus.
56:43
Okay, so damit kann ich jetzt aber was definieren, was echt ziemlich mächtiges Tool ist. Und zwar Distributionen.
57:12
Eine Distribution, was ist das? Das ist eine Abbildung T, die nimmt irgendeine Funktion aus diesem Raum,
57:25
unendlich oft differenziert mit einem kompakten Träger, irgendeine Funktion und ordnet deren Zahl zu. Kennen Sie solche Abbildungen? Ja klar. Integrale zum Beispiel. Ich habe eine Funktion, ich integriere die über einem Intervall 0,1, was kommt daraus? Eine Zahl.
57:43
Das heißt zum Integral könnte so was sein. Ein Integral ist eine Abbildung, stecke ich eine Funktion rein, integriere die, kommt eine Zahl raus. Das könnte zum Beispiel so ein T sein. Und ich nehme jetzt nicht irgendwelche, sondern ich nehme bestimmte. Das ist eine lineare Abbildung, die soll linear sein, was das heißt, sage ich gleich.
58:06
Haben Sie eigentlich alle gehabt, auch die Ingenieure, lineare Algebra, aber egal. Eine lineare Abbildung von C0 und unendlich nach R, gut das steht da oben schon.
58:27
Und für diese lineare Abbildung gilt, wenn ich irgendeine Folge habe, die gegen phi konvergiert, in dieser D-Konvergenz da, mit diesem Konvergenzbegriff, auch mit dieser kompakten Menge,
58:44
dann folgt daraus, dass diese Abbildung T angewendet aus phi k auch konvergiert. Was ist jetzt nochmal, was ist das für eine Konvergenz? Das ist diese Konvergenz in D, die habe ich hier definiert.
59:01
Was ist das denn für eine Konvergenz? Jetzt gucken Sie darauf, wo bildet T denn ab? T von phi k ist irgendeine Zahl. T von phi auch. Das heißt, das ist Konvergenz in R, was wir hier haben. Also das hier bedeutet einfach nichts anderes als geht gegen Null.
59:28
Für k gegen unendlich natürlich. So. Und das ist wirklich Betrag von einer reellen Zahl hier, weil das eine Abbildung in R ist. Okay, so. Und wir nennen das also Stetigkeit bezüglich der Konvergenz in D,
59:55
also dieses merkwürdige Konvergenzbegriff, den ich da oben eingeführt habe. Warum ist das Stetigkeit?
01:00:00
In der Stetigkeit ist genau das. Denken Sie an eine normale Funktion f von x. Wenn die stetig ist, bedeutet das, ich habe irgendwie eine Folge xk, die konvergiert gegen x, dann konvergiert auch die Funktionswerte f von xk gegen f von x. Und daraus ist das hier. Nur, dass ich da nicht irgendwelche Punkte x reinstecke, sondern ich stecke hier Funktionen rein. Ein bisschen absahieren, sich nicht schocken lassen, einfach mal so mitnehmen.
01:00:22
Ja, das werde ich natürlich nicht prüfen. Jetzt hört keiner mehr zu, aber vielleicht gibt es ja doch ein paar, auch unter den Ingenieuren, Fanatiker, die sich dann das trotzdem anhören. Wie viel haben wir im Service? 11.30 Uhr? Sie hören noch ein bisschen Luft. Ja, da nehme ich die Beispiele auch mit.
01:00:43
Nee, ich nehme das dann nachher. Dann spare ich mir das ein bisschen. Wofür ist jetzt diese Distribution gut? Damit kann ich extrem nützlich den Ableitungsbegriff verallgemeinern, um sie endgültig fertig zu machen.
01:01:02
Das mache ich jetzt. Im Skript, jetzt habe ich etwas umgedreht, die Definition 3.18.
01:01:20
Die distributionelle Ableitung. Was ich jetzt mache, ist, ich definiere mir einfach einen Ableitungsbegriff für solche Distributionen. Das ist extrem schräg. So eine Distribution ist keine Funktion mehr. Es ist nicht mehr so etwas wie f von x, sondern irgendeine Abbildung, da stecke ich selber wieder Funktionen rein. Aber definieren kann ich mir, was ich will. Also definiere ich mir das jetzt einfach.
01:01:47
Und dass das sinnvoll ist, das so zu definieren, das sehen wir gleich. Es sei t eine Distribution und alpha ein Multiindex.
01:02:06
Also wieder irgendwie sowas, zweimal nach x abgeleitet, ja und so weiter.
01:02:22
Hier ist noch ein Fehler drin. Die Ableitung d alpha t von t ist definiert durch folgenden Ausdruck.
01:02:41
D alpha t angewendet auf irgendeine glatte Funktion phi. Irgend so ein C0 unendlich Ding. Das ist nichts anderes als t angewendet auf, ach nee, jetzt gucken wir mal die ganze... ... mit dem Vorzeichen minus eins durch Norm von alpha t d alpha phi.
01:03:09
Was soll das denn? So ist das definiert. Wie gesagt, definieren kann ich mir, was ich will. Da gibt es erstmal auch nichts zu verstehen.
01:03:23
Wichtig ist nur, was kann ich damit hinterher anfangen. So ist dieses Monster definiert. Wenn ich jetzt einen Multiindex alpha gegeben habe, dann ist der Betrag von alpha genau die Norm dieses Multiindex.
01:03:48
Wie wir das am Anfang definiert hatten. Die Summe aller Einträge dort.
01:04:04
Und um Ihnen das ein bisschen verständlich zu machen, dass das überhaupt irgendwie wohl definiert ist, kann ich auch nochmal hinschreiben. Für beliebige Phi-Element C, nicht Omega, Rn.
01:04:23
Also nicht nur für eins soll das gelten, sondern für alle möglich. Macht diese Definition überhaupt Sinn? Ist das wohl definiert? Jetzt schauen wir uns das mal an. Das ist hier nur, wie gesagt, definiert. Das ist nur eine Schreibweise für das Teil hier. Was ist das jetzt? Diese Ts kann ich nur anwenden, so sind sie definiert, auf C0-unendlichfunktion.
01:04:46
Ist denn D alpha eine C0-unendlichfunktion? Ich habe jetzt eine unendlich glatte Funktion mit einem kompakten Träger. Wenn ich die jetzt einmal ableite, dann ist die immer noch unendlich glatt. Denken Sie an Sinus, der ist unendlich glatt. Sie leiten den Apis und Cosinus, das ist immer noch unendlich glatt.
01:05:01
Sie leiten das ab, das ist Minus-Sinus, das ist immer noch unendlich glatt und so weiter. Wie das mit dem Kompakter vom Träger. Die Funktion verschwindet außerhalb von irgendeiner Menge mit großem Radius. Das heißt, da ist die Funktion konstant Null. Dann ist auch die Ableitung konstant Null. Dann ist auch deren Ableitung konstant Null und so weiter. Das heißt, mit Phi-Element gilt auch, dass D alpha Phi aus C0-unendlichRn ist.
01:05:43
Für jedes Alpha. Ich kann das beliebig oft ableiten, das bleibt immer unendlich glatt. Daraus folgt, dass T d alpha Phi wohl definiert ist und selber eine Distribution.
01:06:21
Und was sehen wir jetzt auch? Dadurch, dass sie unendlich glatt sind, diese Funktion Phi. Hier, den nennt man auch Testfunktion, kann ich hier distributionelle Ableitungen beliebig hoher Ordnung bilden. Ich wende immer nur diese Definition an.
01:06:41
Das kann ich beliebig oft ableiten, da kann ich immer noch T drauf anwenden. Das ist kein Problem, weil das eine C0-unendlich-Funktion ist. Das bedeutet aber, in diesem Ableitungsbegriff sind solche Monster wie Distribution, so völlig schräge Objekte unendlich oft differenzierbar. Das ist ein ganz schwacher Ableitungsbegriff.
01:07:01
Ich kann hier solche Objekte, da weiß ich noch gar nicht, was das sein könnte. Ich gebe Ihnen gleich Beispiele, da kann ich auf diese Weise unendlich oft differenzieren. So, jetzt habe ich mir diesen Ableitungsbegriff geschaffen. Niemand hat eine Vorstellung, was das sein könnte. Und dafür machen wir jetzt ein Beispiel. Und am Ende zeige ich Ihnen dann, was wir mit diesem Ableitungsbegriff hier anfangen können.
01:07:29
Wie gesagt, jetzt nicht schocken lassen, das ist jetzt nicht der Kernpunkt der Vorlesung. Das ist nur so ein kleiner Gimmick, vielleicht auch für die Mathematiker eher. Aber dass man auch mal als Ingenieur sieht, in welche Richtung das am Ende geht,
01:07:44
wenn man partielle Differentialgleichungen studiert. Dann befasst man sich nämlich nur noch mit solchen distributionellen Ableitungen. Und wenn die eine bestimmte Eigenschaft haben, nennt man die schwache Ableitung. Und in dem Kontext kann man PDEs viel, viel einfacher diskutieren, als wir das hier machen.
01:08:05
Da muss ich nämlich nicht mehr mich durch solche Integralbeweise hier quälen, sondern kann das alles ein bisschen anders aufziehen. Aber man sieht, ich muss dafür in sehr, sehr abstrakte Welten abtauchen.
01:08:20
Ich meine, eine anschauliche Vorstellung von so einer distributionellen Ableitung, das ist schon auch so ein Thema für sich.
01:08:43
Aber wie gesagt, lassen Sie sich davon nicht schocken. Das ist jetzt kein zentrales Thema der Vorlesung und wird höchstens mal in den mathematischen Alternativaufgaben aufgegriffen.
01:09:08
Aber für Mathematiker ist das ganz gut, wenn sie das mal gehört haben. Wenn die sich dann hinterher in die funktionalanalytischen Methoden vor die partiellen Differentialgleichungen einsetzen,
01:09:20
dann wissen die ja schon mal, was das ist. Da kommt das nämlich auch drin vor. Sollte zumindest. So, jetzt zeige ich Ihnen mal zwei Beispiele für solche Distributionen, was das sein könnte.
01:09:42
Und dann haben wir einfach mal ein paar Beispiele für solche Distributionen und leiten die dann auch ab. Dann kann man sich das mal angucken. So, das ist das Beispiel 3.18.
01:10:01
Wie könnten jetzt solche Distributionen aussehen? Gucken, dass ich das hier hinkriege. Nein, das war im Skript das Beispiel 3.17, weil ich jetzt hier rein vorher ein bisschen vertauscht habe. So, ich habe ein erstes Beispiel. War irgendeine stetige Funktion gegeben?
01:10:29
Für die Mathematiker brauche ich jetzt noch keine stetige Funktion. Ich brauche eigentlich nur, dass sie aus L1-Lok ist, egal.
01:10:40
Wir definieren jetzt für beliebige Phi aus diesem Raum, den in den Distributionen ja auch auftaucht, eine Distribution T, die irgendwie f zugeordnet ist. Deshalb mache ich da so einen Index f. Und wenn ich die jetzt auf Phi anwende,
01:11:01
dann soll das Folgende passieren. Genau das, was ich Ihnen eben auch schon andeleutete. So ein Integral soll ausgewertet werden. f von x, Phi von x, dx. So, jetzt gehen wir mal in diese Definition hier rein. Macht das Ding das, was ich wollte?
01:11:21
Erstens, ist das eine Abbildung in R? Wenn ich da einen Phi jetzt reinstecke, kommt da eine reale Zahl raus? Ja, das ist ein Integral. Können Sie jetzt irgendwie ausrechnen, eine Stammfunktion bilden usw., nachgucken, auswerten, kommt eine Zahl raus. Fertig ab. So, das ist auch wieder kein uneigentliches Integral,
01:11:42
weil die hier einen kompakten Träger haben. Ich muss wieder nur über den Träger von Phi integrieren. Das heißt, da kommt richtig schön eine Zahl raus. So, was brauche ich noch? Da gab es aber noch mehr. Ich brauche Linearität. Was ich zeigen muss, ist, dass wenn ich Folgendes mache,
01:12:07
da muss ich das so aufspalten können in Alpha Tf von Phi 1 plus Alpha Tf von Phi 2. So, schauen wir uns das mal an. Ja, das folgt sofort aus der Linearität des Integrals.
01:12:38
Und das ist gleich...
01:12:43
Alpha kann ich immer rausziehen hier aus dem Integral als konstanten Faktor f von x Phi 1 von x dx plus. Und hinten mache ich das genauso. Das Integral kann ich auch auseinanderziehen hier mit der Summe.
01:13:03
Und das ist nichts anderes als Alpha 1 Tf von Phi 1 plus nach Definition Alpha 2 Tf von Phi 2. Und das gilt, brökele ich hier noch in die Ecke, für alle.
01:13:23
Alpha 1, Alpha 2, das sollen irgendwelche Zahlen sein. Und Phi 1, Phi 2, halt irgendwelche von diesen 10-0-und-endlich-Funktionen. Also in der Tat, das Ding ist linear. Folgt direkt aus der Linearität des Integrals.
01:13:42
So, und dann brauche ich aber noch mehr. Was muss Distribution, was muss das noch erfüllen? Also ich brauche erstmal so eine Ableitung in R, die ist gegeben. Die muss linear sein, eine lineare Abbildung ist auch gegeben. Und ich muss noch diese Stetigkeit bezüglich dieses Wüsten-Konvergenzbegriffs haben.
01:14:05
So, Stetigkeit bezüglich der Konvergenz in D. Und ich schreibe jetzt das mal so, lax so. Das heißt Konvergenz in D. So, sei Phi k und Phi dazu irgendwie gegeben.
01:14:35
Irgendso eine Folge, für die gilt mit Phi k konvergiert in D gegen Phi.
01:14:45
So, jetzt muss ich beweisen, dass dann das gegen Null geht. Phi k minus T f von Phi. Das muss gegen Null gehen, das ist genau das, was da steht. So, ersetze ich das mal ein, die Definition.
01:15:02
Dann ist das gleich Integral Rn f von x Phi k von x minus Phi von x dx.
01:15:21
Ja, also ich habe direkt alles, genau wie bei Linearität, alles unter ein Integral gezogen. So, jetzt weiß ich, das konvergiert in D. Und jetzt sieht man, warum das das erste hier wichtig ist. Dann gibt es also, nach dieser Konvergenzbegriff in D, ein k, sodass die Träger von dem Phi k und von dem Phi alle in k liegen.
01:15:42
Das heißt, ich kann dieses Integral für jedes k, anstatt ein Integral über Rn zu nehmen, kann ich ein Integral über k nehmen. Weil, außerhalb von k, dieses Phi k ist auch das Phi Null. Das ist der erste Teil in diesem Konvergenzbegriff. So, wir haben noch einen ganz kleinen Schritt.
01:16:00
f von x Phi k von x minus Phi von x dx. So, und jetzt mache ich das, was ich schon so wahnsinnig oft gemacht habe. Ich schätze das ab durch das Integral über die Beträge. Dann kriege ich hier ein kleiner Gleich.
01:16:23
Dieser Integrant kann positiv negativ sein, da hebt sich eventuell was weg. Und das hier eben nicht mehr als positiv, dadurch wird das hier höchstens größer. So, und das jetzt, genau auch das, was ich schon wieder, was ich auch
01:16:42
in dem anderen Beweis eben so oft gemacht habe, ich ziehe hier das Supremum raus. So, dadurch wird das auch, der Term, höchstens kleiner. Wer das jetzt immer noch immer noch nicht so genau sieht, der muss sich das zu Hause noch mal genau überlegen.
01:17:06
Das ist kleiner unendlich, da f stetig ist auf dem gesamten Raum. Klar, f kann durchaus abhauen, wenn ich gegen unendlich gehe. Tue ich aber nicht, weil k ist kompakt beschränkt. Es geht nicht gegen unendlich.
01:17:21
So, also das ist irgendwie eine Konstante. Und das konvergiert gegen Null. Warum? Weil ich habe gleichmäßige Konvergenz für alle Ableitungen und natürlich auch für die Funktion selber, wenn ich den Multindex alpha gleich Null setze. Also da phi k in D gegen phi geht.
01:17:42
Die Ableitungen konvergieren gleichmäßig, ja, konvergieren die Funktionswerte selber, er ist recht gleichmäßig. Das heißt, das geht gegen Null für k gegen unendlich. Das hier, das Betrag ist größer Null, die Differenz geht gegen Null, damit habe ich genau diese gewünschte Konvergenz.
01:18:02
Da das eine beliebige Folge war, phi k, die in Bezug D gegen phi konvergiert, habe ich eben diese Stetigkeit gezeigt. Das heißt, so ein Integral könnte das sein. So, immer dieser Zeitdruck hier. So, jetzt will ich das Ding auch ableiten.
01:18:23
Jetzt will ich das Teil auch ableiten. Wo geht denn das? Egal, machen wir das mal. Da steht diese Ableitungsformel. Ableitung von tf.
01:18:46
Wie ist das jetzt definiert? Die alpha der Ableitung von tf angewendet auf irgendeine Funktion phi ist, minus eins hoch Betrag von alpha mal t angewendet auf die alpha der Ableitung von phi.
01:19:10
Und das ist nichts anderes als minus eins Betrag von alpha hoch Rn. Das ist jetzt t. Jetzt muss ich einfach eine Definition von t einsetzen.
01:19:21
F von x, aber t wird jetzt nicht angewendet auf phi, sondern auf diese Ableitung d alpha phi von x dx. Man sieht, ja, ja, es ist auch wieder eine Distribution. Hier eine Abbildung in R. Das ist linear. Dieses Produkt ist linear. Das Integral ist linear.
01:19:44
Das d alpha, die Ableitung ist auch was Lineares. Das ist auch wieder was Lineares. Und es genügt mit einer analogen Rechnung wie hier, nur dass ich hier d alpha habe, was aber auch geht, weil ich die Konverenz in der zeige, dass das wieder stetig ist. Also, das ist selber wieder eine Distribution.
01:20:02
Und warum macht das jetzt Sinn, das irgendwie Ableitung zu nennen, dieses Teil? Dafür überlegen wir uns mal Folgendes. Annahme. F sei jetzt alpha mal stetig differenzierbar.
01:20:25
So, also irgendwie, wenn jetzt das irgendwie da eine zweite Ableitung drinsteckt, da muss er auf C2 sein. Wenn das eine dritte Ableitung ist, aus C3 und so weiter. Dieses Betrag von dem Multindex, der gibt ja immer genau an, wie oft ich ableite.
01:20:43
So, und dann mache ich alpha malige. Wenn Ihnen das mit dem alpha nix ist, dann stellen Sie sich einfach immer vor, wer in erster Ableitung passt auch. Alpha malige partielle Integration. Die liefert dann so.
01:21:24
Wenn ich das alpha mal partiell integriere, das genau wie eben im Beweis, ich habe Ihnen gesagt, bei jeder Ableitung schifte ich eine Ableitung von einem Faktor auf den anderen. Sie haben hier alpha Ableitung. Wenn Sie das alpha mal partiell integrieren, schiften Sie die alle rüber. Nicht so ins Unreine gesprochen.
01:21:54
So, was passiert noch? Eigentlich bei Partiellintegration, Stichwort grinsche Formel, da entsteht immer Randtherme. Die entstehen hier aber nicht,
01:22:03
weil das Vieh nur kompakten Träger hat. Ich mache wieder hier genau den Trick wie eben, nicht integral über ganz Rn, wieder nur über den großen Ball, außerhalb dessen und auf dem Rand, von dem Vieh verschwindet und dann fallen auch die Randtherme immer weg. So, bei jeder Partiellintegration, gucken Sie sich das nochmal an,
01:22:20
auch in der ersten grinschen Formel, da entsteht immer ein Minus. Wieder ein Minus, wieder ein Minus, wieder ein Minus, wieder ein Minus. Und dadurch hebt sich das hier auf, mit dem Teil. Wer das jetzt nix ist, der dacht, einfach alles mal im Eindimensionalen, mit der ersten Ableitung mal nachrechnen.
01:22:40
So, daraus folgt, wie ist das jetzt? Wir sehen, was ist denn das? Ich schreibe das jetzt mal hin. d alpha tf ist sowas wie t d alpha f. Die Schreibweise wieder.
01:23:00
tf ist die Distribution, die ich als Integral bilde mit dem f hier. Und jetzt gucken wir uns mal die Ableitung, die wird genauso gebildet, auch wieder so ein Integral, aber nicht mit f, sondern mit der alpha Ableitung von f. Also wieder im Sinne der Schreibweise t, nicht mit f, sondern mit d alpha f. Und da sieht man, warum das irgendwo sinnvoll ist, hier sowas Ableitung zu nennen.
01:23:27
Wenn ich hier eine Distribution habe, die über so ein Integral gebildet wird, man nennt sowas auch reguläre Distribution. Dann wird die Ableitung davon gebildet, ist auch wieder eine reguläre Distribution,
01:23:42
die mit der alpha Ableitung von f gebildet wird. Ich kann damit, diese Ableitung von t, kann ich mit der Ableitung von f auf eine gewisse Weise identifizieren. Deshalb macht das irgendwie schon Sinn, das irgendwie Ableitung zu nennen.
01:24:01
Und diese Geschichte ist enorm wichtig. Oder auf Basis dieser Geschichte kann man dann schwache Ableitungen einführen. Das ist genau das Konzept, was hinter schwachen Ableitungen steckt. Wenn ich sowas machen kann, wenn ich eine Funktion f habe, wo ich hier partiell integrieren kann und irgendwann landen die Ableitungen hier, bei der sehr distributionellen Ableitung, dann heißt die Funktion f in gewissem Sinne schwach differenzierbar.
01:24:23
Es muss da nicht mehr stetig sein alles, das brauche ich nicht mehr. Nur noch, dass diese Integrale wohl definiert sind, dafür brauche ich weniger, egal. Aber das nennt man dann schwache Ableitung. Und dass der Hintergrund ist, ist diese distributionelle Ableitung.
01:24:42
Dann noch eine Sache eben. Hier ist die Portion ein bisschen Lachs aufgeschrieben, die sich als Integrale halten lassen.
01:25:08
Also irgendwie so wie dieses Ding, ein Sternchen da oben, die heißen regulär. Die nennt man regulär.
01:25:26
So, wenn man reguläre Distributionen hat, dann freut man sich immer. Denn wenn die nicht regulär sind, dann können da ganz schön komische Objekte rauskommen. Und das gucken wir uns jetzt an. Ein zweites Beispiel für Distributionen,
01:25:43
ist gegeben durch die Diraktsche Delta-Distribution. Und das ist keine Funktion, Diraktsche Delta-Distribution.
01:26:10
Dazu sei phi, was macht die jetzt mit so einer Funktion aus Rn? Distributionen sind immer Funktionen, die Abbildungen, die irgendwas mit Funktionen aus Rn machen und die in R abbilden.
01:26:22
So, dafür sei jetzt mal so ein Ding fest, aber beliebig. Beliebig und irgendein Punkt aus Rn fest, ist diese Diraktsche Delta-Distribution.
01:26:55
Die schreibt man jetzt nicht mehr als T, sondern eben als ein Delta x.
01:27:01
Auch wieder eine Abbildung von C0 und endlich Rn nach R. Die ist definiert durch, was ist das?
01:27:20
Delta x angewendet auf diese Funktion phi ist nichts anderes als phi von x. So, ja, gucken wir uns das an. Das ist eine Abbildung in R. Richtig, da kommt ein Wert raus. Beispiel delta 0, da kommt phi an der Stelle 0 raus. Wenn ich da jetzt zum Beispiel x² reinstecke, dann steht hier halt 0² ist 0.
01:27:41
Ja, also eine Abbildung in R im Raum der reellen Zahlen. So, Linearität und Stetigkeit von delta x, das gucken wir uns mal in der Übung an.
01:28:06
Aber ich glaube, ich mach das mal so als Alternativaufgabe. So, und jetzt kann ich auch da wieder die Ableitung definieren. Delta x von phi ist gleich.
01:28:24
Minus 1 hoch Betrag von alpha mal delta x von d alpha von phi. Was ist delta x? Der Wert von dem Input an der Stelle x, also minus 1 hoch Betrag von alpha,
01:28:45
die Ordnung der Ableitung, mal d alpha phi an der Stelle x, an der einen festen Stelle x, wo ich bin. Das Ding selber ist keine reguläre Distribution mehr.
01:29:00
Ich kann das nicht mehr als Integral schreiben. Ich kann das nicht mehr so als ein Integral schreiben. Und man sieht die Ableitung selber, da steht hier auch wieder nur so ein einzelner Wert, kann ich auch nicht mehr als Integral schreiben. Keine reguläre Distribution.
01:29:23
Ist nicht mehr regulär, was ziemlich undankbar ist. Okay, und was man jetzt mit diesem superallgemeinen Ableitungsbegriff machen kann. Für die Ingenieure ist diese delta-Funktion immer null und in x ist die unendlich. Das geht eigentlich nicht.
01:29:41
Aber gut, okay, und die sagen, der Integral darüber ist dann eben irgendwie, kommt dann halt dieser eine Wert raus. Mathematik müsste das irgendwie exakt machen, da nichts mit Integral, da wird das als Distribution definiert. Und in diesem superallgemeinen Kontext kann ich dieses Monster differenzieren, sogar beliebig oft.
01:30:05
Weil ich diesen Ableitungsbegriff so wahnsinnig, der habe ich halt mir so geschaffen. Ableitungsbegriff, habe ich mir so definiert, kann ich ja machen. Da kann man jetzt natürlich nicht sagen, ich nenne das halt nur Ableitung. Dass das Sinn machen könnte, das Ableitung zu nennen, sieht man hier.
01:30:21
Aber da ist jetzt natürlich, da steckt nicht so was hinter wie so eine Resplit-Abschätzung, Taylor-Reihenentwicklung und so was. Forget about that. Das geht nicht mehr. Das ist einfach erst mal nur so ein Konstrukt. So, und was, das mache ich jetzt nicht mehr. Was man jetzt, wofür ist das jetzt alles gut in unserem Kontext? Was soll ich jetzt damit? Das wollte ich jetzt eigentlich nicht hier noch hinschreiben.
01:30:43
Ich muss nur mal, ich mach das jetzt nicht mehr. Ich sag jetzt nur, worauf das am Ende hinausläuft. Ich meine, warum habe ich das jetzt alles definiert und Sie damit geschockt? Was ich am Ende des Tages zeige, ist, was hat das jetzt mit der Fundamentallösung zu tun und diese ganzen Sachen, die ich bisher gezeigt habe.
01:31:03
Was man am Ende zeigen kann, ist das Folgendes gilt. Also, der Laplace von Phi ist die Diraksche-Delta-Distribution in der Null. Das heißt, und das hier ist natürlich nicht der normale Laplace.
01:31:24
Das ist der distributionelle Laplace. Deswegen ist das auch ein bisschen brutal jetzt geschrieben. Das heißt, das ist dieser Laplace-Operator im Sinne der Ableitung von Distributionen.
01:31:41
Ich habe ja hier die Alpha der Ableitung mal so hingeschrieben. Jetzt kann ich mir natürlich damit auch einen Laplace-Operator definieren. Also hier Di, Di, Di, d1² von t plus d2² von t plus d3² von t und so weiter.
01:32:01
Und dann, das ist wirklich sehr lax aufgeschrieben. Und den wende ich jetzt an, diesen distributionellen Laplace, auf die reguläre Distribution, die durch Phi erzeugt wird. Also wenn ich jetzt hier statt f Phi hinschreibe. Und wenn ich das mache, dann sehe ich, diese zweite Ableitung ist das Dirak-Delta. Das ist genau das, was wir in der nächsten Woche sehen werden.
01:32:24
Da sieht man dann, dass das Ding schon irgendwo zweimal differenzierbar ist. Aber in einem ganz schwachen Sinne, nur im distributionellen Sinne. Und was da rauskommt, ist auch ein wüßes Objekt, nämlich die Dirak-Distribution. Das ist dann eine ganz einfache Formel, um sich zu merken, wie man... So sind die auch auf die Fundamentallösung gekommen seinerzeit.
01:32:42
Okay, das war es. Dazu nächste Woche mehr. Jetzt in der Übung... Noch ein Wort. In der Übung... Ja, Mann. Kommen wir auf fünf Minuten hier. Kommen jetzt was sehr Interessantes dran. Völlig unabhängig von der Vorlesung. Energiemethoden. Auch für Ingenieure interessant. Wir machen in der Übung heute, zeigen wir mal eine ganz andere Herangehensweise an Parzell-Differential-Gleichung.
01:33:07
Nämlich als Lösung von Parzell-Differential-Gleichung, als Minimierer von Energiefunktionalen. Und das macht Sinn. Auch die Physik, die in der Natur ist, wird alles, wird immer ein Energiminimum angestrebt.
01:33:22
Und wir zeigen zum Beispiel die Lösung von so einer Person oder einer Plastgleichung, auch wieder, die eine gewisse Energie minimiert. Und auch das hängt, wie diese distributionelle Ableitung schwebt. Darüber im Hinterkopf immer die schwache Theorie von Parzell-Differential-Gleichung. Aber ich habe mittlerweile das Gefühl, ich werde es in der Vorlesung nicht mehr schaffen.
01:33:41
So, jetzt gehe ich Ihnen nicht weiter auf den Nerv und wünsche Ihnen eine gute Woche.