Krümmungstensor = 0
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Formale Metadaten
| Titel |
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| Serientitel | ||
| Teil | 16 | |
| Anzahl der Teile | 25 | |
| Autor | ||
| Lizenz | CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland: Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben. | |
| Identifikatoren | 10.5446/19918 (DOI) | |
| Herausgeber | ||
| Erscheinungsjahr | ||
| Sprache |
Inhaltliche Metadaten
| Fachgebiet | |
| Genre |
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MannigfaltigkeitPlatteVektorrechnungWelleKrümmungEbeneEinfach zusammenhängender RaumKoordinatenSkalarproduktTensorVektorEinflussgrößeParallelogrammGeschlossene KurvePunktRichtungFlächentheorieTransportBetafunktionDifferenzierbarkeitKegelLinienelementSturmsche Kette
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KurveVektorrechnungZahlQuadratFlächePositionStreckeAbzweigung <Strömungsmechanik>VektorHöheParallelogrammGeschlossene KurvePunktGrößenordnungUnterteilungFlächentheorieSchiefe WahrscheinlichkeitsverteilungHerleitungComputeranimationDiagramm
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KurveMannigfaltigkeitVektorrechnungAllgemeine RelativitätstheorieEbeneKoordinatenSkalarfeldSkalarproduktVektorLängeAbleitung <Topologie>PunktRichtungLinienelementLinearformTensorBasisvektorPfad <Mathematik>Computeranimation
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VektorrechnungQuadratBetafunktionDualitätstheorieKoordinatenVektorParametersystemRichtungPartielle AbleitungMannigfaltigkeitEinfach zusammenhängender RaumVerschlingungComputeranimation
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DetektorVektorrechnungQuadratIndexKoordinatenRichtungBetafunktionEinfach zusammenhängender RaumOrdnung nComputeranimationDiagramm
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KoordinatenBasisvektorRichtungVektorrechnungSkalarproduktComputeranimation
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KurveVektorrechnungIntegralDualitätstheorieKoordinatenVektorBasisvektorRichtungComputeranimationDiagramm
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Äquivalenzprinzip <Physik>MaßeinheitKoordinatenSkalarproduktKraftVektorrechnungLinienelementComputeranimation
Transkript: Deutsch(automatisch erzeugt)
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Was heißt das nun, dass der Krümmungstensor gleich Null ist für eine Manifaltigkeit? Dann kann ich zum Beispiel diesen ganz simplen Fall haben, eine zweidimensionale Manifaltigkeit, die wie ein flaches Stück Papier ist. Offensichtlich gibt es da nichts an Krümmung. Wenn ich einen Vektor nehme und hin und her parallel transportiere, dann bleibt
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er so wie er ist. Vielleicht schon etwas überraschender ist Folgendes, wenn ich dieses Blatt Papier nehme und wellig mache, das spielt so in dieser Form. Ich mache das Papier wellig, ohne dass ich es dehne oder gar zerreiße.
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Dann muss weiterhin der Krümmungstensor überall für dieses Blatt Papier gleich Null sein. Der Krümmungstensor ergibt sich ja aus Messungen innerhalb des Papiers sozusagen. Wenn ich hier auf mein Original Papier eine Figur male, kann ich auch dieses Original
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Papier so wellig machen, Papier dann die Figur und in dem Papier selbst kann ich nicht unterscheiden, ob das Papier denn so gewählt ist oder platt ist. Die Messungen, die ich mache in der Manifaltigkeit, müssen dieselben Ergebnisse haben. Ich kann diese beiden Fälle nicht auseinander halten. Es geht noch schlimmer, wenn ich mir einen Kegelstumpf angucke, genauer gesagt die Mantelfläche
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eines Kegelstumps, der äußere Teil, dann hat auch diese Manifaltigkeit den Krümmungstensor Null, überall den Krümmungstensor Null. Denn diese Mantelfläche des Kegelstumps kann ich ja in die Ebene abwickeln. So habe ich ein plattes Stück Papier, das schneide ich aus und klebe es hier
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zusammen. Dann habe ich meinen Kegelstumpf. Und was ich hier auf dem Plattenpapier veranstalte, sehe ich dann genauso auf meinem Kegelstumpf. Mit einem Gönchensalz sehen wir gleich, wenn man einmal ganz rum geht, ist das was anderes, aber was hier lokal passiert, wenn ich nicht zu weit weg gehe, ist
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bei beiden dasselbe. In allen diesen Fällen ist der Krümmungstensor überall gleich Null. Fußnote, ich muss den metrischen Tensor, das G-Menü so bauen, dass ich das Skalarprodukt und zwar Tangentialvektoren, als das Skalarprodukt dieser Vektoren im Raum ausrechne.
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Hier genauso, wenn ich hier einen Tangentialvektor habe, der dann auch tangential zu dieser Welle ist und noch einen habe, dann bestimme ich deren Skalarprodukt mithilfe des Skalarprodukts im Raum und so weiter. Aber das wird man logischerweise so machen, eine mathematische Fußnote. Bei der Krümmung hier geht es also um die innere Krümmung.
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Es geht nicht darum, wie meine Mannigfaltigkeit irgendwie gewählt, oder schlimmer, in eine andere Umgebung eingebettet ist, hier in den R3 eingebettet ist, sondern es geht um innere Eigenschaften dieser Mannigfaltigkeit. Und spannend ist auch, dass wir hier einen Tensor haben. Wenn ein Tensor in einem Koordinatensystem Null ist, dann ist er in allen Koordinatensystemen
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Null. Ich muss mich nicht bemühen, hier irgendein schönes Koordinatensystem reinzulegen. Egal welches ich nehme, das kann auch fies aussehen, wenn man ein bisschen vorsichtig ist mit Umkehrbarkeit und Differenzierbarkeit, auch in so einem fiesen Koordinatensystem muss der Krümungstensor Null sein.
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Hier in der Ebene ist vielleicht klar in Entführungszeichen, welches Koordinatensystem ich nehmen soll, hier auf dem Kegelstumpf könnte man schon auf fiese Ideen kommen, aber egal welches Koordinatensystem ich nehme, der Krümungstensor wird Null sein. Ich greife immer mal einen Punkt heraus auf der Mannigfaltigkeit, klein P nenne ich den.
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Angenommen in einer Umgebung dieses Punktes ist es egal wie ich einen Vektor parallel transportiere. Ob ich ihn von da nach da transportiere über diesen Fahrt oder so rum transportiere oder so rum transportiere, egal. Es soll immer derselbe Vektor rauskommen als Ergebnis des Paralleltransports.
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Wenn das der Fall ist, also in einer Umgebung von P ist der Paralleltransport nicht fahrtabhängig, dann weiß ich auf jeden Fall daraus folgt, dass der Krümungstensor überall in dieser Umgebung Null sein muss. Beim Krümungstensor ging es um einen Paralleltransport um ein unendlich kleines sozusagen Parallelogramm.
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Wenn der Paralleltransport aber insgesamt schon nicht fahrtabhängig ist, dann ist er auch nicht abhängig von der Wahl dieses Parallelogramms. Also weiß ich in einer Umgebung, in diesem Fall derselben Umgebung von P, ist der Krümungstensor R oben, Alpha unten, Beta, Lambda, Mu überall gleich Null.
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Also genau gesagt ist die Komponente R oben, Alpha unten, Beta, Lambda, Mu überall gleich Null. Also auch der Tensor als solcher, der Null-Tensor. In dieser Richtung ist das offensichtlich, das folgt aus der Definition des Krümungstensors, aber jetzt geht das interessanterweise auch andersrum.
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Wenn der Krümungstensor in einer Umgebung meines Punktes überall der Null-Tensor ist, dann weiß ich auch, es gibt eine Umgebung, sodass der Paralleltransport nicht fahrtabhängig ist. Das also auch wirklich im nicht allzu großen, egal ist über welchen Fahrt ich transportiere, Hauptsache Anfangs- und Endpunkts sind dieselben.
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Das kann man so sehen, ich möchte also einen Vektor transportieren von einem Punkt zu einem anderen Punkt auf der Mannifaltigkeit, parallel transportieren, genauer gesagt, kommt da vielleicht so an. Vorsicht, das ist irritierend, das soll ein Tangential-Vektor sein zu dieser Krümung-Fläche,
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der soll nicht in den Raum hinaus pieksen und wenn ich einen anderen Fahrt nehme, ist meine Hoffnung, dass derselbe Vektor da hinten rauskommt. Das möchte ich zeigen, unter der Annahme, dass der Krümungstensor überall gleich Null ist. In der Umgebung. Statt das hier zu zeigen, dass unabhängig vom Fahrt immer dasselbe Ergebnis rauskommt,
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ist es viel einfacher sich zu überlegen, dass man nur zeigen muss, dass wenn man einmal rumgeht, egal wie, in welcher Schleife, ich gehe von einem Punkt aus, gehe einmal irgendwie rum, komme wieder zurück, dass dann jeder Vektor wieder zum selben Vektor werden muss. Der Transport um geschlossene Kurven muss immer wieder dasselbe Ergebnis geben,
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den Original-Vektor, das zeige ich stattdessen. Für diesen Ausdruck die Alpha-Komponente des transportierten Vektors. An dem Ende meines Fahrtes se minus die Alpha-Komponente des transportierten Vektors am Anfang. Für diesen Ausdruck gab es ja ein Integral.
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Bei der Herleitung des Krümungstensors irgendwie minus Integral von Null bis se von Gamma, Blah, Geschwindigkeits-Vektor und der transportierte Vektor. Irgendso ein Integral gab es da und jetzt überlege ich mir was mit diesem Integral
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passiert, wenn der Krümungstensor hier überall in dieser Gegend Null ist. Hier habe ich also ein Integral entlang einer geschlossenen Kurve. Ich starte, gehe einmal rum und ende am selben Punkt an dem ich gestartet bin. Und jetzt kann ich sagen, das können wir auch noch komplizierter machen, ich könnte
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hier abzweigen. Also vom Startpunkt bis dahin laufen, hier abzweigen, zum Beispiel hier die Hälfte so abtrennen, hier unten genau auf der Kurve wieder zurück laufen zum Startpunkt und wieder hin zu dieser Strecke, wieder rauf und so. All das hier soll exakt aufeinander liegen.
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Wenn ich jetzt folgendes Integral ausrechne, vom Startpunkt bis dahin, den grünen Weg zurück zum Startpunkt und wieder vorwärts den grünen Weg bis dahin und weiter, muss das Integral dasselbe werden, was es vorher war. Wenn ich hier meinen Vektor nehme und parallel transportiere zum Startpunkt und dann wieder zurück, das muss ich gegenseitig aufheben.
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Einmal hin transportieren, einmal zurück transportieren, über denselben Fahrt hebt sich weg. Das heißt, dieser Ausflug hier macht keinen Unterschied im Ergebnis. Ich könnte auch noch hier so einen Ausflug machen. All das soll exakt auf derselben Position jeweils liegen. Ist noch schwer zu sehen, deshalb male ich es so ein bisschen schief.
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Hier mache ich so einen Ausflug, hier kann ich auch noch so einen Ausflug machen. Wenn ich hier angekommen bin, gehe ich einmal zum Zentrum, dann hier unten rum und wieder zurück und da gehe ich weiter bis zum Startpunkt. Das lässt sich weitertreiben. Wenn ich hier angekommen bin, kann ich so zurückgehen zum Startpunkt und wieder dahin, da oben weitermachen.
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Wenn ich hier angekommen bin, kann ich an der Abzweigung eine Abzweigung machen, zurückgehe zum Startpunkt und wieder zurück und hier mit der Abzweigung weitermachen. Und wenn ich hier angekommen bin bei meiner Abzweigung, kann ich so eine Abzweigung machen, wieder zum Startpunkt und wieder zurück und so weiter mit den ganzen anderen in beliebig tiefer Verschachtelung.
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Wenn ich mir jetzt eine von diesen Figuren rausgreife, sieht die so aus. Ich gehe vom Startpunkt irgendein Stückchen in die Gegend und dann habe ich ein mehr oder minder Parallelogramm, das ich einmal umlaufe und dann kehre ich wieder zurück zum Startpunkt.
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Eigentlich habe ich meine Figur jetzt aus solchen Teilfiguren zusammengebaut. Hier oben habe ich zum Beispiel so eine Figur, sich das hier anguckt, aus dem Startpunkt, da konnte ich schon mal vor. Hier kommt diese Figur vor, aus dem Startpunkt, hier oben hin, einmal rum,
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da hin und wieder zurück zum Startpunkt. Zum Schluss ist diese ganze Fläche aufgefasert in solche Figuren. Und jeweils komme ich hier mit irgendeinem Vektor im Startpunkt an, von einem der vorherigen Schlaufen, transportiere den hier an den Anfang
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von diesem quasi Parallelogramm, transportiere ihn einmal rum um dieses quasi Parallelogramm und transportiere ihn wieder zurück zum Startpunkt. Das passiert im Prinzip in jeder von diesen Schlaufen. Und jetzt gucke ich mir an, was passiert, wenn ich diese Schlaufenflächen ganz, ganz klein mache, wenn ich diese Unterteilung hier ganz, ganz klein mache.
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Ich sage mal, diese Abmessung hier längs der Schlaufe sei von der Ordnung Groß O, klein H und diese Abmessung hier quer dazu, die soll auch von der Ordnung O von H sein. Diese Differenz hier, nachher Minus vorher, um dieses kleine quasi Parallelogramm. Das wird jetzt was von Ordnung H hoch 3 sein.
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Wenn ich einen Krümungstensor hätte, der ungleich Null ist, dann wäre das irgendwas mit Krümungstensor mal H mal H, also Ordnung H Quadrat. Der Krümungstensor ist aber Null. Das muss schneller gegen Null gehen als H Quadrat. Ordnung H hoch 3, wenn alles schön differenzierbar ist.
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Und jetzt nehme ich diese Differenz parallel verschoben nachher vorne zum Startpunkt. Dann ist das auch hier O von H hoch 3. Ich habe meine Originalkurve also zerlegt in sehr viele sehr kleine Schlaufen. Für jede Schlaufe, die ich mache, wandert mein parallel transportierter Vektor maximal um Ordnung von H hoch 3 zur Seite.
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Für die nächste Schlaufe nochmal ein Stückchen weiter, nochmal ein Stückchen weiter. Und das summiere ich jetzt auf. Diese ursprüngliche Kurve einmal rum ersetze ich durch ganz viele relativ kleine Schlaufen. Ich kenne den Beitrag einer solchen Schlaufe, zumindest von der Größenordnung her.
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Und ich überlege mir, wie viele Schlaufen das hier sind. Jede Schlaufe hat sozusagen die Breite H und die Höhe H, Größenordnungsmäßig. Um diese Fläche auszufüllen, brauche ich 1 durch H mal 1 durch H von der Ordnung her. 1 durch H Schlaufen in der Breite und 1 durch H Schlaufen in der Höhe.
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Also Ordnung von 1 durch H Quadrat Schlaufen habe ich. Damit weiß ich, was mit dieser Differenz passieren muss. Das ist von der Ordnung her die Zahl der Schlaufen mal den Beitrag einer Schlaufe. Und jetzt sieht man, der Beitrag einer Schlaufe geht stärker gegen Null, als die Zahl der Schlaufen gegen Endlich geht. Insgesamt steht hier was von O von H hoch 3 durch H Quadrat, also O von H.
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Und wenn ich ein sehr kleines H einsetze, ist offensichtlich, das geht gegen Null. In diesem Ausdruck ist gar nicht die Rede von H. Da weiß ich nichts davon, ob ich jetzt hier in kleinen oder in großen Schlaufen durchgehe.
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Ich habe hier erst mal nur mit der ganz großen äußeren Kurve gearbeitet. Die hängt nicht von H ab. Und jetzt sehe ich, wenn ich H ganz klein mache, und das hängt nicht von H ab, muss Null rauskommen. Dieses muss also sowieso Null gewesen sein. Also wenn ich um eine geschlossene Kurve transportiere, kriege ich den Vektor raus, mit dem ich gestartet bin.
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Das zeigt jetzt also wirklich, dass, ich gehe nochmal zurück, hier auch der rote Pfeil gilt, wenn in einer Umgebung eines Punktes der Chromungstensor überall gleich Null ist, dann gibt es auch eine Umgebung, in der der Paralleltransport nicht vaterhängig ist.
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Das Wörtchen Umgebung ist dabei aber wichtig. Wir gucken uns nochmal den Kegel an. Die Mantelfläche des Kegelstumps, genauer gesagt. Den kann ich hier aufschneiden und in die Ebene drücken. Hier ist die Nahtstelle. Diese beiden Seiten sind aneinander geklebt. Jetzt gucke ich mir eine Kurve an, die einmal um den Kegel rumgeht.
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Hier hintenrum irgendwie. Hier kommt sie wieder über die Nahtstelle, da kommt sie an. Die sieht dann, wenn ich das als Stück Papier nehme, auseinanderschneide, so aus. Hier fängt meine Kurve an, sie geht einmal rum, dahin, über die Nahtstelle, da kommt sie wieder an.
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Und jetzt gucke ich mir einen Vektor an, den ich parallel transportieren will. Sagen wir den Vektor. Er würde hier dann also etwa so liegen. Den parallel transportieren, naja, in der Ebene ist klar, wie das geht. So wird er natürlich parallel transportiert, anders kann es nicht sein. Er kommt hier so an, auf dieser Seite, also parallel zur Kurve.
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Er scheint also immer flacher zu werden. Irgendwann geht er durch die Kurve durch. Hier auf der Rückseite scheint er sogar unter der Kurve zu liegen, sogar nach unten zu zeigen. Und dann richtet er sich allmählich wieder auf, aber in der falschen Richtung, um dann hier zum Schluss nach hinten zu zeigen, von da nach da.
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So zeigt er. Jetzt über die Nahtstelle drüber. Hier ist der Tangentialzug meiner Kurve, dann muss er hier natürlich auch Tangentialzug meiner Kurve sein. Und so wird er dann weiter transportiert. Diesen Vektor parallel transportieren, dann zeigt er so. Er kommt hier also so an und wird dann so parallel weiter transportiert.
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Und hier sieht man, das knirscht. Der Vektor, der ankommt nach dem Parallel-Transport einmal rum, ist ein ganz anderer Vektor als der, mit dem ich gestartet bin. Das mit dem Parallel-Transport klappt, wenn ich nur einen kleinen Ausflug mache. Aber es klappt nicht, wenn ich einmal um dieses Loch sozusagen herum gehe.
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Es klappt nur in einer Umgebung. Es muss nicht global klappen. Das kann schiefgehen, sieht man an diesem Kegel. Dies oder so kann man noch weiter treiben. Wenn der Krümmungstensor überall in einer Umgebung Null ist, dann sollte die Mannigfaltigkeit in irgendeinem Sinne flach sein.
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Und sie ist in dem Sinne flach, dass es Koordinaten gibt in einer Umgebung von P für die demetrische Tensor, G µ µ, gleich dem Kronecker Delta ist. Das wäre der geometrische Fall. Oder in der allgemeinen Relativitätstheorie dann eben das Eta µ µ.
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Ich kann Koordinaten so wählen, dass der demetrische Tensor ganz simpel wird. Euklinisch wird Delta µ µ, Kronecker Delta, oder Minkowski wird, Eta µ µ. Die Schlussfolgerung von unten nach oben, die ist klar. Wenn ich solche Koordinaten habe, rechne ich die Christoffelsymbole aus.
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Die sind dann offensichtlich Null. Und aus den Christoffelsymbole rechne ich den Krümmungstensor aus. Der ist erst recht Null. Wunderbar, in dieser Umgebung ist der Krümmungstensor überall gleich Null. Diese Richtung ist also klar. Trickreich ist die Schlussfolgerung von oben nach unten. Wenn der Krümmungstensor in einer Umgebung überall Null ist,
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warum kann ich dann auch wirklich in einer Umgebung Koordinaten so wählen, dass der demetrische Tensor billig wird. Das kann man sich in vier Schritten überlegen. Schritt Nummer 1. An dieser Stelle wähle ich eine schöne Basis. Ich nenne mal die Basisvektoren b1, b2 und so weiter.
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Der Mythe-Basisvektor mal den Mythen-Basisvektor im Skalarprodukt soll sein delta µ µ im oclidischen Fall beziehungsweise in der allgemeinen Relativitätstheorie etta µ µ. Das lässt sich immer machen. Ich würfle irgendeinen Vektor als ersten.
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Dann bringe ich den auf die richtige Länge, dass er mal sich selbst gleich 1 ist. Damit habe ich b1. Dann würfle ich irgendeinen anderen Vektor und sorge dafür, dass ich, wenn ich den mit b1 kombiniere, bis hin und her, dass das Skalarprodukt zwischen diesen beiden Null ist und dann bringe ich den noch auf die richtige Länge, und so weiter und so weiter. Das wird man hinkriegen.
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Weil der Krümmungstensor aber überall Null sein soll, kann ich jetzt diese Basis nehmen und sie in die Umgebung transportieren, ohne dass etwas Schlimmes passiert. Das ist der Schritt 2. Diese Basis in die Umgebung parallel transportieren. Und in dieser Umgebung, wenn die klein genug ist, kommt es nicht darauf an, entlang welcher Kurve ich diese Basis dann
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zum jeweiligen Bestimmungsort bringe, ob ich so gehe oder so gehe oder so gehe, weil der Krümmungstensor gleich Null ist. Jetzt haben wir in der Umgebung hier Basisvektoren, aber wir haben noch keine Koordinaten. Das ist das Wesentliche. Ich behaupte ja, ich kann schöne Koordinaten finden.
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Das ist Schritt 3. Ich baue jetzt Koordinaten. Also hier habe ich irgendeinen Punkt Q und irgendeine Kurve von P nach Q. Und ich möchte jetzt Q-Koordinaten geben. Schritt Nummer 3. Ich wähle einen Pfad. x mit x von Null ist gleich P, mein zentraler Punkt.
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Und x von 1 ist gleich Q, der Punkt, in dem ich enden will. Ein Pfad, der nicht zu weit ausschweift. Das haben wir eben gesehen bei dem Kegel. Also vorsichtig sein an der Stelle. Und jetzt sage ich, was sollen die Koordinaten für Q sein? Darum ging es ja. Ich möchte zu den Punkten in der Umgebung
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schöne Koordinaten haben. Ich definiere Q lambda, die Lambda-Koordinate dieses Punktes Q soll sein, das Integral entlang von dem Pfad. Und nun kommen meine Basisvektoren ins Spiel. Zu dieser Basis nehme ich die dualen Basisvektoren. Ich schreibe B oben Lambda.
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Diese Basisvektoren hängen ja vom jeweiligen Punkt ab. Wo leben wir gerade? Also muss ich hier irgendwie noch dran schreiben. An der Stelle x von S. Den Vektor Nummer Lambda aus der dualen Basis an der Stelle x von S. So ein dualer Basisvektor war eine Linearform. Schon länger her.
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Eine Linearform. Aha, hier brauche ich ein Argument. Ich brauche hier einen Danganzialvektor, welchen nehme ich die Ableitung meines Pfades nach S. So sieht das aus. Im Endeffekt summiere ich einfach auf. Was sagt dieser duale Basisvektor zu meinem Geschwindigkeitsvektor? Mit dem ich dann entlang der Kurve von da nach da gehe.
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Was ich hier ausrechnen darf natürlich nicht von dem Pfad abhängen. Sonst hätte ich Blödsinn veranstaltet. Ich wähle einen Pfad, um P und Q zu verbinden. Und damit möchte ich die neuen Koordinaten von Q ausrechnen. Diese neuen Koordinaten sollten nicht von dem Pfad abhängen. Das ist also eine wichtige Geschichte. Das, was da rauskommt, ist fadunabhängig.
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Es sei denn wieder mal, man geht zu weit raus um irgendwelche Löcher und so weiter. Wenn ich nicht zu weit rausgehe, ist das fadunabhängig. Ähnliche Begründung für eben. Um zu zeigen, dass das fadunabhängig ist, überlege ich mir, dass Null rauskommt. Das werde ich gleich sehen.
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Wenn ich um einen geschlossenen Pfad gehe. Ich schreibe mal wieder Null für den Anfangswert des Parameters und SE für den Endwert des Parameters. Wenn ich um einen geschlossenen Pfad gehe, sollen dabei Null rauskommen, behaupte ich. Das steht dann hier. Das müssen wir dann mal ausbuchstabieren. Der Geschwindigkeitsvektor in irgendeinem Koordinatensystem,
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das ich habe ausgedrückt, wäre dxµ von S nach dS. Und dieser Basisvektor, dualer Basisvektor, hat irgendwelche Koordinaten. Also von bλ an der Stelle x von S habe ich irgendwelche Koordinaten. So würde ich das tatsächlich dann ausrechnen. Und dS brauchen wir noch.
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Hier ist das Koordinaten unabhängig geschrieben. Und hier ist es jetzt mit Koordinaten geschrieben, in irgendeinem System. So ein geschlossener Pfad kann ich mir wieder in ganz kleine Teile unterteilt vorstellen. Die müssen jetzt nicht ganz so schlimm werden wie vorhin. Ich könnte sie zum Beispiel parallel zu den Koordinatenachsen wählen. Im zweidimensionalen ist es noch leicht.
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Im dreidimensionalen müsste man jetzt anfangen Stufen zu bilden und so weiter. Jetzt gucken wir uns hier so ein kleines Stückchen an. Es könnte vielleicht in Richtung x-Alpha so gehen. Und dann geht es ein Stückchen in Richtung x-beta so. Und wieder zurück auf diese Weise. Und wenn ich dieses Integral jetzt für so ein kleines Quadrat ausführe,
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leg ich auf der rechten Seite etwas proportional zu delta-my-beta. Wenn beta gleich diesem my ist, tut sich was bei dem Geschwindigkeitsvektor hier. Wenn beta nicht gleich dem my ist, laufe ich quer und das wird 0 werden. Und hier vorne habe ich den Wert auf der rechten Seite.
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Und wenn ich dasselbe hier mache, habe ich den negativen Geschwindigkeitsvektor und von dem den Wert auf der linken Seite. Ich habe zum Schluss also dieses mal den rechts minus dieses mal den links. Ihr habt eine Differenz von dem hier. Rechts minus links. Das ist einfach von diesem lambda-Basisvektor
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die my-Komponente abgeleitet nach alpha. Das ist ja sowas wie rechts minus links. Dieses Ding von dem Vektor b lambda, my-Komponente, die partielle Ableitung in Richtung x-Alpha. Das ist sowas wie rechts minus links hier. Dann habe ich die rechte Seite, ich habe die linke Seite.
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Und jetzt kommen noch oben und unten. Für oben ist der Geschwindigkeitsvektor sowas wie delta my alpha. Gehe ich in die Richtung x-Alpha. Mit meinem my, aber falsch herum. Minus. Und ich bilde die Differenz b oben minus b unten, weil ich unten richtig rum gehe.
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Mit meinem Geschwindigkeitsvektor. Hier steht dann also von dem lambda-Basisvektor die my-Komponente nach beta abgeleitet. Oben minus unten hat mit beta zu tun. Das kann ich jetzt zusammenfassen. Kronecker delta, beta my. Ich bicke mir das my raus, was gleich beta ist.
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Nur dann ist delta my beta gleich eins. Ich bicke mir das my raus, was gleich beta ist. Da vorne muss ich es einsetzen. Also der Vektornummer lambda aus der dualen Basis. Jetzt die beta-Komponente. My wird hier zu beta abgeleitet nach x-Alpha.
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Minus und hier offensichtlich umgekehrt. Vorne steht ein alpha. Der Vektornummer lambda aus der dualen Basis. Alpha, beta. Diese Vektoren b, die sollten aber auf der Manifaltigkeit parallel verschoben sein. Ich wollte in der Mitte hier anfangen und die Vektoren b überall,
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in die Umgebung zumindest bringen, durch Parallelverschiebung. Das heißt, dieses hier muss mit Christoffel sein wegen der Parallelverschiebung. Minus Christoffel an der zentralen Stelle. Schreibe ich nicht hin. Mal b an der zentralen Stelle. Dann haben wir hier vielleicht als Index sigma.
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Hier oben brauche ich dann ein sigma abgeleitet in die Richtung alpha. Und ich will die beta-Komponente haben. Und dieses hier ist entsprechend minus Christoffel sigma sigma b lambda dahinten. Abgeleitet in Richtung beta. Und ich will die alpha-Komponente haben.
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Und nun ist der Witz bei den Christoffel-Symbolen, dass die symmetrisch sind. Dies ist dasselbe wie das wegen der Torsionsfreiheit. Deshalb sind die symmetrisch in diesen beiden Indizes. Es kommt also tatsächlich Null raus. Der Beitrag für so ein kleines Quadrat ist Null plus höhere Ordnung sozusagen. Und wenn man das wieder hübsch aufsummiert, stellt man fest in der Dat, das hier muss Null sein.
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Wenn ich nicht zu weit rausgehe, ist diese Koordinate fadunabhängig. Das war der Schritt Nummer drei. Jetzt habe ich tatsächlich Koordinaten. Vielleicht noch mal von vorn. Ich führe eine Basis ein an den zentralen Punkt. Diese Basis transportiere ich mit Hilfe vom Paralleltransport, der, wenn ich nicht zu weit gehe,
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fadunabhängig ist. Und dann erzeuge ich mit Hilfe der dualen Basis und irgendeinem fad, auf den es auch nicht so richtig ankommt, Koordinaten für die Punkte in der Umgebung. Letzter Schritt. Jetzt muss ich noch zeigen, dass diese neuen Koordinaten, die ich da generiert habe, zu dieser Basis b passen.
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Wenn ich in Richtung der Koordinaten gehe, laufe ich wirklich in Richtung dieser Basisvektoren. Also wenn ich jetzt aus den Koordinaten eine Basis bestimmen würde, die Holonome-Basis zu diesem Koordinaten q bestimmen würde, kriege ich wirklich diese Basis. Also eine Basis mit den richtigen Skalarprodukten, die ich haben will. Kronecker, Delta oder Mikowski.
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Das ist der vierte Schritt. Was passiert, wenn ich ein bisschen hin und her gehe, gehe ich in Richtung der Basisvektoren. Ich habe meinen zentralen Punkt p, irgendwo daneben ein Punkt x. Und ich möchte jetzt wissen, was mit meinen q-Koordinaten von diesem Punkt x passiert, wenn ich ein Stückchen in Richtung meines Basisvektors b µ gehe.
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Also was ist meine Koordinate mit der Nummer lambda von diesem x? Und ich gehe ein Stückchen in Richtung von meinem neuen Basisvektor b µ. Minus, was hatte ich vorher? Die Koordinate mit der Nummer lambda von x selbst. Das hier vorne habe ich mit einem Integral beschrieben.
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Das da hinten habe ich mit einem Integral beschrieben. Hier vorne brauche ich einen Fahrt von p zu x und ein bisschen in Richtung b µ. Also so einen Fahrt. Das ist der vordere. Und was ich abziehe ist, was ich für x kriege,
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dafür habe ich so einen Fahrt. Diese beiden Integrale ziehe ich voneinander ab. Ich kriege also folgendes Integral. Ich marschiere von dem x entlang der Orangenkurve zurück zu p und dann entlang der roten Kurve zu x plus h µ.
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Dieses Integral ist aber fadunabhängig, wenn ich nicht zu weit draußen bin. Also kann ich auch schlicht und ergreifend den direkten Weg nehmen. Ich kann direkt so marschieren, den geraden Weg nehmen. Selber integrant. Jetzt schreibe ich den Integranten endlich mal hin. Ich nehme also meinen dualen Basisvektor mit der Nummer lambda an der Stelle x von s
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und wende den, das ist eine Linearform, diesen Vektor, dualen Basisvektor, wende ich an auf den Geschwindigkeitsvektor. Der Geschwindigkeitsvektor ist h mal b µ, wenn ich hier von 0 bis 1 integriere. Dieses Stückchen hier ist infinitesimal kurz.
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Das heißt, hier vorne steht schlicht und ergreifend der Vektor an der Stelle x. Und hier steht auch im Endeffekt der Vektor an der Stelle x, der festen Stelle. Und die duale Basis ist gerade dadurch definiert, dass wenn ich b lambda auf b µ anwende,
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delta lambda µ rauskommt. Hier innen drin im Integral steht delta lambda µ. Die duale Basis ist so gebaut, dass wenn ich den ersten Vektor der dualen Basis auf den ersten Vektor der Originalbasis anwende, das 1 rauskommt. Und wenn ich den zweiten Vektor der dualen Basis auf b1 anwende, 0 rauskommt und so weiter.
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So ging das mal. Das heißt, was aus diesem Integral hier rauskommt, ist schlicht und ergreifend h mal delta lambda µ. Ich gehe tatsächlich in die richtige Richtung. Wenn ich von einem Punkt x in die Richtung b µ gehe, h mal den Basisvektor mit der Nummer µ,
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dann macht die Lambda-Koordinate nichts, wenn lambda nicht gleich µ ist. Und die Lambda-Koordinate geht um h weiter, wenn lambda gleich µ ist. Das heißt, die Koordinaten, die ich hier gebaut habe, diese Q-Koordinaten, funktionieren wirklich korrekt mit den b µ Vektoren zusammen.
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Das waren die vier Schritte von diesem in Anführungszeichen Beweis. Ich starte mit einer Basis am zentralen Punkt, transportiere die Basis in die Umgebung, baue damit Koordinaten und zum Schluss zeige ich Schritt 4, dass diese Koordinaten auch wirklich zu der Basis passen. Und deshalb diese Eigenschaft haben.
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In diesen Q-Koordinaten habe ich tatsächlich das Demetrische Tensor. Der Demetrische Tensor ist ja das Skalarprodukt der Basisvektoren, das Demetrische Tensor Kronecker, Delta oder Minkowski ist.