Mit diesen Eigenschaften kann man jetzt nämlich wunderbar den Begriff Funktion definieren. Wir definieren jetzt den Begriff Funktion.

Und das geht jetzt ganz einfach, passen Sie auf, eine Funktion, eine Funktion oder Abbildung,

kleine Seitenbemerkung, ob Sie Funktion sagen oder ob Sie Abbildung sagen, das ist egal. Das sind Synonyme. Funktion, Abbildung ist absolut das gleiche.

Eine Funktion oder Abbildung ist eine linkstotale, rechtseindeutige Relation.

Das ist so schön an der Mathematik. Mehr ist dazu nicht zu sagen. Wenn Sie wissen wollen, ob irgendwas in der Welt eine Funktion ist, müssen Sie gucken,

ob es sich um eine Relation handelt und ob die linkstotal und rechtseindeutig ist. Also, wenn Sie sich in so ein Bild hier denken, dann muss die Linkstotal sein, die Relation. Das heißt, von jedem Element der linken Menge muss ein Pfeil ausgehen und rechtseindeutig.

Das heißt, von einem Element auf der linken Seite dürfen keine zwei Pfeile ausgehen, auf zwei verschiedene Elemente auf der rechten Seite. Ich fülle nochmal zwei, drei Begriffe ein und dann wird es vielleicht noch deutlicher.

Wenn wir mal die Begriffe von oben nehmen, wir haben a, b Mengen. Also, die Relation sei jetzt mal eine Relation Teilmenge von a Kreuz b.

Die Menge a nennt man Definitionsbereich, die Menge b Wertebereich.

Wenn Sie die Bedingungen nochmal in diesen beiden Begriffen formulieren, würde das bedeuten, von jedem Element aus dem Definitionsbereich geht ein Pfeil weg. Oder man sagt auch, auf jedem Element des Definitionsbereichs ist die Funktion definiert.

Jedem Element aus dem Definitionsbereich wird ein Element aus dem Wertebereich zugeordnet und ich darf einem Element aus dem Definitionsbereich nicht zwei verschiedene zuordnen aus dem Wertebereich. Also, ich muss rechtseindeutig sein.

Ich darf nicht von einem Element aus dem Definitionsbereich zwei Pfeile weggehen. Ich darf nicht zwei verschiedene Elemente aus dem Wertebereich zuordnen. Wenn das der Fall ist, habe ich eine Funktion. Okay, üblicherweise, also man könnte schreiben, wenn man die Funktion f nennt,

könnte man schreiben f ist Teilmenge von a Kreuz b. Man kann aber auch Folgendes schreiben. Man schreibt, f ist eine Funktion von a nach b.

Und die Schreibweise kennen Sie. Wenn Sie Funktionen in der Schule behandelt haben, kennen Sie diese Schreibweise. f ist eine Funktion von a nach b. Das heißt, a ist der Definitionsbereich, b ist der Wertebereich.

Jedes Element aus dem Definitionsbereich wird abgebildet, und zwar eindeutig auf ein Element aus dem Wertebereich. Wenn a auf b abgebildet wird, also ich nehme jetzt mal ein Element a aus a,

wenn a Element a auf b Element b abgebildet wird, schreibt man f von a gleich b.

f von a gleich b. Da die Funktion linkstotal ist, bedeutet das,

es ist völlig egal, welches a aus a Sie nehmen, Sie dürfen es immer in die Funktion reinstecken und es kommt immer ein Ergebnis raus. Sie können kein a aus a erwischen, für das f von a nicht definiert ist. Wenn f eine Funktion ist, dann muss es ganz egal sein, welches a Sie herausnehmen,

Sie stecken es da rein, da kommt hinten was raus. Sie können sich nicht vergreifen in a. Und, dass ich hier gleich b schreiben kann, das bedeutet, dass wenn ich das a in f reinstecke, kommt eindeutig ein bestimmtes b raus. Das sichert mir die Rechtseindeutigkeit zu.

Wenn hier verschiedene rauskommen könnten, dann könnte ich es nicht so einfach schreiben. Da aber ein eindeutiges Element rauskommen muss, die Rechtseindeutigkeit ist gesichert, dass wenn ich a in f reinstecke, dann ist eindeutig klar, welches b rauskommt. Das können nicht verschiedene sein.

Und jetzt wird immer klarer, warum eine Funktion eine linkstotale rechtseindeutige Relation ist. Man muss jedes Element reinstecken können und wenn ich eins reinstecke, kommt ein eindeutiges rechts raus. Jetzt gibt es noch drei Begriffe, die wir noch einführen müssen.

Das sind aber fast nur Synonyme. Funktionen sind linkstotal und rechtseindeutige Relation. Jetzt können die ja aber theoretisch auch noch beispielsweise rechtstotal sein.

Eine rechtstotale Funktion heißt surjektiv.

Funktionen müssen nicht rechtstotal sein. Es muss nicht jedes Element aus b rauskommen, wenn ich die Funktion anwende auf ein a.

Es muss nicht auf jedes b aus dem Wertebereich, auf jedes Element ein Pfeil gehen. Es können auch welche gar nicht erwischt werden. Wenn aber eine Funktion auch rechtstotal ist, dann sagt man auch, das ist eine surjektive Funktion. Alle Elemente aus dem Wertebereich werden erwischt.

Auf alle Elemente im Wertebereich zeigt ein Pfeil, mindestens einer. Manche definieren surjektiv auch schon für Relationen. Da ist dann rechtstotal und surjektiv ein Synonym. Man könnte auch sagen, eine Relation heißt rechtstotal oder surjektiv.

Dann wäre das eine surjektive Relation. Aber man verwendet die Begriffe eher im Kontext von Funktionen. Deswegen führe ich den hier ein bei Funktionen. Wenn man eine Funktion hat, die auch noch zusätzlich zur Linkstotalität und Rechtseindeutigkeit auch noch rechtstotal ist, dann ist sie surjektiv. Jetzt fehlt noch eine Eigenschaft, wie man leicht sieht.

Eine linkseindeutige Funktion heißt Trommelwirbel injektiv.

Das heißt, wenn Sie sich einen Funktionswert anschauen, also einen Wert aus dem Wertebereich, aus der Menge b, und auf jeden von denen geht höchstens ein Pfeil, also nicht zwei verschieden oder drei verschiedener,

dann ist sie ja linkseindeutig und heißt injektiv. Und jetzt gibt es noch einen dritten Begriff. Wenn man eine injektive und surjektive Funktion hat, eine injektive und surjektive Funktion heißt bijektiv.

Wenn Sie eine Funktion haben, die injektiv und surjektiv ist, dann nennt man die auch bijektiv.

Eine Funktion ist linkstotal und rechtseindeutig. Eine injektive und surjektive Funktion, wenn sie auch noch injektiv und surjektiv zusätzlich ist, dann ist sie linkstotal, rechtstotal, linkseindeutig und rechtseindeutig. Das sind ja alle vier Eigenschaften erfüllt. Und dann haben Sie eine biaktive Funktion, und das ist eine 1 zu 1 Zuordnung.

Biaktive Funktionen sind solche 1 zu 1 Zuordnungen, wie wir es uns vorhin angeschaut haben, die hier oben abgebildet sind.

Okay, gibt es Fragen an der Stelle?

Das ist eine sehr gute Frage. Kann man mal eine Funktion zeichnen, die nur links total, also nur eine Relation zeichnen, die nur links total und rechts eindeutig ist und sonst nichts.

Genau das will ich jetzt mit Ihnen machen. Ich werde nämlich gleich ein Computerprogramm verwenden, mit dem wir uns das nochmal genauer anschauen.