Noch eine Anwendung der Deviationsgleichung. Ich schaue mir Geodätische an, die alle am selben Punkt starten und in alle möglichen Richtungen gehen. Jede von diesen Geodätischen soll dieselbe Länge haben. Was ich dann im Endeffekt kriege, wenn ich alle diese Punkte zusammennehme, ist ein geodätischer Ball, eine Art Vollkugel auf meiner Manigfaltigkeit.

Dessen Volumen, das endimensionale Volumen wohlgemerkt, kann man nun asymptotisch angeben. Das Volumen eines geodätischen Balls. Und diese asymptotische Entwicklung führt dann auf den sogenannten Krümmungsskalar. Die Krümmung der Manigfaltigkeit, zusammengefasst in einer einzigen Zahl.

Der Krümmungsskalar ist dann auch in der Allgemeinen Relativitätstheorie wichtig. Diese Bedeutung hier, die lässt sich aber nicht so ganz leicht auf die Allgemeine Relativitätstheorie übertragen. Ein geodätischer Ball im Minkowski-Raum wird sehr komisch sein. Ich habe ja Richtungen, in die die Bogenlänge Null ist.

Wenn ich hier Licht verfolge, dann ist die Bogenlänge Null. Da gelange ich bis hin zu ein Endliche. Und dann habe ich ja sogar Richtungen, für die das Quadrat des Geschwindigkeitsvektors negativ ist. Was soll das sein? Also diese Konstruktion hier wird in der Allgemeinen Relativitätstheorie etwas heikel werden. Was ich jetzt sage, bezieht sich auf die normale Geometrie, in der man den metrischen Tensor zu Kronecker-Delta machen kann.

Um die Deviationsgleichung anzuwenden, gucke ich mir erst einmal hier so einen kleinen Ausschnitt an. Es geht im Prinzip hier in die Richtung V. Und ich verfolge N Abweichungsvektoren. A1 von S, A2 von S und so weiter.

Diese Abweichungsvektoren, die werden alle immer größer, je weiter ich nach draußen komme. Das wird mit dem Volumen passieren. Und nachher werde ich versuchen, diese ganzen Volumina aufzuaddieren. Und dann auch noch einmal rundum zu addieren, um das Gesamtvolumen zu erhalten von diesem geodetischen Ball. Meine Abweichungsvektoren erfüllen also, dass sie zum Parameterwert Null gleich Null sind.

Da unten ist alles ganz winzig am Startpunkt. Alle die sind Null. Anders als bei der Herleitung des Ritschig-Tensors, wohlgemerkt. Da startet man ja mit parallelen geodetischen. Außerdem möchte ich jetzt noch Namen haben für die Geschwindigkeiten, mit denen diese Abweichungsvektoren im Zentrum losgehen.

Die Kurvariante-Ableitung von A1 nach dem Parameter an. Den Parameterwert Null, also im Zentrum, die nenne ich W1. Von A2 nenne ich W2 und so weiter. Und jetzt gehe ich vor wie beim Ritschig-Tensor. Dieses Volumen hier drücke ich aus mit Hilfe der Determinante der Skalarprodukte.

Aller von diesen Abweichungen. Und nähere das dann durch eine Taylor-Reihe. Also wie bei der Herleitung vom Ritschig-Tensor. Ich nehme mit mir die Abweichung Nummer Rho zum Parameterwert S. Ich nehme mir die Abweichung Nummer Sigma zum Parameterwert S. Und versuche das jetzt nach Taylor zu nähern.

Das ist erstmal der Wert von diesem Ausdruck an der Stelle S gleich Null. Dann kommt die Ableitung von diesem Ausdruck dazu. An der Stelle S gleich Null mal S. Plus die zweite Ableitung nach S. An der Stelle S gleich Null mal S² halbe.

So sah es auch bei der Herleitung des Ritschig-Tensors aus. Aber jetzt geht es noch weiter. Ich brauche die dritte Ableitung an der Stelle S gleich Null. Mal S hoch 3 durch 3 Fakultät, durch 6 also. Und ich brauche noch die vierte Ableitung an der Stelle S gleich Null. Mal S hoch 4 durch 4 Fakultät, also 24.

Plus Therme der Ordnung 5 oder höher. Und jetzt rechnet man diese fünf Werte aus. Der Wert des Skalarprodukts zum Zeitpunkt S gleich Null. Der ist netterweise sofort Null, weil diese Abweichungen ja mit Null starten. Jetzt gucken wir uns die erste Ableitung an. Skalarprodukt ableiten nach S.

Das kam so schon alles beim Ritschig-Tensor vor. Ich leite den linken Kovariant ab, plus ich leite den rechten Kovariant ab. Das ist die Skalarprodukt-Regel. Den linken Kovariant ableiten plus den rechten Kovariant ableiten. An der Stelle S gleich Null sollen die Abweichungen aber Null sein. Das heißt, hier steht Null an der Stelle S gleich Null.

Und hier steht Null an der Stelle S gleich Null. Mit anderen Worten, die erste Ableitung an der Stelle S gleich Null genommen ist Null. Auch dieser hier ist Null. Man sieht allmählich, warum man hier so viele hohe Ordnungen drin haben muss. Es fällt so viel weg am Anfang. Jetzt kommt die zweite Ableitung. Die kam ja auch schon bei der Herleitung des Ritschig-Tensors vor.

Was hier in Blau steht, nochmal ableiten. Also da vorne zweimal ableiten, den stehen lassen, plus den ableiten. Dann habe ich Ableitung mal Ableitung plus den Ableitung. Dann habe ich nochmal Ableitung mal Ableitung. Also zweimal Ableitung mal Ableitung plus den hinteren nochmal ableiten.

Hier steht wieder Null, wenn ich S gleich Null einsetze. Hier steht Null. Und hier steht das Produkt aus W Rho und W Sigma. An der Stelle S gleich Null hatte ich ja den Namen W für diese covarianten Ableitungen hier jeweils. So hat die erste Ableitung und die zweite Ableitung.

Jetzt kommt die dritte Ableitung. Das geht weiter nach demselben Muster. Ich leite das Grüne ab. Nach der Produktregel kriege ich dann hier vorne die dritte Ableitung von A Rho plus den stehen lassen, den ableiten. Also die zweite Ableitung links, die erste Ableitung rechts.

Die zweite Ableitung links, die erste Ableitung rechts. Das war der erste. Jetzt mache ich hier weiter. Links ableiten. Dann steht da die zweite Ableitung, die erste. Ich kriege also zweimal noch dazu. Das sind insgesamt drei von dieser Sorte. Dann muss ich den linken stehen lassen und den rechten ableiten.

Den linken stehen lassen und den rechten ableiten. Der kriegt jetzt also zwei Ableitungen. Bisher habe ich zwei von dieser Sorte. Hier kriege ich aber noch einen, in dem ich den linken ableite und den rechten stehen lasse. Also Faktor 3 plus das letzte, was ich kriege, ist den stehen lassen, den ableiten.

Die dritte Ableitung hier von A Sigma. An der Stelle Null steht hier der Nullvektor. Hier steht der Nullvektor. Und jetzt gucken wir uns hier die zweite Ableitung an. Mit Hilfe der Deviationsgleichung. Das ist Minus, Krümungstensor, irgendein Index oben, Beta Lambda Mu unten.

Ich gehe im Wesentlichen in die Richtung V, also V Beta. Mit dem Lambda steht die geodätische Abweichung, also A Sigma von Null. Oben Lambda und mit dem Mu steht wieder unsere Richtung, V Mu. A Sigma von Null ist aber Null.

Also fliegt auch dieses Galarprodukt raus. Und genauso fliegt dieses Galarprodukt raus. Die dritte Ableitung wird also Null. An der Stelle ist gleich Null. Nochmal zurück zu unserem Taylor-Prolinom. Bei der zweiten Ableitung war wirklich was passiert. Bei der dritten Ableitung steht schon wieder Null.

Und ich will noch die vierte Ableitung haben. Diesen violetten Austrock muss ich jetzt also ableiten. Vierte Ableitung nach S. Den hier vorne ableiten. Links ableiten plus rechts ableiten. Links ableiten ist nun die vierte Ableitung von Aro. Rechts stehen lassen.

Plus, andersherum, links stehen lassen und rechts ableiten. Damit habe ich dieses Galarprodukt abgeleitet. Jetzt kommt dieses. Einmal links ableiten, einmal rechts ableiten. Und wenn ich links ableite, kriege ich dieses hier dreimal dazu. Also insgesamt vier von der Sorte. Rechts ableiten gibt mir dreimal, zweite Ableitung links,

zweite Ableitung rechts. Plus dreimal, zweite Ableitung links, zweite Ableitung rechts. Damit habe ich dieses Galarprodukt abgeleitet. Jetzt leite ich das ab. Wenn ich links ableite, zweite Ableitung links, zweite Ableitung rechts, habe ich weitere drei von dieser Sorte.

Also hier habe ich nicht drei von der Sorte, sondern sechs von der Sorte. Plus dreimal, links einmal ableiten, rechts dreimal ableiten. Dreimal, links einmal ableiten, rechts dreimal ableiten. Plus, jetzt muss ich den letzten noch verarbeiten,

den einmal links ableiten. Das ist nochmal von der Sorte. Hier steht also keine drei, sondern eine vier. Und den stehen lassen, den nochmal ableiten. Mal die vierte Ableitung von A sigma. So, und jetzt gucken wir uns das an der Stelle S gleich null an.

Der hier wird null an der Stelle S gleich null. Wo haben wir sonst noch ein nacktes A stehen? Da unten haben wir ein nacktes A stehen. Das wird null an der Stelle S gleich null. Jetzt wissen wir inzwischen auch, dass die zweite Ableitung deswegen null wird. An der Stelle S gleich null. Hier steht die zweite Ableitung da auch nochmal.

Aber einmal null reicht mir. Was übrig bleibt, sind diese beiden Terme mit den dritten Ableitungen. Jetzt versuche ich mal die dritten Ableitung mit Hilfe der Deviationsgleichung zu fassen. Diesen Ausdruck hier. Die dritte Ableitung von a rho von S nach S. Ich leite also die zweite Ableitung noch einmal ab.

Wo könnte man das schreiben? Die zweite Ableitung kenne ich aber von der Deviationsgleichung. Hier steht also covariante Ableitung. Und jetzt die zweite Ableitung von der Deviationsgleichung. Minus Krümungstensor mit irgendeinem Index oben. Etta lambda mu.

Jetzt kommt der Geschwindigkeitsvektor meiner zentralen geodetischen Abweichung. Mit der Nummer rho. Und davon die lambda Komponente. Und nochmal der Geschwindigkeitsvektor. Ich will ja wissen, was dies an der Stelle S gleich null ist. Wenn ich hier die covariante Ableitung ausführe.

Nach Produktregel. Den ersten anwenden. Plus auf den zweiten anwenden. Plus auf den dritten. Plus auf den vierten anwenden. Dann wird an S gleich null nur ein einziger Term übrig bleiben. Das sieht man so. Die covariante Ableitung auf den Krümungstensor anwenden. Mal diesen wieder. Da steht an der Stelle null.

Mal A wieder. Da steht an der Stelle null. Der ist aber null. Ich muss nicht weiter nachdenken. Das fliegt raus. Die covariante Ableitung anwenden. Auf diesen Geschwindigkeitsvektor. Dann steht schon wieder A da drinnen. Was null ist. Das fliegt raus. Und genauso wenn ich die covariante Ableitung auf den hier hinten anwende. Dann bleibt A stehen. Bleibt null. Das einzige was übrig bleibt.

Ist Krümungstensor. Geschwindigkeitsvektor. Und diesen Kurvariant Ableitung an der Stelle null. Und wieder der Geschwindigkeitsvektor. Das wird also. Minus Krümungstensor. Beta lambda mu. Dieser an der Stelle S gleich null. Ist V beta. Diesen Kurvariant Ableitung an der Stelle S gleich null.

Ist W o lambda. Und diesen an der Stelle S gleich null. Das ist V mu. Jetzt weiß ich also was hier die dritte Ableitung ist. An der Stelle S gleich null. Und den hier kann ich auch angeben. An der Stelle S gleich null. War der ja schlicht und ergreifend wie Sigma.

Das kann man jetzt zusammen sortieren. Die vierte Ableitung. An der Stelle S gleich null. Ist also. Nichts. Plus vier mal. Minus Krümungstensor. V w v w. Plus nichts. Plus vier mal. V mal. Minus Krümungstensor V w v w.

Plus nichts. Alles zusammen. Die vierte Ableitung meines Skalarprodukts. Nach dem Parameter S. An der Stelle S gleich null. Ist. Minus vier mal. Dieser. Er. Etwas oben. Beta lambda mu. V beta. V rho lambda.

V mu. Mal die erste Ableitung. Und das war wie Sigma. Und jetzt muss ich hier kontrahieren. Ich schreibe wie Sigma unten Alpha. Und hier oben ein Alpha hin. Das wäre der erste Term. Und dann gibt es noch den zweiten. Minus vier mal. In umgekehrter Reihenfolge. Vorne steht w rho Alpha.

Und hinten steht r Alpha. Beta lambda mu. V beta. V Sigma. Lambda v mu. Dieses Alpha unten. Alpha oben mache ich mal zu Lambda oben. Lambda unten. Und dieses Lambda. Mache ich zu Alpha oben.

Alpha unten. Und jetzt benutze ich noch die Symmetrie beim Krümmungstensor. Tausche hinten und vorne aus. Dann steht da oben Alpha. Unten mu. Die beiden hinteren. Unten lambda. Unten beta. Dieses mu geht mit dem v mu. Das beta geht mit dem v beta. Ob ich hier das mu hinschreibe oder das beta. Macht keinen Unterschied.

Und jetzt sehe ich was hier unten steht. Ist dasselbe wie das, was da oben steht. Er oben Alpha. Unten Beta lambda mu. Das rho steht mit dem lambda oben. Das rho steht mit dem lambda oben. Und das Sigma steht mit dem alpha unten. Ich kann also den zweiten ganz streichen. Und hier oben eine Acht draus machen. Damit habe ich jetzt die Tellernäherung zusammen.

Die Entwicklung von diesem Skalarprodukt ist also. Die zweite Ableitung an der Stelle 0. Mal S² halbe. Plus die vierte Ableitung an der Stelle S gleich 0. Mal SO4 24. Plus Terme höherer Ordnung. Die zweite Ableitung war zweimal.

Das Skalarprodukt W rho W sigma. Und die vierte Ableitung hatten wir gerade. Da steht sie noch. Also habe ich das Skalarprodukt. Von A rho von S. Mit A sigma von S. Ist gleich. Der Beitrag vom quadratischen Ausdruck. Das Skalarprodukt von W rho und W sigma.

Mal zwei mal S² halbe. Hier können wir sofort kürzen. Plus den Beitrag mit S hoch vier. Plus den Beitrag mit S hoch vier. Also Minus acht. Er oben Alpha. Unten Beta lambda mu. V Beta. W Nummer rho. Mit lambda oben. V mu mal W Nummer sigma. Mit Alpha unten.

Mal S hoch vier. Vierundzwanzigstel. Hier können wir auch kürzen. Die acht. Und da bleibt auch noch eine drei. Plus Terme der Ordnung. S hoch fünf. Und höher. Und diese beiden Ausdrücke. Fasse ich jetzt zusammen. Wie schon bei der Herleitung des Ritchie Tensors.

Von dem W-Vektor mit der Nummer rho. Nämlich lambda oben. Von dem W-Vektor mit der Nummer sigma. Nämlich Alpha unten. Große Klammer. Höhere Ordnung. Noch dazu am Ende. In der Klammer brauche ich jetzt etwas. Um mir hier die Komponent mit der gleichen Nummer links und rechts rauszupicken.

Ich brauche Delta. Oben Alpha. Unten lambda. Mal S Quadrat. Minus. S hoch vier Drittel. Der Krümmungstensor steht jetzt mit W rho lambda. Und W sigma Alpha. Da muss ich also gar nichts besonderes machen. Und R oben Alpha. Beta. Lambda.

V Beta. V Mu. Mit diesem Ergebnis kann ich jetzt einen Teil meines Volumens ausrechnen. Ich gehe nochmal ganz zurück. Dieses Volumen hier in Abhängigkeit vom Parameter S kann ich nun ausrechnen. Das nenne ich mal Vol S. Ganz wie bei der Herleitung vom Ritchie Tensor

kriege ich das Quadrat von diesem Volumen als Determinante aus allen Skalarprodukten zwischen diesen Abweichungsvektoren. Das Quadrat vom Volumen zum Parameter Wert S ist die Determinante aus dieser Matrix an Skalarprodukten. A rho von S.

A sigma von S. Mit rho und sigma als Zeilenindex und Spaltenindex. Und das buchstabiere ich jetzt aus mit Hilfe der Taylor-Näherung. Hier steht auch die Taylor-Näherung. Die Determinante von einem Produkt von Matrizen ist das Produkt der Determinanten. Die Determinante hier von, mal die hier von,

mal die hier von. Die ersten beiden fasse ich wieder zusammen wie schon bei der Herleitung vom Ritchie Tensor und kriege die Determinante von dieser Matrix aus Skalarprodukten wie rho multipliziert mit sigma alle rho und sigma durch mal die Determinante hier steht jetzt S²

mal die Einheitsmatrix minus S hoch 4 drittel mal naja, was komisch ist, das hier hinten schreibe ich mal als M Beta geht weg, Mu geht weg der Index Alpha und der Index Lambda die bleiben über. Eine Matrix M mit diesen Einträgen hätte ich gerne.

Plusthermehöherordnung bei denen muss man jetzt etwas vorsichtig sein. Ich habe eine Matrix in der jeder Eintrag von der Ordnung S hoch 5 oder größer ist. Und hier vorne habe ich eine Matrix in der jeder Eintrag von der Ordnung S² oder größer ist. Wenn ich die beiden hier mische,

ist das Beste, was ich kriegen kann, dass ich vorne in N minus 1 Spalten das S² nehme und hier noch in einer Spalte das S hoch 5 nehme. Dann habe ich zum Schluss S² hoch N minus 1 mal S hoch 5. Dann habe ich zusammen S hoch 2N minus 2 plus 5, hier also

2N plus 3. Bei dieser Determinante kann ich aus jeder Spalte den Faktor S² rausnehmen. N Spalten N mal den Faktor S² rausgenommen also zum Schluss S² hoch N S hoch 2N rausgenommen mal die Determinante, da ist jetzt das

S² weg, minus und hier habe ich nur noch S² statt S hoch 4. S² Drittel M Diese Situation gab es schon mal bei der Herleitung vom Ritchie-Tensor, die Determinante von der Einheitsmatrix mit einer Störung. Das hier wird 1 minus die Spur der Störung

S² Drittel, die Spur der Matrix M plus Terme mindestens der Ordnung S hoch 4. Die Spur dieser Matrix hier ich summiere M11, M22, M33, schreibe also Alpha, Alpha hin. Das ist schlicht und ergreifend der Ritchie-Tensor

kontrahiert mit V beta und V µ. Diese Spur ist der Ritchie-Tensor beta µ mit V beta V µ. Jetzt weiß ich was das Quadrat vom Volumen ist. Ich ziehe die Wurzel. Das Volumen selbst ist also große Wurzel.

Diese Determinante aller Skalarprodukte zwischen den V-Vektoren mal, jetzt haben wir hier ein S hoch 2n und dann der blaue Ausdruck 1 minus S² Drittel Ritchie-Vv plus Terme der Ordnung S hoch 2n plus 4

aber hier habe ich sowieso schon Terme der Ordnung S hoch 2n plus 3. Also Klammer zu plus Ordnung S hoch 2n plus 3. Das versuche ich jetzt noch weiter auseinander zu nehmen. Wenn diese Determinante hier vorne nicht null ist könnte ich diesen Restterm mit zu diesem Produkt nehmen.

Ich könnte mir hier Klammern vorstellen. So arbeite ich mal weiter. Also ob hier Klammern stünden kann ich hier nämlich nochmal S hoch 2n aus der grünen Klammer gleich rausnehmen. Ich kriege also die Wurzel aus der Determinante von allen diesen Skalarprodukten. S hoch 2n ziehe ich aus der Wurzel

S hoch N und in der Wurzel steht dann dieser noch drinnen. 1 minus S² Drittel Ritchie-Vv und diesen hier nehme ich zu dem Produkt rein. S hoch 2n habe ich schon weg. Hier steht noch O von S hoch 3

in der Wurzel. Der letzte Faktor hier ist Wurzel aus 1 und eine Störung. Auch das gab es schon bei der Herleitung vom Ritchie-Tensor. Das nähere ich mit der Tangentengrade. 1 plus Störung unter der Wurzel wird 1 plus die Hälfte der Störung in der Nährung. 1 minus und nun

S² Sechstel, die Hälfte. Ritchie-Vv und hier von der Hälfte bleibt O von S hoch 3. Dieses Volumen ist ja nur ein kleines Stück von dem was ich eigentlich ausrechnen will. Jetzt gehe ich zurück zum gesamten geodetischen Ball.

Eigentlich will ich ja nicht dieses Volumen ausrechnen, sondern das Volumen des geodetischen Balls ausrechnen. Ich will dieses Volumen hier jetzt also aufsummieren entlang dieser geodetischen und einmal rum, um alle Winkel. Wenn ich entlang dieser geodetischen aufsummiere, muss ich etwas vorsichtig sein. Nach außen wird dieses Volumen ja größer,

nach innen wird es kleiner, weil der Abweichungsvektor längs des Radius ja auch mitwächst. Das gibt ein Faktor S zu 4. Ich muss hier also vorsichtig sein. Ich muss hier S hoch N minus 1 benutzen, wenn ich hier integriere. Und dann muss ich noch über alle Winkel integrieren. Wir kriegen also das Volumen vom geodetischen Ball mit Radius R,

ist ein Integral irgendwie über Winkel. Details sind egal. Wolke hier. Auf jeden Fall kommt bei diesem Winkelintegral raus, welche V ich nehmen soll und welche W ich nehmen soll. Und ich kriege ein Integral längs des Radius. Also von 0 bis R über den Parameter S

von diesem Ausdruck hier. Die Determinante von W hoch W sigma nach H und sigma. Wie gesagt, jetzt S hoch N minus 1, weil das Volumen hier mal größer wird, mal den blauen Ausdruck hier. 1 minus S Quadrat Sechstel Ritchie

V, V, ich schreibe jetzt die Details nicht hin. Plus Thermo Höherordnung. Im Endeffekt habe ich hier jetzt aber einen Integral über einen ganz normalen flachen Ball sozusagen im euklidischen Raum. Ein Mehrfachintegral über die Vollkugel mit Radius R im Rn um den Ursprung.

D hoch N x zu diesem Integral gehört nicht nur das Winkelintegral, sondern auch hier das Integral längs dem Radius. Dieses Volumen hier gehört dazu. S hoch N minus 1 gehört dazu. Dieser blaue Teil hier, den muss ich noch hinschreiben. 1 minus S Quadrat Sechstel R

unten Beta mu V oben Beta V oben mu plus Thermo Höherordnung S hoch 3. V hat die Richtung angezeigt, in die ich rausgehe, aus dem zentralen Punkt. S mal V ist damit schlicht und ergreifend der Radiusvektor. Ich streiche

ein S und dieses V Beta und mache es zu x Beta. Die Koordinate x mit der Nummer Beta. Ich streiche noch ein S und dieses V und mache es zu x mu. Und hier hinten das S hoch 3 ist also die Länge von x hoch 3. Jetzt nutze ich aus, dass der Ritschi-Tensor symmetrisch ist.

Ich kann die Koordinatenachsen so wählen, dass dieser symmetrische Tensor diagonal wird. Dann multipliziere ich hier nicht mehr Kreuz und Querfeld 1, sondern ich habe nur noch R11 mal x1 x1, R22 mal x2 x2 und so weiter. Ich drehe mein Koordinatensystem so, dass der diagonal wird.

Dann kriege ich da dasselbe Integral wie vorher über die Vollkugel mit Radius R im Rn und den Ursprung. Hinten schraube ich mal hin d x d y d z und so weiter. Und was ich integriere wird werden 1 minus das S² ist weg, ein Sechstel

und nur die Diagonalelemente R11 mal x1 x1, also xx R11 mal x² R22 mal x2 x2, also R22 mal y² und so weiter. Plus thermöre Ordnung, nämlich die Länge des

Vektors x hoch 3. Und jetzt reicht es sich, dass sich dieses x und das x nicht auseinander halten kann, weil ich ohne Vektorpfeile arbeite hier. Ich schreibe hier tatsächlich jetzt mal einen Vektorpfeil drüber und über den auch mal einen Vektorpfeil. Ich muss also wissen, was passiert, wenn ich über die Vollkugel 1 integriere. Dann kriege ich das Volumen der Vollkugel.

Und was passiert, wenn ich über die Vollkugel x² integriere? Entsprechend wird das mit y² usw. gehen und dann kann ich das zusammenbauen. Ich will also integrieren über die Vollkugel mit Radius R um den Ursprung im Rn.

x² dx dy dz usw. Wenn ich mir das im Dreidimensionalen vorstelle, zerfaser ich also die Vollkugel in Kreisscheiben. Die Fläche jeder dieser Kreisscheiben wird mit x² multipliziert. Dies kann ich auch schreiben als das Integral

von minus R bis plus R. Hier hinten fange ich bei minus R an. Hier höre ich bei plus R auf. x läuft von minus R bis plus R. Jetzt brauche ich die Fläche der Kreisscheibe. Das ist also hier im allgemeinen Fall das Volumen der Vollkugel in n-1 Dimensionen.

Mit dem passenden Radius nach Pythagoras. Also Wurzel R² minus x². Dieses Volumen, das ist im Dreidimensionalen die Fläche dieser Kreisscheibe und ich multipliziere mit x² integriere über x. Glücklicherweise brauche ich keine Formel für dieses Volumen der Vollkugel

oder hier für die Fläche der Kreisscheibe, wenn n gleich 3 ist, n minus 1 gleich 2 ist. Es reicht, dass ich weiß, dass dieses Volumen hier eine Konstante mal den Radius hoch n minus 1 ist. Und Radius hoch n minus 1, also Wurzel R² minus x² hoch n minus 1. Diese Konstante hier ist mehr oder minder fürchterlich

in hohen Dimensionen. Ich muss sie gar nicht wissen, stellt sich gleich heraus. Auf jeden Fall wird dieses Volumen einer n-1 Dimensionalen Kugel proportional sein zu ihrem Radius hoch n minus 1. Das heißt, ich habe jetzt ein relativ schlichtes Integral zu lösen. Das Integral von minus R bis plus R, eine Konstante

mal Wurzel R² minus x² hoch n minus 1 mal x² dx. Ich arbeite mit Substitution. Ich sage x ist R mal Sinus ein Winkel. Dann ist dx gleich R mal den Cosinus vom Winkel, mal das

Differenzial vom Winkel. Und ich kriege meine Konstante. x soll von minus R bis plus R laufen, der Sinus also von minus 1 bis plus 1 laufen, Phi soll also von minus Pi halbe bis plus Pi halbe laufen. Hier steht jetzt die Wurzel aus R² minus x²,

also R² Sinus² hoch n minus 1 und x² ist R² Sinus² und dx ist Rcosinus dPhi. Nun nehme ich ein paar Faktoren R raus. Aus der Wurzel kann ich das R² rausziehen. Das R² wird von der Wurzel zu R

hoch n minus 1. Also C mal R hoch n minus 1. Hier kriege ich noch zwei Faktoren R und hier noch einen Faktor R, also plus 3 im Exponenten. Integral von minus Pi halbe bis plus Pi halbe. Jetzt steht hier nur noch 1 minus Sinus² und die Wurzel

hoch n minus 1. Sinus² Cosinus dPhi. 1 minus Sinus² ist Cosinus² nach Betagoras. Aus dem Sinus² hier mache ich auch 1 minus Cosinus² und dann steht hier das ist C mal R hoch n minus 1 plus 3.

Integral von minus Pi halbe bis Pi halbe. Die Wurzel aus Cosinus² ist hier der Cosinus. Hier wird der Cosinus nicht negativ. Also kein Ärger mit Betragstrichen. Die Wurzel aus dem Cosinus² ist hier der Cosinus hoch n minus 1 und noch ein Faktor Cosinus. Dann habe ich den Cosinus hoch n

mal 1 minus Cosinus² dPhi. Dieses Integral hier mit dem Cosinus hoch n ist etwas ungemütlich. Es kommt ein kleiner Trick. Wenn ich allgemein das Integral Cosinus hoch n lösen könnte, dann könnte ich dieses lösen. Cosinus hoch n mal 1 und auch dieses hier lösen. Cosinus hoch n plus 2.

Also versuche ich folgendes Integral hinzukriegen. Ich nenne das Integral n plus 2. Das soll sein von minus Pi halbe bis Pi halbe der Cosinus hoch n plus 2 von Phi. Das Integral gehe ich jetzt mit partieller Integration an. Ich sage der Cosinus hoch n plus 2 ist der Cosinus hoch n plus 1

von Phi mal den Cosinus von Phi. Den ersten Term kann ich hübsch ableiten. Blah hoch n plus 1 gibt n plus 1 mal, was da steht, hoch n und mal die innere Ableitung, den Cosinus ableiten, gibt minus Sinus. Und hier den Cosinus, von dem brauche ich eine Stammfunktion.

Was leite ich ab? Am einfachsten den Sinus. Und dann kriege ich den Cosinus. Jetzt habe ich alles da für die partielle Integration. Dann in den eckigen Klammern von minus Pi halbe bis plus Pi halbe stehen die beiden nicht abgeleiteten Funktionen. Cosinus hoch n plus 1 mal Sinus. Das ist aber an beiden Enden 0.

Aus den eckigen Klammern kommt 0 raus. Und jetzt minus das Integral mit vertauschten Rollen. Die beiden, die hier unten stehen. Nochmal ein Minus macht wieder ein Plus. N plus 1. Und das Integral von minus Pi halbe bis plus Pi halbe Cosinus hoch n Sinus Quadrat. Sinus Quadrat ist aber schon wieder

1 minus Cosinus ins Quadrat. Ich habe schon wieder ein Integral von dieser Form. Cosinus hoch n und Cosinus hoch n plus 2. Zusammengefasst, dieses Integral mit dem Exponenten n plus 2 vom Cosinus wird also sein n plus 1 mal, jetzt das

Integral nur mit dem Exponenten n i n, minus das Integral mit dem Exponenten n plus 2 beim Cosinus. Das ist eine ganz wichtige Gleichung. Die löse ich auf. Ich bringe n plus 1 i n plus 2 auf die linke Seite. Dann habe ich hier n plus 2 i n plus 2. Und dann teile ich

durch n plus 2. Kriege damit i n plus 2 ist gleich n plus 1 durch n plus 2 i n. Und mit dieser Erkenntnis gehe ich zurück zu meiner ursprünglichen Fragestellung. Dieses Integral ist also i n Cosinus hoch n mal 1 minus i n plus 2

Cosinus hoch n mal Cosinus quadrat. Jetzt habe ich aber gelernt, wie ich i n plus 2 durch i n ausdrücken kann. Hier unten steht i n minus n plus 1 durch n plus 2 i n. Das fasse ich noch zusammen. Wie viel mal i n habe ich? 1 minus n plus 1 durch n plus 2

Also 1 durch n plus 2. Ihr kommt raus, wenn ich jetzt geschickt weiter zusammenfasse. Das ist meine Konstante. Mal, hier habe ich r hoch n plus 2 im Endeffekt. r hoch n r ins Quadrat.

n plus 2. Einmal noch von dem. Mal das Integral i n. Also mal das Integral von minus pi halbe bis plus pi halbe Cosinus hoch n von Phi d Phi. Dieser hintere Teil ist jetzt aber das Volumen des n-dimensionalen Balls mit Radius r. Das sieht man hier oben. Wenn ich hier eine 1 schreiben würde, statt

des x Quadrat, würde ich die Funktion 1 über die Vollkugel integrieren. Ich hätte das Volumen der Vollkugel der n-dimensionalen Vollkugel. Hier stünde eine 1. Hier stünde eine 1. Hier stünde kein r Quadrat Sinus Quadrat. Ich bekomme dieses Integral. Das ist das Volumen der

Vollkugel mit Radius r im Rn. Die n-dimensionale Vollkugel. Nochmal zusammengefasst. Wenn ich x Quadrat über die Vollkugel integriere, bekomme ich Radius ins Quadrat durch n Zahl der Dimension plus 2 mal das Volumen der

Vollkugel. Das setze ich jetzt ein. Hier steht das Volumen dieser Vollkugel mal 1 minus ein Sechstel r11. Und dieses x Quadrat haben wir gerade gesehen, wird zu Radius Quadrat durch n plus 2.

n die Zahl der Dimensionen. Das selbe passiert mit dem für y und so weiter. Und die Höhenordnung hier hinten, gehen mindestens wie r hoch 3. Was hier jetzt aus dem Ritualtensor gebildet worden ist, regelt also, wie sich das Volumen des geodetischen Balls mit Radius r entwickelt. Wenn das hier Null ist, bleibe ich sogar in zweiter

Ordnung, gleich dem Volumen im ungegründen Raum. Das schreiben wir alles noch mal zusammen. Ich habe also das Volumen vom geodetischen Ball mit Radius r. Das ist das Volumen von der euklidischen Vollkugel, ohne

Krümmung heißt das, mit Radius r mal, und jetzt kommt die Reaktur, 1 minus Radius Quadrat durch 6 mal n plus 2. Und hier stand jetzt in unserem schönen Koordinatensystem r00 vom Ritualtensor plus r11 plus und so weiter, plus

der höhere Ordnung. Das hier ist natürlich noch so ein bisschen fadenscheinlich. In einem schönen Koordinatensystem stimmt das, aber offensichtlich ist das hier nicht basisunabhängig, wie es da steht. Ich bilde basisunabhängig r oben 0, r unten 0 plus r oben 1, r unten 1 und so weiter. Also wenn man so wählt den Ritualtensor mit einem

Index µ oben und einen Index µ unten, oder mit dem metrischen Tensor geschrieben, den Ritualtensor mit Beta µ unten kontrahiert mit dem metrischen Tensor mit Beta µ oder µ Beta egal oben. Hier bilde ich also quasi die Spur der Spur. Der Ritschi-Tensor

war schon eine Spur vom Krümmungstensor. Hier wird nochmal die Spur gebildet. Das hier nennt sich der Krümmungsskalar. Groß r dann nur noch ohne Indizes. Oder der Ritschi-Skalar. Oder die Skalarkrümmung. Noch ein Name dafür. Wir kriegen dann also

das ist das Volumen im euklidischen Fall, mal 1 minus den Radius ins Quadrat durch 6 mal die Zahl der Dimensionen plus 2 mal den Krümmungsskalar plus thermo-höherer Ordnung. Und man sieht, wenn ich mit dem Radius rückwärts gehen würde, müsste dasselbe rauskommen. Hier kann eigentlich gar nichts stehen von der Ordnung r hoch 3.

Das muss hier mit r hoch 4 weitergehen.