Ja, ich begrüße Sie recht herzlich zur heutigen Vorlesung in der Mathematischen Statistik. Wir haben beim letzten Mal angefangen mit der statistischen Testtheorie. Gegeben ist, wie immer, eine Familie W-Teter, Teter aus Großteter, von Wahrscheinlichkeitsmaßen.

Hier jetzt auf RL. x1, xn seien unabhängig identisch verteilt. Und die Verteilung von x1 sei gleich einem W-Teter für ein Teter aus Großteter. Und um Eigenschaften von diesem Teter geht es. Genauer ist jetzt vorgegeben eine Partitionierung der Menge Teter in zwei nicht leere Mengen Teter0, Teter1.

Und wir suchen Verfahren, um ausgehend von den Werten von x1 bis xn uns zwischen den zwei Hypothesen, der sogenannten Nullhypothese H0, Teter1, Teter0 enthalten, und der Alternativhypothese H1, Teter1, Teter1 enthalten, zu entscheiden.

Das Ganze machen wir mit Hilfe von sogenannten statistischen Tests. Ein statistischer Test ist eine messbare Funktion phi von Rl hoch n nach 0, 1. Und die Deutung von dem statistischen Test ist, wenn wir den statistischen Test phi verwenden

und x1 bis xn sind unsere beobachteten Werte, dann ist phi von x1 bis xn die Wahrscheinlichkeit, mit der wir uns für die Annahme von H1 entscheiden. Das heißt, bei Durchführung des statistischen Tests beobachten wir eben die x1 bis xn, stecken sie in unsere Funktion phi rein, bekommen dann eine Zahl zwischen 0 und 1 raus,

machen ein Zufallsexperiment, wo mit genau dieser Wahrscheinlichkeit die Null rauskommt, mit dieser Wahrscheinlichkeit die 1 rauskommt, mit der Gegenwahrscheinlichkeit die Null rauskommt, und je nachdem entscheiden wir uns für A1 oder für H0.

Ich habe dann eingeführt die sogenannte Gütefunktion des statistischen Tests. Das ist die Funktion beta phi, Funktion von theta nach 0, 1. Beta phi von theta ist der Erwartungswert bei wahren Parameter theta von phi von x1 bis xn. Das heißt, falls w theta die Verteilung von x1 bis xn oder von x1 und damit die von x1 bis xn ist.

Und wir haben dann gesehen, dieses beta phi von theta ist die Wahrscheinlichkeit für die Annahme von H1 bei vorliegendes Parameters theta aus theta und Verwendung von phi. Und damit, mit Hilfe dieses beta phi, haben wir dann zwei Begriffe für Tests eingeführt.

Das erste war der Test zum Niveau alpha. Phi heißt Test zum Niveau alpha, genau dann, wenn für alle theta aus theta 0 gilt. Diese Gütefunktion an der Stelle theta soll kleiner gleich alpha sein. Das heißt, für alle theta aus theta 0, wenn theta der wahre Parameter ist,

wir entscheiden uns mit einer Wahrscheinlichkeit kleiner gleich alpha für die Annahme von H1, was in dem Fall ein sogenannter Fehler erster Art wäre. Das heißt, die Fehlerwahrscheinlichkeiten erster Art sind alle kleiner gleich alpha. Und B, ein Test phi heißt gleichmäßig bester Test zum Niveau alpha, wenn er zwei Bedingungen erfüllt.

Erstens, es ist ein Test zum Niveau alpha. Und zweitens, unter Verglichen mit allen anderen Tests, wie quer zum Niveau alpha gilt, für alle theta aus theta 1, ist 1 minus beta phi von theta kleiner gleich 1 minus beta phi quer von theta. Dieses 1 minus beta phi von theta ist nun die Wahrscheinlichkeit,

dass wir uns gerade nicht für H1 entscheiden, wenn theta der wahre Parameter ist. Wenn theta ein theta 1 ist, wäre eine Entscheidung nicht für H1 ein sogenannter Fehler zweiter Art. Das heißt, hier steht die Fehlerwahrscheinlichkeit in zweiter Art. Das heißt, ein gleichmäßig bester Test zum Niveau alpha hat die Eigenschaft,

erstens, alle Fehlerwahrscheinlichkeiten zweiter Art sind kleiner gleich alpha. Und alle Fehlerwahrscheinlichkeiten erster Art sind kleiner gleich alpha. Und zweitens, unter allen solchen Tests minimiert er gleichmäßig alle Fehlerwahrscheinlichkeiten zweiter Art. Und das ist das, was wir suchen im Folgenden.

Und der zentrale erste Satz, um dann eine Theorie zu machen und der uns ermöglicht, theoretische Aussagen herzuleiten, ist das Fundamentallämmer von Neumann-Piersen, was ich als 6,1 formuliert habe und was wir gleich beweisen werden. Wir haben hier einen Spezialfall, das groß theta nur zwei Werte annimmt.

Oder zwei Werte hat, nämlich theta 0 und theta 1. W theta besitze eine dichte f theta bezüglich einem sigma-endlichen Maß μ. Zu testen sei dementsprechend, wenn ich jetzt diese Menge theta 0, theta 1 in zwei nicht leere Mengen partitioniere, bleiben eben die beiden Einpunktmengen übrig. h0 sei theta gleich theta 0, h1 sei theta gleich theta 1.

Das Ganze machen wir ausgehend von gegeben eine Zufallsvariable x mit Verteilung W theta für eines dieser beiden theta. Und wir möchten eben herausfinden, ist diese Parameter theta 0 oder ist dieser Parameter theta 1?

Alpha aus 0 bis 1 sei das vorgegebene Niveau. Dann ist die Aussage von A ein Test phi, der das Niveau an der Stelle theta 0 voll ausschöpft. Das heißt, der Erwartungswert von theta 0 von phi von x ist gleich alpha. Ist gleichmäßig besser Test zum Niveau alpha, genau dann, wenn für ein K-Stern aus R plus gilt Bedingung 6,1.

Dieses phi von x ist 1, falls f theta 1 von x größer als K-Stern mal f theta 0 von x ist. Und 0, falls f theta 1 von x kleiner als K-Stern mal f theta 0 von x ist. Und da ich den Test beliebig auf mu Nullmengen abändern kann, ohne dass sich die Gütefunktionen verändern,

muss diese Bedingung, wenn sie also notwendig sein, muss nur für mu fast alle x aus Rn gelten. Und damit kann man dann auch einen gleichmäßig besten Test zum Niveau alpha konstruieren. Für dieses einfache Problem da oben, wir wollen uns nur zwischen zwei Parametern unterscheiden.

Nämlich, man verwendet genau das zur Definition und muss eben noch darauf achten, dass man gleichzeitig das Niveau an der Stelle, dass man gleichzeitig, dass die Gütefunktion an der Stelle theta 0, oder das Niveau an der Stelle theta 0 voll ausschöpft.

Das heißt, dass der Erwartungswert von theta 0 von phi von x gleich alpha ist. Das kriegen Sie aber hin, weil Sie haben hier noch Freiheit mit dem K-Stern. Und Sie haben auch noch Freiheit im Rahmen der Situation, wenn f theta 1 von x gleich K-Stern mal f theta 0 von x ist, dann ist hier ja nichts vorgegeben.

Okay, das machen wir im B-Teil. Wir setzen T von x als dichte Pozienten f theta 1 von x durch f theta 0 von x, wobei a durch 0 gleich und endlich ist für a größer 0, 0 durch 0 gleich 0. Wir wählen K-Stern dann als alpha-fraktil der Verteilung von T von x bei Warnparameter theta 0.

Und wir wählen Gamma-Stern aus 0,1 mit der Eigenschaft, dass Wahrscheinlichkeit bei Warnparameter theta 0 von T von x größer als K-Stern plus Gamma-Stern mal die Wahrscheinlichkeit bei Warnparameter theta 0 von T von x gleich K-Stern gleich alpha ist. Dann setzen wir V-Stern von x gleich 1, falls T von x größer K-Stern ist,

Gamma-Stern falls T von x gleich K-Stern ist, 0 falls T von x kleiner K-Stern ist. Und was dann rauskommt, ist ein gleichmäßig bester Test zum Niveau alpha für das obige Testproblem. Dabei ist dieses K-Stern, das alpha-fraktil der Verteilung von T von x bei Warnparameter theta,

ist die kleinste reelle Zahl, so dass die zugehörige Verteilungsfunktion zu dieser Verteilung an der Stelle T größer gleich 1 minus alpha ist.

Okay, dann noch ganz kurz, das Ganze ergibt einige Prüfungsfragen bzw. die letzte Vorlesung und auch einige Prüfungsfragen, die ich noch gar nicht gemacht habe, aber die kommen dann hinterher noch, weil ich habe ja ein bisschen gekutzt bei dem Ganzen, wie Sie vielleicht gemerkt haben. Frage Nummer 25 haben wir im Prinzip gemacht. Was versteht man unter einem statistischen Test?

Gehen Sie bei Ihrer Antwort auch ein auf die Begriffe Nullhypothese und Alternativhypothese, Fehler erster und zweiter Art, Test zum Niveau alpha und gleichmäßig bester Test zum Niveau alpha. Frage 26 haben wir ganz kurz besprochen. Warum behandelt man in der statistischen Testtheorie die beiden Hypothesen asymmetrisch?

Ja, man kann eben nicht die Fehlerwahrscheinlichkeiten erster und zweiter Art gleichmäßig bezüglich theta minimieren. Und was folgt daraus für die Wahl der Hypothesen in einer Anwendung? Das ist ein einfacher Satz, was Sie sich merken müssen. Das Statistisch zu Sichernde gehört in die Gegenhypothese.

Oder in die Alternativhypothese kommt das rein, was Sie statistisch sichern wollen, weil nur wenn es da drin steht, können Sie sicher sein, wenn am Schluss die Gegenhypothese rauskommt, dass Sie auch den Fehler kontrolliert haben, falls sie nicht gilt. Also die Merkregel wäre, Statistisch zu Sichernde immer in die Gegenhypothese.

Ja, was ist die gute Funktion eines statistischen Tests? 27 haben wir noch gemacht. Skizzieren Sie deren Verlauf für einen typischen Test zu einem einseitigen Testproblem. Das kommt noch in Übungen. Und zu einem zweiseitigen Testproblem, das kommt noch später. Weil ich hatte noch von zweiseitiges Testproblem noch gar nicht gesprochen.

Genauso hier, wodurch unterscheiden sich ein einseitiges bzw. zweiseitiges Testproblem und ein Einstichprobenproblem bzw. ein Zweistichprobenproblem jeweils. Das kommt also kurz nach Weihnachten. Dann Frage Nummer 29. Führen Sie den Begriff des statistischen Tests anhand des einseitigen Gaustests ein? Der einseitige Gaustest kommt heute noch am Ende oder sonst nächste Vorlesung.

Begründen Sie der einseitige Gaustest ein Test zum Niveau Alpha. Skizzieren Sie die gute Funktion des einseitigen Gaustestes. Weil das machen Sie so ein bisschen in der Übung noch. Dann Frage Nummer 30 haben wir wieder gemacht.

Was versteht man unter dem Alpha-Fraktil eines W-Maßes Q auf B Alpha aus 0,1? Begründen Sie für eine reelle Zufallsvariable X mit Px gleich Q gilt die Wahrscheinlichkeit von X größer als Q Alpha ist klarer gleich Alpha ist klarer gleich die Wahrscheinlichkeit von X größer gleich Q Alpha.

Und Frage Nummer 31. Das machen die jetzt gleichfolgungs. Den ersten Teil haben wir schon. Formulieren und beweisen Sie das Fundamentale immer von Neumann und Pearson. Sie werden sehen der Beweis ist relativ simpel. Zumindest wenn man einen Hinweis bekommt und dieser Hinweis steht da. Sie sollen ein entsprechendes Integral angucken.

Und eigentlich ist der Hinweis den Integranten zu verwenden. Das ist der Trick an der ganzen Geschichte. Okay, aber werden Sie gleich sehen. Haben Sie so weit Fragen?

Ich weiß nicht, ob Sie sich mal überlegt haben. Was ist eigentlich der Sinn davon, dass in Tukan bei jedem einzelnen Termin der Hörsaal angegeben ist? Ich habe das nie begriffen, bis mich letzte Woche Herr Haller-Dintelmann angesprochen hat und gesagt hat.

Ja, mein Termin am 20. oder der Hörsaal am 21.11. verlegt wurden. Das ist der Sinn davon. Das heißt, wenn in dem Fall Herr Brömel dringend einen Hörsaal braucht. Dann kann er in Tukan den Hörsaal von einer Hörsaalvorlesung einmalig abändern.

Und schon sind wir woanders drin. Und deswegen sind wir am 20.11. Aber ich werde es nochmal ankündigen, dem Hörsaal S101A02. Wenn Sie hier immer so im Kreis rumlaufen, finden Sie irgendwann den A02. Also es ist erstaunlicherweise nicht direkt daneben.

Da ist der A04, aber das liegt daran, weil die so ringförmig angeordnet sind. Der A02 ist das andere daneben. Ach so, ich wollte eigentlich gar nicht in meinen Skript reingucken. Okay, dann beweisen wir Satz 6.1.

Und da habe ich Ihnen schon erzählt, dass ich neue Greide habe. Boah, cool. Hat mir einer geschenkt. Schreibt anscheinend viel besser. Satz 6.1, das war das, was wir gerade auf Folie hatten.

Fundamentallämmer von Neumann-Piersen. Wir haben zwei Teile, A und B. A-Teil war eine Äquivalenz. Wir hatten ein Test. Also wir hatten dieses einfache Testproblem. H0 Teta gleich Teta0 versus H1 Teta gleich Teta1. W Teta hatte eine Dichte F Teta bezüglich Mu. Wir hatten im A-Teil, haben wir gesagt, wir betrachten Tests mit Erwartungswert Teta0 von Phi von X gleich Alpha.

Und wir wollen zeigen, ein solcher Test ist gleichmäßig bester Test zum Niveau Alpha. Genau dann, wenn eine Bedingung 6.1 erfüllt war. Dieses Phi von X war 1, falls F Teta 1 von X größer K Stern mal F Teta0 von X war.

Und 0, wenn es kleiner war, für Mu fast alle X. Okay. Und dann gibt es noch ein Teil B. Und wir beweisen das nicht so, dass wir erst A zeigen und dann B. Sondern ich zeige die eine Richtung von A. Also ich zeige, dass die Bedingung 6.1 hinreichend ist.

Dann beweise ich da mit B. Und daraus folge ich dann wieder die zweite Richtung von A. Also A1 sei also Phi, Test mit.

Und wir zeigen jetzt aus 6.1 folgt, dass Phi der gleichmäßig beste Test zum Niveau Alpha ist.

Okay, dazu.

Also wir nehmen mal an, Phi erfüllt 6.1. Oder es gelte 6.1 für Phi. Das heißt für Mu fast alle X ist Phi von X gleich 1, falls F Teta 1 von X größer als K Stern mal F Teta0 von X.

Und 0, falls F Teta 1 von X kleiner als K Stern mal F Teta0 von X für 1 K Stern. Dann nehmen wir uns einen beliebigen anderen Test zum Niveau Alpha.

Das heißt, die Fehlerwahrscheinlichkeit oder alle Fehlerwahrscheinlichkeiten erster Art von Phi quer sind kleiner gleich Alpha.

Wir haben nur eine. Also der Erwartungswert bei Warenparameter Teta0 von Phi quer von X ist kleiner gleich Alpha. Was ist zu zeigen? Zu zeigen ist, dass Phi bezüglich den Fehlerwahrscheinlichkeiten erster Art gleichmäßig besser ist als Phi quer.

Gleichmäßig besser bedeutet hier nicht viel, weil es gibt nur eine einzige Fehlerwahrscheinlichkeit erster Art. Das heißt, wir müssen zeigen, die Fehlerwahrscheinlichkeit erster Art von Phi für Teta 1 ist kleiner gleich dem entsprechenden Wert für Phi quer.

Zu zeigen, die Fehlerwahrscheinlichkeit erster Art, das war 1 minus die gute Funktion für unser Phi, ist kleiner gleich.

Das heißt, die gute Funktion von Phi an der Stelle Teta 1 muss größer gleich als dem entsprechenden Wert von Phi quer sein.

Okay, jetzt kommt der eigentliche Trick. Wir nehmen den Integranten aus dem Hinweis von vorhin.

Das heißt, ich nehme in dem Fall Phi von X minus Phi quer von X mal F Teta 1 von X minus K Stern mal F Teta0 von X. Dann gucken wir das an. Es gilt.

Also was habe ich gesagt? Ich nehme Phi von X minus Phi quer von X mal F Teta 1 von X minus K Stern mal F Teta 0 von X. Ich gucke mir das hier an.

Ja, und das ist die Sache, wo Sie sich an 6.1 erinnern sollten. Ich schreibe es vielleicht einfach nochmal an die Tafel hin, falls Sie es nicht mehr vorliegen haben. 6.1 war Phi von X war 1, falls F Teta 1 von X größer als K Stern mal F Teta 0 von X ist 0,

falls F Teta 1 von X kleiner als K Stern mal F Teta 0 von X ist für mu fast alle X.

Und ich behaupte, wenn Sie jetzt 6.1 betrachten, dann können Sie eine Aussage machen über das Vorzeichen von den Termen, den ich gerade hingeschrieben habe.

Vorschlag?

Okay, also die Antwort war, das Ganze ist immer nicht negativ, also immer größer als Null.

Und wir machen eine Fallunterscheidung. Und wir müssten die Fallunterscheidung eigentlich bezüglich dem letzten Term machen. Also wir machen die Fallunterscheidung bezüglich dem letzten Term. Wenn dieser letzte Term, der zweite Faktor, größer als Null ist, dann sind wir in dem Fall drin. Dann kommt hier 1 raus, zumindest für mu fast alle X. Das heißt, dann steht hier 1, aber hier steht irgendwas zwischen 0 und 1.

Das heißt, der erste Faktor ist auch größer als Null, Produkt ist größer als Null. Umgekehrt, wenn der erste Faktor kleiner als Null ist, dann sind wir in dem Fall, dann ist Phi von X gleich Null, zumindest für mu fast alle X steht hier Null. Hier steht irgendwas zwischen 0 und 1.

Differenz ist dann kleiner als Null. Das heißt, wir haben hier etwas kleiner als Null, hier kleiner als Null. Produkt ist größer als Null. Das heißt, wir sehen, das Produkt hier ist größer als Null für mu fast alle X.

Oder eben mit Fallunterscheidung f'1 von X größer oder kleiner als f'0 von X.

Okay, also das war der entscheidende Schritt im Beweis. Jetzt integrieren wir darüber bezüglich mu.

Dann, wenn der Integrant für mu fast alle X größer als Null ist, ist auch das Integral größer als Null für mu fast alle X. Das heißt, daraus folgt das Integral von Phi von X minus Phi quer von X

mal f'1 von X minus k' mal f'0 von X mu dX ist größer als Null. Jetzt multiplizieren wir hier aus. Wir bekommen Summe bzw. Differenz von vier Termen, ziehen das Integral auseinander, bekommen vier entsprechende Integrale.

Ich multipliziere erst das Ganze mit f'1 von X. Dann komme ich auf Integral über Phi von X mal f'1 von X mu dX minus Integral über Phi von X mal f'1 minus Integral über Phi quer von X.

Das ist der erste Term. Und dann bekomme ich als zweites das minus k' mal, das schreibe ich jetzt so, Integral über Phi von X mal f'0 von X.

Und dann käme ich auch ein plus k' mal das Integral mit Phi quer. Und da ich das minus k' hier rausgezogen habe, schreibe ich hier minus

den Integral über Phi quer von X mal f'0 von X.

Jetzt nutzen wir aus, dass f' ja eine Dichte von v' bezüglich mu ist.

Dann sehen Sie, das erste Integral ist gerade Phi von X integriert v'1 dX. Das ist aber das gleiche wie der Erwartungswert bei warmen Parameter

theta 1 von Phi von X, also Phi von groß X. Und entsprechend formen Sie jetzt die weiteren Terme um. Dann steht da minus Erwartungswert bei wahren Parameter theta 1 von Phi quer von X.

Und dann kommt noch ein minus k' mal Erwartungswert bei wahren Parameter theta 0 von Phi von X

minus Erwartungswert bei wahren Parameter theta 0 von Phi quer von X. Ja, und jetzt sehen Sie vielleicht, sind wir mit a1 fertig.

Oder Sie können mir vielleicht sagen, warum sind wir jetzt mit a1 fertig?

Okay, wir wissen, die Tests schöpfen das Niveau voll aus. Das heißt, hier ist jeweils alpha und hier ist auch jeweils alpha nach Voraussetzung. Dann sehen Sie, hier steht 0. Das heißt, das Ganze ist genau der Erwartungswert bei wahren Parameter theta 1 von Phi von X

minus den Erwartungswert bei wahren Parameter theta 1 von Phi quer von X. Die Differenz dieser beiden Werte der gute Funktion ist jetzt größer gleich 0.

Das heißt, Erwartungswert bei wahren Parameter theta 1 von Phi quer von X ist kleiner gleich als Erwartungswert bei wahren Parameter theta 1 von Phi von X. Und das war zu zeigen.

Okay, Fragen soweit?

Ja, man hat es mir gesagt und ich habe es wiederholt. Selber schuld. Kam mir gleich so komisch vor. Also, wir haben angenommen, dass Phi quer Test zum Niveau alpha ist.

Das heißt, der Erwartungswert bei wahren Parameter theta 0 von Phi quer ist kleiner gleich alpha. Das heißt, das hier ist ein kleiner gleich alpha und damit haben wir auch hier ein kleiner gleich. Aber damit sind wir genauso fertig. Ich muss gestehen, ich war an der Stelle schon beim Beweis von A2.

Der Beweis von A2 wird so gehen, dass wir genau das gleiche machen. Nur werden wir einmal den Test aus dem B-Teil verwenden an der Stelle und zum anderen einen gleichmäßig besten Test zum Niveau alpha, der auch das Niveau voll ausschöpft.

Wenn wir das machen, mit der gleichen Begründung wie gerade eben, wird der Integrant größer gleich null sein. Das Ganze wird immer noch mit Gleichheit gelten, aber die werden null sein, weil die alle das Niveau voll ausschöpfen. Die werden null sein, weil beide gleichmäßig beste Tests zum Niveau alpha sind.

Damit ist das ganze Integral gleich null, aber der Integrant größer gleich null. Daraus folgt, der Integrant ist fast überall gleich null. Daraus folgt, dass der zweite Test, von dem wir zeigen wollen, dass er diese Bauart 6.1 hat, mit dem ersten übereinstimmt. Wenn der Integrant ungleich null ist, für mühe fast alle x und das wird die Behauptung sein.

Okay, aber vorher sollten wir noch B beweisen oder Fragen so weit.

Ja, da müsste ich mal gucken. Ich glaube der Test in B, der hieß eigentlich Viehstern oder irgendwas. Ist noch recht weiß. Ja, Viehstern. Wir zeigen jetzt B. Wir wissen, dieses Viehstern erfüllt, wenn wir uns den Wert der gute Funktion von Viehstern an der Stelle theta null angucken.

Na ja, Viehstern nimmt drei Werte an oder diesen Erwartungswert.

Nämlich 1, Gamma-Stern und 0. Das heißt, der Erwartungswert ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Ding gleich 1 ist plus Gamma-Stern mal die Wahrscheinlichkeit, dass das Ding plus Gamma-Stern die Wahrscheinlichkeit, dass das Ding eben gleich Gamma-Stern ist.

Also das Ding ist die Wahrscheinlichkeit, dass es gleich 1 ist. Das war T von X größer als K Stern. Dann kommt noch plus Gamma-Stern mal die Wahrscheinlichkeit, dass es gleich Gamma-Stern ist.

Das war im Falle T von X gleich K Stern. Ja, und das hatten wir nach in 6, 2 vorausgesetzt war gleich Alpha.

Also Viehstern ist ein Test mit der Eigenschaft, dass der Erwartungswert bei Warenparameter theta null von Viehstern von X gleich Alpha ist. Das heißt, wir wissen schon, wenn Viehstern jetzt die Bauart 6, 1 hat, dann ist Vieh ein gleichmäßig wester Test zum Niveau Alpha.

Also machen wir uns klar, ob Viehstern die Bauart 6, 1 hat. Das heißt, ob eben gilt, wenn f theta 1 von X größer als K Stern mal f theta null von X, dass dann Viehstern von X gleich 1 ist.

Wenn f theta 1 von X größer als K Stern mal f theta null von X ist, dann, wenn ich durch f theta null

von X teile, dann steht da f theta 1 von X durch f theta null von X ist gleich K Stern, größer als K Stern. Das heißt, T von X gleich f theta 1 von X durch f theta null von X ist größer als K Stern.

Gilt zumindest dann, wenn f theta 0 von X ungleich 0 ist, also als dichtes ist es ja immer größer als gleich 0, aber gilt dann, wenn es ungleich 0 ist. Wenn es gleich 0 ist, machen Sie sich klar, gilt es natürlich auch. Weil wenn es gleich 0 ist, dann ist f theta 0 von X gleich 0, f theta 1 von X aber

größer als 0 und irgendeine Zahl größer als 0 durch 0 war unendlich, nach unserer Konvention, ist natürlich größer als K Stern. Ja, dann sehen Sie, in dem Fall ist nach Definition Viehstern von X gleich 1.

Analog machen Sie sich klar, wenn f theta 1 von X kleiner als K Stern mal f theta 0 von X ist, dann ist in dem Fall natürlich f theta 0 von X kann nicht 0 sein.

Also ich kann problemlos damit durchteilen, dann ist f theta 1 von X durch f theta 0 von X kleiner als K Stern.

Und nach Definition von Viehstern ist dann Viehstern gleich 0. Damit sehen Sie, Viehstern erfüllt 6.1 und mit A1 gilt dann Viehstern ist der gleichmäßig beste Test zum Niveau Alpha.

Also mit A1 folgt Viehstern gleichmäßig bester Test zum Niveau Alpha.

Ok, Fragen soweit? Ok, dann kommen wir jetzt noch zum fehlenden Teil A2.

Der geht, wie gerade eben schon erzählt, schreiben wir nur noch mal hin.

Also sei jetzt Vieh gleichmäßig bester Test zum Niveau Alpha mit e theta 0 von Vieh von X gleich Alpha.

Und zu zeigen ist Vieh erfüllt 6.1.

Und das machen wir, indem wir Vieh gemeinsam mit diesem Test Viehstern aus B betrachten. Also dazu sei Viehstern der Test aus B.

Dann gilt, naja, erstens der Wert der Gütefunktion an der Stelle theta 0 ist beides mal gleich Alpha. Beide schöpfen das Niveau voll aus. e theta 0 von Vieh von X ist gleich Alpha, e theta 0 von Viehstern von X.

Weiter, beide Tests sind gleichmäßig beste Tests zum Niveau Alpha. Das heißt, beide Tests maximieren unter allen Tests zum Niveau Alpha die Fehlerwahrscheinlichkeit erster Art an der Stelle theta 1. Nein, sie maximieren die Gütefunktion an der Stelle theta 1. Das heißt, sie minimieren die Fehlerwahrscheinlichkeit erster Art an der Stelle theta 1.

Ja, wenn sie beide die Gütefunktion maximieren, dann müssen sie beide den gleichen Wert haben.

Eben da, beide Tests gleichmäßig beste Tests zum Niveau Alpha.

Und jetzt schreiben wir eben das Integral von gerade eben hin, aber mit Vieh ersetzt durch Viehstern und mit Viehquer ersetzt durch Vieh.

Daraus folgt, wenn ich hinschreibe, das Integral über Viehstern von X minus Vieh von X mal f theta 1 von X minus k Stern mal f theta 0 von X.

Mühde X, dann mache ich die gleichen Umformungen wie gerade eben. Komm auf den Erwartungswert bei Warenparameter theta 1 von Viehstern von X minus Erwartungswert bei Warenparameter theta 1 von Vieh von X minus k Stern mal die gleichen Ausdrücke mit Warenparameter theta 0.

Also Vergleiche A1. Ich komme auf Erwartungswert bei Warenparameter theta 1 von

Viehstern von X minus Erwartungswert bei Warenparameter theta 1 von Vieh von X. Minus k Stern mal Erwartungswert bei Warenparameter theta 0 von Viehstern von X, minus Erwartungswert bei Warenparameter theta 0 von Vieh von X.

Ja, und dann sehen Sie, der Wert der Gütefunktion von Phi und Phi-Stern hat aber an Stellen

Theta 0 und Theta 1 übereinbestimmt, das heißt, hier kommt Null raus.

Jetzt sehen wir weiter, wie in A1 ist der Integrant größer gleich Null für mu fast alle x, weil eben auch dieses Phi-Stern die Eigenschaft hat, wenn der zweite Faktor größer als Null ist, ist Phi-Stern gleich 1. Ja gut, hier ist sogar der Integrant größer gleich Null für alle x diesmal.

Also Phi-Stern hat die Eigenschaft, wenn der zweite Faktor größer als Null ist, dann ist Phi-Stern von x gleich 1. Wenn der zweite Faktor kleiner als Null ist, ist Phi-Stern von x gleich Null. Also wegen Integrant Phi-Stern von x minus Phi von x größer gleich Null für alle x, Vergleiche A1.

Das folgt, wenn Sie eine nicht negative Zufallsvariable haben oder wenn Sie eine nicht negative Funktion haben,

deren Integral gleich Null ist, dann muss der Integrant für mu fast alle x ebenfalls gleich Null sein.

Das heißt, hier folgt Phi-Stern von x.

Ja, aber jetzt sehen Sie, wenn jetzt der zweite Faktor ungleich Null ist, muss eben der erste Faktor gleich Null sein. Das heißt Phi gleich Phi-Stern sein. Und das war die Behauptung. Und das führt auf 6,1. Und wir sind fertig.

Okay, haben Sie Fragen soweit zum Beweis? Also bei den Prüfungsfragen vorgegeben als Hinweis,

was wäre Ihnen genau diese erste Gleichung? Also nicht unbedingt mit Phi-Stern, sondern mit Phi 1, Phi 2 oder so was. Da müssen Sie sich eben noch überlegen, was setzen Sie für 1, Phi 2 ein und diese Argumente ausnutzen,

dass der Integrant nicht negativ ist. Und daraus folgt eigentlich alles. Und die Schwierigkeit ist noch, Sie müssen sich die Aussage des Fundamentals, wenn wir es merken. Aber ansonsten sollte es eigentlich kein Problem sein.

Okay, wenn Sie keine Fragen mehr haben, machen wir 5 Minuten Pause zum Tafelwischen und ich mache dann um 3.16 Uhr weiter. Also ich könnte mir so langsam vorstellen, durchaus weiterzumachen. Was wir jetzt machen wollen, also wir hatten jetzt einen Primitivtest, nur Entscheidung zwischen zwei Hypothesen.

Wir wollen das Ganze erweitern und das machen wir mit dem Begriff der Klasse von Wahrscheinlichkeitsmaßen mit monotonen Wichtigpatienten. Das wird uns zum Beispiel erlauben, dann aus dem vorigen Lemma einen Satz herzuleiten, der dann zeigt, dass der einseitige Gaustest ein gleichmäßig bester Test zum Niveau Alpha ist.

Das Ganze gibt Abschnitt 6.3, Tests bei monotonen Wichtigpatienten.

Und da wollen wir Satz 6.1 auf allgemeinere Hypothesen erweitern. Und wir brauchen dazu die folgende Definition, das ist Definition 6.5.

Eine Klasse W, Teta, Teta von W-Maßen auf Rn, Bn mit Teta Teilmenge R heißt Klasse mit monotonen Wichtigpatienten.

Eine Klasse W, Teta, Teta aus Teta von W-Maßen auf Rn, Bn mit Teta Teilmenge R heißt Klasse mit monotonen Wichtigpatienten.

Und dieser monotone Wichtigpatienten ist eine Funktion T von Rn, Bn nach Rb, falls gilt.

Und es sind zwei Bedingungen. Die erste Bedingung, die Klasse soll eindeutig parametrisiert sein. Das heißt, W-Teta 1 sei ungleich als W-Teta 2, wenn Teta 1 ungleich Teta 2 ist. Und die zweite Bedingung ist, diese W-Teta müssen dichten F-Teta bezüglich einem sigmaendlichen Maß μ haben,

so dass der dichte Quotient F-Teta 1 von x durch F-Teta 2 von x für Teta 1 kleiner als Teta 2 eine monoton wachsende Funktion von T von x ist.

Also erste Bedingung, wir haben W-Teta 0 ist, oder ich habe hier W-Teta 0 ungleich W-Teta 1 für alle Teta 0 ungleich Teta 1.

Für Teta 0, Teta 1 sind Teta, das ist die eindeutige Parametrisierung.

Und die zweite Bedingung, wir brauchen ein sigmaendliches Maß μ muss existieren und müdigten F-Teta von Rn nach R von W-Teta für Teta aus Teta.

So, dass für alle Teta 0, Teta 1 mit Teta 0 kleiner als Teta 1, also an der Stelle brauche ich jetzt, dass Teta eine Teilmenge von R ist,

damit habe ich eine Ordnung auf meinen Parametern, also für alle Teta 0, Teta 1 mit Teta 0 kleiner als Teta 1,

soll ich den dichten Quotienten F-Teta 1 von x durch F-Teta 0 von x für Teta 1 kleiner als Teta 1, durch eine streng monoton wachsende Funktion, die bezeichnend mit G-Teta 0, Teta 1 von T von x darstellen können.

So, dass für alle Teta 0, Teta 1 aus Teta mit Teta 0 kleiner als Teta 1, eine streng monoton wachsende Funktion G-Teta 0, Teta 1 von R nach R existiert,

mit F-Teta 1 von x durch F-Teta 0 von x ist gleich ein G-Teta 0, Teta 1 von T von x und es soll gelten,

naja, bis auf Nullmengen vom Maß W-Teta für Teta gleich Teta 0 oder Teta gleich Teta 1 für diese beiden Maße

und das formuliere ich als für W-Teta 0 plus W-Teta 1 fast alle x.

Den Fall Null durch Null muss ich hier nicht groß weiter betrachten, also dass beide Dichten gleich Null sind, weil die Menge à la x, wo beide Dichten gleich Null sind, eben bezüglich diesem Maß eine Nullmenge ist, weil das braucht mich nicht weiter stören.

Okay, Sie sehen vielleicht schon so ein bisschen, warum das der richtige Begriff ist, um unseren vorigen Test zu erweitern, auf allgemeinere Situationen, weil dieser Test hing ja letzten Endes eigentlich nur von so einem Dichtequotienten ab. Und wenn ich jetzt einen neuen Test definiere, der nur von dem T abhängt,

dann kann ich dieses F-Teta 1 von x größer als F-Teta 0 von x oder F-Teta 1 von x durch F-Teta 0 von x größer als K-Stern immer umschreiben in ein T von x größer als ein K-Quer. Oder umgekehrt, ich fange mit einem Test an, wo T von x größer als K-Quer ist

und dann hat er eben so eine Bauart, dass F-Teta 1 von x durch F-Teta 0 von x größer als irgendein K-Stern ist. Und dann werden wir für ganz viele verschiedene Werte von Teta 0 und Teta 1 simultan das fundamentale Mal von Neumann und Pearson in den Beweisen anwenden können. Und das wird dann letzten Endes uns ermöglichen, diese gleichmäßige Minimierung der Fehlerwahrscheinlichkeiten zweiter Art zu zeigen.

Okay, ich mache ein Beispiel dazu. Gibt Beispiel 6.1. Wir nehmen Teta als die reellen Zahlen und B

-Teta sei die Verteilung von einem N-Tuppel von unabhängigen normal verteilten Zufallsvariablen,

wobei der Erwartungswert jeweils gleich Teta sei und die Varianz fest gleich im Sigma 0 Quadrat. Teta gleich R. B-Teta sei Verteilung von x gleich x1 bis xn. Mit x1 bis xn unabhängig n Teta Sigma 0 Quadrat verteilt.

Wobei die Varianz fest sei. Das Sigma 0 Quadrat wurde so null fest.

Und was ich jetzt haben möchte, ich möchte zeigen, dass das eine Klasse mit monotonen Dichtequizienten ist. Also ich brauche eine Funktion T von Rn nach R, sodass ich diesen Dichtequizienten F Teta 1 von x durch F Teta 0 von x,

also eigentlich ist es ein F Teta von F Teta 1 von klein x1 bis klein xn durch F Teta 0 von klein x1 bis klein xn. Ich möchte schreiben als eine streng monoton wachsende Funktion G Teta 0 Teta 1 von T von klein x1 bis klein xn.

Okay, wir überlegen uns erstmal, was ist die Dichte von W Teta bezüglich dem Lebesmaß. Ja, können Sie mir vielleicht sagen. Wie komme ich auf die Dichte von W Teta?

Das ist das Produkt der Dichten wegen der Unabhängigkeit und Dichten von den Normalverteilungen. Also W Teta hat eine Dichte F Teta von x1 bis xn. Das ist eben das Produkt i gleich 1 bis n, 1 durch Wurzel 2 bis Sigma 0,

b hoch minus xi minus Teta zum Quadrat durch 2 Sigma 0 Quadrat. Und da können Sie jetzt noch alles zusammen multiplizieren.

Dann haben wir den Vorfaktor. Das gibt dann 1 durch Wurzel 2 Pi Sigma 0 hoch n.

Und dann kann ich das Produkt als Summe in die Exponentialfunktion reinziehen und komme auf ein e hoch minus Summe.

E hoch minus Summe, i gleich 1 bis n, x i minus theta zum Quadrat durch 2 sigma 0 Quadrat bezüglich dem Lebesq-Maß.

Und das gilt eben, weil die Komponenten unabhängig sind und deswegen ist die Dichte von diesem Vektor das Produkt der Einzeldichten. Und die Einzeldichten sind ja alle die Dichten von der Normalverteilung.

Und was ich jetzt machen muss, ich muss eben theta 0 kleiner als theta 1 wählen und muss den Dichteprozienten angucken. F theta 1 von x 1 bis x n durch F theta 0 von x 1 bis x n.

Also 4 theta 0 kleiner theta 1 gilt. Wir gucken uns an, F theta 1 von x 1 bis x n durch F theta 0 von x 1 bis x n.

Ja, wenn Sie das machen, dann sehen Sie der Vorfaktor hebt sich weg, kutzt sich raus, Zähler und Nenner und den Nenner kann ich dann mit negativen Vorzeichen in den, oder den Exponenten des Nenners kann ich mit negativen Vorzeichen in Exponenten des Zählers schreiben.

Das heißt, ich komme hier auf Exponentialfunktion von Minus, ja, wir können mal das 1 durch 2 sigma 0 Quadrat vorne stehen lassen. Dann kommt erst die Summe i gleich 1 bis n

x i minus theta 1 zum Quadrat, minus die entsprechende Summe mit theta 0.

Und dann sehen Sie, dann können Sie in dem Quadrat ausmultifizieren. Die Summe der x i Quadrat hebt sich weg, die haben Sie zweimal und den Rest können Sie irgendwie zusammenfassen.

Also machen wir das Ganze mal. Naja, ich will das Ganze schreiben als eine monoton wachsende Funktion von einem t von x 1 bis x n.

Sehen Sie, auf was es hier hinausläuft, was das t von x 1 bis x n sein wird. Das arithmetische Mittel der x i schlagen Sie vor, oder einfach die Summe der x i. Das Letzten ist egal. Also ich würde die Summe der x i nehmen und dann sehen Sie auch, also

das erste Quadrat hier, wenn ich ausmultifiziere, hebt sich mit dem hier weg. Und das letzte Quadrat hier hängt ja gar nicht von den x i ab. Das heißt, das ziehe ich irgendwie als Vorfaktor raus. Dann kommen wir auf ein Minus 1 durch 2 sigma 0 Quadrat

mal, ja, was gibt es hier? Das ist die Summe der Theta 1 zum Quadrat, also n mal Theta 1 zum Quadrat minus n mal Theta 0 zum Quadrat. Mal n mal Theta 1 Quadrat minus Theta 0 Quadrat. Sowas müsste es ungefähr geben. Würde ich mal behaupten, ist der erste Term

sieht eigentlich ganz gut aus. Und das, was noch übrig bleibt, ist, ja, da kriegen wir einen gemischten Term, minus 2 mal Theta 1 mal x i, wenn ich das Minus vielleicht mit dem Minus

kutze, dann komme ich auf 2 durch sigma 0 Quadrat. Dann komme ich auf 2 mal Theta 1 minus Theta 0 mal die Summe i gleich 1 bis n x i. Also ich würde mal sowas irgendwie ansetzen.

Stimmen Sie zu? Also beim Ausmultipizieren von den beiden, der Differenzen der beiden Summen da oben oder Differenzen der beiden Summen da oben, ich habe beide

ausmultipiziert. Die x i Quadrat fliegen weg. Die Theta 1 zum Quadrat kommen n mal vor, die Theta 0 Quadrat kommen n mal vor. Das habe ich dann rausgezogen, n mal Theta 1 Quadrat minus Theta 0 Quadrat und in den ersten Faktor reingeschrieben. Das stimmt auch. Dann bleibt noch der gemischte Term übrig. Der ist

Summe i gleich 1 bis n minus 2 Theta 1 mal x i Minus Summe i gleich 1 bis n minus 2 Theta 0 mal x i. Ich habe das innere Minuszeichen mit dem vorderen Minuszeichen gekutzt, habe dann den Faktor Theta 1 minus 2 mal Theta 1 minus Theta 0 noch rausgezogen und es bleibt noch die Summe der x i stehen. Also ich würde sagen, das stimmt.

Und dann schreibe ich das Ganze als ein G Theta 0 Theta 1 von T von x oder T von x 1 bis x n sollte ich eigentlich besser schreiben.

Mit T von x 1 bis x n ist eben die Summe der x i

und dieses G Theta 0 Theta 1 von einem u. Das ist eben der Vorfaktor, der da steht. Das war das Exponent

von Minus n Theta 1 Quadrat minus Theta 0 Quadrat mal e hoch.

Der Faktor 2 kürzt sich noch. Theta 1 minus Theta 0 durch Sigma 0 Quadrat mal u. Und da jetzt eben dieses Wir hatten ja vorausgesetzt Theta 1 ist kleiner als Theta 0 ist kleiner als Theta 1.

Da dieses Theta 1 minus Theta 0 größer als 0 ist, ist es hier größer als 0. Und sie sehen G Theta 0 Theta 1 ist streng monoton wachsend.

Und daraus folgt unsere Klasse W Theta. Theta aus R ist eine Klasse mit monotonen Dichtequotienten in T von x 1 bis x n gleich Summe der x i.

Okay, Fragen soweit.

Wir hatten gerade schon die Bemerkung, wurde vorgeschlagen, statt der Summe der x i, 1 durch n mal die Summe der x i zu nehmen, was egal ist, weil ich einfach

also wenn ich das T modifiziere, kann ich auch analog, kann ich es auch weglassen und es in das G Theta 0 Theta 1 reinstecken. Das heißt, was ich hier eigentlich machen kann, ich kann hier Abbildungen, ich habe sie hier H genannt, auf T anwenden und dann sagen, wenn es eine Klasse mit monotonen Dichtequotienten ist

in T, dann ist auch eine Klasse mit monotonen Dichtequotienten in H in T, wenn eben H gewisse Eigenschaften hat. Und da brauche ich natürlich eine Monotonie und ich brauche eine Invertierbarkeit. Sowas. Das kommt als nächste Bemerkung.

Aber die ganze Bemerkung ist wichtig, weil wir hatten jetzt gerade eben gesehen, dass es eine Klasse mit monotonen Dichtequotienten in dieser Summe. Ich werde nachher einen Satz noch hinschreiben, wie der optimale Test dann aussieht. Und dann wird der optimale Test häufig nicht unbedingt diese Summe verwenden, sondern vielleicht eine Modifikation davon. Kennen Sie vom Gaustest, da steht dann so eine

normalisierte Summe. Das heißt, wir machen irgendeine Transformation von dieser Summe und das bleibt immer noch eine Klasse mit monotonen Dichtequotienten. Also ist W Theta, Theta aus Theta Klasse mit monotonen Dichtequotienten in T

und ist eben H von Rb nach Rb, streng monoton wachsend und biaktiv.

So ist dieses W Theta auch Klasse mit monotonen Dichtequotienten in H Ring T.

Ich kotze mal Dichtequotienten mit DQ ab, mit monotonen Dichtequotienten in H Ring T.

Und die Begründung wäre eben, dass man dann von dem G Theta Null Theta Eins zu G Theta Null Theta Eins verknüpft mit H oben minus eins übergeht. Und mit H ist auch H oben minus eins streng monoton wachsend. Ja?

Nochmal die Frage, ich hab's nicht ganz verstanden. Ist egal, okay. Also ist hier ein H Ring T, Klasse mit monotonen Dichtequotienten in H Ring T. Statt von T kann ich eben oder

dieser Summe kann ich auch übergeben zum arithmetischen Mittel oder arithmetische Mittel minus Mu oder arithmetische Mittel minus Mu modifiziert mit W N durch Sigma Null. Wie wir das beim Gaustest machen. Okay, der entscheidende Satz

kann ich gerade noch heute hinschreiben, ist dann der folgende Satz 6.2. Das ist ein Satz über optimale Tests bei monotonen Dichtequotienten.

Zu testen sei diesmal Bedingung 6.3. H Null Theta kleiner gleich Theta Null versus H Eins Theta größer als Theta Null, also Standard einseitiges Testproblem. Ausgehend von einer Zufallsvariable X mit P X gleich W Theta für ein Theta aus Theta.

H Null Theta kleiner gleich Theta Null versus H Eins Theta größer als Theta Null.

Ausgehend von einer Zufallsvariable X

mit eben P X gleich W Theta für ein Theta aus Großtheta.

Wobei eben dieses W Theta eine Klasse mit monotonen Dichtequotienten in T sei.

Niveau sei Alpha, Zahl zwischen Null und Eins. Dann ist die eigentliche Aussage, dann gilt.

Der folgende Test ist ein gleichmäßig bester Test zum Niveau Alpha. Der Test Phi Stern von X

nimmt drei Werte an. 1 Gamma Stern und Null. Eins nimmt er an, falls T von X größer als ein K Stern ist.

Gamma Stern nimmt er an, falls T von X gleich K Stern ist. Null nimmt er an, falls T von X kleiner als K Stern ist.

Ja, und ich wollte nicht K Stern, sondern C schreiben. Also ich streich's mal nochmal durch. Ich mach sonst einen Beweis, lauter C. Das gibt dann irgendwie eine Verwirrung.

Wobei eben dieses C Gamma Stern folgende Bedingung 6.4 erfüllen soll. Nämlich das Niveau an der Stelle Theta Null soll voll aufgeschöpft sein. Also Alpha soll gleich

die Gütefunktion von Phi Stern an der Stelle Theta Null sein. Das heißt Alpha soll gleich der Wahrscheinlichkeit sein oder dem Erwartungswert bei wahren Parameter Theta Null von Phi Stern von X.

Nimmt wieder nur drei Werte an. 1 Gamma Stern und Null die Zufallsvariable. Das heißt der Erwartungswert ist die Wahrscheinlichkeit, dass es eins ist. Also Wahrscheinlichkeit bei wahren Parameter Theta Null, dass T von X größer als C ist. Plus eben Gamma Stern, weil die Wahrscheinlichkeit bei wahren Parameter Theta Null, dass T von X gleich C ist.

Dieser Test, wobei eben C und Gamma Stern so ist, dass 6.4 gilt, ist ein gleichmäßig bester Test zum Niveau Alpha.

Also ich habe eine Klasse mit monodonen Dichteprozente in T. Ich suche dann C und Gamma Stern, sodass die Bedingung 6.4 erfüllt ist.

Setze dann Phi Stern von X als 1, falls T von X größer als C ist. Gamma Stern, falls T von X gleich C ist. Null, falls T von X kleiner als C ist. Und habe einen gleichmäßig besten Test zum Niveau Alpha. Und das ist auch genau das, was wir beim einseitigen Gaustest machen. Sie haben eine Klasse mit monodonen Dichteprozente in der Summe. Statt in der Summe können Sie genauso gut

diese normalisierte Summe nehmen. Also Wurzel N durch Sigma Null mal arithmetisches Mittel der Xi minus Theta Null. Ist auch ein Klasse. Können Sie als T nehmen. Ist der monatone Dichtequotienten.

Wenn Sie dann Ihren kritischen Wert C als Alpha-fraktil von der Standard-Normalverteilung wählen, dann ist diese Bedingung hier genau erfüllt, 6.4. Und Sie sehen, der einseitige Gaustest ist der gleichmäßig beste Test zum Niveau Alpha.

Vielleicht noch eine Bemerkung dazu. Also C. C können wir hier wieder als Alpha-fraktil von T von X bei Warenparameter Theta Null wählen. Also wir hatten ja, dieses Alpha-fraktil hatte ja die Eigenschaft, dass die

Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert größer angenommen wird, kleiner gleich Alpha war, während die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert größer gleich angenommen wird, größer gleich Alpha war. Das heißt, wenn ich das Gamma-Stern hier zwischen Null und Eins variere, ich sollte vielleicht noch dazuschreiben, wobei

C Element R Gamma-Stern aus Null eins mit eben dem sind. Also ich darf natürlich nicht irgendwie Gamma-Stern negativ wählen oder so sehr groß und Alpha dann zu groß.

Also Bemerkung, in 6,4 kann C als Alpha-fraktil

von T von X bei Warenparameter Theta Null gewählt werden. Haben Sie noch Fragen soweit?

Okay, dann haben wir die Tafeln komplett vollgeschrieben. Noch eine Minute und noch einen Satz, den wir dann beim nächsten Mal fortsetzen können. Also ich glaube, besser kann man gar nicht anhalten. Dann wäre ich für heute fertig und wir sehen uns dann am Montag.