Komplexe Systeme
This is a modal window.
Das Video konnte nicht geladen werden, da entweder ein Server- oder Netzwerkfehler auftrat oder das Format nicht unterstützt wird.
Formale Metadaten
| Titel |
| |
| Serientitel | ||
| Anzahl der Teile | 99 | |
| Autor | ||
| Lizenz | CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland: Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben. | |
| Identifikatoren | 10.5446/18736 (DOI) | |
| Herausgeber | ||
| Erscheinungsjahr | ||
| Sprache |
Inhaltliche Metadaten
| Fachgebiet | ||
| Genre | ||
| Abstract |
| |
| Schlagwörter |
Chymiatrie46 / 99
2
3
4
5
6
7
8
10
12
13
14
18
19
20
21
22
23
24
25
26
28
29
33
36
38
41
45
46
47
48
49
50
52
53
57
58
59
61
63
64
65
67
70
72
73
74
75
77
78
79
82
83
84
89
91
94
96
00:00
Computeranimation
00:15
ChemieChemische VerbindungenMultiproteinkomplexAnorganische ChemieAtomChemikerChemisches LaborKomplexeBesprechung/Interview
03:28
MolekülSonnenschutzmittelAbleitung <Bioelektrizität>Simulation <Medizin>Beta-FaltblattBesprechung/Interview
12:30
ChemieChemikerMolekülHomogenes SystemMolekulardynamikSimulation <Medizin>KernmatrixKonfiguration <Chemie>
17:30
KomplexeComputeranimation
Transkript: Deutsch(automatisch erzeugt)
00:15
Wir unterhalten uns heute über komplexe Systeme.
00:20
Komplexe Systeme haben aus historischen Gründen viel mit kondensierter Materie zu tun. Das geht so weit, dass die Physiker und Chemiker, die sich mit kondensierter Materie beschäftigen, zu denen ich mich auch zähle, fast den Eindruck erwecken, die kondensierten Systeme gepachtet zu haben. Da gibt es zum Beispiel Zeitschriften wie das European Physical Journal B,
00:43
die als Zweitunterschrift Condensed Matter and Complex Systems haben. Mittlerweile haben sich die komplexen Systeme ein bisschen aus der kondensierten Materie befreit. Es gibt auch eigene Kongresse über komplexe Systeme,
01:00
wo dann alle möglichen Leute hingehen, aber trotzdem die Verbindung ist immer noch da. Und ein geflügeltes Wort, das zur Beschreibung eines komplexen Systemes benutzt wird, More is Different, stammt auch 1972 von Philip Anderson, der wenige Jahre später den Nobelpreis für Physik gekriegt hat,
01:23
insbesondere für die Theorie von elektronischen Zuständen, von magnetischen und ungeordneten Festkörpern. Und More is Different könnte im Prinzip auch einfach nur ein anderer Ausdruck sein für das alte, geflügelte Wort.
01:41
Die Summe ist mehr, also ein System ist mehr als die Summe seiner Teile. Was damit gemeint ist, ist, dass ein komplexes System nicht unbedingt schwierig sein muss. Viele Leute verwechseln das Wort Komplex mit schwierig. Komplex bedeutet einfach nur zusammengesetzt. So genauso wie komplexe Zahlen aus einem Realteil und einem Imaginierteil zusammengesetzt sind.
02:05
Und genauso wie es Komplexe in der unorganischen Chemie gibt, sind Komplexe Systeme, bestehen die einfach meistens aus vielen Einzelteilen, sogar aus sehr vielen Einzelteilen. Und das Verhalten dieser vielen Einzelteile zusammen,
02:23
also man spricht dann häufig von kollektivem Verhalten, das ist schwierig aus den Eigenschaften eines einzelnen für sich betrachteten Untersystems vorherzusagen. Und um das dann auch mal konkret an einem Beispiel zu zeigen, wollten wir das an einer Flüssigkeit oder einem Gas, also einem Fluid aus harten Kugeln zeigen.
02:45
Also ein denkbar einfaches System, insbesondere die einzelne harte Kugel, ist wirklich so das einfachste Objekt, das man sich in der Physik oder in der Chemie vorstellen kann, um auch ein besonders grobes Modell von einem Atom, das sich bewegt, im dreidimensionalen Raum darzustellen.
03:05
Und trotzdem, wenn man viele von diesen harten Kugeln zusammentun, dann passieren interessante Dinge. Dazu gehen wir rüber in unser Computerlabor, weil Computersimulation, das ist etwas wie virtuelle Experimente, die macht man dann nicht in einem herkömmlichen chemischen Labor,
03:22
sondern am Bildschirm nicht ganz so spektakulär, aber trotzdem interessant. So, wir sind jetzt in unserem Computerlabor. Im Gegensatz zu dem anderen Zimmer, ich begnüge mich mit einem Monitor, aber ich muss ja auch nicht mehr so viel programmieren, wollte der Herr Gabriel hier einen zweiten Monitor haben.
03:43
Die Tendenz ist ja, wie man in den Nachrichten sieht, wenn mal von der Börse ist zu Arbeitsplätzen mit sechs oder acht Flachbildschirmen, wenn mal der Trading-Floor von der Commerzbank in Frankfurt eingeblendet wird. Soweit sind wir noch nicht. Wir haben hier eine Formel, wir konnten nicht ganz ohne auskommen.
04:05
Und zwar, jeder kennt die Maxwell-Boltzmann-Verteilung der Geschwindigkeitskomponenten in einer Flüssigkeit oder in einem Gas. Das ist einfach eine Gausskurve. Hier steht die Formel, da ist irgendeine Konstante davor. M ist die Masse, d ist die Dimension,
04:23
weil diese Formel funktioniert sowohl in zwei wie in drei Dimensionen. Epsilon ist die mittlere Energie und hier haben wir dann e hoch minus x Quadrat, was charakteristisch für eine Gausskurve ist. Und, danke schön, hier haben wir dann durch einen Variablenwechsel
04:45
die ebenfalls bekannte Maxwell-Verteilung des Geschwindigkeitsbetrags. Dort taucht dann wegen des Variablenwechsels ein Faktor x hoch 2 oder x hoch 1 vor der Exponentialverteilung auf, was zur Folge hat,
05:05
dass aus dieser Gaussverteilung für die Geschwindigkeitskomponenten, man beachte hier Dimension gleich 3 gegen unendlich, dann diese Verteilung der Geschwindigkeitsbeträge kommt, die einen Träger hat, der von Null bis unendlich geht,
05:23
aber eben keine negativen Geschwindigkeitsbeträge zulässt, weil die können ja nicht negativ werden. Was ist das Problem an diesen Formeln? Alle Studenten, die ich gefragt habe, auch die im ersten Semester, hatten eine Antwort parat.
05:40
Diese Verteilung, die ja natürlich nur eine Nährung ist, lässt unendlich hohe Energien zu. Also in einem beliebigen Gas wird es eine kleine Wahrscheinlichkeit geben, dass ein Molekül eine beliebig hohe Energie hat, was natürlich nicht stimmen kann, weil erstens haben wir es mit einer endlichen Anzahl von Molekülen zu tun
06:03
und vor allen Dingen mit einer endlichen Anzahl von einer beschränkten Energie. Schauen wir uns zum Beispiel hier ein System von harten Kugeln an. Das haben wir hier als Video gezeigt und das können wir starten.
06:23
Also wir haben hier statt N gleich unendlich 5 Kugeln. Und um die Sache nicht so kompliziert zu machen, haben wir eigentlich in zwei Dimensionen nur Scheiben gezeigt. Also das würde ein Physiker als ein zweidimensionales Gas bezeichnen. Die Anfänge der Computersimulation in den 50er Jahren,
06:43
das waren eben harte Scheiben, weil die dynamischen Eigenschaften von harten Scheiben im Prinzip ähnlich sind wie die von harten Kugeln in 3D. Wir haben hier periodische Randbedingungen. Das bedeutet, dass wenn die Kugeln hier über eine Begrenzung der Box hinausgehen,
07:01
wie bei Pac-Man, wer noch Pac-Man gespielt hat, kommen die auf der anderen Seite wieder rein. So, und wenn wir uns dort die Geschwindigkeitsverteilungen ansehen, dann bekommen wir ziemlich komische Sachen.
07:20
Wir bekommen hier zum Beispiel für zwei Kugeln eine vollkommen flache Verteilung. Und nur bei zunehmenden Kugelzahlen nähern wir uns einer Gaussverteilung. Wenn wir uns den Geschwindigkeitsbetrag angucken, dann sieht es noch komischer aus.
07:42
Also wir haben hier diese Kurven, die hier ein abruptes Ende haben bei zwei, weil mehr Energie ist nicht drin, bei zwei Kugeln. Und sobald die Kugelzahlen zunimmt, wird das langsam eine Maxwellverteilung. Die Energie, die man aus der kinetischen Energie herausrechnen kann,
08:00
sieht auch relativ seltsam aus. Also wir haben hier eine Delta-Funktion für ein einzelnes Teilchen und dann wird das hier zu etwas elliptischem, nicht auch hier mit einer oberen Grenze. Und bei drei, also bei mehr Kugeln, wird diese Grenze nach oben gehen. Aber es ist immer ein endlicher Träger und irgendwann konvergiert das gegen so etwas.
08:26
In 2D sieht es noch seltsamer aus. Wir haben hier sogar eine bimodale Verteilung. Also wir haben hier zwei Hörner und das geht dann hier ein Stück weit nach oben.
08:40
Dann haben wir diese komische Halbkreisverteilung hier für ein Teilchen mehr und langsam wird dann diese Halbkreisverteilung hier zur Maxwell-Boltzmann-Verteilung konvergieren. Hier haben wir die Beträge, da ist auch etwas vollkommen Komisches.
09:02
Also hier ein Dreieck würde man wirklich nicht für möglich halten und das wird dann zu so einer Kurve für n gleich 3 und dann geht das weiter. Und auch hier ein einzelnes Teilchen hat eine Delta-Funktion, also etwas relativ Langweiliges. Die Energie, hier sehen wir dann bei n gleich und ähnlich etwas, was exponentiell abfällt.
09:25
Also man könnte auch sagen, wie eine Boltzmann-Verteilung, auch wenn das jetzt ein bisschen in den Haaren herbeigezogen ist, weil das jetzt nicht genau der richtige Zusammenhang ist, aber für kleine Zahlen haben wir hier diesen Kasten oder eine Schräge,
09:41
die einfach so wie so ein Dreieck nach unten geht. Viele Leute haben sich das nicht so genau angesehen, weil normalerweise in der Computersimulation ist man an den thermodynamischen Grenzwert interessiert.
10:02
Also man möchte Systeme simulieren, die hinreichend groß sind, um sich eben in der Nähe des thermodynamischen Grenzwerts mit n gleich und ähnlich zu bewegen. Simulationen mit zwei, drei, vier, zehn Teilchen sind relativ selten. Aber hier raus können wir dann mit ein bisschen Anstrengung
10:25
dann auch die Formeln herauskriegen. Die Formeln sind eine Beta-Verteilung, die ist ausgedrückt durch dieses Symbol hin, mit diesem Argument und diesen zwei Parametern und dann eine Ableitung.
10:41
Wir setzen die Definition der Beta-Verteilung ein und erhalten diesen Ausdruck mit einer Konstante. Und das sieht dann nicht mehr so schön aus wie eine Gauss-Verteilung. Das ist etwas unhandlich. Man kann dann den Grenzwert für n gegen und endlich rechnen und dann bekommt man die Gauss-Verteilung.
11:02
Ähnlich für den Betrag gibt es hier diesen Ausdruck, der auch wieder eine Beta-Verteilung ist mit anderen Argumenten und einer Ableitung. Und dann bekommen wir wieder einen ähnlichen Ausdruck. Und hier haben wir dann zuletzt die Verteilung der Energie, die auch wieder eine Beta-Verteilung ist mit anderen Einträgen.
11:25
Also es ist eine Konstante davor und das ist dann das eigentliche Argument. Und das Schöne ist, dass die durchgezogenen Linien dann tatsächlich unsere sowohl durch MD wie durch Monte Carlo gesehenen Verteilungen finden.
11:42
Was können wir daraus lernen? Ein einzelnes Molekül in einem Kasten hätte ein total langweiliges Verhalten. Es hätte immer dieselbe Verteilung des Betrages der Geschwindigkeit oder der Energie.
12:05
Das wäre eine Delta-Funktion. Aber sobald es anfängt mit anderen Molekülen zu wechselwirken, tauscht das Energie aus. Und das Ergebnis ist, dass wir eine Verteilung haben, die anders aussieht als die, die bei einem einzelnen Molekül ist.
12:22
Also statt einer Delta-Funktion haben wir eben Funktionen, die sich immer größere Bereiche erstrecken. Man kann diese Sache auch in nicht periodischen Randbedingungen rechnen, sondern zum Beispiel mit harten Wänden. Also wir sehen hier, dass die Moleküle die Box nicht verlassen können.
12:46
Dadurch ändern sich diese Kurven leicht. Also die Anzahl der Freiheitsgrade wird dann nicht mehr genau die Anzahl der Teilchen sein, sondern die Anzahl der Teilchen minus eins. Aber prinzipiell ist das kein Problem.
13:03
Was interessant ist zuletzt ist dieses Bild hier. Wenn wir einen Exponentialabfall in einem doppelt logarithischen Plot darstellen, dann wird er hier durch diese grüne Kurve dargestellt.
13:22
Das ist ein bisschen gewöhnungsbedürftig. Anders ist ein Potenzgesetz. Ein Potenzgesetz sieht linear aus in einem doppelt logarithmischen Plot. Und jetzt ist eine Fragestellung, die man sich in anderen Zusammenhängen gestellt hat. Wie bekomme ich Verteilungen, die eben wie Potenzgesetze abfallen?
13:45
Ein Grund dafür war, dass statistische Physiker sich auch gerne interdisziplinär betätigen und zum Beispiel dachten, das ist doch ein Supermodell, das von Gasmolekülen oder Gasatomen die Energie miteinander austauschen,
14:01
um zum Beispiel zu erklären, warum in einem Wirtschaftssystem der Reichtum nicht gleichmäßig verteilt ist. Man startet im Computer von einer Konfiguration, wo alle Moleküle denselben Betrag der Geschwindigkeit und somit dieselbe kinetische Energie haben.
14:21
Und nach wenigen tausend Schritten wird es eine Verteilung geben, die eben abfällt. Also wenige Moleküle werden sehr schnell sein und viele Moleküle werden eher etwas langsam sein, also wenige Energie haben. Und das ist das, was man zum Beispiel auch in der Gesellschaft betrachtet,
14:41
wenn man sieht, wie der Reichtum verteilt ist. Und tatsächlich gibt es dann so Bücher wie dieses hier, Econophysics of Wealth Distribution, wo man hier Gibbs, LocNormal und Pareto, man hat eine Verteilung, die exponentiell abfällt.
15:05
Und dann haben wir einen Übergang in ein Potenzgesetz. Und Potenzgesetze finden statistische Physiker als irgendwelchen Gründen, die wir jetzt hier nicht näher erläutern werden, ganz toll. Und dann war die Frage, wie zieht man Potenzgesetze aus so einer Simulation heraus?
15:26
Und die Antwort war durch Heterogenität. Also anstatt ein homogenes System zu betrachten, hat jedes Molekül, also kann man ein System im Computer aufbauen, wo jedes Molekül im Prinzip einen anderen Dimensionsparameter hat.
15:45
Und dadurch verhält es sich bezüglich des Energieaustausches anders. Und durch eine Überlappung von einzelnen Exponentialgesetzen, die immer weiter nach hinten ausfallen, bekommt man dann auch dieses Potenzgesetz.
16:02
Diese Simulationen heißen dann häufig auch Multi-Agenten-Simulationen. Dann hat man sozusagen eine Terminologie, die vielleicht aus Filmen wie die Matrix bekannt ist, importiert in die Wissenschaft bzw. aus der Informatik,
16:21
importiert in andere Wissenschaftsgebiete. Und man könnte zum Beispiel mit Multi-Agenten-Simulationen einen Dachbegriff bilden, das wird auch gemacht, um Molekulardynamik und Monte Carlo-Simulationen zusammenzufassen. In der Molekulardynamik-Simulation verhalten sich die Agenten,
16:41
also für uns Chemiker die Moleküle, vollkommen deterministisch. Sie folgen Newtons Bewegungsgleichungen. In den Monte Carlo-Simulationen verhalten sie sich dagegen zufällig, natürlich entlang bestimmten Regeln, aber im Wesentlichen zufällig. Und dann kann man noch eine dritte Kategorie von Agenten einführen,
17:01
sogenannte adaptive Agenten, die auch gewisse Entscheidungen treffen. Und ein spannendes Gebiet, das hat Professor Toisi vom Fachbereich Chemie der Warwick-Universität 2005 in PNAS, Proceedings of the National Academy of Science in Chemistry, veröffentlicht, wie man diese Multi-Agenten-Simulationen
17:25
mit adaptiven Agenten auch in der Chemie einsetzen kann.
Empfehlungen
Serie mit 4 Medien