Modelle für Wahrscheinlichkeiten
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Formal Metadata
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| Title of Series | ||
| Part Number | 7 | |
| Number of Parts | 14 | |
| Author | ||
| License | CC Attribution - NonCommercial - ShareAlike 3.0 Germany: You are free to use, adapt and copy, distribute and transmit the work or content in adapted or unchanged form for any legal and non-commercial purpose as long as the work is attributed to the author in the manner specified by the author or licensor and the work or content is shared also in adapted form only under the conditions of this | |
| Identifiers | 10.5446/21494 (DOI) | |
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Content Metadata
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ZahlProbability spacePlane (geometry)NumberSubsetSet (mathematics)ZahlSummationStatisticsDiskreter WahrscheinlichkeitsraumFinite setModulformComputer animation
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ZahlNormaleHidden Markov modelTupleNumberTotal S.A.Set (mathematics)BerechnungParticle detectorZahlTable (information)Probability spaceComputer animation
17:38
ZahlZahlSet (mathematics)Table (information)ComplementarityComplete metric spaceComputer animation
26:24
Probability theorySummationCubeSummationInfinityNatural numberSet (mathematics)VortexComplementarityComputer animation
35:09
CubeNumberNatural numberProbability spacePerimeterCombinatoricsSet (mathematics)CoalitionEckeComputer animation
43:55
ZahlVortexSet (mathematics)NumberCubeSubsetZahlStatistical hypothesis testingSummationProbability spaceEnumerated typeComputer animation
52:40
Probability theoryBinomial distributionPoisson processParameter (computer programming)SummationSet (mathematics)NumberBinomial distributionSummationSeries (mathematics)ZahlAdditionSubsetComplete metric spaceApproximationProbability spaceParameter (computer programming)MittelungsverfahrenWahrscheinlichkeitsmaßCubeTerm (mathematics)SquareInfinityNatural numberDiskreter WahrscheinlichkeitsraumReal numberNegative numberWeightPopulation densityRectangleMassModulformBinomial coefficientNullDegrees of freedom (physics and chemistry)MetreGeometric seriesPhysical quantityComputer animation
Transcript: German(auto-generated)
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Ja, begrüße ich Sie recht herzlich zur heutigen Vorlesung in der Statistik 1 für Humanwissenschaftler.
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Lernziele der heutigen Vorlesung sind wie folgt. Nach dieser Vorlesung sollten Sie den Begriff des laplastischen Wahrscheinlichkeitsraums kennen und erläutern können, wann man diesen zur Modellierung eines Zufallsexperiments einsetzen kann und zweitens wissen, was ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum ist
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und wie man in diesen Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen berechnet. Um Ihnen das beizubringen, werde ich wie folgt vorgehen. Wir werden erstmal den laplasten Wahrscheinlichkeitsraum definieren und ich werde Ihnen erklären, wann man diesen zur Modellierung eines Zufallsexperiments einsetzen kann.
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Dann kommt ein Beispiel dazu, was wir gemeinsam durchrechnen. Dann werde ich Ihnen die Grundidee beim diskreten Wahrscheinlichkeitsraum erklären. Es kommt ein Beispiel, was wir wieder gemeinsam durchrechnen werden. Wahrscheinlich kommt dann der Stelle, dann der Minitest,
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wo wir nochmal ein Beispiel zum laplasten Wahrscheinlichkeitsraum machen. Dann haben wir ziemlich viel an Beispielen erklärt und das sollten Sie eigentlich alles verstehen können bis dahin. Dann wird es ein bisschen abstrakter. Ich werde Ihnen das, was wir am Beispiel gemacht haben, auf einer abstrakten Ebene erklären
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und eine abstrakte Definition bringen. Nicht groß abstrakt, aber ein bisschen abstrakter als das Beispiel. Wir werden dann nochmal den Bezug herstellen zum Beispiel und dann kommen zum Schluss noch zwei komische Formeln, die einfach dazugehören, die Sie mal gesehen haben sollten. Eine von diesen komischen Formeln werde ich Ihnen dann in der nächsten Vorlesung erläutern.
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Also wie man draufkommt. Okay, fangen wir an. Modelle für Wahrscheinlichkeiten. Der laplaste Wahrscheinlichkeitsraum. Laplaste Wahrscheinlichkeitsräume werden zur Beschreibung von Zufallsexperimenten verwendet,
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bei denen zwei Bedingungen erfüllt sein müssen. Erste Bedingung, nur endlich viele verschiedene Werte kommen als Ergebnis vor. Also das mögliche Ergebnis des Zufallsexperiments, das dürfen nur endlich viele verschiedene Werte sein. Und zweite Bedingung, die entscheidende dabei,
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jeder dieser Werte tritt mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auf. Ja, wenn es einerseits nur endlich viele sind, jeder tritt mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auf. Wir wissen vom letzten Mal, die Summe von solchen Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Elementarereignisse muss eins sein, wenn es nur endlich viele sind,
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weil der Gesamtraum die Wahrscheinlichkeit eins hat, dann muss eben dieser Wert mit der diese gleiche Wahrscheinlichkeit eins durch die Anzahl der möglichen Ergebnisse sein. Das wissen wir auch schon. Und diesen laplasten Wahrscheinlichkeitsraum haben wir im Prinzip auch schon
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am Beispiel beim letzten Mal ganz zum Schluss kennengelernt. Hier ist die Definition. Wir haben den Wahrscheinlichkeitsraum. Das ist ein Paar, Omega P. Omega ist eine nicht leere Menge, in dem Fall sogar eine endliche Menge. P ist eine Zuweisung, die mehr Teilmengen von Omega-Wahrscheinlichkeiten zuweist.
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Das heißt Zahlen zwischen 0 und 1. Die Zuweisung ist hier so, dass jeder einzelne Wert, der als Ergebnis in Frage kommt, als Wahrscheinlichkeit eins durch die Kardinalität von Omega zugewiesen bekommt.
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Das heißt, die Elementarereignisse haben alle die Wahrscheinlichkeit eins durch Kardinalität von Omega, also Anzahl Elemente in Omega. Und daraus, wie wir beim letzten Mal gesehen haben, folgt dann die Wahrscheinlichkeit von einer Menge, ist Anzahl der Elemente in der Menge durch Anzahl der Elemente in Omega. Und das ganze Ding heißt laplasta Wahrscheinlichkeitsraum.
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Also wenn Sie in laplastischen Wahrscheinlichkeitsraum hinschreiben wollen, ist es relativ einfach. Sie müssen die Menge angeben, Omega, und für P haben Sie diese Vorschrift. Okay, und jetzt wäre die Frage, was ist die Grundmenge?
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Naja, die Grundmenge an der Stelle sind, muss die möglichen Werte für das Ergebnis enthalten oder enthält genau die möglichen Werte für das Ergebnis. Diese Formel hier, P von A gleich Kardinalität von A durch Kardinalität von Omega
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oder Anzahl Elemente in A durch Anzahl Elemente in Omega, lässt sich einfach umdeuten. Wir sagen, P von A ist die Anzahl günstiger Fälle, also die Anzahl der Fälle, wo bei denen das Ergebnis in A liegt, durch die Anzahl der möglichen Fälle.
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Okay, soweit abstrakt, machen wir ein Beispiel dazu. Wir betrachten einen Glücksspiel. Sie haben einen Einsatz von 1 Euro. Anschließend werden 4 Münzen geworfen. Und zwar 2 50 Cent Münzen, eine 1 Euro Münze und eine 2 Euro Münze.
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Diese Münzen fallen dann entweder mit Zahl oder Wappen nach oben. Und Sie bekommen als Gewinn alle die Münzen, oder Sie bekommen dann zurück, alle die Münzen, die mit Zahl oben landen. Das definiere ich hier als Ihren Gewinn. Also Sie haben einen Einsatz von 1 Euro, dafür bekommen Sie einen Gewinn,
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das sind alle die Münzen, die mit Zahl oben landen. Und was mich interessiert ist, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Gewinn mindestens so groß ist, wie der Einsatz, dass der Gewinn mindestens 1 Euro beträgt.
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Okay, das erste, oder was ich jetzt machen möchte, ich möchte es durch einen laplatschen Wahrscheinlichkeitsraum modellieren. Und dazu muss ich mir erst mal überlegen, was will ich da als Menge der möglichen Ergebnisse. Haben Sie Vorschläge? Was kann ich hier im Prinzip, also wenn ich es abstrakt als Zufallsexperiment betrachte,
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ich werfe 4 Münzen und ich bekomme alle die als Gewinn, die mit Zahl oben landen. Was ist dann das mögliche Ergebnis des Zufallsexperiments?
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Es gibt 16 mögliche Fälle und können Sie mir einen dieser Fälle nennen? Alle liegen mit Zahl oben, also, ja, oder die erste liegt mit Zahl, vielleicht eine der 50 Cent Münzen liegt mit Zahl oben, die andere nicht und so weiter.
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Und wenn wir die Münzen alle als verschieden betrachten, also auch diese 2 50 Cent Münzen vielleicht verschieden durchnummerieren, gibt es 16 mögliche Fälle. Wer ein mögliches Ergebnis des Zufallsexperiments, kann mir jemand noch ein anderes sagen. Könnte man das auch anders definieren an der Stelle.
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Der Gewinn liegt zwischen 0 und 4 Euro. Das heißt, ich könnte genauso gut auch den Gewinn nehmen. Vollständig richtig. Und könnte ich mir genau überlegen, der Gewinn ist entweder 0 Euro, 50 Cent, 1 Euro,
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1,50 Euro kann vorkommen, 2 Euro kann vorkommen, 2,50 Euro kann vorkommen, 3 Euro kann vorkommen, 3,50 und 4. Das sind alle möglichen Kombinationen. Das heißt, 9 verschiedene Werte hätten wir jetzt auf einmal. Zweite Möglichkeit. Kann mir jemand noch eine dritte Möglichkeit nennen?
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Vorschläge? Dritte Möglichkeit? Naja, ganz naiv im Sinne von dem, was wir schon fragen, könnten wir auch einfach sagen, entweder der Gewinn ist größer als der Einsatz, also als 1 Euro oder mindestens so groß wie der Einsatz oder nicht.
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Also wir könnten Ja oder Nein definieren als Ergebnis des Zufallsexperiments. Und dann sehen Sie, dann haben wir 3 verschiedene Möglichkeiten, das Ergebnis des Zufallsexperiments zu wählen. Und jetzt wäre die Frage, welche wählen wir hier, warum?
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Also welche sollen wir jetzt wählen? Ja, wäre die Frage, wie entscheiden wir, welche wir wählen. Naja, wir wählen das so, dass wir unseren Laplatschen Wahrscheinlichkeitsraum einsetzen können.
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Und dann müssen die Bedingungen für den Laplatschen Wahrscheinlichkeitsraum erfüllt sein. Und das sind 2 Stück. Erstens, es müssen nur endlich viele verschiedene mögliche Ergebnisse sein. Das war bei allen 3 Fällen der Fall. Sowohl bei der Lage der Münze als auch bei der Größe des Gewinns,
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als auch ob der Gewinn größer ist als 1 Euro oder nicht. Aber das Zweite, jeder dieser Werte muss mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auftreten. Was würden Sie denn dazu sagen? Ist das irgendwo erfüllt?
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Sie sagen bloß bei den 16 Möglichkeiten, also bei den 16 Möglichkeiten ist es erfüllt. Das ist einigermaßen plausibel. Kann man sich überlegen, die Münzen sind komplett symmetrisch. Die werden wohl genauso häufig mit Zahl oben landen wie mit Wappen.
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Also einigermaßen plausibel. Bei den anderen sagen Sie, ist es nicht so? Das ist nicht offensichtlich, aber das wird sich nachher gleich rausstellen, dass es bei den anderen nicht so ist. Das liegt zum Beispiel daran, dass wenn Sie jetzt sagen würden, wir nehmen den Gewinn, dann könnte der Gewinn von 1 Euro zustande kommen. Also entweder indem die beiden 50 Cent Münzen mit Zahl oben liegen, alle anderen nicht.
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Oder indem die 1 Euro Münze mit Zahl oben liegt, alle anderen nicht. Das sind zwei Möglichkeiten. Während ein Gewinn von 4 Euro kommt nur auf eine einzige Möglichkeit zustande, nämlich dass alle Münzen mit Zahl oben liegen.
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Okay, gut. Damit haben wir eigentlich schon festgelegt, was das Ergebnis unseres Zufallsexperiments ist. Als Ergebnis des Zufallsexperiments betrachten wir die Lage der Münzen. Das möchte ich jetzt ein bisschen genauer beschreiben. Dazu denken wir uns die Münzen durchnummeriert mit den Zahlen 1 bis 4.
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Wobei die Münzen 1 und 2 den Wert 50 Cent haben, die Münze 3 den Wert 1 Euro. Und die Münze 4 den Wert 2 Euro hat. Jede der 16 möglichen Wahrscheinlichkombinationen tritt mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auf.
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Haben wir gerade schon gesehen. Deswegen können wir das Zufallsexperiments durch einen laplaschen Wahrscheinlichkeitsraum beschreiben. Wobei die Grundmenge eben die Lage der Münze beschreibt. Das mache ich so, indem ich in die Grundmenge vier Tupel reinstecke. Mit vier Einträgen Omega 1, Omega 2, Omega 3, Omega 4.
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Jeder dieser Einträge ist entweder Z oder W. Z steht dafür, dass die IT-Münze mit Zahl oben gelandet ist. W steht dafür, dass die IT-Münze mit Wappen oben gelandet ist. Okay? Oder Fragen soweit?
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Vielleicht ein bisschen ungewohnte Notation, aber bietet sich eben hier an. Wir schreiben es als Viertupel. Was ist dann gesucht? Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von einem Ereignis, dass ein Viertupel auftritt.
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Wo der Gewinn größer gleich ein Euro ist. Kann ich unmittelbar hinschreiben. Gesucht ist P von A. Mit A sind alle Viertupel. Und ich mache einen Doppelpunkt und schreibe eine Bedingung dahinter. Die die Bedingung erfüllen, der Wert der Münzen mit Zahl oben ist größer gleich ein Euro.
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Da wir einen laplaschen Wahrscheinlichkeitsraum haben, kann ich gleich hinschreiben, was P von A ist. Also um den laplaschen Wahrscheinlichkeitsraum festzulegen, müssen wir eigentlich nur die Grundmenge festlegen. Weil die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten ja in dem laplaschen Wahrscheinlichkeitsraum fest steht.
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Sie haben eine Frage? Die Menge aller Viertupel hier in Omega, wo der Wert der Münzen mit Zahl oben größer gleich ein Euro ist. Viertupel, ein Tupel. Tupel, ja? Naja, ein N-Tupel bekommen Sie, indem Sie N-Sachen hintereinander schreiben mit Klammern drumrum.
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Ein Zweitupel wäre ein Paar, ein Dreitupel ein Trippel vielleicht. Ein Viertupel kenne ich keine Bezeichnung mehr außer Viertupel. Und ein Eintupel wäre eine normale Zahl.
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Okay, also ich habe dafür Viertupel gesagt. Einfach weil es aus Vier... das finden Sie irgendwie komisch, hm? Ja. Ich glaube ich kenne auch viel komische Reporter, ne?
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Okay. Aber ich kenne keine Bezeichnung, die nicht komisch ist, ne? Sorry. Ich könnte mit Vektoren anfangen. Kennen Sie vielleicht aus der Schule, ne? Oder so Vektoren? Schule? Schon mal gehört? Vielleicht? FNL?
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Aber ich habe es da hier liegend geschrieben. Also in der Schule werden Sie es meistens stehen geschrieben. Und ich wollte es nicht stehen schreiben, weil dann füllt es mir die halbe Folie gleich. Wenn ich stehen schreibe. Okay. Also besucht ist dann P von A. Mit A ist die Menge dieser Viertupel, wo der Wert der Münzen mit Zahl oben größer gleich ein Euro liegt.
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Da wir einen laplatschen Wahrscheinlichkeitsraum zugrunde legen, wissen wir unmittelbar, wie wir Wahrscheinlichkeiten berechnen. Nämlich P von A ist Anzahl der Elemente in A durch Anzahl der Elemente in Omega. Die Anzahl der Elemente in Omega sind 16, weil für jedes dieser Omega 1, Omega 2, Omega 3, Omega 4 haben Sie zwei Möglichkeiten.
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Sie ziehen dann vier Elemente aus einer zweielementigen Menge. Ich glaube Herr Menott hat Ihnen das erklärt. Mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge. Es gibt zwei hoch vier Möglichkeiten. Das sind 16 Möglichkeiten hier.
16:00
Sonst können Sie sich überlegen, alternativ Sie haben zwei Möglichkeiten für das erste, dann zwei für das zweite, zwei für das dritte, zwei für das vierte. Jede dieser Möglichkeiten können Sie miteinander multiplizieren. Es gibt zwei mal zwei mal zwei mal zwei, also 16 Möglichkeiten. Also die Wahrscheinlichkeit von A können wir unmittelbar bestimmen. Das ist die Anzahl der Elemente in A durch die Anzahl durch 16.
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Also müssen wir hierzu nur noch die Anzahl der Elemente in A bestimmen. Dann sind wir fertig mit Berechnung der Wahrscheinlichkeiten. Das machen Sie am besten systematisch, indem Sie einfach alle Fälle durchgehen. Ich schreibe Ihnen mal hier ein bisschen was an die Tafel.
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Dann können Sie den Rest von uns selber machen. Wir machen uns einfach eine Tabelle mit Omega 1, Omega 2, Omega 3, Omega 4. Und Omega 1 seien 50 Cent. Omega 3 ist der 1 Euro.
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Ja, der Omega 4 ist 2 Euro. Sie haben recht. Wir überlegen uns dann, wie groß ist der Gewinn?
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Und separat können wir uns noch überlegen, ist der Gewinn größer als der 1 Euro?
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Ja, dann der erste mögliche Fall ist, alle landen mit Wappen oben. Wie groß ist dann Ihr Gewinn? Ihr Gewinn ist 0, weil Sie bekommen ja nur die Münzen ausgezahlt, die mit Zahloben landen.
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Also hier ist er 0. Und 0 ist nicht größer als 1 Euro, also das wäre schon mal ein Nein. Dann können Sie weitermachen. Ich nehme an, nur die 2 Euro Münze landet mit Zahloben. Alle anderen landen mit Wappen oben. Wie groß ist dann der Gewinn?
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Der Gewinn ist 2 Euro. Und Sie stellen schon richtig fest, dieser Gewinn ist größer als 1 Euro. Und Sie können jetzt mal selber, ich gebe Ihnen ein bisschen Zeit, die Tabelle vervollständigen. Das heißt, die 14 fehlenden Fälle dranschreiben. Finden Sie im Prinzip auf der nächsten Folie.
18:41
Also ich habe Sie auf der nächsten Folie bei Ihnen ohne die entsprechenden Werte draufgesetzt.
22:43
Okay, können Sie mir vielleicht schnell sagen, wie das hier weitergehen muss? Okay, ich höre 1, dann 3, 0,5, 2,5, 1,5, 3,5.
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Und dann sehen Sie hier direkt, ja, was ist das? Das ist N, das ist J, das ist N. Ach, größer gleich, ja, J, J, N, J, J, J.
23:25
Und die anderen 8 Fälle, die wir haben, die unterscheiden sich von den ersten 8. Nur dadurch, dass bei der ersten 50 Cent Münze noch ein zusätzliches Z steht.
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Das heißt, der Gewinn erhöht sich einfach im Vergleich zu der entsprechenden Zeile um 50 Cent. Und dann sehen Sie, was wandert noch zu J hin? Das nicht, aber das auch noch. Dann sehen Sie, bei der einen sind es, ja, okay, oder ich zeige es Ihnen schnell hier.
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Ich habe es auch hier auf Folie. Das wäre die komplette Tabelle. Wie bekommen Sie jetzt daraus die Wahrscheinlichkeit?
24:21
Sie setzen für A 13 ein und für Omega 16. Nicht ganz, sondern Sie setzen für die Anzahl der Elemente von A 13 ein und die Anzahl der Elemente von Omega 16. Also, wenn Sie nochmal zurückgehen, wir hatten ja unser P von A. A ist unsere Menge. Aber Sie haben Anzahl der Elemente von A durch Anzahl der Elemente von Omega.
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Das ist also richtig. Das heißt, Sie erkennen hier, Anzahl der Elemente von A ist 13. Das lesen Sie aus der Tabelle einfach ab. Einfaches abzählen und P von A ist dann 13 Sechzehntel. Könnten Sie folgendes ausrechnen mit dem Taschenrechner oder Sie können es lassen. Oder ich habe es gelassen. So muss man es sagen.
25:01
Gut, man könnte es an dem Beispiel hier noch ein bisschen einfacher machen, indem man sich überlegt, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit vom Komplement? Das Ereignis selber war, dass der Gewinn größer gleich ein Euro ist. Dann können wir uns überlegen, das Komplement, da muss der Gewinn kleiner als ein Euro sein.
25:23
Damit der Gewinn kleiner als ein Euro sein, ist, naja, das sehen Sie eigentlich hier. Entweder darf keine der Münzen ausgezahlt werden oder die erste 50 Cent Münze oder die zweite 50 Cent Münze. Mehr gibt es nicht. Das heißt, Sie können das A-Komplement direkt hinschreiben.
25:44
Sie sehen dann direkt, A-Komplement hat drei Elemente. Das heißt, P von A-Komplement ist 3 Sechzehntel. Und dann wissen wir P von A, A ist 1 minus P von A-Komplement. Das heißt, P von A ist 1 minus P von A-Komplement, also 1 minus 3 Sechzehntel, also die 13 Sechzehntel.
26:05
Ginge in dem Fall hier einfacher, hätten wir sich die Tabelle sparen können. Aber ich wollte es einfach mal im einfachen Beispiel vorführen, wie man das mit so einer Tabelle erschlägt. Okay, haben Sie Fragen soweit?
26:29
Sie meinen, ob das das A-Strich ist, was ich bisher als A-Strich eingeführt habe und jetzt ein A-C eingemacht habe. Das ist eine gute Frage. Sie meinen, ich habe bisher A-quer geschrieben? Das ist das A-Strich, da haben Sie vollständig recht, also tut mir leid.
26:45
Das liegt daran, weil die Psychologen mich mal gebeten haben, meine Notationen ihren anzupassen und A-quer zu schreiben. Aber ich würde immer A-Cs schreiben, ja. Und das habe ich bei der ersten Folie auch gemacht, aber bei der zweiten dann nicht mehr. Aber tut mir leid, gemeint war hier, also gemeint ist es Komplement, das war das, was ich beim letzten Mal mit A-quer eingeführt habe.
27:06
Vollständig recht. Noch Fragen? Das A-quer oder was ich als A-Komplement oder A-quer definiert habe, also mein A-Komplement ist mein A-quer und das war Omega ohne A.
27:43
Und wenn Sie hier Omega haben, wenn Sie hier A haben, dann wäre der Rest drumrum A-Komplement.
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Noch Fragen? Gut, dann war das der Laplace Wahrscheinlichkeitsraum, war eine Möglichkeit, Wahrscheinlichkeiten zu berechnen.
28:24
Geht eben in dem Spezialfall, dass zwei Bedingungen müssen eintreten. Erstens, es dürfen nur endlich viele mögliche Ergebnisse vom Zufallsexperiment vorkommen. Und zweitens, alle müssen mit der gleichen Wahrscheinlichkeit vorauftreten.
28:42
Sie haben auch gesehen, das bekommen wir hin, oder manchmal hin, wenn wir unser Omega geeignet wählen. Wir hätten es nicht hinbekommen, wenn wir als Omega den Gewinn ausgezahlt hätten, weil dann sehen Sie, zum Beispiel der Gewinn von 50 Cent, der kommt einmal hier vor. Andererseits, auch wenn ich Z, W, W, W habe, das heißt, der käme mit Wahrscheinlichkeit zwei Sechzehntel vor,
29:06
während ein Gewinn von null kommt nur in der ersten Zeile vor, kommt mit Wahrscheinlichkeit ein Sechzehntel vor. Das heißt, die Gewinne haben nicht alle die gleiche Wahrscheinlichkeit. Sind zwar auch nur endlich viele. Ich stelle Ihnen jetzt als nächstes eine Möglichkeit vor, wie man Wahrscheinlichkeiten definieren oder berechnen kann,
29:27
wenn das Zufallsexperiment entweder endlich viele oder auch abzählbar und endlich viele mögliche Ergebnisse hat, die nicht unbedingt alle die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. All diskrete Wahrscheinlichkeitsräume, nächster Abschnitt, verwenden wir zur Beschreibung aller der Zufallsexperimente,
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bei denen nur endlich viele oder abzählbar und endlich viele verschiedene Werte für das Ergebnis möglich sind. Abzählbar und endlich viele verschiedene Werte ist sowas wie jede natürliche Zahl ist ein mögliches Ergebnis.
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Das heißt, wir können es eigentlich noch durchnummerieren, aber es sind unendlich viele. Hier kommt die zentrale Idee. In diesem Fall berechnen wir die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses als Summe der Wahrscheinlichkeiten aller darin erhaltenen Elementarereignisse. Und wir legen eben die und berechnen eben separat die Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse.
30:24
Also das ist die zentrale, naja noch ist es keine Formel, es gibt dann die zentrale Formel, die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, also die Wahrscheinlichkeit von so einer Summe, von so einer Menge. Da gucken wir uns alle darin enthaltenen Elementarereignisse an, bestimmen deren Wahrscheinlichkeiten und summieren die auf.
30:47
Okay, ich erkläre es Ihnen erstmal am Beispiel. Mit einem echten Würfel wird solange gewürfelt, bis der Würfel zum ersten Mal mit sechs oben landet. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl Würfe kleiner als vier ist?
31:05
Also Sie haben echten Würfel, Sie würfeln den immer wieder und zwar unbeeinflusst voneinander, solange bis er zum ersten Mal mit sechs oben landet. Und wir wollen wissen, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl Würfe kleiner als vier ist?
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Wieder die Frage, was ist hier das Ergebnis des Zufallsexperiments?
31:53
Okay, Sie schlagen vor, Sie machen sowas wie, Sie würfeln keine sechs, keine sechs, keine sechs, dann eine sechs.
32:02
Oder Sie würfeln am Anfang eine sechs, oder Sie würfeln beim zweiten Mal eine sechs, oder beim dritten Mal. Und dann wäre die Frage, wie beschreiben wir das? Ist klar, also darum geht es eigentlich. Ich kann es im Prinzip, könnte ich so beschreiben, ich betrachte die Unendliche. Also ich tue so als würfle ich eigentlich immer unendlich oft weiter und gebe die ganze Sequenz der Würfel an.
32:24
Aber es wäre ein bisschen mühsam, zumalig wenn ich jedes Mal unendlich oft weiterwürfeln könnte. Ich könnte es dann so machen, dass ich es so beschreibe, ja, entweder am Anfang eine sechs, oder ich sage, keine sechs, dann eine sechs. Oder keine sechs, keine sechs, dann eine sechs. Oder keine sechs, keine sechs, keine sechs, dann eine sechs und so weiter.
32:41
Aber es ist die Frage, wie schreibe ich das hin? Ist ein bisschen blöd zum Hinschreiben. Vorschläge? Ja, das wäre der Vorschlag, wir könnten hinschreiben, wie groß die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis nicht eintritt.
33:05
Richtig, wir könnten über das Kompliment gehen, wäre hier aber sogar noch komplizierter, als die Wahrscheinlichkeit direkt zu berechnen. Und bringt mir noch nichts, wenn ich das Ergebnis des Zufallsexperiments festlegen will. Also zur Zeit möchte ich ja noch, also ich bin noch nicht so weit, dass ich Wahrscheinlichkeiten berechnen will.
33:20
Ich will erst mal nur überlegen, was ist das Ergebnis des Zufallsexperiments? Und Sie haben das eigentlich schon richtig gesagt, ich will es nur noch irgendwie so hinschreiben können. Okay, Sie noch einen Vorschlag? Sie wollten die Wahrscheinlichkeit direkt berechnen, ohne das Ergebnis des Zufallsexperiments hinzuschreiben? Ja, ist auch richtig, könnte man machen. Aber ich will eigentlich, also Sie wissen ja, was wir hier machen, ist ein Wahrscheinlichkeitsraum angeben.
33:45
Das war so ein Paar, da steht so ein Omega und da steht so ein P drin. Und ich möchte mir jetzt erst mal überlegen, was ist das Omega? Und das Omega würde ich ganz gern hinschreiben. Omega ist gleich unendlich, da hätte es nur ein einziges Element, das wäre unendlich.
34:07
Also wir haben ja gerade schon gesehen, es gibt viele verschiedene mögliche Ergebnisse des Zufallsexperiments und Sie haben es auch schon gerade beschrieben, die möglichen Ergebnisse des Zufallsexperiments.
34:23
Nur ich würde gern in dem Beispiel hinschreiben, ich würde gern anfangen, omega ist gleich.
34:46
Und dann würde ich so etwas dazuschreiben, wobei Klein Omega aus Groß Omega bedeutet das. Und das muss irgendwas mit dem Würfel sein.
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Und im Prinzip, Sie hatten es eigentlich schon, Sie würden Omega hinschreiben als, Na, ich fange entweder an mit einer, ja, ich kann es so nahe da nicht hinschreiben. Ich würde Omega, machen wir es kurz, ich würde Omega einfach als natürliche Zahlen ansetzen.
35:26
Und Omega, aus Omega bedeutet, dass der Würfel genau Omega mal geworfen wird bis zur ersten 6.
35:47
Genau Omega mal oft geworfen wird bis zur ersten 6.
36:05
Und was ich dann als nächstes mache, ich lege für jedes einzelne dieser Omegas die Wahrscheinlichkeit ein, dass genau dieses als elementar Ereignis auftritt. Oder für jedes K aus N lege ich die Wahrscheinlichkeit fest, dass der Würfel genau K mal geworfen wird bis zum ersten Mal bis 6 auftritt.
36:27
Und Sie hätten es halt direkt hingeschrieben, wäre auch richtig gewesen, hätte ich aber halt so nicht mehr hinschreiben können. Ok, Fragen soweit, dann fangen wir mal an.
36:42
Ich halte jetzt mal, ich nenne das Omega jetzt K, ich halte mal K fest und bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass der Würfel genau beim Kartenwurf zum ersten Mal mit 6 oben landet. Können Sie was nicht lesen, oder? Sie können gar nichts lesen.
37:04
Dann bräuchten wir Licht. Das FNWL hilft Ihnen Licht weiter. Wunderbar, ja, toll.
37:24
Also können Sie jetzt ein bisschen besser lesen? Also Omega gleich N, wobei Klein-Omega aus Groß-Omega bedeutet, dass der Würfel genau Omega mal oft geworfen wird bis zur ersten 6. Und ich möchte jetzt für eine natürliche Zahl K die Wahrscheinlichkeit bestimmen,
37:44
dass der Würfel genau beim Kartenwurf zum ersten Mal mit 6 oben landet. Das mache ich für jedes K, also das mache ich für K gleich 1, K gleich 2, K gleich 3, K gleich 4 und so weiter. Und bestimmt dann gemäß der Idee von gerade eben die Wahrscheinlichkeit,
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dass der Würfel weniger oft als vier Mal geworfen wird bis zur ersten 6, als die Wahrscheinlichkeit, dass er einmal geworfen wird bis zur ersten 6, plus die Wahrscheinlichkeit, dass er genau zweimal geworfen wird bis zur ersten 6 und so weiter, plus die Wahrscheinlichkeit, dass er genau dreimal geworfen wird bis zur ersten 6.
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Die Frage war, ob das Klein-K jetzt hier dem Klein-Omega entspricht? Ja. Also ich habe es hier noch mit Klein-Omega bezeichnet, weil ich die ganze Menge eben als Groß-Omega bezeichne, aber hier lasse ich das Omega weg und dann schreibe ich einfach nur K für und gebe die Wahrscheinlichkeit im Klartext an.
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Oder ich beschreibe das Ereignis im Klartext, so muss ich sagen. Ich mache mal das Licht wieder aus, dann sehen Sie die Projektion besser.
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Okay, ich möchte jetzt für eine natürliche Zahl K die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass wenn ich einen Würfel immer wieder würfel, dass er genau beim Kartenmal zum ersten Mal mit der 6 oben landet. Ich mache das so, dass ich davon ausgehe, ich werfe den Würfel genau K mal
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und überlege mir, wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass genau beim letzten Mal eine 6 auftaucht und bei den ersten K minus 1 mal keine 6. Also Sie werfen den Würfel K mal. Ich möchte wissen, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit. Beim letzten Mal taucht eine 6 auf, bei den ersten Mal, zweiten Mal und so weiter bis K minus 1 mal taucht keine 6 auf.
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Das mache ich jetzt wieder mit dem Umweg über die Laplatschen Wahrscheinlichkeitsräume, die wir schon haben. Dieses mögliche Würfelergebnis des K-malige Werfen des Würfels,
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alle diese Ergebnisse fasse ich in meiner Grundmenge eines Laplatschen Wahrscheinlichkeitsraums auf, weil jede einzelne Kombination dieser Würfelzahlen von 1 bis 6 K mal hintereinander geschrieben, tritt mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auf. Die Wahrscheinlichkeit ist 1 durch die Anzahl der Möglichkeiten. Das heißt, ich muss mir überlegen, wenn ich einen echten Würfel K mal hintereinander werfe,
40:24
wie viele verschiedene Ergebnisse können dann rauskommen? Erster Schritt. Sie werfen einen echten Würfel K mal hintereinander, so können, ich habe hier mal Sequenz geschrieben, bei dieser Sequenzablauffolge von K-Würfen, für den ersten Würfel haben sie 6 Möglichkeiten, für den zweiten haben sie 6 Möglichkeiten und so weiter,
40:45
bis zum letzten haben sie auch 6 Möglichkeiten. Das sind 6 hoch K, viele verschiedene Ergebnisse auftreten. Okay, soweit. Wieder Kombinatorik. Sie ziehen aus einer Grundmenge vom Umfang 6 K-Elemente
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mit Zurücklegen, mit Beachtung der Reihenfolge, 6 hoch K-Möglichkeiten. Jetzt überlegen wir uns, bei wie viel von diesen 6 hoch K-Sequenzen landet der Würfel beim letzten Mal zum ersten Mal mit der 6 oben und bei dem anderen Mal nicht.
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Das heißt, soll dabei der letzte Wurf eine 6 ergeben und alle anderen nicht, so gibt es davon, ja, das wäre jetzt meine Frage an Sie, wie viele verschiedene Ergebnisse können dann auftreten.
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Überlegen Sie sich mal, wie viele Möglichkeiten haben Sie für das Ergebnis beim ersten Würfel. Hier hatten wir 6, wenn aber jetzt beim letzten Mal zum ersten Mal eine 6 oben sein soll, wie viele Möglichkeiten haben Sie dann für den ersten? 5.
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Da können ja beim ersten Mal nur die Zahlen von 1 bis 5 auftreten. Genauso beim zweiten Mal können nur die Zahlen von 1 bis 5 auftreten. Genauso beim dritten Mal, vierten Mal und so weiter, bis zum letzten Mal. Wie viele Möglichkeiten haben Sie beim letzten Mal? Eine.
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Das heißt, Sie haben insgesamt 5 mal 5 mal und so weiter mal 5 und dann mal eine. Das gibt einen 5 hoch K-1, viele verschiedenen Möglichkeiten. Okay, wir haben für den ersten Würfel 5 Möglichkeiten, nämlich Zahlen 1 bis 5. Für den zweiten haben wir 5 Möglichkeiten, für den dritten haben wir 5 Möglichkeiten und so weiter,
42:44
bis zum vorletzten und beim letzten muss eine 6 stehen. Haben wir nur noch eine Möglichkeit. Und dann können Sie jede dieser Möglichkeiten mit jeder anderen kombinieren. Deswegen multiplizieren Sie hier, kommen Sie auf 5 hoch K-1.
43:05
Ja, jetzt haben wir die Anzahl der Möglichkeiten insgesamt in dem Laplaschen Wahrscheinlichkeitsraum. Wir haben die Anzahl der günstigen Fälle, das war die 5 hoch K-1, wo das, was uns eigentlich interessiert, eintritt. Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit von dem, was uns interessiert?
43:22
Wie groß ist jetzt die Wahrscheinlichkeit, dass der Würfel beim Kartenwurf zum ersten Mal mit einer 6 oben landet? Die Wahrscheinlichkeit sagen Sie, ist 1 Sechstel, wie kommen Sie auf 1 Sechstel?
43:42
Weil, wenn Sie beim ersten Wurf eine 6 haben wollen, ja, aber ich frage nicht nach der Wahrscheinlichkeit, dass Sie beim ersten Wurf mit einer 6 oben landen, das ist richtig, das ist 1 Sechstel. Für K gleich 1 ist 1 Sechstel, aber für K gleich 2 frage ich nach der Wahrscheinlichkeit, dass Sie beim ersten Wurf keine 6 bekommen, bei der zweiten Wurf eine 6.
44:03
Das wäre 5 Sechstel mal 1 Sechstel, sagen Sie, wir könnten auch 5 Sechstel 36 Sechstel sagen stattdessen, so würde ich es ausrechnen, Sie haben eine Pfadregel aus der Schule benutzt, die implizit eine gewisse Unabhängigkeit voraussetzt, was wir noch nicht eingeführt haben, deswegen möchte ich das gerade so nicht machen. Also, wir hätten auch das Ergebnis für K gleich 2, aber ich will ja hier das allgemeine Ergebnis haben.
44:29
5 hoch K minus 1 durch 6 hoch K, das heißt, wir nehmen die Formel vom Laplaschen Wahrscheinlichkeitsraum, die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist die Anzahl der günstigen Fälle durch Anzahl der möglichen Fälle,
44:41
Anzahl günstigen Fälle ist 5 hoch K minus 1, Anzahl möglicher Gefälle ist 6 hoch K. Also, ich hatte hier noch dazu geschrieben, da bei K-maligen Werfen jede einzelne Sequenz der Ergebnisse mit der gleichen Wahrscheinlichkeit 1 durch 6 hoch K auftritt, das heißt, wir können im Laplaschen Wahrscheinlichkeitsraum zugrunde liegen, gilt für die auf dieser Formel gesuchte Wahrscheinlichkeit P von K ist 5 hoch K minus 1 durch 6 hoch K.
45:10
Okay, jetzt haben wir die Wahrscheinlichkeit bestimmt, dass die Anzahl der Würfel genau K ist,
45:21
bis wir zum ersten Mal eine 6 haben. Was uns aber interessiert, ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Würfel kleiner als 4 ist. Das heißt, wir suchen eigentlich P von dem Ereignis bestehend aus der 1, 2 oder 3.
45:42
Wie berechnen wir jetzt diese Wahrscheinlichkeit? Indem Sie das einsetzen, ja und wie setzen Sie ein?
46:01
Sie setzen die 1 für das K ein, die 2 für das K ein und die 3 für das K ein und addieren dann. Genau, Sie gucken sich die Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse an, also P von 1, P von 2, P von 3 und addieren die. Das ist unser Trick. Die Wahrscheinlichkeit, dass eines dieser Ergebnisse auftaucht, ist die Summe der einzelnen Wahrscheinlichkeiten.
46:20
Da setzen wir jetzt ein, das gibt dann für K gleich 1, gibt es 5 hoch 1 minus 1, also 5 hoch 0 durch 6 hoch 1. Für K gleich 2, 5 hoch 2 minus 1, also 5 hoch 1 durch 6 hoch 2 und entsprechend für K gleich 3, 5 hoch 2 durch 6 hoch 3. Können Sie ausrechnen, kommen Sie auf 91 durch 216.
46:44
Hier wäre ein Minitest nochmal zu Laplatschen Wahrscheinlichkeitsräumen. Lesen Sie es mal durch, machen Sie es mal selber, wir besprechen es in 5 Minuten. Ja, ok. Vorschläge zur Lösung.
47:03
Also was ist der Laplatschen Wahrscheinlichkeitsraum hier und wie bestimmen Sie das Ergebnis? Sie haben den Wahrscheinlichkeitsraum mit 37 angegeben, weil es 37 verschiedene Ergebnisse gibt.
47:25
Da gebe ich Ihnen bei der zweiten Aussage recht, es gibt 37 verschiedene Ergebnisse, aber die Grundmenge muss die möglichen Ergebnisse enthalten. Das heißt, die muss dann genau 37 viele Ergebnisse enthalten.
47:41
Also die Grundmenge enthält ja alle möglichen Ergebnisse. Das ist die Menge aller möglichen Ergebnisse. Sie geben als 1 bis 37 an, kann man machen, aber sinnvoller wäre noch 0 bis 36, ist richtig. Wir geben 0 bis 36 als Grundmenge an. Omega, damit haben wir unseren Laplatschen Wahrscheinlichkeitsraum eigentlich schon festgelegt.
48:01
Bei P von A ist jetzt Anzahl Elemente in A durch 37. Das heißt, wir machen Laplatschen Wahrscheinlichkeitsraum Omega P mit Omega gleich 0,1 bis 37. P von A ist gleich Kardinalität von A durch 37.
48:25
Das ist falsch, ich habe 0 bis 6, sorry, hier muss 0 bis 36 stehen. Mea culpa, ich gebe es zu. Ich schreibe es noch an die Tafel, wo Sie es nicht sehen können.
48:48
Omega ist 0,1 bis 36, sorry. Und jetzt interessiert uns das Ereignis, dass eine gerade rote Zahl auftritt.
49:03
Das heißt, wir müssen überlegen, wie sieht die Menge der Teilmengen aus, die aus den geraden roten Zahlen besteht. Welche sind es? Sie lesen es hier ab 12, also es sind ja alle roten Zahlen, alle geraden davon.
49:22
12, 14, 16, 18 sind 4 Stück. 30, 32, 34, 36 sind auch noch mal 4 Stück. Das heißt, wir haben 8 Stück. Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit? Also wie groß ist jetzt die gesuchte Wahrscheinlichkeit?
49:41
8,37. Genau, nur noch einsetzen, 8,37. Und das war es. Und was Sie hier eben machen müssen, wenn Sie in der Laschen Wahrscheinlichkeitsraum angeben müssen, Sie müssen einerseits die Grundmenge hinschreiben, eigentlich richtig, also das sollte dann wirklich 0 bis 36 geben, und Sie müssen noch diese Formel angeben.
50:05
Und dann müssen Sie eben entweder durch Abzählen oder durch sonstige Überlegungen, also durch sonstige Überlegungen diese Menge bestimmen, die zu der Wahrscheinlichkeit, die zu dem Ereignis gehört, die Wahrscheinlichkeit Sie suchen, und müssen Ihre Elemente abzählen, und das war es.
50:26
Okay, Fragen soweit? Warum nennt man das Ereignis B oder nicht A, wäre egal. Sie könnten auch A schreiben, wenn A das Ereignis ist, A gleich und hier nochmal A einsetzen.
50:43
Wäre genauso richtig. Nur, ich hatte da oben schon A geschrieben, dann wollte ich nicht... Ja, Sie meinen deswegen, weil ich da oben schon A geschrieben hatte, ich wollte Sie eigentlich für alle A allgemein hinschreiben und dann sagen, jetzt setze ich ein spezielles ein. Aber ist egal.
51:00
Also es wäre genauso richtig, wenn Sie hier A schreiben würden. Oder C oder D. Okay. Sonst noch Fragen? Warum 36 statt 37? Ja, gehen wir nochmal zurück.
51:21
Es sind 37 gleichgroße Fächer, die sind mit den Zahlen 0 bis 36 durchnummeriert, und ich nehme als Ergebnis des Zufallsexperiments die Zahl des Faches, in der die Kugel landet. Ich könnte natürlich auch genauso gut 1 plus die Zahl nehmen oder 2 plus die Zahl. 1 plus die Zahl wäre ich auf die 1 bis 37 gekommen, aber ich hätte ein bisschen Schwierigkeiten,
51:42
dann die geraden Roten hinzuschreiben. Überall plus 1 rechnen käme eher durcheinander. Also es bietet sich hier an, die 0 bis 36 zu nehmen. Noch Fragen? Sie wollen nochmal das Ergebnis sehen?
52:00
Okay. Also omega wäre gleich 0 bis 36, P von A wäre das da und B wäre diese Menge. Die können Sie im Prinzip aus der vorigen Folie rekonstruieren und P von B wäre das einfach eingesetzt in die allgemeine Formel.
52:28
Okay, noch Fragen? Gut, dann sollte ich mit der Vorlesung weitermachen.
52:52
Wir waren hier gerade bei den diskreten Wahrscheinlichkeitsräumen und was ich jetzt machen möchte, ist, ich möchte das Ganze nochmal ein bisschen allgemeiner formulieren.
53:07
Also im Folgenden formulieren wir den zugrunde liegenden Wahrscheinlichkeitsraum allgemein, losgelöst von dem gerade eben betrachteten Beispiel. Um die Notation zu vereinfachen, nehme ich dabei an, dass beim Zufallsexperiment als Ergebnis
53:23
eine der Zahlen 0, 1, 2, 3 und so weiter vorkommt. Das heißt, ich habe ein 0tes Ergebnis, ich habe ein 1tes Ergebnis, ich habe ein 2tes Ergebnis, ich habe ein 3tes Ergebnis. Ich habe auf alle Fälle unendlich viele Ergebnisse. Das kann ich aber korrigieren, indem ich sage, manche davon treten offenbar nur mit Wahrscheinlichkeit 0 auf.
53:45
Also ich kann sagen, es gibt eigentlich mehr Ergebnisse, als überhaupt vorkommen können, aber die, die mehr sind, die treten nie auf, oder die treten nur mit Wahrscheinlichkeit 0 auf. Und so kann ich das in meinem Modell, und dann kann ich mein Modell eben mit einer einzigen Grundmenge hinschreiben,
54:00
nämlich der Menge der natürlichen Zahlen einschließlich der 0. Und wenn Sie ein beliebiges anderes Grundmenge haben, dann nummerieren Sie die eben der Reihe nach durch. Das erste Element bekommt die 0, das zweite Element bekommt die 1, das dritte Element bekommt als Bezeichnung die 2 und so weiter. Und sobald es aufhört mit den Elementen, geben Sie allen weiteren Zahlen die Wahrscheinlichkeit 0.
54:23
Okay, dann definiere ich mir eine Folge Pn, n aus n0, reeller Zahlen mit zwei Eigenschaften. Erstens, diese Zahlen sind größer gleich 0, und zweitens, sie summieren insgesamt zu 1 auf.
54:41
Eine solche Folge, das sei mal eine Folge von, die werde ich nachher als Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Elementarereignisse einsetzen, das sei eine sogenannte Zähldichte. Also hier einfach nur eine neue Bezeichnung, das nenne ich Zähldichte. Und um dann einen diskreten Wahrscheinlichkeitsraum zu definieren,
55:01
wähle ich als Grundmenge omega gleich n0, ich wähle eine Zähldichte Pn, also eine Folge von Zahlen mit der Eigenschaft, die sind größer gleich 0, sie summieren zu 1 auf. Und ich setze dann Wahrscheinlichkeit von einer Teilmenge von n0, also von einer Teilmenge a von n0, als Summe aller derjenigen pk's an, wo das k in a drin liegt.
55:27
Und das ist mein, oder hierbei gibt pk die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Elementarereignisses k an. Und das ist mein Modell, was ich für die Zufallsexperimente verwende,
55:44
wo nur endlich viele oder abzählbare und endlich viele mögliche Ergebnisse vorkommen können. Das heißt, ich wähle da immer omega gleich n0, zähle meine Ergebnisse entsprechend durch, lege dann Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Ergebnisse fest, mit denen diese Elementarereignisse auftreten
56:02
und setze die Wahrscheinlichkeit von einer Menge an, so wie wir es gerade eben gemacht haben, als Summe aller k in dieser Menge von diesen pk's. Ob wir das auf den Minitester als Beispiel übertragen können?
56:20
Ich übertrage es auf das Beispiel von gerade eben mit dem Würfel gleich noch. Kommt gleich. Noch eine Bezeichnung dafür. In diesem Fall bezeichnen wir dieses omega p als diskreten Wahrscheinlichkeitsraum und das p selber als diskretes Wahrscheinlichkeitsmaß. Also wieder nur neue Bezeichnungen, steckt eigentlich nicht viel dahinter.
56:41
Ich führe es Ihnen jetzt noch mal im Beispiel von gerade eben vor. Beispiel von gerade eben war, ein echter Würfel wird so lange geworfen, bis er zum ersten Mal mit der 6 oben landet. Ich wähle jetzt omega gleich n0. Ich setze p0, denn 0 kann eigentlich nicht vorkommen, weil da wird er mindestens einmal geworfen, setze ich auf 0
57:03
und ich bestimme die pn dann genauso wie vorhin durch 5 hoch n minus 1 durch 6 hoch n. Also die Wahrscheinlichkeit, dass er genau n mal geworfen wird, bis er zum ersten Mal mit der 6 oben landet, sage ich, ist 5 hoch n minus 1 durch 6 hoch n.
57:20
Und dann behaupte ich, was ich hier gemacht habe, ergibt eine Zähldichte. Das, was ich gerade eben eingeführt habe als Zähldichte. Zähldichte, ich blätte noch mal zurück, war, dass müssen Zahlen größer gleich 0 sein und die müssen zu 1 addieren. Es ist sofort klar, diese Zahlen sind alle größer gleich 0.
57:43
Es ist nicht ganz klar, dass sie zu 1 addieren. Aber das könnten Sie auch schon wissen. Ich mache noch mal Licht an.
58:00
Wir gucken uns die Zahlen mal an. Was sind das? Wir bilden, naja, wir fangen an, wenn wir die Summe bilden. Weil die Summe der n aus n0 der pn. Das ist gleich. Wir nehmen p0, das wäre die 0. Dann addieren wir dazu p1, das wäre die 5 hoch 0 durch 6 hoch 1.
58:24
Dann addiere ich p2, das wäre die 5 hoch 1 durch 6 hoch 2 und so weiter. 5 hoch 3 durch 6 hoch 4. Nee, 5 hoch 2 durch 6 hoch 3. 5 hoch 3 durch 6 hoch 4.
58:42
Und so weiter. Diese Summe möchte ich ausrechnen. Ich rechne diese Summe aus, indem ich die 0 vorne kann nicht weglassen. Ich klammer dann ein Sechstel aus. Beim ersten Term bleibt dann noch 5 hoch 0 durch 6 hoch 0. Also 5 Sechstel hoch 0 übrig.
59:02
Beim zweiten Term bleibt 5 hoch 1 durch 6 hoch 1 übrig. Das ist 5 Sechstel hoch 1. Beim dritten Term 5 Quadrat durch 6 Quadrat. 5 Sechstel Quadrat. Viertem Term 5 Sechstel hoch 3.
59:30
Die 1 Sechstel lasse ich stehen. Und jetzt ist die Frage, was ist die übrig bleibende Summe in der Klammer? Und die hat Ihnen, glaube ich, Frau Küper mal erklärt.
59:44
Wenn Sie sich so erinnern, Sie haben eine Zahl Q, das wäre hier 5 Sechstel. Sie bilden Q hoch 0 plus Q hoch 1 plus Q hoch 2 plus Q hoch 3 und so weiter. Sie erinnern sich?
01:00:05
Ja, es kann sein, Frau Küpper hat es nur gemacht, hat nach endlich vielen aufgehört und ich zähle hier auf unendlich viele weiter, aber das ist eine logische Folgerung draus. Das da ist eine sogenannte geometrische Reihe, was hier darstellt, da gibt es eine Formel dafür. Die Formel ist, wenn es
01:00:23
Q hoch 0 plus Q hoch 1 plus Q hoch 2 ist und so weiter. Das Q muss eine Zahl sein zwischen minus 1 und 1, wobei die minus 1 und 1 nicht vorkommen darf, dann ist der Grenzwert, also das, was da insgesamt rauskommt, ist 1 durch 1 minus Q, also 1 durch 1 minus 5 Sechstel.
01:00:44
Ja, und dann sehen Sie, dann steht hier 1 Sechstel mal 1 durch und 1 minus 5 Sechstel, das gibt auch 1 Sechstel, dann steht hier insgesamt 1 da. Und das gleiche kommt auch hier noch mal auf Folie, das heißt, ich kann das Licht wieder ausmachen.
01:01:18
Okay, also das war eine, ich komme gleich zu Ihnen, das war eine Nebenbemerkung,
01:01:24
das ganze ist in der Tat eine Zähldichte, die Zahlen sind größer als 0, addieren zu 1 auf, wenn Sie es nicht, also Sie sollten es mir einfach nur glauben. Wenn Sie es jetzt nicht sofort sehen, macht nichts. Okay, Sie hatten noch eine Frage?
01:01:47
Warum noch mal hier hoch 0 hoch 1 hoch 2 hoch 3? Ich mache es hier vorne, ist ja das gleiche. Ich habe ein Sechstel ausgeklammert und dann habe ich 5 hoch 0 durch 6 hoch 0 beim ersten Mal und 5 hoch 0 durch 6 hoch 0 ist 5 Sechstel hoch 0.
01:02:02
Dann klammere ich hier aus, ein Sechstel, dann habe ich 5 hoch 1 durch 6 hoch 1 bleibt noch übrig, das ist 5 Sechstel hoch 1 und so weiter. Analog klammere ich hier aus, gibt 5 Sechstel hoch 2. Okay?
01:02:27
Okay, jetzt wäre die Frage, wie wäre das bei dem Minitest? Bei dem Minitest hatten wir einen Laplaschen Wahrscheinlichkeitsraum, den Laplaschen Wahrscheinlichkeitsraum können wir als Spezialfall davon nehmen, wenn wir wieder Omega gleich N0 setzen. Wir nummerieren die
01:02:42
Elemente von dem Laplaschen Wahrscheinlichkeitsraum vielleicht von 1 bis groß N durch, es sind groß N viele. Dann setzen wir die Wahrscheinlichkeit von P0 gleich 0, die Wahrscheinlichkeit P1, P2, P3 bis P groß N setzen wir auf 1 durch N jeweils und alle anderen setzen wir wieder auf 0.
01:03:03
Also beim Laplaschen Wahrscheinlichkeitsraum wären nur endlich viele dieser Pn ungleich 0 und zwar alle gleich groß und alle anderen wären 0. Aber den Laplaschen Wahrscheinlichkeitsraum würden wir so eigentlich nicht beschreiben, den beschreiben wir besser direkt weiter als Laplaschen Wahrscheinlichkeitsraum.
01:03:25
Das Ding ist für Sachen wo eben gerade keine gleich, also wo eben nicht mehr alle Elementareeignisse mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auftreten. Okay, ich mache nochmal ganz kurz weiter, dann frage ich nochmal nach Fragen.
01:03:44
Wir haben dann berechnet oben das P von 1, 2, 3. Das war eigentlich das P von der 1, das P von der 2, das P von der 3. Das entspricht genau dem P1 plus dem P2 plus dem P3. Das ist P von Summe aus K in 1, 2, 3, PK. Also genau die Formel
01:04:03
von dem diskreten Wahrscheinlichkeitsraum. Haben Sie soweit Fragen? Dann nochmal, was haben wir gemacht? Ich gehe nochmal kurz zurück.
01:04:35
Ich habe jetzt einen Wahrscheinlichkeitsraum eingeführt. Grundmenge ist N0, der bestimmt wird durch diese Zehldichte, durch diese Wahrscheinlichkeiten,
01:04:46
mit der die einzelnen Zahlen auftreten. Und ich sage dann die Wahrscheinlichkeit von einer Menge ist die Summe der Wahrscheinlichkeit der Zahlen in dieser Menge. Und was ich jetzt habe, ich habe im Prinzip ein Modell zur Beschreibung vom
01:05:06
von Zufallsexperimenten, wo ich eben noch die Freiheit habe, dieses Pn zu wählen, so wie es mir passt. Das Pn kann ich jetzt so anpassen, dass es den tatsächlich auftretenden Wahrscheinlichkeiten in der Realität entspricht.
01:05:21
Das heißt, wir haben jetzt hier noch ziemlich viel Freiheitsmöglichkeiten, nämlich die Wahl von dem Pn. Und die können wir jeweils unserer realen Situation dem Pn auswählen. Wir können das mit dem realen Zufallsexperiment, was wir modellieren wollen, anpassen. Und dazu stelle ich Ihnen jetzt zwei Formeln vor, wie man das zum Beispiel machen kann,
01:05:41
ohne sehr groß vorneweg zu motivieren oder zu erläutern. Die erste der beiden Formeln machen wir dann zu Beginn der nächsten Vorlesungsstunde, mache ich ein Anwendungsbeispiel dazu. Da werden Sie sehen, wo die herkommt. Da ist aber ein reales Anwendungsbeispiel, wird es ein bisschen schwieriger, aber wird es trotzdem ganz nett, weil wir machen halt mal
01:06:01
was wirklich was zur Realität passt. Das ist eigentlich ganz nett. Die zweite Formel ist eine Approximation der ersten Formel. Das ist was, was ich Ihnen nicht groß erläutern möchte. Ich gebe sie nur der Vollständigkeit halber an. Okay, fangen wir an. Erste Möglichkeit, diese Zähldichte zu wählen oder eine ganz bekannte Möglichkeit, ist die sogenannte Binomialverteilung.
01:06:24
Wir haben hier n ist eine natürliche Zahl, p ist eine Zahl zwischen 0 und 1. Wir definieren uns dann diese pk so, dass wir setzen, wenn k zwischen 0 und n liegt, dann setzen wir pk als n über k mal p hoch k mal 1 minus p hoch n minus k und 0 sonst.
01:06:43
N über k ist dabei der sogenannte Binomial-Koeffizient, das heißt n über k ist n mal n minus 1 mal und so weiter mal n minus k plus 1 durch k mal k minus 1 und so weiter bis 1. Und das zu dieser Zähldichte, ich möchte hier nicht begründen, dass es eine Zähldichte ist,
01:07:05
dass zu dieser Zähldichte gehörende diskrete Wahrscheinlichkeitsmaß heißt Binomialverteilung. Es hat zwei Parameter, einerseits n, Anzahl der Freiheitsgrade, p ist eine Wahrscheinlichkeit, eine Zahl zwischen 0 und 1.
01:07:22
Okay, also eine übliche oder eine mögliche Wahl, die häufig in Anwendung auftritt, für diese Zähldichte. Wäre ein Beispiel, wo, also Sie sehen, die Wahrscheinlichkeiten sind ja 0, wenn k größer als n sind, also de facto treten eigentlich nur die Werte zwischen 0 und n auf.
01:07:46
Alle anderen Werte treten nicht auf. Aber sie treten eben nicht alle mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auf, sondern gemäß dieser Formel. Ich glaube, ich wollte noch was zu, ja, Einsatz in der Modellierung kommt nächste Vorlesung.
01:08:05
Beginn der nächsten Vorlesung, erste Hälfte, mache ich ein Beispiel, wo Sie sehen, wie man in der realen Welt auf so eine Formel kommt. Verstehen müssen Sie momentan eigentlich gar nichts dran, Sie sollten es nur mal gesehen haben. Ja, ich meine, also Sie sollten in der Lage sein, dieses pk zu berechnen, wenn ich Ihnen das p vorgebe und das n vorgebe und das k vorgebe.
01:08:28
Sowas sollten Sie hinkriegen können. Und die Formel müssen Sie auch nicht auswendig wissen. Wobei, gut, da möchte ich mich jetzt nicht ganz darauf festlegen. Jetzt überlegen wir uns am Schluss noch mal zur Klausur, ob Sie die Zähldichte der
01:08:42
Binomialverteilung bis dahin auswendig wissen, aber ich glaube eigentlich nicht, normalerweise verlange ich keine Zähldichten. Wir werden später dann weitere Sachen damit berechnen, wir werden zum Beispiel berechnen, wie groß ist der Wert, der im Mittel rauskommt, wenn eine Binomialverteilung vorliegt. Also wie groß ist das Ergebnis des Zufallsexperiments im Mittel, wenn Sie immer wieder Ergebnisse produzieren und dann den Durchschnittswert davon betrachten und das dann endlich oft machen, was kommt da dann raus.
01:09:15
Okay, also Fragen dazu, aber eigentlich können Sie gar keine Fragen haben, weil Sie nichts kapieren müssen.
01:09:25
Und nachdem wir eine so schöne Formel hatten, kommt die nächste schöne Formel. Das ist die sogenannte Poissonverteilung. Wir haben hier eine Zahl, die hängt vom Parameter ab, das ist eine Zahl lambda, oder haben Sie doch Fragen?
01:09:51
Also hier Poissonverteilung, wir haben ein Parameter, das ist eine Zahl lambda größer 0. Die Zähldichte, die Wahrscheinlichkeit von der Zahl k wird dann berechnet als lambda hoch k durch k Fakultät mal e hoch minus lambda.
01:10:02
K Fakultät ist die sogenannte Fakultät, also k Fakultät ist k mal k minus 1 mal k minus 2 und so weiter bis 1. Also 1 Fakultät wäre die 1, 2 Fakultät ist 2 mal 1, also 2, 3 Fakultät wäre 3 mal 2 mal 1, also 6 und so weiter.
01:10:24
Also auch hier gibt es eine Formel für die Zähldichte und auch hier, ich meine Sie sehen es nicht sofort, aber implizit eigentlich klar, die sind nicht alle gleich groß, die Wahrscheinlichkeiten. Und weiter, diese Wahrscheinlichkeiten sind diesmal alle von Null verschieden.
01:10:41
Also im Prinzip kann hier jede natürliche Zahl als Ergebnis vorkommen. Ich rechne Ihnen wieder nicht vor, dass es sich um eine Zähldichte handelt, das heißt, dass die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten gleich 1 ist. Einsatz in der Modellierung, eine Binomialverteilung mit Parametern n und p kann für n groß und p klein durch eine Poissonverteilung mit Parametern lambda gleich n mal p approximiert werden.
01:11:06
Auch das ist eine Sache, die möchte ich Ihnen nicht vorrechnen, also wenn wir nochmal zurückgehen zur Binomialverteilung, wenn da n groß ist, dann haben Sie das Problem und k irgendwo so eine Zahl, ja k nicht gerade
01:11:21
0, 1 oder so was, dann haben Sie das Problem, es wird schwierig, diesen Binomial-Koeffizienten überhaupt zu berechnen. Oder es wird schwierig, die ganze Formel hier auszurechnen, numerisch wird es schwierig und das wird eben einfacher, wenn Sie es dann approximieren durch eine Poissonverteilung. Und ich könnte Ihnen jetzt zeigen, wenn das n groß ist, das p klein und Sie setzen lambda gleich n
01:11:43
mal p, dann nähert sich der Wert der Zähldichte der Binomialverteilung immer mehr den Wert der Zähldichte der Poissonverteilung an. Könnte ich Ihnen vorführen, möchte ich aber auch nicht machen. Ok, wieder verstehen müssen Sie eigentlich gar nichts dran, Sie sollten es nur mal gesehen haben und wir werden
01:12:04
es dann im weiteren immer mal wieder verwenden, also vor allem nach Weihnachten kommen diese beiden Formeln immer wieder. Ok, haben Sie Fragen soweit? Die Folie 141, ja? Auf der Folie steht die Reihe n gleich
01:12:42
0 bis und endlich und auf der Tafel hatte ich n Element n 0 geschrieben, gemeint ist dasselbe. Bei dieser Summe hier ist die Reihenfolge der Summanden festgelegt, ich fange nämlich an mit dem 0ten, mit dem ersten, mit dem zweiten, wenn ich es mit n Element n 0 schreibe, ist die Reihenfolge der Summanden eigentlich nicht festgelegt, aber es spielt bei positiven Zahlen keine Rolle, in welcher Reihenfolge Sie die aufaddieren, wenn Sie unendlich viele aufaddieren.
01:13:07
Also Sie wissen schon, bei endlich vielen spielt es sowieso keine Rolle, in welcher Reihenfolge Sie sie aufaddieren, aber bei unendlichen ist es so, zumindest wenn die Zahlen positiv sind, spielt es auch keine Rolle. Ok, noch Fragen? Dann käme ich noch, bevor Sie alle gehen, zur Zusammenfassung. Zusammenfassung der heutigen Vorlesung.
01:13:38
Ein Laplace Wahrscheinlichkeitsraum ist ein Paar Omega p mit endlicher Grundmenge Omega
01:13:44
und p von A gleich Kardinalität von A durch Kardinalität von Omega. Das heißt, die Wahrscheinlichkeit von einem Ereignis A berechnen Sie gemäß der Formel Anzahl der für A günstigen Fälle durch Anzahl der möglichen Fälle.
01:14:00
Der Laplace Wahrscheinlichkeitsraum wird zur Modellierung von Zufallsexperiment eingesetzt, bei denen jedes der endlich vielen möglichen Ergebnisse mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auftritt. Das heißt, Sie können einen Laplace Wahrscheinlichkeitsraum nur hinschreiben, wenn Sie erstens nur endlich viele mögliche Ergebnisse haben und wenn zweitens alle mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auftreten.
01:14:24
Zweitens, in einem diskreten Wahrscheinlichkeitsraum n0p mit zähldichte pn, n aus n0 muss hier stehen, Entschuldigung, ist ein Tippfehler von mir. Das heißt, diese pn sind größer gleich 0, Summe n gleich 0 wissen endlich pn ist gleich 1, gilt p von A ist die Summe aller derjenigen pk's, wo k in A liegt.
01:14:46
Das heißt, hier ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten pk aller in A enthaltenen Elementarereignisse k. Okay, damit wäre ich für heute fertig.
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