So, dann mal allen ein herzliches Willkommen zur heutigen Vorlesung, die dank dem zugegebenermaßen etwas hektischen Schluss der letzten Vorlesung ganz frisch mit einem neuen Kapitel anfängt.

Ich hoffe, Sie haben auch alle die entsprechende Skriptverlängerung gefunden. Letzten Donnerstag habe ich es hochgeladen, sollte also da sein, dass so was da ist, was bis jetzt da ist, wird uns hoffentlich so bis Weihnachten reichen und nach Weihnachten gibt es dann den nächsten Happen. Was ich heute machen will, ist ein altes Versprechen einlösen,

nämlich die Reduktion der Ordnung von Differentialgleichungen. Wir haben jetzt die ganzen letzten Wochen uns über Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen unterhalten und haben dabei die ganze Zeit nur erste Ordnunggleichungen angeschaut, also Gleichungen der Formen, Ableitung von y ist f von ty. Das ist insbesondere, wenn man nicht aus der

Musik kommt, unbefriedigend, weil die normale Gleichung der Mechanik ist 2. Ordnung. Und ich hatte gesagt, darum müssen wir uns im Moment nicht kümmern, weil wir werden hinterher ein ganz allgemeines Konzept kennenlernen, wie man eine Gleichung in der Ordnung reduzieren kann auf ein System 1. Ordnung und das will ich Ihnen heute zeigen. Also ich will mich

beschäftigen in dem Abschnitt 6 mit expliziten Differentialgleichungen höherer Ordnung und das Ganze läuft auch unter dem Schlagwort Reduktion der Ordnung, weil die Aufgabe dieses Kapitels ist, solche Gleichungen höherer Ordnung zu reduzieren auf Gleichungen 1. Ordnung. Und

was dabei passiert ist, dass uns das Gesetz vom Erhalt der Komplexität erwischt. Wir vereinfachen die Sache insofern, als wir die Ordnung reduzieren, irgendwo müssen wir dafür bezahlen und was wir dafür bezahlen müssen, wir kriegen eben ein System, wir kriegen mehr

Man kann also eine Gleichung N. der Ordnung eintauschen gegen N. Gleichung in 1. Ordnung, was aber in dem Fall sehr hilfreich ist, weil eben die Lösungstheorie-Vergleichung in 1. Ordnung sehr schön und übersichtlich ist. Also das Ziel dieses ganzen Abschnitts ist eine Reduktion einer DGL N. der Ordnung auf ein System 1. Ordnung. Wenn N schon

1 ist, ist es natürlich nichts zu tun, aber N wird jetzt im Folgen also immer mindestens

2 sein. So, was schauen wir uns also an? Wir schauen uns an eine explizite DGL N. der Ordnung. Ich schreibe nochmal die allgemeine Form hin. Wir haben jetzt so lange nur mit ersten Ordnungsgleichungen gearbeitet, dass vielleicht die allgemeine Form etwas von solchen N. den Ordnungsgleichungen etwas in Vergessenheit geraten ist. Explicit

bedeutet, wir können die Gleichung so umstellen, dass links die höchste Ordnung der Ableitung steht. Die N der Ableitung von y ist gleich irgendeine Funktion von allen restlichen Ableitungen und von t, die hieß im Einführungskapitel F-Schlange, also irgendeine Funktion F-Schlange, die von t abhängt von y, von y' von y' bis

zur N-1. Ableitung von y. Das ist die Differentialgleichung, die wir uns anschauen, wobei das F-Schlange jetzt eine Funktion ist, die auf D definiert ist nach Rd und

das D ist eine Teilmenge. Jetzt müssen wir gucken, auf was für eine Riesenmenge ist das F-Schlange definiert. Zunächst mal die Variable t ist aus i und dann hat sie noch 1, 2, 3, 4 N mal ein Argument der Form y von t. Ich will auch hier vielleicht

den allgemeinen Fall behandeln, das heißt meine Funktion y, die gesuchte Funktion selbst darf ein Vektor sein. Also das F-Schlange geht nach Rd, das darf durchaus eine vektorielle Gleichung sein, also das darf sogar ein System Enterordnung sein. Kann man ja auch machen. Wenn ich jetzt hier ein System Enterordnung habe, dann ist jede

dieser Einträge hier das y, y' selbst wieder ein Vektor im Rd. Wir haben ja also N Vektoren im Rd, also haben wir den Rd hoch N. Also wir haben eine Gleichung Enterordnung, N der Ableitung ist irgendeine Funktion von den Dingern und diese Funktion ist

definiert auf einer Teilmenge von i Kreuz Rd hoch N. So, das ist die Gleichung. Üblicherweise schaut man sich Anfangswertprobleme an, also wenn man Anfangswertprobleme haben will, braucht man zusätzlich Anfangswerte. Da hatten wir ganz im Einfühenden Motivationskapitel

gesehen, Faustregelschein zu sein. Für jede Ableitungsordnung, die ich habe, brauche ich einen Anfangswert. Das ist eine gute Faustregel. Machen Sie sich immer darüber klar an der einfachstmöglichen Differentialgleichung, nämlich der Frage, ich suche eine Stammfunktion.

Also die einfachstmögliche Differentialgleichung ist N der Ableitung von y ist 5. Das lässt sich einfach durch Hochintegrieren lösen, aber jedes Mal, wenn Sie hoch integrieren, kassieren Sie eine Integrationskonstante, die Sie, wenn Sie eine eindeutige Lösung haben wollen, mit Anfangswert kompensieren müssen. Das heißt, wir brauchen, wenn wir ein Anfangswertproblem zu

der Gleichung hier haben, weil N Ableitungen vorkommen, N Bedingungen, N Anfangswerte und in den Anfangswertproblemen, die wir hier üblicherweise behandeln im Moment, im sogenannten, nennt man auch ein Cauchy-Problem, Anfangswertproblem, realisiert man die dadurch,

dass man an einem Zeitpunkt t0 alle Ableitungen angibt bis zur Ordnung n-1, also j Ableitung von y in t0 ist y, j und j geht von 0, 1 bis n-1. Also eine Anfangsbedingung fürs y selbst,

eine fürs y-Strich, eine fürs y-Zweistrich und so weiter bis zur n-1 Ableitung. Und diesen Vektoren y, j fordern wir nur, dass der Vektor t, y0, y1 bis yn-1, der muss natürlich

in unserem Definitionsbereich vom F-Schlange liegen, also in D. Sonst kann das F-Schlange damit nichts anfangen. So, das ist also das Problem, was wir jetzt anschauen wollen und bisher haben wir das immer angeschaut für n gleich 1. Und wenn Sie sich, wenn Sie jetzt

im Skript zurückblättern, werden Sie feststellen, dass die Aufgabe dieses Problems zu lösen noch absolut nicht sinnvoll ist, weil ich Ihnen bisher noch überhaupt nicht definiert habe, was eine Lösung ist für ein System höherer Ordnung, also für eine Gleichung höherer Ordnung. Wenn Sie den Lösungsbegriff nachschlagen, stellen Sie fest, der steht

im Skript nur für Gleichung erster Ordnung drin. Also müssen wir hier noch nachbessern und erstmal definieren, was heißt überhaupt eine Funktion ist Lösung von so einer Gleichung erster Ordnung. Im Prinzip sieht die Definition so aus, wie gleich bei erster Ordnung auch. Es gibt die gleichen Fallstrecke. Wir können nicht erwarten, dass die Lösung

immer global ist. Wir müssen also wieder uns damit zufrieden sein, wenn wir ein kleines Teilintervall j finden, auf dem wir lösen können. Also eine Funktion u von j nach d, nennen wir Lösung von dieser Gleichung Stern hier, ich nenne die mal Stern, also

von unserer Differenziell Gleichung in N der Ordnung, falls verschiedene Dinge gelten. Erstens muss das j, das ist genau wie bei erster Ordnung, ein Teilintervall

von i sein. Es ist auch hier natürlich, das Ganze ist eine Erweiterung der Definition in erster Ordnung. Also wenn wir schon dort keine globalen Lösungen kriegen, die

auch hier nicht kriegen, dann müssen wir dafür sorgen, dass unsere u überhaupt in die Gleichung einsetzbar ist. Das ist ja auch das gleiche Thema wie damals. Das eine muss unsere u ausreichend oft differenzierbar sein und zum anderen muss unsere u so sein,

dass man für jedes t aus j diesen Riesenvektor da in eine F-Schlange einsetzen darf. Also erstens brauchen wir, dass das u endmal stetig differenzierbar ist auf j mit Werten in Rd und zweitens muss für jedes t in j dieser Riesenvektor t u von t, u Strich von t und so weiter, u2 Strich von t bis n minus erste Ableitung von u

an der Stelle t, der muss in d liegen und das muss gehen für alle t in j. Na und schließlich, jetzt haben wir sichergestellt, dass unsere Lösung u überhaupt in die

Gleichung eingesetzt werden kann und jetzt muss sie gefälligst die Gleichung natürlich auch noch lösen. Also u erfüllt die Gleichung. Das ist der Lösungsbegriff der Gleichung. Jetzt haben wir auf dem Servicefall ein Anfangswertproblem.

Was brauchen wir noch zusätzlich, damit das Anfangswertproblem gelöst wird? Zunächst mal kann das Anfangswertproblem nur gelöst werden, wenn das t0 in dem j liegt. Also erstens muss das t0 in j liegen und zweitens u erfüllt die Anfangsbedingungen da drüben.

Die nenne ich mal zwei Stern. Dann heißt u Lösung des Anfangswertproblems, das gegeben ist durch Stern und zwei Stern.

Bis dahin keine große Überraschung. Es ist im Prinzip die gleiche Definition wie bei Erste Ordnung auch. Es muss ein Intervall geben, in dem der Anfangszeitpunkt drin liegt. Das u muss ausreichend oft differenzierbar sein.

Es muss im Definitionsbereich von f Schlange bleiben und es muss lösen. Auch der letzte Teil könnte man per Copy und Paste aus Kapitel 2 rüberziehen. Wenn man tatsächlich erreichen kann, dass j gleich i ist, dann nennt man die Lösung global.

Also ist diese Lücke gestopft. Wir haben jetzt auch einen Lösbarkeitsbegriff für solche Gleichungen. Ich kann Ihnen also jetzt zeigen, was die Idee ist, wie man so eine Gleichung Enter Ordnung runterkocht auf ein System Erste Ordnung.

Die Idee ist erstaunlich simpel, aber trägt erstaunlich weit. Gerade dadurch, dass sie so simpel ist, ist sie eben auch sehr, sehr viel anwendbar. Sie schauen sich eine neue Funktion v an, die auch auf j oder i definiert ist.

Und jetzt nicht mehr in den Rd geht. Das y geht in den Rd, sondern jetzt kommt das, was wir zahlen müssen. Das v geht in den Rd hoch n. Das ist der Preis, den wir für die Reduktion zahlen müssen. Wir kriegen mehr Gleichungen.

Und diese Funktion v besteht aus y und allen seinen ersten Ableitungen, also den ersten n-1 Ableitungen. Also v ist was? V ist ein Vektor. Ein Vektor von Vektoren. D mal n Einträge. Ich schreibe extra nicht R hoch D mal n, sondern R hoch D mal n.

Im Sinne der linearen Algebra ist das natürlich das Gleiche. Aber es ist eben gut, sich diesen Vektor vorzustellen als n aufeinander gestapelte Rd Vektoren. Und in die ersten D Variablen schreiben Sie das y rein. In die nächsten D Variablen schreiben Sie das y-Strich rein.

Dann das y-2-Strich und so weiter bis zur n-1 Ableitung von y. Das ist die Funktion v. Also wir stellen y mit seinen Ableitungen bis zur n-1 übereinander ein Vektor.

Und die Komponenten, diese Einteilung in n und der Vektor an der Länge d, das will ich die Komponenten von v nennen.

Am besten ist es, wenn man es jetzt erstmal verstehen will, was passiert, machen Sie im Kopf d gleich 1. Dann kriegen Sie genau mit, was passiert. Kümmern Sie sich im Moment nicht um das d. Das macht die Sache nur komplizierter, weil die Vektoren so lang werden. Im Kopf immer d gleich 1.

Die Essenz von dem, was passiert, kriegen Sie dann mitten. Das andere ist nur notationell komplizierter, aber nicht konzeptionell. Also Sie nehmen y-Strich, y-2-Strich bis zur n-1 Ableitung, packen die alle in einen Vektor.

Und was wir jetzt machen ist, wir schauen, jetzt haben wir eine neue Funktion v. Was für eine Differenzialgleichung erfüllt die? Also leiten wir das v mal ab. Wir können das v ableiten, weil zumindest wenn das y eine Lösung sein soll von unserem System, muss das y n-mal stetig differenzierbar sein.

Hier steht nur die höchstens n-1 Ableitung drin, also einmal haben wir noch frei. Also können wir mal v-Strich ableiten, also v ableiten gegen v-Strich. Das Ding leitet sich ab, indem man einfach komponentenweise ableitet. Das heißt, was da dann steht, ist in der ersten Komponente y-Strich, in der zweiten

y-2-Strich und so weiter bis y n, also bis zur enden Ableitung von y. So, wenn wir sehen wollen, was für eine Differenzialgleichung v löst, dann müssen wir all das wieder mit v ausdrücken. Wir brauchen jetzt eine Gleichung, in der nur noch v auftaucht und keine y mehr.

Das ist aber nicht so kompliziert, weil was ist y-Strich? y-Strich ist die zweite Komponente von dem v, das ist v2. y-2-Strich ist die dritte Komponente von dem v, das ist v3.

y-3-Strich ist v4 und so weiter und so weiter. Dann kommen Sie irgendwann hier zur n-1-Ableitung an der vorletzten Stelle, das ist vn. Und jetzt kommt die Stunde der Wahrheit, hier steht die ende Ableitung von y. Die steht hier jetzt nicht mehr, die ist keine Komponente von v, hierbei kommen wir also nicht so einfach durch.

Aber wir wissen, die ende Ableitung von y, das Ding soll ja lösen, lässt sich durch diesen Term hier ersetzen. Also die ende Ableitung von y ist f-Schlange von t und y-Strich und so weiter.

Man beachte, das ist v1, v2, v3, v4 bis vn. Also steht hier einfach f-Schlange von t und v von t. So, was steht jetzt hier? Das y ist verschwunden, denken Sie sich den weg.

Jetzt steht eine Gleichung da, v-Strich ist v2, v3 bis vn und f-Schlange von t, v von t. Das ist eine Gleichung erster Ordnung für v, eine Differenzärgleichung erster Ordnung für v, mit vielen Gleichungen. Das ist jetzt eben ein System geworden, das v ist ein Vektor, selbst wenn d gleich 1 ist, ist das v ein Vektor der Länge n.

Wenn d 5 ist, dann haben Sie hier einen Vektor der Länge 5n. Aber es ist ein System erster Ordnung. Und das hier ist die rechte Seite dieses Systems erster Ordnung. Und in das Zusammenpass mit dem, was wir bisher gemacht haben, nenne ich das Ding jetzt hier f von t, v von t.

f von t, v von t ist die Funktion, die das v schickt auf diesen Vektor. So, und das f ist jetzt wo definiert?

Das f ist definiert auf dem gleichen d wie das f-Schlange. Das f braucht die gleiche Anzahl Variablen in dem Fausen, der die ganzen y und y-Strichs da versteckt. Also ist auch auf d definiert und geht jetzt aber nicht mehr nach rd, sondern geht nach rd hoch n.

Was passiert mit den Anfangswerten bei der Aktion? Auch die übersetzen sich in Anfangswerte für v. Was ist v von t0?

Nehmen Sie die Definition von v her ist y von t0. Das ist nicht die Definition. Hier steht sie, y von t0, y-Strich von t0 und so weiter. y2-Strich von t0 bis yn-erste Ableitung von t0.

Und wie durch Magie fügt sich alles, weil genau dieser Vektor ist hier festgeschrieben. Für jedes j von 0 bis n-1 haben wir den Wert von der Ableitung von y an der Stelle t0 mit yj festgeschrieben. Was hier also steht, ist der Vektor y0, y1, y2 bis yn-1.

So, und was jetzt hier auf der rechten Tafel steht, ist ein System, ein Anfangswertproblem für ein System erster Ordnung, genauso wie wir es die ganzen letzten Wochen behandelt haben. Hier oben die Gleichung, da unten die Anfangswerte, von denen

wir jetzt die Hoffnung haben, es korrespondiert zu diesem Anfangswertproblem Enderordnung. Heißt hier Stern, Stern, Stern, also geben wir dem auch noch irgendwelche Namen. Ich nenne die Gleichung Dreieck und dann analog zu oben die Anfangswerte Zwei-Dreiecke.

Bisher haben wir so ein bisschen vor uns hingerechnet, die Hoffnung ist jetzt, die beiden Probleme sind in irgendeiner Weise im besten Fall äquivalent zueinander. Und genau das kommt raus, es kommt raus, dass wann immer Sie eine Lösung V von dem Problem hier haben,

wenn Sie sich die erste Komponente von dem V hernehmen, dann löst diese erste Komponente das Problem. Und wann immer Sie eine Lösung von dem Problem haben und Sie bilden diesen Vektor V mit dieser Lösung, dann löst das V das Problem. Die sind absolut 100% äquivalent.

Und das will ich jetzt zeigen, das ist der, sagen wir mal, das ist der einzige Satz in diesem Abschnitt. Weil damit sind alle Fragen, also der einzige Satz bei dem wir hier was tun müssen, denn damit sind alle Fragen geklärt. Wenn die beiden Probleme wirklich so äquivalent sind, dann heißt das, um das zu lösen kann ich das lösen oder umgekehrt.

Und da wir das da oben, für das da oben alle Lösungstheorie haben, die wir haben können oder wollen, kann man die dann alles hierüber übertragen. Also vielleicht ein bisschen sloppy hingeschrieben, aber mit dem, was ich gerade gesagt habe, hoffentlich verständlich,

eine Funktion y von i nach rd ist eine Lösung von unserem Anfangswertproblem n der Ordnung, das ganz da drüben steht. Genau dann, wenn das V, das wir gerade definiert haben, also das V, das geht jetzt von i nach rd hoch n,

eine Lösung ist von dem System erster Ordnung, Dreieck, Doppeldreieck. Wobei die beiden Funktionen eben so zusammenhängen, also das V ist der Vektor der y mit seinen Ableitungen.

An der Stelle schon gleich ein Kommentar zum praktischen Umsetzung. Wenn man so eine gleiche Enderordnung hat und will sie auf diese Weise lösen, dann macht man eben diesen Ansatz. Man bestimmt diese Funktion V und rechnet diese Lösung V aus.

Und dann am Ende, wenn man die Lösung V hat, was macht man dann? Was man wissen will, ist das y. Dann nimmt man sich die erste Komponente von dem V und das ist die Lösung. Alles, was da unten drunter steht, interessiert nicht wirklich, weil alles, was da unten drunter steht,

sind E-Ableitungen von dem Y, wenn man sie nicht verrechnet hat. Also erstens guter Check, wenn Sie das auf diese Weise was lösen und Sie kriegen so einen Vektor raus und dann muss immer das die Ableitung von dem sein, das die Ableitung von dem, das die Ableitung von dem und so weiter. Wenn das nicht der Fall ist, dann lohnt sich ein Blick zurück.

Erste wesentliche Erkenntnis, zweite wesentliche Erkenntnis, das da unten ist nicht wirklich interessant. Also, wenn Sie rechnen und aus irgendeinem Grund brauchen Sie, haben Sie das V1 schon und hier unten ist noch nicht alles fertig, dann können Sie ruhig aufhören, weil das Einzige, was interessiert ist, ist das V1. Aber üblicherweise, wenn Sie sehen, kommt man gar nicht zum Rum, alle auszurechnen,

weil irgendwie die gesamte Information der Gleichung, wenn Sie sich da oben die Gleichung anschauen, dann steckt die entscheidende Information, also das F-Schlange in der letzten Komponente hier. Also erst wenn Sie das Vn haben, also Sie müssen sozusagen, wenn Sie oben das Y ausrechnen wollen,

sich einmal ganz durch den Vektor durcharbeiten und wieder rauf, also üblicherweise kommt man nicht zum Rums ganz auszurechnen. Aber grundsätzlich gilt von der Lösung des Systems erster Ordnung interessiert eigentlich nur die erste Komponente.

So, das ein Kommentar dazu, jetzt können wir diesen Satz beweisen und das ist erstaunlich unkompliziert, einfach weil die Idee der Substitution oder dieser Transformation auf dem System erster Ordnung so schön einfach ist, zieht sich das alles schnell durch. Wir müssen einfach jeweils den Lösungsbegriff nachweisen.

Es gibt eine einfache und ein bisschen schwierige Richtung, fangen wir mit der einfachen an. Also wir zeigen, wenn Y eine Lösung der gleichen Enderordnung ist, dann ist das subdefinierte V eine Lösung des Systems erster Ordnung. Das heißt, wir müssen nachweisen, dass die Definition für Lösung von dem System erster Ordnung erfüllt ist.

Also wir wissen erst mal nach Voraussetzung, das Doppelstern ist lösbar, also sei Y eine Lösung von diesem Anfangswertproblem erster Ordnung.

Dann wissen wir nach Definition von Lösung, dass das Y auf dem I n-mal stetig differenzierbar ist.

Wenn ich also diesen Vektor V bilde, den wir die ganze Zeit anschauen, also Y, Y' Y2' bis zur n- ersten Ableitung, dann ist das Argument von vorhin, ist der in jeder Komponente noch einmal differenzierbar, also hier kann ich noch einmal differenzieren, der ist immer noch C1 von I mit Werten in Rd hoch n.

Das ist die erste wichtige Voraussetzung, dass V eine Lösung von unserem System sein kann, die muss stetig differenzierbar sein. Dann müssen wir erklären, dass für jede Wahl für T in I der Vektor T V von T im Definitionsbereich von F liegt.

Also wann immer wir uns ein T aus I hernehmen, müssen wir uns anschauen,

was ist mit dem Vektor T V von T, der muss hier im Definitionsbereich von F liegen, sonst ist das V keine Lösung. Aber V von T ist T, Y von T, Y' von T und so weiter bis zur n- ersten Ableitung von Y an der Stelle T. Und von dem wissen wir, dass es in D liegt, weil unser Y löst.

Und Lösung dieses System, dieser Gleichung in der Ordnung zu sein, bedeutet unter anderem, dass dieser Vektor immer in D liegt. Die Frage ist berechtigt.

Ich habe den ganzen Satz mit I aufgeschrieben, ihr könnt es ja auch mit J aufschreiben. Also ich fordere, ich mache hier ja nur eine Äquivalenz von Aussagen. Ich mache nur, wenn das Ding auf I lösbar ist, ist auch das auf I lösbar und wenn das auf I lösbar ist, ist das lösbar. Wenn ihr System auf I gegeben ist und es hat keine globale Lösung, dann schränken Sie ihr I ein und wenden den Satz auf dem kleineren I an.

Das ist hier nun wirklich eine Frage um Buchstaben. Also Sie können das auch alles mit J hinschreiben. Dieser Satz ist ja keine Aussage, dass dieses System oder dass die Gleichung immer lösbar ist. Der macht keine Lösbarkeitsaussage, der macht nur eine relative Lösbarkeitsaussage. Wenn das eine lösbar ist, dann auch das andere umgekehrt.

Und zwar auf dem gleichen Intervall, das ist das Wichtige. Wenn Sie in einer Lösung auf einem Intervall können, können Sie auf dem gleichen Intervall den anderen lösen. Wie groß das Intervall ist, keine Ahnung. Das Wichtige an dem Satz ist, bei diesem Übergang, bei dieser Aktion hier geht nichts verloren.

Weder in die eine noch in die andere Richtung. Wenn man das eine auf dem Intervall lösen kann, kriegt man auf genau dem gleichen Intervall die Lösung fürs andere umgekehrt. Das ist das Entscheidende an dem Satz. So, was fehlt jetzt noch, damit V eine Lösung ist? Es fehlt nur noch, dass V auch die Gleichung löst.

Aber das haben wir im Prinzip oben nachgerechnet. Was ist V' von T? So sind wir draufgekommen. Wir haben hier gerechnet, wenn Y die Gleichung löst und wir V so setzen, da im Rechnung da oben ist V' gleich F. Genauso hatten wir das F definiert, dass das passt.

Also das gilt für alle T in I. Und die Anfangsbedingung stimmt auch, hatten wir auch da oben nachgerechnet. V von T0 ist der Vektor y0, y1 bis yn-1.

Also löst das V unser System erster Ordnung, Dreieck, Doppel, Dreieck. Das ist in einem gewissen Sinne die einfache Richtung des Beweises. Erstens, weil wir ja so rum schon gerechnet haben gerade. Das kann ich auf die Rechnung verweisen. Aber es gibt auch noch einen zentraleren Punkt, warum das die einfache Richtung ist.

Also sozusagen einen echten mathematischen Grund. Und der ist die Differenzierbarkeit. Wenn wir jetzt umgekehrt anfangen, also von rechts nach links,

dann gehen wir davon aus, dass wir eine Lösung V haben von unserem Dreiecksystem, also von dem System erster Ordnung. Und wollen jetzt zeigen, die erste Komponente von dieser Funktion ist dann eine Lösung von unserem Stern Doppelstern.

Und, also machen wir mal, was uns interessiert ist die Funktion y, die gegeben ist durch V1. Wie gesagt, V5 ist völlig uninteressant, wir brauchen nur V1. Und die Behauptung ist jetzt, y ist eine Lösung von Stern Doppelstern.

Und was jetzt das bisschen komplizierte an der Richtung ist, ist, ich weiß von dem V, dass es einmal stetig differenzierbar ist, weil es ist eine Lösung von der Gleichung erster Ordnung. Ich brauche aber, dass das y n-mal stetig differenzierbar ist. Weil y soll eine Lösung von der Gleichung n der Ordnung sein, also muss es n-mal stetig differenzierbar sein.

Ich muss jetzt also irgendwie aus dieser einmal stetigen Differenzierbarkeit von dem V eine n-mal stetige Differenzierbarkeit von dem y rauskitzeln. Das ist hier das Einzige, was ein bisschen Überlegung erfordert. Also machen wir das ganz schrittweise und vorsichtig an. Wir wissen, unser V ist stetig differenzierbar.

Damit ist zumindest mal, wir wollen n-mal, aber sind wir mal am Anfang bescheiden, unser y, was ja V1 ist, einmal stetig differenzierbar auf i mit Werten in Rd. Und wir können auch die Ableitung ausrechnen.

Was ist y? Na ja, y ist V1, definiert ist V1' von T. Jetzt müssen wir darüber gehen. Unser V löst ja das Dreiecksystem. Was ist die Ableitung von V1?

Die Ableitung von V1 ist die erste Zeile von V'. Ist V2. Passt ja auch. Siehe die Setzung hier. Das Ganze war ja so gebaut, dass der zweite Eintrag in dem V genau die Ableitung von y ist.

Aber jetzt kommen wir eben rückwärts und stellen fest, wir können hier an der Stelle zurückrechnen. Oder hier vielleicht noch als einen Zwischenschritt bewissen. V1 löst diese Gleichung. Blödsinn.

V1 löst diese Gleichung. Also V' ist F von T, V von T. Also ist V1' die erste Komponente von F von T, V von T. Und die erste Komponente von F von T, V von T, siehe da oben, ist V2 von T.

So, und jetzt sieht man schon, wo wir unsere Differenzierbarkeit herkriegen. y war einmal stetig differenzierbar und die Ableitung ist V2. V2 ist eine Komponente von V, also nochmal differenzierbar. Y ist schon zweimal differenzierbar. Also V ist hier immer noch stetig differenzierbar.

Also ist auch y' differenzierbar. Also y', was hier nichts anderes als V2 ist, ist immer noch stetig differenzierbar auf I mit Werten in Rd.

Das heißt, wenn die Ableitung stetig differenzierbar ist, dann ist die Funktion selber zweimal stetig differenzierbar. Und wir können jetzt die zweite Ableitung ausrechnen. Die zweite Ableitung von y' ist die Ableitung von V2.

Die Ableitung von V2 ist, weil V unsere Gleichung löst, die zweite Komponente von der rechten Seite, F von T, V von T. Und das ist V3. Und jetzt sehen Sie, das geht weiter. V3 ist wieder stetig differenzierbar, also ist das y' dreimal stetig differenzierbar und so weiter und so weiter.

Wenn wir das bis zur vorletzten Zeile durchziehen, dann kriegen wir gleiches Argument. V ist immer noch in C1. Wenn wir dieses Argument n-1 mal machen, dann kriegen wir die n-erste Ableitung ist genau Vn.

V ist stetig differenzierbar, also ist die n-erste Ableitung auch immer noch einmal stetig differenzierbar. Wenn die n-erste Ableitung noch einmal stetig differenzierbar ist, dann ist y' n-mal stetig differenzierbar.

Jetzt sind wir da, wo wir hinwollen. Jetzt ist y ausreichend glatt. Und wir können jetzt auch die n-te Ableitung von y ausrechnen. Die n-te Ableitung von y ist gleiches Argument, wie gerade eben die Ableitung von Vn.

Die n-erste Ableitung von y ist Vn, also ist die n-te Ableitung von y Vn'. Vn' ist aber, weil V ja unsere Gleichung löst, die n-te Komponente von F und T, V von T.

Und die n-te Komponente von F und T, V von T ist genauso was gemacht. F-Schlange von T und V von T. Jetzt setzen Sie wieder ein, was V von T ist.

Ist F-Schlange von T, y von T, y' von T bis y' n-1 von T. Jetzt muss man so ein bisschen schräg vergleichen. Das ist Stern. y' n-te Ableitung von y ist F-Schlange von dem ganzen Kletterer Dutch.

Das heißt, dass y erfüllt Stern. So, was müssen wir denn noch machen? Schauen wir nochmal die Definition 6.1. Wir brauchen, dass das y cn ist.

Haben wir. Es erfüllt die Gleichung. Was noch fehlt, ist diese Aussage, dass das y von T bis y' n-erste Ableitung von T in D liegt. Das kriegen wir wieder aber direkt aus der entsprechenden Eigenschaft vom V. Also sammeln wir noch die Reste ein, damit alle Bedingungen der Definition für Lösung erfüllt sind.

Die Hauptrechnung ist getan. Alles andere fällt einem in den Schoß. Also zunächst mal gilt für alle T in I. Das ist jetzt die Bedingung hier. T y von T, y' von T bis y n-1 von T.

Dieser Vektor ist ja der gleiche Vektor wie T v von T. Das V von T ist eine Lösung von dem Problem hier oben. Und ein Teil des Lösungsbegriffs von Gleichungen erster Ordnung war, dass dieser Vektor

T v von T für jedes T im Definitionsbereich von F liegen muss. Also in D. Damit ist das geklärt. Und schlussendlich müssen wir noch schauen, dass auch die Anfangswerte sich richtig übertragen. Aber auch das ist kein Problem. Nehmen Sie irgendein J zwischen 0 und n-1.

Wir müssen ja diese Gleichung 2 Sternen nachprüfen. Und rechnen Sie nach, was die J-1... Quatsch, die J-Ableitung von y an der Stelle T0 ist. Wenn man sich jetzt anschaut, die ganze Rechnung hier, dann ist die J-Ableitung von y immer genau gegeben durch das Vj plus 1.

Also das ist Vj plus 1 von T0. Und Vj plus 1 von T0. V3 ist y2, V2 ist y'.

Also Vj plus 1 ist genau y. Moment, das war die Gleichheit. Müssen wir hier schauen, welchen Anfangswert erfüllt das V. V1 von T0 ist y0, V2 von T0 ist y1. Also das ist Vj plus 1 von T0, genau y0.

Zusammen löst also y unsere Gleichung in der Ordnung.

Und die beiden Probleme sind wirklich eins zu eins äquivalent zueinander. Und das ist jetzt aus zwei Aspekten erfreulich. Der erste Aspekt ist, dass die Methode eine wirklich konkrete Rechenhilfe gibt.

Also die ist durchaus anwendbar bei ganz konkreten Gleichungen. Wenn Sie ein System haben, das so einfach ist, dass man das rechnen kann, also eine Gleichung Enten-Grades, die so einfach ist, dass man sie rechnen kann, ist das tatsächlich der Weg, wie man vorgeht, oder ein möglicher Weg. Sie reduzieren auf die Weise auf System erster Ordnung, lösen das System erster Ordnung,

schnappen sich die erste Komponente und sind fertig. Es ist aber auch aus theoretischer Sicht ein tolles Resultat, weil wir sehr genaue Kriterien für die Lösbarkeit von dem Problem hier haben. Und die können wir uns jetzt übersetzen in Lösbarkeitskriterien hiervon. Ich will das so ein bisschen exemplarisch machen. Ich schreibe Ihnen den Peano hin und den globalen Pikalindelöf.

Der lokale Pikalindelöf lässt sich genauso übertragen. Kann man sich hier vorstellen, eben der Satz sagt, die beiden Probleme sind dieselbe. Jede Lösbarkeitsaussage hier drüber gibt eine Datum. Also schauen wir uns mal an, wie sieht der Peano einfach exemplarisch, wie sieht der Peano aus für Gleichungen höherer Ordnung oder Systeme höherer Ordnung.

Zunächst mal wieder unser Standard-Setting. Wir haben ein Intervall i in R.

Wir haben den Definitionsbereich von D. Also das ist jetzt genau das, was da oben steht. In i Kreuz rd hoch n. Der muss wieder offen sein. Ich glaube, dieses Offen habe ich bei der ersten Redaktion des Skripts verschluckt. Ich habe es mittlerweile auf die Erata-Liste gesetzt und in der nächsten Version ist es auch drin.

Wer es jetzt schon handschriftlich einfügen will, das muss dahin. Sonst klappt der Rest nicht. Dann brauchen wir einen Anfangswert, der zulässig ist. Also der Vektor t, y, t0, y0, y1 bis y n-1. Der muss in D liegen. Und schlussendlich die wesentliche Voraussetzung vom Peano.

Die rechte Seite muss stetig sein. Also die Funktion f Schlange definiert auf D nach rd. Die muss stetig sein. Und dann sagt der Peano, genau wie bisher, dann hat das Anfangswertproblem jetzt n der Ordnung,

das da oben links steht. Also unser Doppelstern Anfangswertproblem eine Lösung. Sieht also genauso aus wie Vergleichung in erster Ordnung. Wenn die rechte Seite stetig ist, dann hat das Anfangswertproblem für egal welchen zulässigen Anfangswert eine Lösung.

Wobei eine Lösung haben eben heißt unter Umständen noch einen sehr kleinen Intervall, aber es geht immer. Und der Beweis ist jetzt ein Zweizeiler. Das ist das Schöne, wir haben vor drei Wochen gut vorgearbeitet.

Der Beweis vom Peano war kein Zweizeiler, aber jetzt können wir ihn einfach übertragen, weil wir unseren Äquivalenzsatz haben da drüben. Wir wissen, dass f Schlange stetig ist. Dann schauen wir uns an, was ist mit dem kleinen f. Das kleinen f von da oben.

Das kleinen f, hier sind den ersten n Komponenten eine sehr einfache Funktion. Das ist einfach die Funktion, die die erste Komponente in die zweite schiebt, die zweite in die dritte, die dritte in die vierte und so weiter. Nee, umgekehrt, die zweite in die erste, die dritte in die zweite, die vierte in die dritte. Das ist alles wunderbar stetig. Und in den letzten Komponenten steht f Schlange.

f Schlange ist auch stetig, also ist auch das f stetig. Diese Bildung von dem kleinen f ist genauso gut wie die Bildung von dem großen f Schlange, weil in den ersten n-1 Komponenten nicht viel passiert. Das ist eine z-und-endlich Bildung, je nachdem wie gut das f Schlange unten ist.

Das f ist also genauso gut wie das f Schlange. So, also haben wir, dass unser System Dreieck-Doppel-Dreieck eine Gleichung erster Ordnung in der stetigen rechten Seite ist. Darauf können wir jetzt Peano anwenden in der Form 4-6 von Satz 4 Theorien 4-6.

Der liefert dieses System Dreieck-Doppel-Dreieck hat eine Lösung im Sinne unserer Lösungsdefinition. Na gut, und jetzt werfen wir 6-2 drauf.

Und der sagt uns, wenn das eine lösbar ist, ist das andere lösbar, also hat auch Stern-Doppel-Sterne-Lösung. Es ist wirklich nur sich überlegen, dass die Güte von f Schlange sich auf die Güte von f überträgt, dann den entsprechenden Satz für erster Ordnung anwenden und dann kriegt man Lösbarkeit für die Gleichung enter Ordnung.

Damit es irgendwo steht, schreibe ich Ihnen auch noch den globalen Pica Lindelöf hin als 6-4.

Also Pica Lindelöf, globale Version. Und da sehen Sie, das Verfahren ist genau wieder das gleiche. Also wie sieht er aus? Wir sind in unserem Setting I Teilmenge ersten Intervall.

Die Menge D, ne, wir haben eine Funktion, jetzt haben wir global keine Menge D. Wir haben eine Funktion f Schlange, die auf I Kreuz Rd hoch N in den Rd definiert ist. Und die muss jetzt die Voraussetzung von den globalen Pica Lindelöf erfüllen. Das heißt, zum einen muss sie stetig sein und sie muss eine globale Lipschitz-Bedingung erfüllen.

Nochmal der Vollständigkeit halber, was heißt globale Lipschitz-Bedingung? Das heißt, egal welches T aus I ich nehme und egal welche Vektoren in dem Rd hoch N ich nehme,

also x0, x1 bis xn-1 beziehungsweise z0, z1 bis zn-1 aus dem Rd hoch N, muss gelten die Lipschitz-Abschätzung, also der Abstand von f Schlange von T x0, x1 bis xn-1

minus f Schlange von T z0, z1 bis zn-1, der muss kleiner gleich sein,

also eine konstante L mal der Abstand von den hinteren Argumenten x0, x1 bis xn-1 minus z0, z1 bis zn-1. Ist jetzt notationell aufgeblähter, hat mehr Indizes, ist aber im Wesentlichen genau die gleiche Bedingung, die wir vorher auch hatten.

Für alle T in I und für alle x und z aus Rd ist f von T x minus f von T z kleiner als L mal x minus z, nur dass x und z jetzt halt lange Vektoren sind.

So, das ist, da fehlt noch für ein L größer gleich 0. So, und jetzt dann kommt die Aussage vom Pika Lindelöf, dann hat das Anfangswertproblem Stern-Doppelstern,

das wir hier die ganze Zeit anschauen, für egal welchen Anfangswert Sie nehmen, also für alle Vektoren T0, y0, y1 bis yn-1 aus I Kreuz Rd hoch N, genau eine globale Lösung.

Sie kriegen hier wieder globale Lösung, weil wir eine globale Lipschitz-Bedingung haben. Und der Beweis von dem Satz, den lasse ich Ihnen gern zum selber machen, funktioniert nach dem gleichen Prinzip.

Überlegen Sie sich, dass aus dieser Lipschitz-Bedingung folgt, dass das kleine f da drüben eine globale Lipschitz-Bedingung erfüllt. Dann können Sie den globalen Pika Lindelöf für Gleichungen in erster Ordnung drauf werfen. Und dank der Äquivalenz der Probleme haben Sie damit auch das andere Problem gelöst.

Genauso über das ich es Ihnen den lokalen Pika Lindelöf zu übertragen, gleiches Spielchen. Man muss sich überlegen, was heißt lokal Lipschitz-Bedingung fürs f Schlange. Und dann sich überlegen, dass wenn f Schlange eine lokal Lipschitz-Bedingung erfüllt, dann auch klein f. Und dann ist man durch.

Gut, ich will das gleich noch. An einem Beispiel weiter mal exemplarisch zeigen, das Verfahren. Aber ich denke vorher verschnaufen wir kurz ein Päuschen und machen wir in knapp 10 Minuten weiter. So, ich würde dann gern in die zweite Hälfte einsteigen.

Ich habe in der Zwischenzeit mal großzügig gewischt und nur ganz wenig stehen lassen. Auch weil ich drüber bringen will, wir haben jetzt ganz viel gemacht für diese Reduktion. Von Ende Ordnung auf Erste Ordnung. Wir haben gesehen, das Verfahren funktioniert wunderbar allgemein.

Wann immer wir das eine Problem lösen können, können wir das andere Problem lösen und umgekehrt. Und wenn man diesen Wissen im Hinterkopf hat, ist das Einzige, was man sich aus dem Kapitel eigentlich merken muss, der Ansatz, die Idee. Das ist das Einzige, was noch da steht. Wenn man sich diesen Ansatz merkt, das ist das, was man tut und das ist das, was zum Ziel führt.

Man muss wissen, dass das der Ansatz ist und das der tut. Dann hat man alles, was man braucht. Und ich will das jetzt zum Abschluss dieses Abschnitts an einem Beispiel vorführen. Und allen Physikerinnen und Physikern wird gleich einen auch nicht hier auch

noch durch den Kopf schießen, wenn ich sage, wir machen den harmonischen Oszillator. Den haben die wahrscheinlich schon mal gesehen. Vielleicht auch schon 17 Mal. Aber ich denke mir, es gibt durchaus Mathematikstudierende, die kein Nebenfach Physik haben und die dürfen ja auch mal. Also was ist der harmonische Oszillator?

Also kurze Verschnaufpause für alle Physikerinnen und Physiker, aber bitte nicht zu laut. Ein typisches Beispiel für den harmonischen Oszillator ist ein Federpendel. Sie haben irgendwo aufgehängt eine Feder und da hängt ein Stück Masse dran.

Und jetzt ziehen sie dann der Masse so ein bisschen nach unten los. Und dann lassen sie das Ding los und dann weiß jeder, was passiert. Das fängt an auf und ab zu wackeln. Also es sei denn, sie ziehen so wie ein Berserker dran, dass sie die ganze Feder lang ziehen. Aber dann ist das auch kein harmonischer Oszillator mehr.

Und der harmonische Oszillator beschreibt großomodo diese Situation mit der Idealisierung, dass sie eben nicht wie ein Berserker dran ziehen. Das heißt sie verformen die Feder nur elastisch und nicht plastisch. Und was das bedeutet physikalisch ist, dass die, das ist zu sagen die vereinfahrende Annahme an die Feder ist, das Ding hat eine Rückstellkraft.

Also zieht die Masse zurück mit einer Kraft, die genau proportional dazu ist, soweit ich es ausgelenkt habe. Doppelt so weit ausgelenkt, doppelt so hohe Kraft. Und wenn man das einsetzt und jetzt ein bisschen mit der goldenen Regel der Mechanik spielt, kommt eine Differentialgleichung raus.

Das fühle ich Ihnen jetzt nicht vor, wenn Sie es wissen wollen. Da sitzen genug Physikerinnen und Physiker da, die können Ihnen das im Schlaf runter beten. Das haben die nämlich schon zehnmal gemacht. Also y, meine Funktion y beschreibt die Auslenkung aus dem Ruhezustand.

Also y von t gleich 0 bedeutet, das Ding ist genau da, wo es im Ruhe liegen würde. Und dann haben Sie positive und negative Auslenkungen nach oben und unten. Und die Auslenkung wird dann beschrieben durch folgendes Anfangswertproblem zweiter Ordnung.

Wie immer, wenn man mit Kraft des Massen mal Beschleunigung anfängt, kommt eine gleiche zweite Ordnung raus. Die zweite Ableitung von y plus eine konstante y² mal y ist 0.

Und dann haben wir zwei Anfangsbedingungen. Brauchen wir hier eine Gleichung zweiter Ordnung haben. y von 0 ist irgendwie a, y' von 0 ist irgendwie b. Der harmonische Oszillator taucht deshalb so oft auf, weil er die einfachste Schwingungsgleichung ist.

Die einfachste Gleichung, die ein schwingendes System beschreibt. Erstens gibt es verdammt viele schwingende Systeme und zweitens kann man auch sehr viele Systeme, sehr viele schwingende Systeme, die nicht wirklich ein harmonischer Oszillator sind, durch einen harmonischen Oszillator nähern. Das heißt, das ist immer so der Startpunkt, wenn man ein schwingendes System beschreiben will.

Und das ist so einigermaßen nah am harmonischen Oszillator, dann gibt es mal so einen Startpunkt. Und deswegen ist der so wichtig und taucht dann 100 Stellen auf. Zum Beispiel, falls Sie die Idee haben, ich nehme so einen Fadenpendel, also ein klassis Pendel von der Uhr. Das ist im strengen Sinne kein harmonischer Oszillator, weil die Grundvoraussetzung für den harmonischen Oszillator ist,

die Rückstellkraft ist genau proportional zur Auslenkung. Und bei so einem Fadenpendel fangen Sie sich noch einen Sinus mehr ein, weil die Rückstellkraft von dem Winkel abhängt, den das Pendel gerade beschreibt. Und damit ist er nicht genau proportional, sondern er ist proportional mit einem Sinus von dem Winkel davor.

Was jetzt die Physik macht, ist natürlich zu sagen, kleine Winkelnäherung für kleine Alpha als Sinus Alpha Alpha. Und dann haben Sie wieder den harmonischen Oszillator. Auch da gilt, das ist eine gute Näherung für kleine Winkel. Wenn Sie natürlich das Fadenpendel da oben hin machen und den harmonischen Oszillator rechnen, dann passt es nicht.

Also das passt hier nicht 100 Prozent rein, aber das ist eben der Startpunkt für eigentlich jede Beschreibung an der Schwingung. Wann immer Sie eine makroskopische Schwingung haben, also keine quantenmechanische, da kommt noch ein bisschen was dazu, aber eine makroskopische Schwingung haben, ist das die Basisgleichung. Und von der kann man jetzt natürlich weiter modellieren.

Jetzt können Sie sagen, ich gucke mir das Fadenpendel an und da gibt es noch irgendeine äußere Kraft, die darauf einwirkt. Dann haben Sie hier noch ein F von T auf der rechten Seite. Sie können sagen, das Ding schwebt nicht im luftleeren Raum, sondern wird gedämpft, wird gebremst. Dann kriegen Sie noch einen Term, der die erste Ableitung mit ins Spiel bringt. Also da kann man jetzt, aber das ist die Basisgleichung.

Gut, jetzt dürfen die Physiker wieder zuhören. Na, aber da kommt noch mehr, was Sie alles kennen. Ich muss noch kurz sagen, was ist Omega-Quadrat? Omega-Quadrat ist die Größe, die die ganzen Materialeigenschaften des Systems beschreibt. Wie stark ist die Feder? Wie groß ist die Masse hier unten? Und so weiter. Das steckt alles hier drin, wird immer eine positive Zahl.

Und um das auszudrücken, und aus Gründen der Einheiten und so weiter, ist es sinnvoll, diese Konstante mit Omega-Quadrat und nicht mit Omega zu bezeichnen, weil das Omega hat dann eine physikalische Bedeutung. Das ist die Frequenz der freien Schwingung. Aber für uns hier wichtig ist, das Omega-Quadrat ist eine materialabhängige Konstante,

in der drin ist eben, was für eine Fehler haben Sie verwendet, was für ein Gewicht hängt dran und so weiter. Dann haben wir die beiden Größen A und B. Das sollten Sie nach unserem Motivationskapitel am Anfang jetzt auflösen können. Y ist die Auslenkung, also der Ort des Teilchens.

Y von Null ist also die Anfangsauslenkung. Wie viel ziehen Sie das Ding am Anfang aus der Ruhelage raus? Und das B, wenn Sie den Ort einmal ableiten, kriegen Sie die Geschwindigkeit. Ist die Geschwindigkeit von dem Ding zum Teil Null? Sie können ja das Ding rausziehen und ihm dann am Schluss noch einen Schubs geben. Also das ist die Anfangsgeschwindigkeit.

So, das ist die Gleichung des harmonischen Oszillators. Und wenn wir mal schauen, das ist genauso eine, deswegen kommt sie hier, die wir gerade behandeln. Wir haben zweite Ordnung, können wir im Prinzip noch bisher gar nicht, aber wir können jetzt diese Gleichung hier reduzieren auf ein System erster Ordnung.

Die Idee steht hier links. Also wir reduzieren auf ein System erster Ordnung, indem wir die Funktion V hier definieren. Da das freundlicherweise nur zweite Ordnung ist, wird die nicht so schrecklich lang. Das N ist zwei, das D ist eins.

Also wir haben hier den freundlichst einfachsten Fall. Und V ist einfach Y, Y'. Also V von T ist der Vektor Y von T, Y' von T. Und dann müssen Sie sich an nichts weiter, was sich an Formeln jetzt weggewischt haben, erinnern,

sondern was wir jetzt einfach machen müssen, ist wir müssen feststellen, welche Gleichung löst das V? Weil immer man so eine Substitutionsmethode hat, ist das die Frage, welche Gleichung löst die neue Funktion? Also rechnen wir V' aus. V' ist Y' Y' 2'.

Y' ist V2. V ist Y' Y'. Also ist Y' V2. Und hier an der zweiten Stelle für Y' 2' haben Sie hier nichts. Da setzen Sie die Gleichung ein. Y' 2' ist minus Omega quadrat Y.

Und Y ist V1. Also hier steht V2 von T minus Omega quadrat V1 von T. Oder vielleicht noch ein bisschen klarer geschrieben. Oder kann man jetzt noch umschreiben in eine Form, die im weiteren Verlauf praktisch ist.

Man kann das hier nämlich sehen als eine Matrix multipliziert mit dem Vektor V1 V2. Das ist die Matrix 0,1 minus Omega quadrat 0 V1 von T, V2 von T.

Oder eben auch diesen V1 VT V2 von T können Sie wieder als V schreiben. 0,1 minus Omega quadrat 0 V von T. Das ist dieses System der Umschreibung in ein System erster Ordnung. Wir haben aus einer Skalan-Gleichung in zweiter Ordnung ein System mit zwei Gleichungen in erster Ordnung gekriegt.

Und wenn man sich das System anguckt, denkt man, das muss ja jetzt simpel sein. Weil das erster Ordnung ist eine autonome Gleichung. Eine Form V Strich ist eine konstante Matrix.

Noch nicht mal von T abhängig, mal V. Also eine autonome Gleichung von getrennten Veränderlichen, was immer Sie wollen. Und das nutzt leider überhaupt nichts. Weil wenn Sie sich zurück erinnern als Kapitel über getrennte Veränderliche, dann konnten wir die zwar wunderbar lösen, aber nur für skalare Gleichungen. R2, was haben wir verwendet? Den Hauptsatz der Differentialen Integralrechnung.

Wir haben das V geschrieben als Integral über seine Ableitung. Und das geht im R2 nicht mehr so gut. Und dementsprechend ist dieser Weg jetzt zu sagen, wir haben jetzt den DGL von getrennten Veränderlichen, zack, Integrale drüber lösen, tut nicht.

Das heißt, wir sind an der Stelle jetzt blockiert, was weniger daran liegt, dass die Gleichung so schwer ist, als daran, dass ich Ihnen bisher wirklich sehr wenig darüber erzählt habe, wie man konkrete Gleichungen löst. Das will ich jetzt nachholen. Also ich will mich jetzt mit solchen Gleichungen hier beschäftigen.

In der nächsten Vorlesung werden wir dann hier wieder drauf zurückkommen. Die Gleichung ist nämlich wirklich eine schöne, wir können sie nur noch nicht, eben wie gesagt autonom. Und sie hat eigentlich sogar noch eine noch schönere Struktur. Sie ist nicht nur irgendwie autonom oder von getrennten Veränderlichen, sondern wenn Sie sich die mal angucken und jetzt so ein bisschen mit groben Raster drüber gucken,

dann ist das von der Form irgendeine linke Seite V' ist gleich Matrix A mal V. Das sieht ein bisschen aus wie ein lineares Gleichungssystem. Das ist eine sogenannte lineare Differentialgleichung, weil ja auf der rechten Seite das V linear eingeht.

Und genauso wie bei Gleichungssystemen, lineare Gleichungssysteme, das schönste ist, was es gibt und das einzige, wo es eine super durchgehende Theorie gibt, ist das hier bei den Differentialgleichungen auch, es gibt nichts Schöneres als lineare Differentialgleichung. Und an die machen wir uns jetzt.

Also das ist der Abschnitt 7, lineare Differentialgleichung. Und als ein Beispiel sollten Sie immer dieses Ding hier im Kopf haben, auf das werden wir noch zurückkommen. Also es geht jetzt um lineare Differentialgleichung und ich werde natürlich zuerst mal sagen, was es ist.

Aber ein Beispiel ist das da drüben. Und ansonsten denken Sie immer an lineare Gleichungssysteme. Lineare Differentialgleichungen sind für Differentialgleichungen das, was für Gleichungssysteme die linearen Gleichungssysteme sind. Also was ist eine lineare Differentialgleichung?

Erstmal der übliche erste Satz, wir sind auf einem Intervall I in R. Wir haben ein D in N, das ist die Dimension von dieser Matrix hier im Wesentlichen, also da drüben 2.

Und dann haben wir zwei Funktionen. Eine Funktion, die nenne ich Groß a, weil das ist an jedem Punkt eine Matrix. Also es ist eine Funktion von I in den Rd Kreuz d. Und eine Funktion b von I in den Rd.

Und die allgemeine Form von einer linearen Differentialgleichung ist dann y Strich von t, ist a von t, mal y von t, plus b von t. Das nennt man eine lineare Differentialgleichung.

Und linear deswegen, weil das y auf der rechten Seite eben linear eingeht. Das hier steht ist eine gerade Gleichung in y. Ich habe es wieder nur erster Ordnung hingeschrieben. Natürlich kann man jetzt auch lineare Differentialgleichungen in höherer Ordnung anschauen, aber siehe erster Teil der Vorlesung.

Höher Ordnung ist auch nur gleich erste Ordnung. Also schauen wir wieder erste Ordnung an. Wenn Sie ein lineares System höherer Ordnung haben, müssen Sie halt wieder den Reduktionsprozess. Dann kriegen Sie noch viel größeres System, aber das ist immer noch linear. Erster Ordnung. Also das ist die allgemeine lineare Differentialgleichung.

Und damit man eben auch höhere Ordnung mit reinmacht, erlebt das Ganze eben wieder im Rd. Also lineare Differentialgleichung oder wenn man klar machen will, dass es eben eine vektorielle Sache ist, dann sagt man auch gerne mal ein System von linearen Differentialgleichungen.

So, ich hatte jetzt vorhin schon gesagt, das Ganze sieht so ein bisschen aus wie ein lineares Gleitungssystem. Das ist natürlich nicht der Fall, es ist kein lineares Gleitungssystem.

Trotzdem ist diese Analogie im Kopf zu haben sehr sehr wertvoll. Weil wir werden feststellen, in vielen Belangen verhalten sich lineare Differentialgleichungen sowie lineare Gleitungssysteme. Was jetzt nicht heißt, dass Sie ein Gaussverfahren drauf anwenden können und einfach lösen. Das nicht, dafür sind Differentialgleichungen zu biestig. Aber viele Lösungstheorie hören sich sehr ähnlich an.

Und dazu gehört auch schon der nächste Begriff, der in Analogie gebildet ist zu linearen Gleitungssystemen. Was macht man bei linearen Gleitungssystemen als erstes, wenn es um die Lösbarkeit geht? Man hat das Gleitungssystem A x gleich B, dann schaut man sich das zugehörige homogene System A x gleich Null an.

Guckt, wie sieht der Kern aus und bestimmt den Rang der Madrigs. Und auch bei linearen Gleitungen ist das der erste Schritt und ein wichtiger Schritt, man lässt erstmal das B weg. Und solche Gleitungen heißen hier genau wie bei linearen Gleitungssystemen homogene lineare Gleitungen. Also da nennt man diese Gleichung, diese lineare Differentialgleichung, eine homogene lineare Differentialgleichung.

Und sonst, wenn das B nicht Null ist, dann auch wie bei linearen Gleitungssystemen, ist das eine inhomogene lineare Differentialgleichung. Eine Warnung zu dem Begriff, der ist nämlich jetzt leider, Informatiker würden sagen, überladen.

Wir haben jetzt das Begriff homogene Differentialgleichung doppelt definiert. Das ist leider hysterisch, historisch, so kann ich nicht verändern. Wir hatten ganz am Anfang den Begriff homogene Differentialgleichung für eine Gleichung, deren rechte Seite nur von dem Quotienten y von t durch t abhängt. Da tauchte das schon mal auf. Das hat mit dem hier nichts und gar nichts zu tun.

Also das müssen Sie, das ist zum Glück durch fünf Wochen Vorlesung getrennt, halten Sie das auseinander. Das ist einfach nur dummerweise der gleiche Begriff. Wann immer jetzt in nächster Zeit von Homogen die Rede ist, bedeutet das Homogene lineare Differentialgleichung. Das heißt, Sie haben eine lineare Differentialgleichung, wo das B Null ist.

Einen Vorteil, wenn das B ist Null, sehen Sie sofort, setzen Sie mal D gleich 1, also skalare Gleichung. Dann ist die Matrix hier eine Zahl und das B auch eine Zahl. Wenn Sie das B weglassen, ist das eine von getrennten Veränderlichen.

Können wir also lösen. Wenn Sie das B dazu nehmen, können wir es im Moment noch nicht lösen. Da sieht man schon, B wegnehmen könnte eine gute Idee sein.

Wichtig ist eben, diese Begriffsbildung Homogen-Inhomogen ist an der Stelle parallel zu sehen zur linearen Differentialgleichung. Wenn wir so ein lineares System von DGL mal in Koordinaten ausschreiben, also wir setzen die Einträge der Matrix wie üblich a i j und die Einträge des Vektors b als b i,

dann kann man das mal in Koordinaten ausschreiben und dann sieht man, das sieht auch schon wieder aus wie ein lineares Gleichungssystem. Also was steht hier in kondensiert?

Die erste Zeile ist y' von T, ist a11 von T mal y1 von T plus a12 von T mal y2 von T plus und so weiter a1d von T mal yd von T. Jetzt passt genau kein Platz mehr für das b1 von T.

Das ist y1 Strich, y2 Strich ist a21 von T, y1 von T plus a22 von T, y2 von T bis a2d von T, yd von T plus b2 von T und so weiter und so weiter.

Und die letzte Zeile yd Strich von T ist ad1 von T, y1 von T plus ad2 von T, y2 von T plus und so weiter bis add von T, yd von T plus bd von T.

Wenn man jetzt das b mal mit Gedanken auf die andere Seite tut, dann sieht das genauso aus wie lineares Gleichungssystem aussieht. Trotzdem hat man hier eine ganze Menge Differenzialgleichungen drin und das Beispiel da drüben fällt natürlich wunderbar da rein.

Das ist eine homogene lineare Differenzialgleichung, das b ist Null, das a ist sogar eine konstante Funktion, also ein recht einfacher Fall sollte man meinen. Hier lassen wir deutlich mehr zu, hier lassen wir zu, wie gesagt erstens, dass hier noch die Inomogenität

dazukommt und wir lassen zu, dass jeder dieser Einträge hier wieder eine Funktion sein darf, die von T abhängt. Ich habe das da so ausführlich hingeschrieben, weil ich bei Ihnen den Kopf bringen will, vergleichen Sie alles, was wir jetzt machen mit der Theorie von linearen Gleichungssystem.

Da sind wir weit weg, weil die Probleme viel komplizierter sind, aber von der Struktur, die passiert, nah dran. Und da kommen wir jetzt in nächster Zeit häufiger darauf zurück.

Worum es jetzt natürlich erstmal geht, ist die Frage, wie sieht es mit der Lösbarkeit von solchen Gleichungen aus und die Antwort an der selbst Stelle ist sehr befriedigend. Jede lineare Differenzialgleichung, eben lineare Differenzialgleichungen sind das schönste, lineare Differenzialgleichungen sind immer global eindeutig lösbar.

Das ist das erste, was ich Ihnen zeigen will, der erste Satz in dem Abschnitt, wenn immer Sie mit einer linearen Differenzialgleichung starten, ist das zugehörige Anfangsproblem global eindeutig lösbar. Vorausgesetzt, Sie sind mindestens ein paar Wasser vom Piano, also sprich a und b sind stetige Funktionen natürlich.

So, das ist der Satz 7.3, wenn wir so ein lineares System haben, also wie oben, wir haben einen Intervall i, wir haben eine Dimension n, Anzahl der Gleichungen und Anzahl der Länge von dem Vektor y

und wir haben eine stetige, jetzt muss das a eben nicht mehr irgendeine Funktion von i nach rd x d sein, sondern eine stetige Funktion. Sonst ist natürlich mit Existenz von Lösungen ausgeschlossen, aber zumindest im Allgemeinen schwierig zu beantworten.

Also a stetig von i in die Matrizen und b stetig von i in die Vektoren. Und dann behaupte ich, brauchen Sie nichts mehr, keine Lipschitz, kein gar nichts, sondern Sie brauchen, das reicht für eine globale, eindeutige Lösung.

Also dann hat für jede Wahl das Anfangswert und Zeitpunkt, also für alle t0, y0 aus i Kreuz rd, das Anfangswertproblem, was zur linearen Differenzialgleichung gehört,

das nenne ich mal awp, also y' von t ist a von t, y von t plus b von t und y von t0 ist y0, das hat dann eine eindeutige globale Lösung.

Und wie wir dahin kommen, ist denke ich klar, wir müssen irgendwie den globalen Pika Lindelöf anwenden. Nur der garantiert uns eindeutige globale Lösung. Und jetzt kann man sich auf den ersten Schritt wundern, warum brauche ich für das a nur stetig und nicht irgendeine Lipschitz Bedingung.

Das liegt daran, was braucht man denn für einen Pika Lindelöf, man braucht stetig insgesamt und die Lipschitz Bedingung in y.

Aber wenn Sie sich hier mal diese rechte Seite f von t, y anschauen, dann ist die einfach a von t mal y plus b, das ist eine lineare Funktion in y, lineare Funktion sind einfach automatisch Lipschitz stetig. Das a darf so wild sein, wie es sein, solange es stetig ist, das kann eine Lipschitz stetigkeit nichts kaputt machen, weil wir da nur eine lineare Abhängigkeit haben und lineare Abhängigkeiten sind halt was wunderschönes.

Das ist das, was dahinter steckt, also im Wesentlichen benutzen wir nur lineare Funktionen sind Lipschitz stetig. Wie üblich ist die Technik, um das ordentlich aufzuschreiben, im Service-File ein bisschen komplizierter. Insbesondere brauche ich etwas, von dem ich annehme, dass Sie es irgendwo zwar schon mal gesehen haben, aber

dass mehr so unter ja gibt es auch lief und im Service-File vergessen ist, nämlich Matrix-Normen. Also hier sozusagen für den Notfall zur Erinnerung, wenn ich mit irgendeiner Norm

in Rd starte, die Norm auf Rd hatte ich ja mit einfachen Betragstrichen geschrieben, dann kann ich zu dieser Norm immer eine zugehörige Matrix-Norm definieren auf die folgende Weise, ich schreibe die jetzt mal mit Doppelbalken.

Die Norm von einer Matrix A ist gegeben als das Supremum über die Beträge, über die Normen von Ax, wobei x durch alle Vektoren im Rd läuft, der Norm genau eins ist. Vielleicht haben Sie es nicht so gesehen, vielleicht haben Sie es mit Norm kleiner gleich eins gesehen

oder mit Norm kleiner gleich eins und noch mit x normiert, aber das kommt alles aufs gleiche raus. Also die Norm der Matrix ist gegeben, dadurch zu bilden A mal x für alle x mit Einheitslänge und schauen sich der Norm an, der größte Wert ist die Norm von der Matrix.

Der Vorteil, das ist eine, man kann dann zeigen, diese Bildung bildet eine Norm auf dem Rd-Kreuz D und zwar nennt man das die passende oder die zugehörige Matrix-Norm. Wenn Sie natürlich die Norm auf dem Rd ändern, dann ändert sich auch diese zugehörige Matrix-Norm und

das was ich jetzt brauche oder was das Wichtige an der Matrix-Norm ist, sind die beiden folgenden Eigenschaften. Wenn Sie zwei Matrizen multiplizieren und der Norm bilden, dann können Sie das abschätzen gegen die einzelnen Normen.

Also die Norm von A mal B ist kleiner als die Norm von A mal die Norm von B und wenn Sie irgendeinen x nehmen, also das gilt für alle A und B im Rd-Kreuz D.

Und zweitens, wenn Sie A mal x ausrechnen, können Sie das gleiche machen, das ist nach oben kontrolliert durch die Norm von A mal die Norm von x für alle Matrizen im Rd-Kreuz D und für alle x in Rd.

Das ist das Gute an der zugehörigen Matrix-Norm und das werden wir jetzt verschiedentlich brauchen. Also wann immer ich jetzt Normen von Matrizen hinschreibe, ist immer die zur gerade im Grundraum verwendeten Norm zugehörige Matrix-Norm gemeint.

So zur Orientierung, wer hat so ein Ding schon mal gesehen? So wenig. Okay, muss ich nochmal im Skript vom Kasten große Brautmann wühlen, aber das nicht, ich dachte das. Na gut, Sie werden spätestens in der Numerik ständig brauchen, sage ich Ihnen gleich.

Ja, also wenn Sie es nicht gesehen haben, ist es selbstfalls eine gute Übung, weisen Sie mal nach, das ist eine Norm. Und die beiden Ungleichungen, damit Sie mir auch glauben können, was ich jetzt tue.

Also beweisen wir den 7-3. Noch zur Erklärung, es geht natürlich nicht darum, irgendeine Norm auf den Matrizen zu definieren. Die RD-Kreuz-D-Matrizen können Sie isomorph auffassen als einen Vektorraum RD².

Und auf dem RD² kennen wir 100.000 Normen. 1-Norm, 2-Norm, P-Norm, unendlich Norm, was auch immer. Irgendeine Norm auf den Matrizen zu finden ist kein Problem und irgendwelche anderen ist auch egal, weil sie eh alle äquivalent. Das Entscheidende ist, dass man sich auf die Weise eine Norm bauen kann, die in dem Sinne zu der Norm in RD passt.

Dass man solche Abschätzungen hat, das ist das Entscheidende in der zugehörigen Matrix-Norm. So, also jetzt Beweis von 7-3. Im Prinzip, wo man den globalen Picalindelöf anwenden und wenn man ihn in brute force versucht anzuwenden,

läuft man in ein kleines technisches Problem rein, das man wieder mit kompakten Intervallen zu tun hat. Deswegen wenden wir ihn auf einem kompakten Teilintervall J von I an. Und zeigen, was wir eigentlich zeigen ist, für jedes kompakte Teilintervall von I gibt es eine globale eindeutige Lösung.

Und wenn das so ist, dann haben Sie auch eine globale eindeutige Lösung auf ganz I. Weil, sobald die Lösung an irgendeiner Stelle versucht abzuhauen oder sich zu verzweigen, können Sie diese Stelle in irgendein Kompaktum reinpacken. Und dann hat die Lösung essig. Also dadurch, dass wir es auf jeder kompakten Teilmenge von I zeigen, kriegen wir globale Existenz, eindeutige Existenz auf ganz I.

Sie werden gleich sehen, es geht tatsächlich nur auf jedem kompakten Teilintervall, zumindest mit dem Beweis, den ich Ihnen hier vorfülle. Aber das reicht. Und was ich jetzt zeigen will, ist, dass die rechte Seite von unserem Anfangswertproblem

auf jedem kompakten Teilintervall eine globale Lipschitz-Bedingung erfüllt. Also wir schauen uns die Funktion f von T y an, die gegeben ist als a von T mal y plus b von T.

Zunächst mal ist das eine stetige Funktion auf I Kreuz Rd. Das ist die erste wesentliche Bedingung vom globalen Pikalindeleuf. Also ich mache jetzt globalen Pikalindeleuf auf J. Die erste wesentliche Bedingung vom globalen Pikalindeleuf ist, dass die rechte Seite stetig ist auf ganz I Kreuz Rd.

Das ist kein Problem. a und b sind stetig vorausgesetzt. Die Abhängigkeit in y ist eh nur linear. Das ist nicht nur stetig, das ist beliebig differenzierbar. So und jetzt müssen wir die globale Lipschitz-Bedingung nachrechnen. Also wir müssen uns irgendeinen T in I hernehmen und zwei Werte y und z im Rd.

Und müssen uns anschauen, was ist mit dem Abstand von f von T y zu f von T z. Das ist die Aufgabe und das muss unabhängig.

Jetzt brauche ich eine Lipschitz-Konstante für alle T in J und für alle y und z in Rd. Das Entscheidende im globalen Pikalindeleuf ist eben, ich brauche hier ganz Rd. So was ist f von T y minus f von T z? f von T y ist a von T y plus b von T minus f von T z a von T z minus b von T.

Dann sehen wir als erstes, Frage was b von T ist, ist für die Lipschitz-Stetigkeit sowas von egal. Der fällt nämlich komplett raus und es bleibt übrig a von T mal y minus a von T mal z.

Jetzt spielt uns in die Hände, dass das alles eine lineare Bildung ist. Das ist a von T mal y minus z. Und jetzt brauchen wir noch unsere zugehörige Matrixnorm. Wo steht es? Hier oben. Norm von a mal Vektor ist kleiner als die Matrixnorm, mal Norm von x.

Also ist kleiner als die Matrixnorm von a von T mal der Abstand von y zu z. Und jetzt kommt der Moment, wo wir die Kompaktheit von dem Intervall J dringend brauchen. a ist eine stetige Funktion auf J. Die Norm ist auch stetig.

Haben Sie hier also die Funktion T, wird abgebildet auf diese Norm, ist eine stetige Funktion auf J. Also J Kompakt, das Ding ist beschränkt. Das Kleine gleich C J. Ich schreibe mal das J extra in den Index, damit klar ist, diese Konstante hängt jetzt von J ab. Also das C J ist das Maximum für T aus J von den Matrixnormen von a von T.

Weil das alles stetig ist, existiert dieses Ding. So und dieses C J ist jetzt natürlich unsere Lipschitz-Konstante. Und jetzt haben wir einen globalen Pika Lindelöf auf J.

Also wir nehmen den Pika Lindelöf, den globalen Pika Lindelöf auf J. Und der liefert uns, dass unser Anfangswertproblem eine eindeutige globale Lösung auf J hat.

Und jetzt ist das schöne, das J ist zwar nicht ganz I, aber das J war komplett beliebiges, kompaktes Teilintervall. Also J Teilmenge I beliebig, also kompakt, aber sonst beliebig.

Also kann die Lösung keinen Unfug machen. Sie kann nicht vorher aufhören zu existieren, weil das müsste sie irgendwo innerhalb eines Kompaktums tun und das kann sie nicht. Sie kann nicht sich verzweigen, sie kann nicht abhauen, sie kann gar nichts. Sie muss auf ganz I existieren.

Also ist unser Anfangswertproblem auch eindeutig global auf I lösbar. Als ich das Argument gestern hingeschrieben habe, weil habe ich mich kurz selber

verwirrt und vielleicht hatten die Verwirrungen auch noch einige andere, deswegen sage ich es. Und habe gedacht, Moment mal, das ist ja irgendwie ein bisschen gemogelt, weil ich habe keinen globalen Pika Lindelöf auf I. Habe ich einfach nicht. Wenn I offen ist, kann das A von T durchaus am Rande abhauen. Das A von T darf am Rand beliebig groß werden.

Ich habe keinen globalen Pika Lindelöf auf I. Also diese Konstante hier, Cj, wenn ich Ci arbeite, Ci muss es nicht geben. Also insbesondere nehmen Sie den Normalfall I ganz R. Und dann war die Überlegung, Moment, ich habe ja eigentlich nur eine lokale Lebensschutzbedingung. Wieso kann ich denn diesen blöden Trick nicht auch für jede beliebige lokale Lebensschutzbedingungen machen, was ja nicht gehen darf?

Siehe verschiedene Beispiele. Der Punkt ist die Gleichmäßigkeit hier. Global Pika Lindelöf heißt, ich kriege eine gleichmäßige Lebensschutzkonstante für alle, egal wo die Lösung ist. Wenn die Lösung versucht, sich nach unendlich zu schleichen, wenn die Lösung

groß wird, kann ich sie immer noch mit der gleichen Lebensschutzkonstante klein hämmern. Und deswegen funktioniert der Trick, weil ich wirklich einen globalen Pika Lindelöf, globalen Y auf jedem kompakten Teil in der Wahl kriege. Und das liefert eine lokale Pika Lindelöf-Abschätzung nicht.

Lokale Pika Lindelöf-Abschätzung kann auch immer nur Y in der Nähe von Y0. Und an der Stelle ist der Unterschied. So, damit haben wir den 7.3. Das heißt, wir sehen schon mal, in Sachen Lösbarkeit sind lineare Systeme bestmöglicher aller Welten.

Es gibt keinen Blow-up. Es gibt keine Mehrdeutigkeiten. Alles ist immer schön eindeutig lösbar und global. Ich hatte aber gesagt, mit dem Kapitel geht es weniger.

Ich soll es jetzt auch mal wieder darum geben, wie kann ich denn konkret rechnen. An der Stelle gleich sozusagen zu Beginn die schlechte Nachricht. Für dieses System hier, in der Allgemeinheit, gibt es im Allgemeinen keine Lösungsformel. Das ist nicht zu kriegen.

Wir werden auch noch sehen, warum. Also kein Beweis, aber eine Heuristik, warum. In der Allgemeinheit kann man es nicht lösen. Aber es gibt sehr, sehr wichtige und weitreichende Spezialfälle, in denen man explizite Lösungsformeln angeben kann. Die will ich Ihnen jetzt auch herleiten in den nächsten Schritten. Und für das allgemeine Problem kann man noch sehr viel über die Struktur der Lösung aussagen.

Wie sieht es hier aus? Man kann und eben in vielen Spezialfällen auch wirklich konkret rechnen. Und damit Sie so ein bisschen Eindruck kriegen, was hier passiert, will ich anfangen mit dem Fall, dass D gleich 1 ist.

Das ist die einfachstmöglichste Fall. Wenn Sie D gleich 1 setzen, ist A eine skalare Größe, B eine skalare Größe. Und Sie haben die vorhin schon angesprochene gleichen Y-Strich, ist A mal Y plus B, mit A und B Zahlen. Oder A von T, also Funktionen, aber skalare Funktionen.

Und bei der kann man immer, also das ist der erste wichtige Spezialfall, in dem man tatsächlich immer eine Lösungsformel angeben kann. Und die will ich mit Ihnen herleiten, keine Sorge, nicht mehr heute. Will ich mit Ihnen herleiten, weil man bei der Aktion, bei dieser Herleitung schon alles sieht, was an Effekten auftritt, auch im allgemeinen Fall.

Also das ist sozusagen die Blaupause, die wir danach auf den allgemeinen Fall versuchen zu übertragen. Wir werden feststellen, es geht im Allgemeinen, also Sie kriegen die schöne Lösungsformel nicht genau so hin. Sie kommen in die Nähe.

Aber die Methoden, die Techniken und die Art der Lösungsformel, die sieht man schon im Eindimensionalen. Deswegen ist der erste Schritt eben den Fall D gleich 1 anzuschauen. Wie sieht da die Gleichung aus? A und B sind jetzt, also ich schreibe jetzt klein a, weil eine 1 Kreuz 1 Matrix ist eine Zahl, sind jetzt Funktionen von I nach R.

Die setzen wir stetig voraus, damit unser Satz zieht, das Ding hat auf jeden Fall eine eindeutige Lösung. Dann nehmen wir ein T0 in I, ein Y0 in R. Und dann ist das Anfangswertproblem einfach das da drüben abgeschrieben.

Y' von T ist a von T, Y von T plus b von T, Y von T0 gleich Y0. Das wollen wir jetzt lösen. Ich hatte vorhin schon gesagt, für den wichtigen Spezial faltet Homogenengleichung, also kein B.

Können Sie das schon lösen? Das ist getrennte veränderliche. Das werden wir am Anfang der nächsten Vorlesung tun. Wer mag, kann ja schon mal rechnen. Das ist einfach Standardmethode. Und was ich Ihnen in der nächsten Vorlesung zeigen werde, ist, wie wir das B, einen ganz blöden, aber super starken Trick, wie wir das B dazukriegen und eine allgemeine Lösung für dieses Problem finden.

Gut. So viel für heute. Ich danke für die Aufmerksamkeit und nächste Woche geht es dann da weiter.