Ok, also eben haben wir gerade uns mit den Pianoaktionen beschäftigt und die natürlichen Zahlen, die Struktur der natürlichen Zahlen mit Hilfe der Pianoaktionen festgenagelt. Damit geben sich die Mathematiker aber nicht zufrieden.

Jetzt haben wir die natürlichen Zahlen beschrieben, aber mitmachen können wir noch nichts. Deswegen, wir wollen aber was damit machen, Beispiel Biergarten. Hier, sie beide sind im Biergarten, aber ihr Kumpel hat wie immer sein Geld vergessen. Das heißt, sie haben jetzt zwei Bierdeckel, bei ihnen steht eine natürliche Zahl drauf, bei ihnen steht eine drauf, mit Nachfolger, Nachfolger, Nachfolger.

Und jetzt sollen sie sein Bierdeckel mal mitbezahlen. Das heißt, sie müssen diese beiden Zahlen addieren. Addieren wissen wir aber noch nicht, wie das geht. Rein intuitiv würde ich es an ihrer Stelle so machen. Sie nehmen sein Bierdeckel, streichen bei ihm einen Strich durch

und machen bei sich einen Nachfolger hin. Dann streichen sie bei ihm den nächsten Strich durch und machen bei sich wieder Nachfolger hin. Und so weiter und so weiter, bis sein Bierdeckel leer ist. Genau das ist das Prinzip, wie man Addition definiert aufgrund der Nachfolgerfunktion. Und das machen wir jetzt mal. Wir definieren mal die Addition.

So, die Addition natürlicher Zahlen.

Die Addition wird, jetzt kommt ein neues Wort, rekursiv definiert.

So, ich gebe dem Ding jetzt wieder mal einen Namen. Add 1. Ja, Add 1 soll sein, wenn ich zu einer natürlichen Zahl 0 dazu addiere,

kommt wieder die natürliche Zahl selbst raus. Und jetzt, Add 2, wenn ich zu einer natürlichen Zahl, machen wir mal M hier, den Nachfolger einer natürlichen Zahl addiere,

dann ist das das gleiche, als würde ich erst M und N addieren und dann den Nachfolger bilden. Was bedeutet denn das? Wenn ich zu einer natürlichen Zahl, den Nachfolger einer natürlichen Zahl, dazu addiere, also ich sage jetzt mal, N plus 1 addiere ich zu M dazu,

dann ist es gleich, als würde ich erst M plus N addieren und dann 1 draufzählen. So, diese Darstellung ist rekursiv. Was bedeutet das? Wo habe ich denn die rote Kreide hingetan? Die liegt da oben.

Na gut, dann nehmen wir halt grün, spielt ja keine Rolle. Ok, rekursiv deswegen, schauen Sie mal, weil hier in der Definition der Addition auch die Addition verwendet wird. Hier in der Definition, in diesem zweiten Fall, wird die Addition rekursiv verwendet.

Also hier innen drin verwende ich das zu Definierende in der Definition. Hier verwende ich das Pluszeichen. Das definiere ich ja gerade, da kann man sich fragen, ist das erlaubt? Ist erlaubt bei so einer Art von Definition,

weil die natürlichen Zahlen genauso aussehen, wie wir sie oben definiert haben? Ich kann Ihnen das jetzt mal ein Beispiel erklären, wie das funktioniert. Angenommen, wir wollen mal addieren, Beispiel, wir wollen mal addieren zu der 1,

wollen wir mal die 2 dazu addieren. Wir wollen 1 plus 2 rechnen. Was haben wir hier oben definiert? Wir haben hier oben die Addition definiert, jetzt müssen wir mal gucken, wie wir diese Definition hier verwenden können.

Also, sigma 0 plus sigma von sigma von 0. Dieser Fall hier oben trifft nicht zu, weil rechts neben dem Pluszeichen nicht 0 steht, sondern sigma von sigma von 0. Also müssen wir den Fall hier verwenden.

Jetzt brauche ich noch eine andere Farbe. Wenn wir den Fall hier verwenden, dann ist das hier unser M. M plus sigma von N.

Das hier ist unser N. Wenn wir den Fall jetzt so praktisch instanzieren, dann kann man sagen, mit dem Teil ad 2 hier, kann ich das dann auch so schreiben, als sigma von M plus N.

Das hier ist jetzt unser M. Das ist unser N. Und das ist unser M. Ich habe praktisch Textersetzung gemacht. Ich habe gesehen, das hier ist M.

Das hier innen drin ist N. Und dann muss ich jetzt M und N nehmen und hierfür einsetzen und das sigma vorne dran stellen. Textersetzung. Und um zu kennzeichnen, dass ich ad 2 verwendet habe, schreibe ich hier ad 2 drüber.

Jetzt müssen wir mal gucken, was passiert jetzt. Welchen Fall können wir jetzt hier innen drin für das hier anwenden? Den ersten nicht, weil rechts neben dem Pluszeichen keine 0 steht, also den zweiten. So, und dann ist jetzt sozusagen das war das alte N.

Jetzt kommt das neue N. Das neue N hier innen drin ist die 0. Das kann ich jetzt nicht so gut farblich markieren. Also ich betrachte jetzt nur diesen Teil hier. Den innen drin. Den muss ich jetzt verändern. Sigma 0 ist M plus sigma von N.

Das ist jetzt mein neues N. Ist die 0. Also hole ich dieses sigma nach vorne. Das heißt ja, das sigma nach vorne holen hier. So, ich habe jetzt aus diesem Teil dieses sigma nach vorne geholt.

Sie merken, wenn ich diese Regel anwende, wenn hier rechts lauter sigma steht, wenn ich diese Regel mehrfach anwende, wird nach und nach immer ein sigma nach vorne geholt. Ein Strich von seinem Bierdeckel verschwindet und auf den anderen kommt ein Strich drauf.

Da habe ich wieder das ad 2 angewendet. So. Und jetzt bei diesem Teil hier, da wende ich jetzt diese Regel an.

Hier steht irgendein N plus 0. Und das ist eben dieses N. Sigma von sigma von sigma von 0. Das plus 0, das hier sagt, das plus 0 kann man weglassen. Da habe ich jetzt ad 1 verwendet.

Und das bedeutet letztendlich, dass 1 plus 2 gleich 3 ist. Überraschung. Warum funktioniert das jetzt so? Weil die Null kein Nachfolger ist.

Ganz am Anfang steht. Und wir hier bei dem N-Teil, bei dem hinteren Teil, immer um 1 kleiner werden. Das heißt, wir wenden diese Regel so oft an, bis alle Sigmas von hinten nach vorne geschaufelt sind. Die werden immer 1 kleiner.

Und irgendwann steht hinten die Null. Und dann kann man den ersten Teil anwenden. So funktioniert die Addition, wenn man es auf natürlichen Zahlen betrachtet. Sie nehmen den zweiten Sommanten, schaufeln die Sigmas ganz nach vorne. Und irgendwann steht hinten Null. Und dann können Sie die erste Regel anwenden.

Sigma von Null plus sigma von sigma von sigma von sigma von Null. 1 plus 4. Dann ist das hier mein M.

Wir müssen jetzt versuchen, das hier mit in Einklang zu bringen. Das hier ist das M, weil das hier links neben dem Pluszeichen steht. Und rechts neben dem Pluszeichen steht ein Sigma und dann das N. Und dann fangen Sie an, den rechten Teil zu nehmen. Sie schreiben ein Sigma hin. Kopieren Ihr M und Ihr N.

Und dann gehen Sie wieder von der neuen Situation aus, Sie gucken sich nur dieses M plus N an. Und damit wird sozusagen hinten immer ein Sigma weniger, wenn Sie das nach vorne tun.