Okay, heute beginnen wir mal mit einem Problem, das erst mal gar nicht zur Art mit Mathematik zu tun hat auf den ersten Anschein, sondern mit Biologie. Aha, gleich die Aufwühlung hier im Raum. Oh, Biologie.

Und zwar beschäftigen wir uns heute mit Hasen. Okay, Hasen. Haben Sie schon mit gerechnet? Ja, okay. Sie müssen aber trotzdem ganz leise sein,

sonst verscheuchen Sie die Häschen. Und dann können wir nicht richtig zählen. Okay, und zwar, passen Sie auf, ich habe hier so einen Hasenstall. Das ist ein Mathematiker-Hasenstall, schön quadratisch.

Okay, und in diesen Hasenstall setze ich jetzt ein neugeborenes Hasenpärchen hinein. Ja, ein Hasenpärchen in den Hasenstall.

So, ein Hasenpärchen.

Vielleicht, Mathematiker müssen ja immer irgendwie modellieren. Also diese Hasenpärchen, die kommen da nie raus. Und außerdem sterben Hasen nie. Okay, die sterben nicht. Die bleiben immer da. Okay, Hasenpärchen. Jetzt ist das Hasenpärchen hier drin. Und ich mache mal so eine Zeitachse auf.

Und zwar in Monaten gerechnet. Ich mache hier mal eine Tabelle. Monat. Und dann Anzahl Hasenpaare.

Anzahl Hasenpaare. Okay. Also das ist jetzt der erste Monat und da haben wir hier so ein Hasenpärchen. Natürlich das Hasenpärchen, nicht irgendein Hasenpärchen, sondern es sind Männchen und Weibchen. Sie können sich vorstellen, worauf es hinausläuft.

Aber noch nicht, denn das Hasenpärchen ist erst ein Babyhasenpärchen. Die müssen erst noch ein bisschen wachsen. Das heißt, im ersten Monat haben wir das erste Hasenpärchen. Und im zweiten Monat ist es immer noch eins. Jetzt wird das Hasenpärchen älter im zweiten Monat.

Und als mathematisches Modell nehmen wir mal an, dass Hasenpaare immer einen Monat brauchen, um geschlechtsreif zu werden. Und um neue Hasen zu werfen. Zu produzieren sozusagen. Das heißt, die Hasenpärchen brauchen immer einen Monat,

um so weit zu sein, ein neues Hasenpärchen zu produzieren. Jedes Hasenpärchen produziert in jedem Monat ein Hasenpaar, ein neues. Aber erst mit einem Monat Latenzzeit sozusagen. Bis sie groß geworden sind und bereit sind. Das heißt, wie viele Hasenpärchen haben wir jetzt im Monat drei?

Zwei, genau. Weil die haben jetzt ein Hasenpärchen geworfen. Okay, jetzt haben wir zwei Hasenpärchen.

Wie viele Hasenpärchen haben wir im Monat Nummer vier? Warum drei?

Genau, das alte Hasenpärchen macht weiter. Das produziert jetzt jeden Monat ein Hasenpaar. Das neue geworfene Hasenpaar, das gerade dazugekommen ist, das kann noch nicht. Das heißt, jetzt kommt in dem Monat ein neues dazu. Nämlich gerade von dem alten Hasenpaar, was wieder eins wirft.

Also jetzt haben wir drei Hasenpärchen. Ich finde, man muss sich ab und zu mit total irrelevanten Tätigkeiten befassen. Wie so was hier. Jetzt haben wir drei Hasenpärchen.

Jetzt kommen wir langsam in die spannende Ecke, wo wir was verstehen müssen. Wie viele Hasenpärchen haben wir im Monat Nummer fünf? Fünf, warum?

Das erste wirft? Die zweite Generation kann jetzt die zweite Generation. Second Generation fängt jetzt auch an. Also kriegen wir jetzt zwei Hasenpärchen und zwei neue. Zu den drei alten dazu.

Ich finde, die sehen immer mehr aus wie Bärchen, oder?

Hier können wir machen, dass die aussehen wie Häschen.

Fünf Hasenpärchen. Wie viele Hasenpärchen haben wir im Monat sechs? Langsam beginnt es unübersichtlich zu werden. Hier kriegen wir auf einmal ganz viele Hasen. Wie viele von denen sind jetzt eigentlich geschlechtsreif? Wie viele nicht? Wie viele neue kommen dazu?

Es kommen drei neue dazu. Woran sieht man das? Hier sind zwei neue dazu gekommen. Die können noch nicht werfen. Sondern werfen können nur diese hier.

Also ich muss immer einen Monat überspringen. Schauen, momentan haben wir fünf. Wie viele waren denn im Vormonat da? Das sind all die Geschlechtsreifen. Und die werfen ein neues Pärchen. Zu den fünf kommt die Anzahl dazu. Die Hasen, die hier vorne dran stehen, sind nämlich diejenigen, die gerade werfen können.

Also haben wir jetzt acht. Okay, mal schneller hier.

Okay, jetzt haben wir acht Hasenpärchen. Wie viele haben wir im siebten Monat? Wer hat die Regel internalisiert, um zu sagen, wie viele Hasen wir da haben?

Ja, 13. Denn zu den jetzigen Hasen kommen welche dazu? Acht haben wir momentan. Diejenigen hier in den 18 Geschlechtsreifen, die können sich verdoppeln. Also kommen sozusagen die fünf dazu. Wir sind bei 13.

Wer kennt diese Zahlen? Wer kennt sie? Erstmal rein interessehalber melden Sie alle, die sie einfach nur kennen. Kennen schon ein paar. Wie heißen die? Genau, das sind die Fibonacci-Zahlen.

Das ist auch unser heutiges Thema. Fibonacci-Zahlen. Bei Fibonacci ist immer sehr interessant, auf welche Gedanken man da so kommen kann, welche Buchstaben verdoppelt werden. Wie wird Fibonacci geschrieben? Mit einem N, aber doppelt C.

Genau, die Fibonacci-Zahlen. Die Fibonacci-Zahlen stammen von einem berühmten Mathematiker im Mittelalter, schon länger her, Leonardo da Pisa. Der hat in Pisa gewohnt. Leonardo hieß der.

Man kann sich fragen, wieso sagt jeder Fibonacci? Weil der hatte verschiedene Namen gehabt. Und unter anderem hieß sein Großvater Bonacius, glaube ich, oder so ähnlich. Und dann war das der Filius Bonaccii oder so. Weiß nicht, wie man es damals ausgesprochen hat. Aber letztlich hat sich das dann zusammengezogen zum Fibonacci.

Also der Leonardo da Pisa, auch Fibonacci genannt, der hat sich diese Zahlen ausgedacht oder dieses Problem ganz ähnlich zu beschrieben mit den Hasen. Und die Idee ist tatsächlich, wenn ich einen neuen Monat berechnen will, muss ich die Anzahl der Hasen zum Vormonat nehmen

und die Anzahl der Hasen im Monat davor noch dazu addieren, weil diese Hasen sind geschlechtsreif. Die reproduzieren sich selbst hier dazu. Also ich nehme immer die beiden vorhergehenden Zahlen, addiere die, und dann kommt hier die Anzahl der Hasen im nächsten Monat raus.

Als Hausaufgabe vervollständigen Sie bitte dieses Bildchen. Ja, okay. Wie ist die formale Beschreibung der Fibonacci-Zahl? Na ja gut, wir müssen in irgendeiner Weise dieses Prinzip beschreiben. Und wenn ich in der Mathematik sozusagen vom Vorhergehenden

das nächste definiere oder herleite, dann spricht man von Rekursion. Wir brauchen eine rekursive Definition. Die Fibonacci-Zahlen werden oder sind folgendermaßen

rekursiv definiert. Das Wort auch mal an der Tafel steht hier. Rekursiv definiert.

Wie macht man so eine rekursive Definition? Am einfachsten, ja, man sagt, legt den Startwert fest und dann wie sich das nächste aus dem Vorhergehenden entwickelt. An der Stelle hier haben wir nicht nur einen Startwert, sondern zwei Startwerte. Das wird einem bewusst, wenn man die Rekursion aufstellt. Wir haben zwei Startwerte hier, nämlich F1.

Die erste Fibonacci-Zahl ist 1. Und auch die zweite Fibonacci-Zahl ist 1. Und wenn ich die n-te Fibonacci-Zahl bestimmen will mit n größer als 2, also die dritte zum Beispiel, die vierte fünfte und so weiter,

dann muss ich die vorherige nehmen, also Fn-1 und dazu zählen Fn-2. Also, für diese Rekursion brauche ich für die Bestimmung einer neuen Zahl die beiden vorhergehenden. Deswegen etwas ungewohnt, aber nicht durchaus unüblich,

eine Rekursion mit zwei Startwerten. Warum brauche ich zwei Startwerte? Weil ich F3, zur Bestimmung von F3 brauche ich F1 und F2. Und die leiten sich erst mal nirgendwo her, sondern die muss ich festlegen. Also F1 festgelegt, F2 festgelegt und Fn festgelegt

mit n größer als 2. Okay, gibt es Fragen bis zu dieser Stelle?

Nee, relativ einfach. Okay, dann habe ich jetzt Aufgaben für Sie mitgebracht, die sich mit den Fibonacci-Zahlen befassen. Okay, an der Stelle können wir aufhören mit der Aufzeichnung.