Also, wir haben n Konkurrenzen, die Modulen sind alle teilerfremd paarweise und dann gibt es eine Lösung modulo m, und m ist das Produktall der Modulen und jede weitere Lösung ist Konkurrent zu dieser Lösung modulo m.

Das haben wir die ganze Zeit so verwendet und rausgequickt und jetzt beweisen wir das.

Bisschen zu hoch.

Was müssen wir als erstes machen? Wir müssen die Inversen finden. Die Inversen wovon? Von dem Produkt aller Modulen außer demjenigen Modul, bezüglich wir das Inverse suchen.

Also, pass auf, wir bilden mal folgende Zahlen. Wir bilden k i als m durch m i.

Also, m ist ja das Produkt aller m i, also von m 1 bis m n, alle ms miteinander multipliziert. Jetzt dividiere ich dieses Produkt durch m i, das heißt ich lasse nur dieses eine Modul raus aus dem Produkt. Das gibt mein k i.

Also oben in dem Fall bei den drei Modulen ist mein k 1 gleich 5 mal 7 mal 9 durch 5. Also 7 mal 9. Ich nehme einfach alle anderen Modulen und multipliziere die bis auf dieses eine. Wenn ich das mache, dann weiß ich, dann gilt der ggt von k i und m i ist gleich 1.

Weil alle ms paarweise teilerfremd sind, ist m i auch teilerfremd zum Produkt aller anderen ms.

Hier steht m i und hier steht das Produkt aller anderen ms und dementsprechend sind diese beiden hier teilerfremd.

Hier oben 7 mal 9 ist teilerfremd zu 5 oder 5 mal 9 ist teilerfremd zu 7 usw. Weil die ursprünglich alle paarweise teilerfremd waren.

Das heißt es existiert das inverse x i, haben wir es genannt, x i mit k i mal x i bis Konkurrent 1 modulo m i.

Also ich nehme alle anderen Modulen außer m i, multipliziere die und suche das inverse modulo m i, weil das existiert.

Jetzt bildet man die Lösung x. Bildet man x folgendermaßen, x ist jetzt die Summe, ich nenne das jetzt mal mit einer anderen Variablen von j gleich 1 bis n, k j mal x j mal a j.

Also ich gehe alle Zahlen von 1 bis n durch und nehme k mal x mal a die entsprechenden Teile.

So wie wir es oben gemacht haben und sumiere letztlich auf und komme auf mein Gesamt x.

Jetzt betrachten wir uns den Ausdruck mal modulo m i. Wir gehen jetzt im Geiste sozusagen alle m i durch, alle Konkurrenzen durch und betrachten diesen Ausdruck modulo m i.

Gucken wir uns immer näher an. Wir wissen, k j ist Konkurrent 0 modulo m i für i ungleich j.

Also wir gucken uns diesen Ausdruck modulo m i an, den Gesamtausdruck und das ist eine Summe aus Teilsummen und die Teilsummen, wo j ungleich i ist, da ist k j Konkurrent 0 modulo m i, weil m i in dem k j drin vorkommt.

K j ist ja das Produkt aus allen m's außer m j. Wenn ich k j jetzt bezüglich m i betrachte und i ist nicht gleich j, dann ist m hier Teil des Produkts, also Konkurrent 0.

Das war hier oben in dem Fall gewesen. Wenn ich jetzt modulo m 1 betrachte und dann nehme ich k 2 und k 3, die sind beide 0 modulo 5. 5 mal 9 ist modulo 5 0 und 5 mal 7 ist auch modulo 5 0.

Es bleibt also nur übrig, x ist gleich k i mal x i mal a i modulo m i. Alle Summanden werden 0 bis auf eine, nämlich k i mal x i mal a i und wir wissen modulo m i ist k i mal x i gleich 1.

Das ist also Konkurrent a i modulo m i. Jetzt steht da x ist Konkurrent a i modulo m i.

Das ist ja genau das, was wir zeigen wollten, x ist Konkurrent a i modulo m i. Jetzt haben wir gezeigt, es gibt so ein x, man kann das bilden. Das ist ein Existenzbeweis letztlich anhand der Konstruktion.

Man sagt, wie es konstruiert wird und damit hat man gezeigt, es geht. Es gibt das. Jetzt wollen wir auch noch zeigen, dass es noch weitere Lösungen gibt und dass die alle Konkurrent zu diesem x sind modulo m. Wenn die alle Konkurrent sind modulo m, dann gibt es eine Lösung modulo m und alle anderen

sind größer als m oder kleiner als 0, aber dann auch Konkurrent zu dieser Einzahl modulo m. Also sei y eine weitere Lösung des Konkurrenzsystems.

Wenn y auch eine Lösung ist dieses Konkurrenzsystems, dann gilt doch, y ist Konkurrent a i modulo m i.

y ist Konkurrent a i modulo m i, weil y ist eine weitere Lösung. Bezüglich aller m is ist y Konkurrent a i modulo m i. Das bedeutet aber auch bezüglich aller m is, weil auch x Konkurrent a i modulo m i.

Wir haben ja zwei Lösungen, nämlich x und eine weitere y. Also ist auch y Konkurrent x modulo m i.

Wir haben eine weitere Lösung gefunden, y ist Konkurrent a i modulo m i, x war sowieso schon Konkurrent a i modulo m i, also sind auch y x Konkurrent modulo m i.

Weil die Relation transitiv ist. Was bedeutet das? Das ist Äquivalent zu m i teilt Differenz von beidem.

m i teilt y minus x, wenn y und x Konkurrent zu m i sind. Das gilt für alle m i. Alle m i des Konkurrenzsystems, alle Modulen teilen y minus x.

Jetzt sind die Modulen teilefremd zueinander jeweils paarweise. Das heißt, wenn jedes m i die Differenz teilt und die zueinander paarweise teilefremd sind, teilt auch m die Differenz, also das Produkt aus all diesen m i.

Weil g g t von m i und m j mit r gleich eins mit i und gleich j ist, gilt sogar m teilt y minus x.

M teilt y minus x ist Äquivalent zu y ist Konkurrent zu x modulo m. Fertig.

Wir haben ein x gefunden durch die Konstruktion, die wir oben gemacht haben und

haben hier gezeigt, jedes weitere ist zu diesem x Konkurrent modulo m jede weitere Lösung. Das heißt, es gibt eine Zahl modulo m, die ist eine Lösung und jede weitere ist, unterscheidet sich von dieser eben plus oder minus z mal diesen m.

So Vorschlag, wir machen eine kurze Pause, wir lüften und Sie machen sich darüber Gedanken und im Anschluss besprechen wir Fragen diesbezüglich, okay? Also mit dem Nachbarn, Nachbarn nochmal durchsprechen, unklare Punkte ansprechen und dann diskutieren wir es.