Frage an Sie. Hier sagt dieser Satz ja, dass genau ein Zahlenpaar existiert. Wie beweist man eine Aussage, dass genau eins existiert? Haben wir auch schon mal gehabt,

da gibt es eine Strategie, genau eins. Wie beweist man das? Indirekter Beweis? Es gibt noch ein weiteres. Ja, genau, richtig. Also man geht davon aus, es gibt mehr als eins. Genau. Das ist richtig, das ist der zweite Schritt im Beweis, dass man zeigt, dass es genau eins

gibt. Erstmal zeigt man noch was anderes. Dass es überhaupt eins gibt. Genau. Erstmal zeigt man, dass das eins existiert. Und das existiert eins bedeutet in der Mathematik ja mindestens eins. Also man zeigt erst mal, dass eins existiert, dass überhaupt eins existiert. Und anschließend

zeigt man, dass genau eins existiert, indem man zeigt, dass kein anderes existieren kann. Man geht dann davon aus, dass ein anderes existiert und zeigt, dass das nicht sein kann. Also indirekter Beweis. Okay. Machen wir mal Schritt für Schritt hier. Erstens Existenz. Zuerst

zeigt man die Existenz und dann die Eindeutigkeit. Existenz und Eindeutigkeit. Existenz. Wir machen

mal Folgendes. Es geht ja um die Vision mit Rest. Wir bilden mal den Quotienten A durch B. Man bilde den Quotienten A durch B. So. Das ist eine Bruchzahl. Rationale Zahl. A aus Z, B aus N,

A durch B ist eine rationale Zahl. Haben wir uns noch nicht gehabt hier in der Veranstaltung, macht aber nichts, kennen Sie aus der Schule. Von Bruchzahlen weiß man, die liegen entweder,

die sind entweder identisch mit einer ganzen Zahl oder die liegen zwischen zwei ganzen Zahlen. Also entweder A lässt sich ohne Rest durch B teilen. A ist ein Vielfaches von B. Dann

ist A durch B eine ganze Zahl. Beispiel 15 und 5. 15 durch 5 ist 3, ist eine ganze Zahl. Wenn das nicht klappt, also wenn A durch B keine ganze Zahl ist, dann liegt es zwischen zwei Zahlen. Geht ja nicht anders. Das bedeutet also, wenn ich A durch B bilde, dann gilt,

es existiert ein Q aus Z. So das gilt, Q kleiner gleich A durch B kleiner Q plus 1. Das ist

formal hingeschrieben, A durch B liegt entweder auf einer ganzen Zahl oder zwischen zwei aufeinander folgenden ganzen Zahlen. Also entweder ist A durch B identisch mit einem Q aus Z,

oder es liegt zwischen zwei aufeinander folgenden ganzen Zahlen, nämlich zwischen Q und Q plus 1. Also wenn ich so einen Bruch bilden kann, wenn ich A durch B bilde, dann gibt es so ein Q, das entweder identisch ist oder ein bisschen kleiner. So, jetzt kann man folgendes mal machen.

Jetzt machen wir auf beiden Seiten, rechnen wir jetzt mal mal B. Wenn ich jetzt mal B rechne, muss man ein bisschen aufpassen bei Ungleichungen. Wenn man multipliziert, kann es passieren, dass sich die Zeichen rumdrehen, die Relationszeichen. Aus kleiner wird größer und so. Wenn ich jetzt mit B multipliziere, darf ich das? B ist eine

natürliche Zahl, darf man machen, da ändert sich gar nichts, weil B positiv ist. Also hier steht Q mal B kleiner gleich A kleiner kleiner kleiner Q mal B plus B. Darf man machen,

weil B eine natürliche Zahl ist. So, jetzt ziehen wir auf beiden Seiten, bequats auf beiden allen drei Seiten, ziehen wir QB ab. Kann man auch machen, abziehen darf man ohne Probleme bei Ungleichungen. Dann steht hier 0 kleiner gleich A minus Q mal B kleiner B. So, jetzt weiß ich ja,

dieses Q existiert. Wenn ich A durch B bilde, gibt es dieses Q. Dementsprechend gibt es auch A

minus Q mal B und das nenne ich R. Und R ist ja auch, wenn ich das R nenne, dann gilt A minus Q mal B gleich R und das heißt A ist gleich Q mal B plus R. Also wenn dieses Q existiert,

dann existiert auch dieses R. Beide sind aus Z und hier steht letztlich, dass R größer gleich Null ist und kleiner B. Also es gibt so ein Q und es gibt so ein R. Erster Teil

des Beweises ist fertig. Gibt es eine Frage dazu? Ja. Auf den zweiten Schritt, welchen

zweiten? Welchen Schritt? Den hier? Wie man von da nach da kommt? Mal B. Ich multipliziere alles mal B. Also Q mal B, A durch B mal B, Q plus 1 mal B. Q plus 1 mal B ist Q mal B plus B.

Ich habe alle drei Teile mal B genommen. Ja, bitte? Weil ich in allen drei Seiten minus Q mal B

mache. Q mal B minus Q mal B ist Null. A minus Q mal B ist das und Q mal B plus B minus Q mal B ist das. Wie bei Gleichungen kann man bei Ungleichungen ja auch auf beiden Seiten einer Ungleichung was abziehen. Ich habe jetzt hier eine Ungleichung und da eine Ungleichung

und ich ziehe einfach auf allen Seiten dasselbe ab. Okay, jetzt die Eindeutigkeit. Dann haben wir gesagt, das machen wir indirekt. Wir gehen mal davon aus, dass es noch ein weiteres Zahlenpaar gibt dieser Form und zeigen, dass es nicht sein kann. Sei

Q Strich R Strich Element Z mit Q Ungleich Q Strich oder R Ungleich R Strich. Das ist das Gegenteil von

sind identisch. Eins von beiden muss zumindest mal unterschiedlich sein. A gleich Q Strich

mal B plus R Strich mit oder und Null kleiner gleich R Strich kleiner B. Also ich habe ein weiteres Zahlenpaar Q Strich R Strich, das ich von dem ersten Zahlenpaar unterscheide. Zahlenpaare unterscheiden sich, wenn sie sich mindestens einer Komponente unterscheiden.

Also entweder ist das Q und gleich Q Strich oder das R und gleich R Strich oder beide sind gleich. Aber das ist im Oder ja sowieso mit drin. Und das eben ein weiteres Zahlenpaar für das das hier gilt. Also A ist gleich Q Strich mal B plus R Strich und R Strich liegt zwischen Null

und B. Mit Null einschließlich und B ausschließlich. Jetzt zeigen wir, dass es nicht sein kann. Wenn A gleich Q Strich mal B plus R Strich ist, dann gilt ja auch wieder R Strich ist gleich A minus Q Strich mal B. Und weil das hier gilt, kann ich das da einsetzen. Also Null kleiner

gleich A minus Q Strich mal B kleiner B. Und jetzt gehen wir den Weg rückwärts. Auf beiden Seiten, auf allen drei Seiten mache ich jetzt plus Q Strich mal B. Ich mache das jetzt

noch mal langsam, weil es da eben gerade Unklarheiten gab. Also Null plus Q Strich mal B ist Q Strich mal B. Kleiner gleich A minus Q Strich mal B plus Q Strich mal B ist A. Kleiner

B plus Q Strich mal B. Jetzt teile ich überall durch B. Darf ich machen, weil B eine natürliche Zahl ist. Natürliche Zahlen teilen durch natürlichen Zahlen. Brauche ich nichts beachten mit den Relationszeichen. Q Strich mal B durch B ist Q Strich. A durch B ist A durch B.

Und hier steht B plus Q Strich mal B durch B. Wenn ich diese Summe durch B teile, steht da, ich drehe es mal rum, Q Strich plus 1. Also 1 plus Q Strich. Habe ich das noch

Ok, was jetzt hier steht ist A durch B ist entweder Q Strich. Q Strich ist eine ganze

Zahl oder es liegt zwischen Q Strich und Q Strich plus 1. Eine Bruchzahl kann aber nur zwischen, kann nicht zwischen zwei verschiedenen ganzen Zahlen liegen. Also es kann kein Q und kein Q Strich geben, die unterschiedlich sind, für die das da gilt. Wenn A durch

B beispielsweise zwischen 2 und 3 liegt, dann können Sie kein anderes Q Strich finden, 4 und 5 oder sowas. Zwischen dem A und B auch liegt. Ein Bruch liegt auf dem Zahlenstrahl immer genau zwischen zwei Zahlen.

Ja? Ein Bruch?

Also Sie brauchen einen Beweis.

Sie können auch sicherlich einen anderen Beweis formulieren, der vielleicht anders aussieht, komplett in rationalen Zahlen operiert oder ähnliches. Warum nicht? Ja?

Ein Bruch kann nicht zwischen zwei komplett unterschiedlichen Zahlenpaaren liegen. Jetzt

ist Q Strich gleich Q. Jetzt könnte rein theoretisch noch R Strich und gleich R sein. Das könnte ja immer noch der Fall sein. Aber das ist natürlich auch nicht möglich,

sondern es kann ich natürlich Folgendes machen. Dann ist R. Von R weiß ich ja, das ist A minus Q mal B. Jetzt weiß ich aber Q ist Q Strich, also ist auch A minus Q Strich mal B. Und das da rechts ist R Strich. Und damit habe ich gezeigt, dass

auch R gleich R Strich ist. Und damit habe ich einen Widerspruch erzeugt, weil ich nämlich davon ausgegangen bin, dass entweder Q und gleich Q Strich sein muss oder R und gleich R Strich. Jetzt habe ich aber letztlich gezeigt, dass das Zahlenpaar doch gleich sein muss.