So, hallo liebe Leute auf YouTube. Es ist wieder so, als gibt es wieder neue Videos, diesmal vom 2.11.2010. Heute geht es um die Ordnung der natürlichen Zahlen. Haben wir ein paar Videos für euch verarbeitet. Vergesst aber nicht, die Videos von letzter Woche auszuchecken.

Oder natürlich den Kanal zu abonnieren. Ok, letzte Woche haben wir uns die natürlichen Zahlen angeschaut. Und sind da sehr streng axiomatisch vorgegangen.

Wir haben Axiome festgelegt, die Pianoaxiome. Anschließend haben wir festgestellt, das genügt uns noch nicht. Wir wollen mit den natürlichen Zahlen auch rechnen. Was wir dann zusätzlich mit dazu genommen haben, waren Definitionen. Wir haben beispielsweise die Addition definiert auf den natürlichen Zahlen.

Axiome und Definition sind Dinge, die man sich ausdenkt. Die setzt man einfach. Prinzipiell ist man da völlig frei. Natürlich haben wir die Addition nicht irgendwie definiert, sondern wir haben die Addition so definiert, dass es sinnvoll war, dass es genau das gemacht hat, was wir wollten.

Die Pianoaxiome haben wir auch genau so festgelegt, dass sie die Struktur der natürlichen Zahlen beschrieben haben. Also beim Definieren, beim Festlegen von Axiomen, ist man frei. Das kann man prinzipiell machen, wie man will. Aber man macht es natürlich sinnvoll. Oder wenn man so will, nur die sinnvollen Definitionen setzen sich durch.

Dann hatten wir Axiome und Definitionen. Und dann wollten wir noch weitere Aussagen oder die Wahrheit weiterer Aussagen belegen. Wie beispielsweise das Sigma von N gleich N plus 1 ist.

Das hatten wir vermutet, wir waren uns aber nicht sicher. Und in der Mathematik ist es so, wenn man eine Aussage trifft, dann muss man die auch zunächst erstmal beweisen, bevor man sagen kann, diese Aussage gilt. Wir haben also Axiome gehabt, wir hatten Definitionen gehabt

und haben dann im Wesentlichen die Definitionen verwendet, um neue Aussagen zu beweisen. Diese Aussagen, also wenn man mal eine Aussage bewiesen hat, dann kann man die ebenfalls mitverwenden bei neuen Beweisen. Das haben Sie jetzt in der Übung mal durchexerziert.

Sie haben verschiedene Aussagen bewiesen und konnten, wenn Sie eine neue Aussage bewiesen haben, immer wieder die vorhergehende Aussage verwenden. Sodass, wenn man mal Axiome und Definitionen hat, durch Beweise immer mehr wahre Aussagen dazukommen. Und so, wenn Sie so wollen, das Gebäude der Mathematik langsam aufbaut.

Und man ist sich immer sicher, dass die Aussagen, die man bewiesen hat, stimmen. Man hat sie ja bewiesen. Aber immer nur unter der Voraussetzung, dass man die Axiome und Definitionen so gewählt hat, wie man sie gewählt hat. Es gibt sozusagen, das lässt sich nicht alles beweisen, sondern es muss einen Anfang geben, den man mal setzt.

Und wenn man den Anfang mal gesetzt hat, dann kann man anfangen zu beweisen und ganz viele ein Aussagengebäude erstellen. Mit lauter bewiesenen Aussagen auf der Basis der Axiome und Definition. So, das war eine axiomatische Vorgehensweise. Und da knüpfen wir jetzt noch mal kurz an.

Ich werde Ihnen aber auch sagen, wir werden damit bald aufhören. Es ist wichtig für Sie, dass Sie einmal so einen axiomatischen Aufbau gesehen haben. Es gibt aber noch ganz viele andere Dinge, die beim Mathematiktreiben eine Rolle spielen.

Wir möchten ja, dass Sie Mathematikerinnen und Mathematiker werden. Sind Sie schon. Aber sozusagen auf einem Hochschulniveau. Und es gibt ganz viele weitere Tätigkeiten, Prozesse, die Sie durchführen können, wenn Sie Mathematik treiben.

Und ganz viele andere Ansätze in der Mathematik außerhalb dieses rein streng axiomatischen Ansatzes. Ich möchte Ihnen im Laufe dieser Vorlesung so einen Überblick geben über verschiedene Ansätze, über verschiedene Prozesse, die in der Mathematik eine Rolle spielen.

Trotzdem setzen wir jetzt gerade noch mal da an. Und zwar beschäftigen wir uns heute zu Beginn mit der Ordnung der natürlichen Zahlen.

Wir haben letzte Woche Rechenoperationen auf die natürlichen Zahlen definiert. Plus und Mal, die Addition und die Multiplikation. Wenn man diese Operationen hernimmt, zum Beispiel die Addition und zwei Zahlen, dann kommt als Ergebnis eine neue Zahl raus.

Bei der Multiplikation genauso. Jetzt gibt es aber nicht nur Rechenoperationen, sondern es gibt auch Vergleichsoperationen. Kennen Sie auch schon, beispielsweise möchte man sagen, dass eine natürliche Zahl kleiner ist als eine andere Zahl.

Oder eine Zahl ist größer als eine andere Zahl. Oder kleiner gleich. Oder größer gleich. Das sind Vergleichsoperationen. Und ich möchte Ihnen jetzt mal im Rahmen des axiomatischen Ansatzes zeigen, wie man eine solche Vergleichsoperation definieren kann.

Und wir greifen uns mal exemplarisch irgendeiner raus, spielt keine Rolle. Wir nehmen mal die kleine Relation. Kleiner, drei, kleiner, fünf beispielsweise. Diese kleine ist eine Relation, die zwei Zahlen in Beziehung setzt. Und daraus kann man eine Aussage bilden, die wahr oder falsch ist.

Drei, kleiner, fünf. Hier wird drei in Relation zu fünf gesetzt. Drei, kleiner, fünf. Und jetzt kann man sich überlegen, ist diese Aussage wahr oder falsch. Naja, die ist wahr. Fünf, kleiner, sieben ist nicht wahr. Nee, es war klar. Sieben, kleiner, fünf ist nicht wahr.

Okay. Das heißt, wir definieren mal die kleine Relation. Die kleine Relation wird, und jetzt überrascht Sie das vermutlich wenig.

Sie erinnern sich die natürlichen Zahlen, haben wir mithilfe der Pianoaxiome, ja, derart charakterisiert, dass es eine Anfangszahl gibt, die Null, und dann eine solche Kette. Und wir hatten schon letzte Woche festgestellt, dass man die Addition auf den natürlichen Zahlen ganz gut rekursiv definieren kann.

Dadurch, dass man etwas über die Null sagt, und dadurch, dass man einen Fall auf den kleineren zurückführt. Das ist die Eigenheit der rekursiven Definition. Und gerade in diesem zweiten Fall, wenn man einen Fall auf den nächsten kleineren zurückführt,

wird das zu definierende wieder verwendet in der Definition. Deswegen heißt das rekursiv. Und das machen wir jetzt hier mal genauso. Die kleine Relation wird rekursiv definiert.

Okay, jetzt machen wir es wieder genauso wie letzte Woche. Jetzt denken wir uns irgendeinen Namen aus. Für den ersten Teil der Definition nenne ich mal kleiner 1.

Jetzt müssen wir irgendwas über die Null sagen. Der erste Teil der Definition ist immer irgendetwas über die Null aussagen. Wenn wir kleiner definieren wollen, wissen wir, die Null ist kleiner als jede Zahl, außer sie selbst.

Null ist nicht kleiner als Null. Wir könnten dann wieder das machen, oder vielleicht ist es ja sogar noch sinnvoller zu sagen, wir müssen ja irgendwie karakterisieren oder irgendwie aussagen, dass die Null die kleinste Zahl ist. Wir wollen die kleine Relation definieren, und wir wollen irgendwie ausdrücken, Null ist die kleinste Zahl, das heißt,

keine andere Zahl ist kleiner als die Null. Das ist ja vielleicht mal was. Und dann versuchen wir das mal formal auszudrücken. Keine andere Zahl ist kleiner als die Null. In der Sprechweise, die wir bislang verwendet haben, in der Für-alle-Sprechweise würde man sagen,

für alle natürlichen Zahlen gilt, sie sind nicht kleiner als die Null. Für alle natürlichen Zahlen gilt,

jetzt führe ich mal ein neues Symbol ein, wir müssen irgendwie sagen, wir wollen sagen, N nicht kleiner als Null. Und nicht, das können wir noch nicht ausdrücken, in der formalen Formelschreibweise, und nicht schreibt man so, nicht.

Nicht N kleiner als Null. Für alle natürlichen Zahlen gilt, nicht N kleiner Null.

Und das gilt ja auch für alle, die Null ist nicht kleiner als Null, die A1 ist nicht kleiner als Null und so weiter und so weiter. Jetzt müssen wir noch den zweiten Teil der Definition fassen, nämlich, ich wiederhole immer die Frage,

damit auch auf dem Video drauf ist, Sie sagen, bei den natürlichen Zahlen denken wir die Null mit, aber die Aussage stimmt nicht mit der Null.

Was meinen die anderen? Sie würden sagen, wir müssen die Null hier rauslassen, damit die Aussage stimmt. Oder kleiner gleich machen. Wir sagen ja nicht, nicht N kleiner Null.

Also hier wurde gerade gesagt, das gilt, weil es gilt ja auch für die Null, das nicht Null kleiner Null. Also wenn Sie jetzt hier alle natürlichen Zahlen einsetzen, mal der Reihe nach, für die Null. Nicht Null kleiner Null, stimmt. Nicht 1 kleiner Null, stimmt.

Nicht 2 kleiner Null und so weiter und so weiter. Das heißt, sie stimmt tatsächlich. Wenn Sie jetzt sagen wollten, Sie hatten jetzt sozusagen dieses nicht, vermutlich nicht richtig interpretiert, dann hätte man vielleicht kleiner gleich sagen müssen, wenn man sagen will Null kleiner gleich Null. Genau.

Okay, jetzt kleiner 2, der zweite Teil der Definition, wo wir jetzt sozusagen den Nachfolger einer Zahl betrachten müssen und diesen Nachfolger auf den nächst kleineren Fall zurückführen müssen. Und zwar betrachten wir jetzt 2 natürliche Zahlen.

Für alle M, N aus den natürlichen Zahlen gilt, so, wir haben jetzt kleiner Null definiert und jetzt müssen wir definieren M kleiner Sigma N.

Sieht immer ganz ähnlich aus bei rekursiven Definitionen, und einmal den Nachfolger einer Zahl. Wann ist M kleiner als der Nachfolger einer Zahl?

Das müssen wir jetzt auf den Fall zurückführen. Ah, Sie haben eine Idee? Wenn N kleiner M ist. Was meinen Sie? Wenn M und N gleich sind?

Okay. Vielleicht gehen wir erstmal, wo waren Sie? Ich habe Sie verloren. Sie, genau. Sie hätten gesagt, wir gehen erstmal auf den Fall ein, dann nehmen wir Ihren. Wenn N kleiner M ist, was meinen die anderen dazu? Wenn N kleiner gleich M ist,

wie kann man so eine Aussage überprüfen? Wenn man vermutet, dass die Aussage nicht stimmt, indem man versucht ein Gegenbeispiel zu finden. Wenn M, Sie meinen M kleiner Sigma N, wenn N kleiner oder kleiner gleich M ist.

Nehmen wir mal zwei konkrete Zahlen, oder? 3 und 7. 3 ist kleiner der Nachfolger der 7, also 3 ist kleiner 8, genau dann wenn? Jetzt haben Sie gesagt, N kleiner M ist. 7 kleiner als 3 ist.

Und 7 kleiner als 3 funktioniert auch nicht. Okay.