Präsentiert von OpenLearnWare, die Plattform für Lernmaterialien an der TU Darmstadt. Dann wenden wir uns wieder den Kurvenintegralen zu. Zur Erinnerung habe ich da nochmal die beiden wesentlichen Formeln von der letzten Vorlesung

für die Länge in der Kurve und für das Arbeitsintegral von einem Vektorfeld längs einer Kurve hingeschrieben. Kommen wir auch gleich wieder darauf zurück. Ich möchte aber jetzt nochmal auf den Begriff eingehen, den ich ganz am Ende eingeführt hatte, den Begriff des Potentials.

Also wenn Sie ein Vektorfeld F haben, in N Variablen nach Rn oder auch auf eine Teilmenge m von Rn definiert, aber jetzt der Einfachheit halber mal von Rn nach Rn. Ein Vektorfeld dann heißt Phi und Phi ist jetzt eine Funktion von Rn nach R.

Oder von dem Definitionsbereich von F nach R. Potential von F, falls F die Ableitung von Phi ist, also Gradient von Phi gleich F.

Man nennt so ein F auch ein Gradientenfeld, eben das F ist gegeben durch Gradient einer Funktion und solche Potentialfelder, solche Felder, die gegeben sind als Gradienten von einer Funktion,

die haben eine ganz besonders schöne Eigenschaft. Und das hatten wir, was Kurvenintegrale angeht, das hatten wir am Ende der letzten Vorlesung ausgeixt. Also wenn man Kurvenintegrale anschaut von Potentialfeldern, dann stellt man fest,

das sind die einfachstmöglich auszurechnenden, zumindest solang man das Potential kennt.

Denn wenn mein F eben so ein Gradientenfeld ist, also gegeben durch so einen Gradienten von Phi, dann kann ich mir mal anschauen, was das Phi entlang der Kurve ist. Ich schaue mir jetzt, also fürs Integral brauche ich F entlang der Kurve,

jetzt schaue ich mir mal an, wie sieht das Phi entlang der Kurve aus. Das Gamma geht von Intervall nach Rn, das Phi geht von Rn zurück nach R. Das ist also eine ganz normale Mathe-1-Funktion, Funktion von R nach R. Die kann ich mal ableiten.

Und dann gut, jetzt brauche ich doch wieder Mathe-2, weil jetzt brauchen wir die Kettenregel in mehreren Variablen. Die Ableitung von diesem Phi verknüpft mit Gamma ist nach der Kettenregel der Gradient von Phi an der Stelle Gamma mal die Ableitung von Gamma, äußere Ableitung mal innere Ableitung. Gradient von Phi ist F, weil bei Phi ja das Potential von F ist, also Gradient Phi ist F.

Und was jetzt hier steht, ist genau, also wenn Sie es ganz genau machen, ist der Gradient von Phi F transponiert, hatten wir letztes Mal auch, weil der Gradient ja ein Zeilenvektor ist und F ein Spaltenvektor.

Was jetzt hier steht, ist ein Skalarprodukt von F an der Stelle Gamma von T mit Gamma Strich. Und das ist genau das, was Sie im Kurvenintegral stehen haben. Das heißt, wenn Sie das Kurvenintegral von F längs Gamma ausrechnen,

dann kriegen Sie das Integral von A bis B nach der Formel, die noch drüben steht. Sie gehen Gamma entlang, werten F auf Gamma aus, machen an jedem Punkt das Skalarprodukt mit dem Gamma Strich,

also mit dem Tangentialvektor an Ihre Kurve, haben dann jeweils Geschwindigkeit mal Kraft bestimmt und integrieren das auf. Das ist das Arbeitsintegral. Und jetzt haben wir aber nach der Rechnung oben, dass das das Gleiche ist wie das Integral von A bis B.

Die Ableitung, ich schreibe es mal so, d nach dt von Phi von Gamma von T dt. Dann was jetzt hier steht, ist ein Integral über eine Ableitung.

Jetzt können Sie den Hauptsatz ziehen, das Integral über die Ableitung ist die Funktion an den Grenzen. Also das ist Phi von Gamma von B minus Phi von Gamma von A. Anders begründet diese Funktion, die hier im Integral steht, die Ableitung von

Phi nach Gamma hat eine Stammfunktion und diese Stammfunktion ist Phi nach Gamma. Also können Sie das Integral ausrechnen als Phi von Gamma an der einen Grenze minus Phi von Gamma an der anderen. Und das ist ein ganz wichtiges Resultat. Das will ich nochmal als Satz hinschreiben, weil einfach die entscheidende Eigenschaft von Potentialfeldern

ist, wenn f ein Potentialfeld ist, also f der Gradient von einer Skalanfunktion Phi.

Dann schauen wir uns doch mal an, wovon hängt der Wert des Kurvenintegrals überhaupt nur noch ab. Wenn Sie sich anschauen, wie Sie ihn ausrechnen, Phi von Gamma von B minus Phi von Gamma von A. Das Phi hat mit dem Gamma nichts zu tun, das Phi ist das Potential von f, das Phi weiß von dem Gamma nichts.

Das Einzige, was Sie von dem Gamma brauchen, ist Gamma von B und Gamma von A. Also nur der Endpunkt und der Anfangspunkt Ihrer Kurve und was die Kurve dazwischen macht, ist komplett schnurzegal. Geht in die Rechnung gar nicht ein. Also das Kurvenintegral hängt nur von Anfangs und Endpunkt der Kurve ab und auf welchem

Weg diese Kurve jetzt von Gamma von A nach Gamma von B läuft, ist komplett egal. Hängt nur von Anfangs und Endpunkt der Kurve ab und nicht von der sonstigen Spur.

Und das ist natürlich sehr angenehm, wenn man Kurvenintegrale ausrechnen will, weil man die ganze Rechnerei hier in Integralen vergessen kann. Was Sie bestimmen müssen, ist das Potential Phi. Wenn Sie das Potential Phi haben, rechnen Sie den Endpunkt aus, den Anfangspunkt und ziehen die beiden ab.

Das ist zum konkreten Rechnen toll, das ist aber noch für viele andere Dinge toll, es ist auch theoretisch toll, weil man damit Probleme stark vereinfachen kann. Also wenn die Aufgabe ist, man soll was aussagen über das Arbeitsintegral von irgendeinem Potentialfeld entlang diesen Wegs Gamma hier,

das ist ein schöner Weg, dann können Sie sagen, mir ist dieser Weg total egal, das Endergebnis hängt eh nur von den Anfangs und Endpunkten ab,

und ich nehme mal lieber den Weg hier. Oder irgendeinen anderen Weg, der gerade sich leicht rechnen lässt. Sie können den Weg jederzeit ersetzen, solange Sie den Anfangs und Endpunkt gleich lassen,

und immer den Weg nehmen, der gerade die schönste Rechnung liefert, mit der das Integral am leichtesten zu knacken ist. Das ist der riesen Vorteil von Potentialfeldern, und deswegen ist man so wahnsinnig scharf auf Potentialfelder, und ich muss jetzt aber gleich an der Stelle den Enthusiasmus wieder etwas dämpfen.

Ich hatte gesagt, diese Potenziale sind im Wesentlichen die Entsprechung zu dem, was wir in einer Dimension als Stammfunktion haben. Ist auch die gleiche Formel, Sie kriegen das Integral als Stammfunktion am Endpunkt minus Stammfunktion am Anfangspunkt. Das ist die klassische Formel, die man kriegt, wenn eine Funktion eine Stammfunktion hat.

Das Potential hat die Rolle der Stammfunktion in mehreren Variablen. Nun scannen wir aus der Matte 1, hoffentlich noch den schönen Satz, jede stetige Funktion hat eine Stammfunktion. Wunderbar, es gibt wahnsinnig viele Stammfunktionen, und insofern, wenn das hier auch so wäre, wäre alles schön.

Das blöde ist nur, die mehrdimensionale Welt ist nicht immer so schön wie die eindimensionale. Und ich werde Ihnen zeigen, so Potenziale sind extrem selten und kostbar. Potenziale gibt es nicht oft, und es gibt extrem viele sehr schöne, brave, einfache Funktionen, Vektorfelder, die kein Potential haben.

Aber muss es auch geben, weil es nun mal in der Natur sehr, sehr viele Phänomene gibt, bei denen es durchaus interessant ist, auf welchem Weg Sie von A nach B laufen. Wenn Sie sich vorstellen, Ihr Kraftfeld ist kein Gravitationsfeld von der Erde, das ist ein klassisches Potentialfeld,

sondern ist der Wind beim nächsten Sturm draußen, dann kommt es eben sehr darauf an, ob Sie über das freie Feld laufen oder ob Sie irgendwo im Windschatten durchhuschen können, wie viel Arbeit das kostet, durch diesen Sturm durchzukommen. Also es gibt extrem viele Phänomene, wo es eben vom Weg abhängt, oder wenn Sie durch den Sturm direkt von A nach B laufen,

brauchen Sie im Servicefall weniger Kraft, als wenn Sie noch 5 Stunden Umweg laufen. Also es gibt extrem viele Phänomene, wo es auf den Weg ankommt, und dementsprechend muss es auch viele Felder geben, die keine Potentialfelder sind. Aber wenn wir Potentialfelder haben, dann ist alles gut, dann kann man das Kurvenintegral leicht ausrechnen.

Wie gesagt, auch Potentialfelder, jetzt habe ich gesagt, es gibt ganz viele Fälle, wo es nicht so ist, aber umgekehrt gibt es auch ganz viele Fälle, wo Potentialfelder auftauchen, nehmen Sie Gravitation, nehmen Sie das elektrische Feld und solche Dinge.

Also da kann man oft von Potential profitieren. So, ich will noch einen wichtigen Spezialfall beleuchten, da oben steht noch die Formel, was rauskommt.

Und wenn man im Integral längst eine Kurve für ein Potentialfeld bestimmt, was passiert denn, wenn Sie einen geschlossenen Weg haben? Also ein wichtiger Spezialfall, wir schauen uns einen geschlossenen Weg an.

Was war ein geschlossener Weg? Einer, wo Anfangs und Endpunkt übereinstimmen. Also wenn Sie ein Potentialfeld haben und Gamma ist geschlossen, dann ist Gamma von A gleich Gamma von B. Naja, wenn Sie dann da oben diese Differenz auswerten, kommt da nicht viel, sondern Null raus. Und das ist auch ein ganz wesentliches Eigenschaft von Potentialfeldern.

Wann immer Sie ein Potentialfeld haben und integrieren über einen geschlossenen Weg, ist das Kurvenintegral Null. Anders ausgedrückt, wenn Sie im Gravitationsfeld der Erde einmal im Kreis fliegen oder einmal

im Kreis laufen und wieder dahin kommen, wo Sie angefangen haben, ist die Gesamtarbeit Null. Das glaubt man zwar nicht, wenn man so eine Tagestour auf dem Fahrrad hinter sich hat und wieder zu Hause ankommt, aber die gesamtphysikalische Arbeit, die Sie verrichtet haben, ist Null, weil alles, was Sie raufgefahren sind, sind Sie noch einmal runtergefahren. Und deswegen haben Sie die ganze Arbeit, die Sie reingesteckt haben, auch wieder rausgekriegt.

So, nach diesen Betrachtungen zum Thema Potenziale und Wegunabhängigkeit, so nennt man diese Eigenschaft auch, dass das Kurvenintegral gar nicht vom eigentlichen Weg, den Sie zurücklegen, abhängt, sondern nur von den Endpunkten.

Können wir uns nochmal dieses Beispiel vom letzten Mal anschauen? Also gehen wir nochmal zum Beispiel davor zurück, das war glaube ich 2.11 oder 2.10. Da hatten wir in 2.10, also im Beispiel 2.10a und b hatten wir zweimal dasselbe Vektorfeld angeschaut mit zwei verschiedenen Wegen.

Da hatten wir das Vektorfeld f von xy bis 2xy x² plus y² angeschaut und das Ganze integriert entlang der folgenden Wege.

Einmal, hier war der Punkt 0.5, einmal so einem etwas verbogenen Sinusweg, das war der Weg Gamma, und einmal der direkten Linie von 0 nach pi.5 hoch, das war der Weg Gamma Hut.

Und da hatten wir durch Zufall, oder war die Frage, ob es Zufall ist, rausgekriegt, die beiden Kurvenintegrale sind gleich. Aus der Betrachtung jetzt heraus wird sich gleich herausstellen, das war überhaupt kein Zufall, weil dieses f hier ist nämlich tatsächlich ein Potentialfeld, das einzige was wir jetzt noch brauchen ist das Potential.

Das kann ich Ihnen im Moment mal angeben, wie man so ein Potential ausrechnet, kommt gleich. Wenn Sie mal als Phi nehmen, x²y plus 1 drittel y hoch 3, dann kann man jetzt leicht nachrechnen, dass das ein Potential ist.

Bei Potentialen gilt wie bei vielen Stellen, wenn es Ihnen jemand gibt nachzurechnen, dass es eins ist, ist leicht. Eins zu finden ist manchmal ein bisschen nervig. Also was müssen wir tun? Wir müssen zeigen, der Gradient von Phi ist f.

Also differenzieren wir unser Phi mal, einmal nach x und einmal nach y, was ist das Tipp? Die Ableitung nach x, der zweite Summand hängt von x nicht ab, fällt weg. Und der erste liefert 2xy. Und wenn Sie nach y differenzieren, kriegen Sie vom ersten Summand ein x² und vom zweiten y².

Und Sie sehen, das ist f. Also haben wir tatsächlich ein Potential, sogar auf dem ganzen r². Und damit ist klar, Kurvenintegrale dieses Vektorfeldes bezüglich irgendwelcher Kurven,

längst irgendwelcher Kurven, hängen nur ab vom Anfangs- und Endpunkt. Und der Wert ist eben Phi am Endpunkt minus Phi am Anfangspunkt. Und die beiden Wege hatten gleichen Anfangs- und Endpunkts. Es ist eben einfach egal, wie Sie da laufen, es kommt immer das Gleiche raus. Also das erklärt, warum in diesem Beispiel eben das Integral über Gamma von f längs Gamma dasselbe war, wie das Integral von f längs Gamma.

Und Sie hätten auch noch 17 andere Wege nehmen können, solange der Anfangs- und Endpunkt gleich sind. Also wir hätten auch auf dem Weg hier laufen können.

Solange der Anfangs- und Endpunkt gleich ist, kommt immer Pi², was Pi hoch 3, 24 war, das glaube ich, raus. Gut, das ist das Schöne an Potenzialen, dass man Kurvenintegrale sofort kriegt über den Anfangs- und Endpunkt,

dass es egal ist, welchen Weg Sie nehmen, dass Sie also auch Wege vereinfachen können. Und dass man auch immer gleich weiß, wenn Sie Integrale über irgendetwas Geschlossenes haben, ist das immer 0, egal wie wild die Kurve aussieht.

So, und damit kann ich Ihnen jetzt auch mit relativ wenig Aufwand zeigen, dass es Funktionen gibt, die kein Potenzial haben, obwohl sie wunderbar eigentlich ganz schön sind oder zumindest kein ausreichend gutes Potenzial.

Die, die jetzt kommt, hat sogar so einigermaßen eins, aber es reicht nicht. Nehmen Sie mal folgendes Vektorfeld, das ist auch eins, was jetzt in dieser Vorlesung noch mehrfach vorkommen wird.

Minus y durch x² plus y² und x durch x² plus y². Das kann man natürlich nicht auf ganz R2 angucken, weil wir den Ursprung nicht einsetzen können. Also auf der offenen Menge, die da ist, R2 ohne den Nullvektor.

Das Definitionsbereich ist ganz R2 ohne den einen Punkt in der Mitte. Aber überall dort können Sie dieses Vektorfeld wunderbar betrachten. Und dieses Vektorfeld möchte ich integrieren entlang eines geschlossenen Weges, nämlich der schon mehrfach gesehene Einheitskreislinie cos t sin t mit t aus 0,2π.

Also das ist wieder der einfach durchlaufende Rand des Einheitskreises. Den hatten wir schon ein paar Mal. Und damit ist es insbesondere ein geschlossener Weg,

wenn also f ein Potential hat, dann muss da Null rauskommen. Weil Integrale über geschlossene Wege von Potentialfeldern sind immer Null. Gut, und es kommt halt leider nicht Null raus.

Also was ist das Kurvenintegral in dem Fall? Wir integrieren über Gamma, integrieren Lex Gamma, unser Vektorfeld f. Das ist immer nach Definition, steht noch da drüben. Integral über das Intervall, auf dem die Kurve definiert ist.

Also in hier von 0 bis 2π. Und dann das Skalarprodukt von f verknüpft mit Gamma. Also f entlang der Kurve Gamma. Skalar multipliziert mit der Ableitung von Gamma dt.

Kann man jetzt hier alles ausrechnen. Der werde ich auch diesmal nicht kneifen. Wobei, ich muss das auf dem Bildschirm kriegen hier. So, also das ist das Integral von 0 bis 2π.

Jetzt müssen wir f von Gamma von t ausrechnen. Also in das f oben für x Cosinus t und für y Sinus t einsetzen. Gibt minus Sinus t durch Cosinus Quadrat t plus Sinus Quadrat t.

Und unten Cosinus t durch Cosinus Quadrat t plus Sinus Quadrat t. So, das ist f von Gamma von t.

Und das müssen wir multiplizieren mit der Ableitung von Gamma. Gut, Cosinus und Sinus können wir ableiten. Cosinus abgeleitet gibt minus Sinus, Sinus abgeleitet Cosinus. So, und jetzt kommt hier die große Vereinfachung.

Unten die Nenner sind alle Cosinus Quadrat plus Sinus Quadrat sind alle eins. Und wenn man das Skalarprodukt dann aus xt bleibt übrig Integral von 0 bis 2π. Minus Sinus mal Minus Sinus ist ein Sinus Quadrat. Plus Cosinus mal Cosinus ist ein Cosinus Quadrat dt.

Da haben wir schon wieder eine 1 dastehen. Integral von 0 bis 2π über 1 ist 2π. Und 2π hat die unangenehme Eigenschaft nicht 0 zu sein. Also in dem Fall kriegen Sie tatsächlich positive Energie raus, wenn Sie einmal um die Mitte rumlaufen.

Haben Sie dauernd Rückenwind. Wenn Sie beim Fahrrad fahren, was schönes. Und je mehr Sie rumlaufen, umso mehr Energie kriegen Sie da raus. Gut, das heißt eben dieses F kann im Prinzip kein Potential besitzen.

Wir werden sehen, es besitzt fast eins, aber es ist eben nicht ausreichend gut, um unsere Rechnung von vorhin durchzuführen. So, wie sieht man jetzt so eine Funktion an, ob sie ein Potential hat?

Also es gibt jetzt noch zwei große Fragen. Erstens, gegeben irgendein so ein Vektor fällt, wie sehe ich dem Ding an, ob es ein Potential hat? Zweitens, wenn der Lapmustest Ja sagt, wo kriege ich das Potential her? Das sind die zwei Fragen, die wir noch klären wollen. Die erste Frage werde ich Ihnen theoretisch beantworten.

Und die zweite Frage werde ich Ihnen, wo kriege ich das Potential her? Rechnen wir an einem Beispiel durch. So, also, machen wir erst Bedingungen für die Existenz eines Potentials.

Und da sehen Sie jetzt gleich, warum so ein Potential selten ist und nur sozusagen unter besten Bedingungen gedeihen kann. Nehmen Sie sich mal irgendein Vektor fällt her. Also wir haben wieder eine Teilmenge von mehr N, auf dem es definiert ist. Und F ist ein Vektor fällt auf diesem M.

Das heißt, F selbst hat wieder N Komponenten. N Komponentenfunktionen F1 bis Fn. Als Funktion von M nach Rn. Und wir setzen mal voraus, dass das Ding stetig differenzierbar ist.

Also wir haben stetig differenzierbares Vektor fällt. Und gehen wir mal von aus, wir sind im guten Fall, F hat ein Potential. Nenne ich wieder Phi.

Dann gilt für jede Wahl von irgendwelchen Indizes zwischen i und j. Das gilt die Beziehung, dass F der Gradient von Phi ist. Das heißt, die it-Komponente von F ist die it-Komponente vom Gradienten.

Das heißt, fi ist die Ableitung von Phi nach der iten Variable. Und fj ist die Ableitung von Phi nach der jten Variable. So, unser F ist stetig differenzierbar.

Das heißt, das F können wir auch differenzieren. Weil das Phi das Potential ist, muss dann das Phi zweimal differenzierbar sein. Und was passiert, wenn ich jetzt das fi nach der jten Variable differenziere? Also ich schaue mir mal an. Die partielle Ableitung von der iten Komponente von F nach der jten Variable xj.

Dann ist das, weil f hat das Potential Phi, dann ist das die zweite Ableitung von Phi erst nach xi und dann nach xj.

Jetzt ist das f stetig differenzierbar, also ist das Phi zweimal stetig differenzierbar. Und wir haben den Satz von Schwarz und ich darf das tauschen. Also das ist das Gleiche wie die zweite partielle Ableitung von Phi erst nach xj und dann nach xi. Tauschen der Differenzierungsreihenfolge geht immer, wenn wir stetige Differenzierbarkeit haben.

So, was ist denn jetzt das? Das ist die Ableitung nach xi, von der Ableitung nach xj von Phi. Die Ableitung nach xj von Phi ist fj. Also hier steht die partielle Ableitung von fj nach der iten Variable. Das ist alles nach dem Satz von Schwarz.

Und das gilt für jede Wahl von i und j zwischen 1 und n. Wenn i gleich j ist, ist das, was da steht, kein Wunder. Die dfi nach dxi ist dfi nach dxi. Okay, alles gebongt. Aber wenn i und j verschieden sind, dann gilt das im Allgemeinen nicht.

Warum soll, wenn ich die itekomponente von f nach xj differenziere, da das Gleiche herauskomme, wenn ich die jtekomponente von f nach xi differenziere. Die Komponenten von meinem Vektor felsen ja komplett unabhängig voneinander in welche Funktion.

Das wäre schon ein arger Zufall, dass wenn ich die eine Funktion nach der einen Variable und die andere nach der anderen differenziere, dass da das Gleiche herauskommt. Und das ist genau die Krux mit dem Potenzial. Wenn ein Potenzial existieren soll, dann muss dieser Zufall eintreffen. Und zwar für jede Kombination von i und j. Wenn es nur für eine Kombination von i und j schief geht, haben sie kein Potenzial.

Eine notwendige Bedingung für die Existenz von einem Potenzial ist dies, dass diese Überkreuzableitung itekomponente von f nach der j-Variabel abgelitten muss gleich sein wie jtekomponente von f nach der i-Variabel abgelitten, dass das immer gilt. Und das ist sozusagen eine kurze Rechnung, die sofort zeigt, mit den meisten Funktionen werden sie kein Potenzial kriegen.

Also das, was hier steht, ist eine Mindestvoraussetzung, die sogenannte notwendige Bedingung für die Existenz eines Potenzials.

Und weil diese Bedingung damit so ein wichtiger Lackmustest ist, der Ihnen zumindest schon mal sagt, wenn Sie auf gar keinen Fall eine Chance haben, ein Potenzial zu kriegen, ist die relativ wichtig und kriegt einen eigenen Namen. Die sogenannte Integrabilitätsbedingung, also die Bedingung, die auf jeden Fall erfüllt sein muss, damit Sie eine

Chance haben, eine Stammfunktion, ein Potenzial von Ihrem Vektorfeld zu kriegen, Ihr Vektorfeld zu integrieren, deswegen Integrabilitätsbedingung.

Damit das überhaupt gehen kann, muss auf jeden Fall gelten, dass dfi nach dxj, also die partielle Ableitung der i-Komponente ihrer Funktion nach der j-Ableitung, vielleicht die partielle Ableitung der j-Komponente ihrer Funktion nach der i-Variabel ist, und das muss gehen für alle i ungleich j.

Das muss auch für alle i gleich j gelten, aber da gilt es automatisch, das Entscheidende ist, dass es für i ungleich j geht. Das nennt man die Integrabilitätsbedingung, und wenn die verletzt ist, dann wissen Sie von vornherein schon, dass mit dem Potenzial wird nichts.

Weil dahinter steckt der Satz von Schwarz, da kommen wir nicht drum herum. Was jetzt aber nicht bedeutet, will ich auch gleich darauf hinweisen, dass wenn die erfüllt ist, es automatischen Potenzial gibt. Wir haben ja nur mal so eine Mindestvoraussetzung abgeklopft, ohne das geht es nicht, aber das heißt nur lang nicht, dass das reicht.

Ich werde Ihnen gleich noch einen Satz zeigen, dass es unter einer Zusatzvoraussetzung reicht. Also deswegen ist auch ein wichtiges Kriterium, wenn man noch die Zusatzvoraussetzung erfüllt, reicht es das nachzurechnen?

Kommen wir gleich hin, aber erstmal im Allgemeinen reicht es nicht. Schauen wir uns eins von unseren dauernd wiederkehrenden Beispielen an. Also das von vorhin, wo wir schon gesehen haben, es gibt ein Potenzial, schauen wir mal, ob da die Bedingung erfüllt ist. Sollte ja sein. Also das ist 2,15, das ist das selbe wie 2,12 und wie 2,10.

Also wieder die Funktion f von x,y ist 2xy durch x² plus y². Nein, nicht durch, Quatsch. Was anderes, 2xy und x² plus y².

Und das ist eine Funktion mit zwei Komponenten, f1 von x,y und f2 von x,y. Was ist jetzt hier die Integrabilitätsbedingung? Wenn Sie ein Potenzialfelde mehr 2 haben, ist die Integrabilitätsbedingung relativ übersichtlich,

weil, naja, wie viele i und gleich j gibt es hier, nur 1, i ist 1 und j ist 2. Also bleibt nur eine einzige Gleichung übrig, die Sie überprüfen müssen. Die Integrabilitätsbedingung im R gleich 2 lautet, die erste Komponente von f nach

y abgeleitet muss dasselbe sein wie die zweite Komponente von f nach x. Und wenn Sie das hier tun, stellen Sie fest, hier passt alles. Wir hatten ja auch vorhin schon ausgerechnet, dass es ein Potenzial gibt, muss also klappen. Was ist die erste Komponente 2xy nach y abgeleitet, gibt 2x.

Und die zweite Komponente, x² plus y² nach x abgeleitet, gibt auch 2x, klappt also. Muss auch, wir hatten ja schon gesehen, das Ding hat ein Potenzial und insofern muss das hier funktionieren. Und Sie sehen, auch diese Integrabilitätsbedingungen nachzurechnen, das ist das Schöne, deshalb ist

die auch so beliebt, ist keine große Sache, man muss halt zweimal differenzieren. Wenn die Dimension groß wird, wird es langsam eklig, weil je größer die Dimension ist, umso mehr Bedingungen gibt es natürlich. N gleich 3 ist noch ganz hübsch, N gleich 4 wird ätzend und ab 5 ist es wirklich Quälerei.

Aber das Gute ist ja, dass die meisten Anwendungen aus der realen Welt dreidimensional sind, bei dreidimensional sind es drei Bedingungen, das geht sogar noch. Und weil man das eben so schnell nachprüfen kann, indem man halt diese paar Ableitungen ausrechnet, ist das ein ganz wichtiges Hilfsmittel.

Und es sagt einem unter gewissen Voraussetzungen, kommen wir gleich zu, dass es auch ein Potenzial gibt, und jetzt kommt die Frage, wo kriege ich es denn her? Ich weiß jetzt also, in dem Fall wüsste ich jetzt, meine Funktion hat ein Potenzial, wo bekomme ich es her?

Und im Prinzip bleibt Ihnen nichts übrig, als dieses Potenzial ruchlos auszurechnen, über die Definition, oder wie man es anders nennen will. Was müssen wir tun? Sie müssen ihr Vektorfeld f integrieren. Sie brauchen eine Funktion, sodass gerade den Phi gleich f ist.

Und was man macht ist, man macht das Variable für Variable. Also man schaut sich zunächst mal an, die erste Komponente von dem f, also wenn ich jetzt hier das Phi bestimmen will, dann schaue ich mir erstmal die erste Komponente von dem f an.

Also 2xy, das ist f1 von xy, das ist 2xy, und das muss die Ableitung von meinem Potenzial nach der ersten Variablen sein, also das muss dPhi nach dx sein.

Das ist jetzt ein eindimensionales Stammfunktionsproblem. Sie suchen eine Funktion Phi, sodass die Ableitung nach x 2xy ist, y irgendein freier Parameter.

Das können wir lösen. Also ist Phi von xy irgendwas, was die Stammfunktion von 2xy bezüglich x ist.

Wenn Sie das als Phi nehmen würden, ist diese Bedingung schon erfüllt. Sie kriegen jetzt eine Integrationskonstante. Und weil dieses Integral nur nach x geht, kann diese Integrationskonstante noch von y abhängen. Wenn Sie für i Phi diesen Ansatz machen, Integral über 2xy dx plus g von y, dann ist immer noch das, was da oben steht, erfüllt.

Und wenn Sie jetzt nach x differenzieren, kriegen Sie 2xy plus die Ableitung von g von y nach x, aber die ist 0, weil da ist kein x drin. So, naja, die Stammfunktion von 2xy dx, die kriegen wir hin. Die ist x²y plus Konstante plus dieses g.

Also irgendwie die Form muss das Potential haben. Und jetzt ist noch das g zu bestimmen, aber das können Sie über die zweite Bedingung machen.

Also erst noch mal, um sich selbst zu gewissern, was kriegen Sie jetzt raus, wenn Sie das Ding nach x ableiten? So war es gemacht, 2xy plus 0 plus 0, das ist also gut. Und was passiert, wenn wir nach y ableiten?

dPhi nach dy von xy ist dann, der erste Term gibt ein x², das c fällt weg, plus g' von y. So, jetzt muss man wieder schauen. Jetzt ist unser Vektorfeld weg. Na, passt nicht. Dieser Ausdruck hier, das dPhi nach dy muss die zweite Komponente von f sein.

Das war x² plus y². Also das muss sein, f2 von xy, also x² plus y². Na, und wenn es so da steht, sieht man schon, was man wählen muss.

Also muss g' von y gleich y² sein. Das heißt, g von y ist 1 drittel y hoch 3 plus irgendeine Konstante. Und jetzt können Sie alles zusammensetzen und kriegen zum Beispiel,

dPhi von xy ist das, was ich vorhin hatte, wo steht es, x² y plus ein mögliches g 1 drittel y hoch 3.

In dem Fall jetzt beide Integrationskonstanten, 0 gesetzt, Sie können natürlich auch noch 5 dazu addieren. Potenzial liegt immer nur bis auf eine additive Konstante fest, weil das verschwindet beim Differenzieren. Das ist ein mögliches Potenzial. Und dieser Trick, das sozusagen variablenweise auszurechnen, das geht auch in höheren Dimensionen, das geht immer.

Also wenn Sie Potenzial zu einem Vektorfeld suchen, fangen Sie mit der ersten Komponente vom Vektorfeld an, integrieren nach der einen Variable hoch, mit einer Integrationskonstante, die jetzt noch von allen anderen Variablen abhängt.

Differenzieren das Ding nach der zweiten Variable und schauen, was es erfüllen muss, in jedem Schritt verschwindet eine Variable. Machen wir nachher noch mal ein zweites Beispiel, dann können Sie es noch mal sehen.

Aber das will ich jetzt nicht als allgemeines Prinzip formulieren. Wichtig ist, wenn Sie eine konkrete Funktion haben und ein Potenzial suchen, integrieren Sie immer eine Variable hoch und reduzieren Sie das Problem immer um eine Variable, bis Sie fertig sind. So, das ist das Potenzial, das ich vorhin schon angegeben hatte. Jetzt wissen Sie auch, wo es herkam.

Ich will noch mal auf den Punkt kommen, dass Potenziale was Seltenes sind. Sie können das gerne mal ausprobieren, so wie ich das auch gemacht habe, als ich dieses Beispiel B konzipiert habe.

Schreiben Sie aus der hohen Hand irgendeine Funktion hin, also möglichst nicht allzu schwer, sonst differenzieren Sie zu lange. Aber schreiben Sie irgendwas hin, x, x plus y, und prüfen Sie nach, ob es ein Potenzial hat.

Und die Wahrscheinlichkeit ist im Prinzip Null, dass Sie eins erwischt haben, was funktioniert. Nur weil die Integrabilitätsbedingung eigentlich generisch immer verletzt ist. Es sei denn, Sie haben gerade zufällig mit Riesenglück ins Schwarze getroffen, aber das ist sehr, sehr selten. Also in dem Fall x, x plus y, was passiert hier mit der Integrabilitätsbedingung?

Was müsste gelten, damit wir hier nach einem Potenzial suchen können? Es müsste gelten, dass die Ableitung der ersten Komponente nach y, das ist Null. Wenn ich die erste Komponente x nach y differenziere, kommt da Null raus.

Die müsste das Gleiche sein wie die Ableitung der zweiten Komponente nach x. Naja, die ist aber eins, und sehen Sie schon daneben. Also die Wahrscheinlichkeit, dass Sie wirklich ein Potenzialfeld erwischen, ist extrem gering.

Und Potenziale sind etwas sehr Seltenes. Und dann, wenn man sie hat, umso wichtiger und kostbarer. Trotzdem eben, auch nochmal gesagt, trotzdem wichtig, weil die Natur eben oft freundlich ist. Und viele Vorgänge, mit denen Sie zu tun kriegen, in denen Kraftfelder eine Rolle spielen, sind Potenzialfelder.

Gravitation, elektrisches Feld, viele andere. Gut, gehen wir zu unserem zweiten Dauerbeispiel.

C, das ist das Vektorfeld aus Beispiel 2.13b. Und dieses Vektorfeld habe ich deswegen gebracht, weil es ein Gegenbeispiel ist für noch ein Phänomen, das in diesem Zusammenhang auftreten kann.

Wir hatten vorhin schon gesehen, wenn Sie dieses Vektorfeld nehmen, also f von xy ist gleich minus y durch x² plus y² und x durch x² plus y².

Für xy aus dem R2 ohne den Null-Vektor. Dann kann das kein Potenzial haben, weil wir haben einmal den Ursprung rumintegriert, auf dem Einheitskreis, einen geschlossenen Kreis integriert.

Und haben rausgekriegt, da kommt 2p raus und nicht 0. Und insofern, wenn das Ding ein Potenzial hätte, müsste 0 rauskommen beim geschlossenen Weg. Insofern kann es keins haben. Jetzt rechnen wir doch mal die Integrabilitätsbedingungen nach.

Sie dürfen gern sagen, das macht keinen Sinn, das hat kein Potenzial. Also kann das ja auch nicht klappen. Vorsicht. Ich hatte Ihnen schon gesagt, Integrabilitätsbedingungen bedeuten nicht automatisch Potenziale existiert. Sondern nur, wenn die nicht gilt, gibt es garantiert kein Potenzial.

Das heißt aber umgekehrt, wenn Sie kein Potenzial haben, kann trotzdem die blöde Bedingung erfüllt sein. Vorsicht vor dem Umkehrschluss. Also was passiert hier, wenn Sie mal die Integrabilitätsbedingungen nach x'en? Was müssen wir tun? Wir müssen die erste Komponente nach y differenzieren und die zweite nach x.

Und die müssen immer übereinstimmen. Die Bedingung steht übrigens auch nochmal hier. Also diese Überkreuzableitung müssen übereinstimmen. Also wir differenzieren die erste Komponente nach y und die zweite nach x.

Dann sehen Sie schon, das ist doppelt gemein, weil dadurch brauchen wir die Quotientenregel, sonst hätte man sie nicht gebraucht. Also wir müssen die erste nach y differenzieren. Das ist die schwierigere Variante, aber da müssen wir durch. Also was kommt da raus? Wenn wir das Ding nach y differenzieren, nach der Quotientenregel.

Ableitung vom Zähler mal den Nenner minus den Zähler mal die Ableitung vom Nenner. Also y mal 2y durch den Nenner Quadrat.

Sortieren wir mal noch ein bisschen. Das sind 2y Quadrat minus y Quadrat minus x Quadrat. Also y Quadrat minus x Quadrat durch x Quadrat plus y Quadrat zum Quadrat. So, das ist die Ableitung der ersten Komponente nach y.

Und die Ableitung der zweiten Komponente nach x ist, wieder Quotientenregel, Ableitung des Zählers mal den Nenner minus der Zähler mal die Ableitung vom Nenner.

Geteilt durch Quadrat vom Zähler. So, haben wir wieder was zu sortieren. x Quadrat minus 2x Quadrat ist minus x Quadrat. Und ein y Quadrat, also da kommt raus y Quadrat minus x Quadrat geteilt durchs Quadrat von diesem Norm Quadrat.

Und wenn man jetzt mal genau hinschaut, stellt man fest, tatsächlich, die beiden sind gleich. Also das Ding erfüllt die Integrabilitätsbedingung. Das ist ein hässliches Beispiel für eine Funktion, die die Integrabilitätsbedingung erfüllt, aber trotzdem muss irgendwas schiefgehen, weil wir hatten vorhin nachgerechnet, wenn wir die Funktion

jetzt einmal über den Einheitskreis integrieren, dann kommt da 2pi und nicht 0 raus. Also da ist irgendwas im Argen. Und ich kann schon mal so viel verraten, was das Problem ist, ist ein geometrisches und was noch dazukommt ist auch eine geometrische Bedingung.

Diese Funktion ist ja definiert auf R2 ohne den Nullpunkt. In Null hat die eine Singularität und was wir machen mit unserem Weg ist, wir integrieren genau einmal um diese Singularität herum und dabei passieren dode Dinge.

Obwohl nämlich diese Funktion ein Potential hat und wir werden feststellen, wenn Sie tatsächlich zum Beispiel hier einen geschlossenen Weg hinlegen, dann kommt integral Null raus. Also wenn Sie diese Funktion integrieren und dabei den Nullpunkt oder genauer gesagt die Y-Achse außen vor

lassen, dann ist alles gut, aber wenn Sie genau um die Problemstelle rum integrieren, kriegen Sie ein Problem. Und das kann ich Ihnen jetzt auch erklären, wo es herkommt. Wir haben, dass die Integrabilitätsbedingungen gilt.

Also können wir uns ja einfach mal forsch auf den Weg machen und das Potential ausrechnen. Versuchen kann man es. Rechnen wir mal aus, ob die Funktion ein Potential hat. Also wir bestimmen das Potential.

Wie haben wir das gemacht? Nochmal die Idee. Ich schreibe unser f nochmal hin. f von xy ist minus y durch x² plus y² und x durch x² plus y².

Was tut man? Man fängt mit der ersten Komponente an. Also gesucht ist ein Phi, sodass Phi abgelitten nach x gibt minus y durch x² plus y² und Phi abgeleitet nach y muss geben x durch x² plus y².

Jetzt nehmen Sie sich die erste Gleichung her und integrieren mal nach x hoch. Also muss Phi von der Form sein. Stammfunktion von minus y durch x² plus y² dx plus irgendein Rest von y.

Jetzt müssen wir also diese Stammfunktion bestimmen und das geht folgendermaßen.

Ich hoffe, ich kriege das jetzt hin. Also das minus y ziehen Sie vor. Bleibt 1 durch x² plus y² und das könnte Sie an eine Stammfunktion erinnern, die Sie kennen. Wir müssen jetzt irgendwie zu was kommen, was wir kennen und das ist 1 durch 1 plus x².

Und was ich mal machen möchte, ist hier unten ruchlos noch ein y² ausklammern. Dann kriege ich hier x durch y² plus 1. Das y² unten kann ich nochmal vorziehen.

Kriege ich minus 1 durch y integral 1 durch x² plus 1. So, und die Stammfunktion von 1 durch 1 plus irgendwas², das ist der Argus tangens.

Das müssen Sie erinnern. Ableider vom Argus tangens ist 1 durch 1 plus irgendwas plus Argument². Also was hier steht ist minus 1 durch y. Jetzt machen wir mal den ersten Guess. Wenn ich Argus tangens von x durch y nehme, will ich Argus tangens von x durch y haben.

Jetzt habe ich es genau falsch rum gemacht. Das kommt davon, wenn man das versucht spontan zu machen.

Gut, macht nichts. Kriegen wir Argus tangens x durch y. Wenn wir das nehmen, stimmt das noch nicht ganz. Wenn Sie es ableiten, kriegen Sie diesen Ausdruck 1 durch x durch y² plus 1.

Aber von der inneren Ableitung kriegen Sie noch ein 1 durch y dazu. Das müssen wir wieder gut machen. Also kriegen wir noch ein y davor. Und was rauskommt ist einfach minus Argus tangens von x durch y.

So, wenn Sie die Funktion ableiten, dann kriegen Sie, wenn Sie die Funktion nach x ableiten, kriegen Sie oben hoffentlich dieses minus y durch x² plus y². Jetzt müssen wir dieses Phi noch nach y ableiten und schauen, was passiert.

Also, wenn Sie das Ergebnis nach y ableiten, liefert was?

Erstmal haben wir das Minuszeichen. Das bleibt stehen. Den Argus tangens ableiten gibt 1 durch 1 plus x durch y² mal innere Ableitung von y. 1 durch y abgeleitet gibt minus 1 durch y². Also, die beiden Minuszeichen verschwinden miteinander.

Ah, und Sie kriegen noch ein x natürlich von der inneren Ableitung. Minus x durch y² ist die innere Ableitung, die beiden Minuszeichen verschwinden. Und es bleibt übrig x durch 1 plus x durch y² mal y².

Das ist genau x durch x² plus y². Also f2 von xy. Diese Funktion g hier oben brauchen wir also gar nicht.

Minus Argus tangens von x durch y ist schon unser Potential. Also Phi von xy minus Argus tangens von x durch y ist ein Potential.

Und jetzt, Vorsicht, gucken Sie mal, was jetzt passiert ist. Wir hatten, dass unsere Funktion definiert war, überall außer im Ursprung.

Wo ist denn jetzt das Potential definiert? Das Potential ist definiert überall außer für y gleich 0. Wenn y0 ist, steht da in dem Argus tangens ein Bruch mit einer Null im Inneren, das geht nicht.

Das heißt für y gleich 0, das heißt auf dieser Linie hier bricht das Potential zusammen. Und was hier passiert ist, dass diese Singularität in der Mitte, die strahlt sozusagen aus.

Die Funktion ist überall auf R2 ohne Null differenziert und das Potential können Sie nur definieren auf R2 ohne diese Gerade. Und wenn Sie jetzt versuchen, Ihr Kurvenintegral zu berechnen, hier einmal auf dem offensichtlichen kreisrunden Kreis außen rum,

dann können Sie jetzt nicht sagen, da überall hat mein F ein Potential und deswegen ist das Null, weil Sie eben an zwei Stellen durchtauchen durch die Stelle, wo das Potential nicht existiert. Das Potential ist eben nicht auf dem ganzen Kreis definiert und dementsprechend kriegen Sie hier zwei Pi und nicht Null raus.

Und das Problem ist diese Singularität in der Mitte, die so ausstrahlt. Sie können, wenn Sie jetzt einen anderen Weg nehmen, hat ich vorhin schon gesagt, wenn Sie so einen Weg nehmen, dann ist alles gut, der ist geschlossen, liegt voll im Potentialbereich, Integral ist Null.

Es ist sogar so, dass wenn Sie den Weg hier nehmen, das Integral Null ist, können Sie mir sagen, Vorsicht, Vorsicht, Vorsicht, da integrierst du doch wieder über die Linie rüber. Richtig, aber das Potential ist nicht eindeutig. Ich lasse Sie einen nachzurechnen.

Zum Beispiel die Funktion phi Hut von xy gleich plus oder minus plus Arcus Tangens umgekehrter Bruch y durch x ist auch ein Potential.

Nehmen Sie das Ding, rechnen Sie es nach. Das ist auch eins und dieses Potential hat jetzt seine verbotene Linie hier. Das ist für x gleich Null nicht definiert. Sie haben auch auf der linken Halbebene und auf der rechten Halbebene ein schönes Potential.

Und solange Sie da diesen linken Kreis durch integrieren, haben Sie da ein Potential. Dann müssen Sie halt das untere nehmen und Sie wissen, das Integral ist Null, ohne dass Sie einen Finger krumm machen und was rechnen. Geschlossenes Weg, da wo es Potential gibt, Null, fertig. Das Problem ist, und Sie können mit ein bisschen Mühe noch mehr Potentiale hinschreiben, die dann irgendwelche

schrägen Ausnahmelinien haben, aber jedes Potential dieser Funktion hat eine Gerade durch den Ursprung, wo es schief geht. Und wenn Sie um diese Singularität herum integrieren, kommen Sie halt irgendwann immer an dieser Gerade vorbei. Deswegen kommt da nicht Null raus, sondern zwei Pi.

Auf diesem Kreis werden Sie kein Potential finden, das die ganze Zeit tut. Und das ist das, was noch passieren kann. Und deswegen ist die wichtige, ich habe es schon mal gesagt, aber lassen Sie mich das nochmal hinschreiben, die wichtige Lehrsatz aus diesem Beispiel.

Die Integrabilitätsbedingung allein reicht nicht für eine globale Existenz des Potentials.

Oder um zum Beispiel argumentieren zu dürfen, meine Funktion erfüllt die Integralitätsbedingung, mein Weg ist geschlossen, also ist Integral Null, ich muss gar nicht rechnen. Vorsichtig, da haben Sie zum Beispiel geschlossener Weg, Funktion erfüllt die Integralitätsbedingung, trotzdem ist das Integral nicht Null.

Weil eben so ein Effekt auftreten kann, dass wenn Sie so eine Singularität haben, die ausstrahlt und plötzlich Sie an Stellen, wo die Funktion vorher brav war wie Heu, kein Potential haben. Das heißt, was wir noch brauchen ist eine Zusatzbedingung, die uns sagt, ja wann reicht denn diese blöde Integralitätsbedingung nun?

Und was ist denn das Problem hier, was schief geht, was muss ich zusätzlich wissen? Und ich hatte vorhin schon gesagt, was Sie zusätzlich wissen müssen ist gar keine Eigenschaft von der Funktion F. Die Funktion F erfüllt die Integralitätsbedingung auch nicht. Das fiese und das was hier auch schief geht ist der Definitionsbereich der Funktion F, der muss brav sein.

Und der hier ist nicht brav und der ist deswegen nicht brav, weil er ein Loch hat. Der hat ein sehr kleines Loch, das wird sehr schwer durch den Nullpunkt durchzugucken, aber er hat ein Loch und Löcher sind verboten. Oder was heißt verboten, wenn Sie Löcher haben, dann reicht die Integralitätsbedingung im Allgemeinen nicht.

Ich will das nochmal zusammenfassen, umgekehrt ist nämlich die gute Nachricht, wenn das Ding keine Löcher hat, dann reicht die Integralitätsbedingung. Also wenn Sie, wenn Ihre Funktion F den Definitionsbereich M hat, eben F ins Vektorfeld auf diesem M, das die Integralitätsbedingung erfüllt.

Das heißt eigentlich sollte es sowas wie ein Potential geben. Die Frage ist nur, sind wir in dem blöden Fall wie gerade eben mit dem Argus Tangens oder gibt es tatsächlich ein Potential?

Und dann ist die gute Nachricht, wenn das M zusätzlich noch schön ist und mit schön meine ich offen.

Und jetzt kommt ein neuer Begriff, einfach zusammenhängend, dazu sage ich gleich was, dann hat F auf ganz M ein Potential.

Das entscheidende hier ist, dass auf ganz M, wir haben oben gesehen, es kann passieren, dass Sie einen Vektorfeld haben, das die Integralitätsbedingung erfüllt. Auf eine Menge M, Rn ohne Null. Und jetzt rechnen Sie das Potential aus und Sie stellen fest, dass ...

Potenzial ist plötzlich auf einer kleineren Menge definiert, es gibt Punkte, wo das F schön war, wo das Potenzial nicht existiert. Und das passiert in dem Fall nicht. Wenn die Menge M einfach zusammenhängend ist, dann ist alles gut, dann passiert das nicht, dann haben sie auf ganz M ein Potenzial. So, jetzt muss ich natürlich noch erklären, was einfach zusammenhängend ist.

Und für den Text hier schreibe ich einfach, einfach für einfach zusammenhängend, salopp und ohne formale Definition hin, was es anschaulich bedeutet und das ist das, was ich schon sagte.

Einfach zusammenhängend heißt, dass M keine Löcher hat. Und damit werden sie ihr ganzes Leben, wenn sie überhaupt mit diesem Thema wieder in Berührung kommen. Einige werden das sicher, weil geschlossene Wegintegrale durch Potenzialfelder oder nicht, dann werden sie noch sehen. Aber

ich garantiere ihnen in allen Fällen, die sie im realen Leben zu sehen kriegen, können sie entscheiden, ob das Ding ein Loch hat oder nicht. Also Löcher sind schlecht, M hat kein Loch, das ist grosso modo das, was einfach zusammenhängt bedeutet. Also einfach das hier wäre zum Beispiel eine einfach zusammenhängende Menge.

Irgendso eine Kartoffel, ein Klumpen, kein Loch drin, einfach zusammenhängend. Nicht einfach zusammenhängt, oder was auch einfach zusammenhängende Mengen sind, sind natürlich Kreise, Kugeln, Quader, alle solchen Dinge.

Was sind denn jetzt nicht einfach zusammenhängende Mengen? Na ja, alles was Löcher hat. Das heißt zum Beispiel ein Donut, oder so ein Kreisring, so was hier hat offensichtlich ein Loch.

Ja oder das Beispiel von vorhin, der Rn oder der R2 ohne die Null, ist nicht einfach zusammenhängt, wo oben gesehen, da passieren komische Dinge, weil der hat ein Loch. Der hat ein extrem kleines Loch, ist nur ein Punkt, aber ein Punkt ist halt auch ein Loch.

Ja oder, mein jetzt können sie das Zeug natürlich noch beliebig verformen, muss kein Kreisring sein, aber wenn so ein Ding halt so ein Loch hat hier in der Mitte, dann ist es nicht. Das ist im Wesentlichen auch nur ein Kreisring, auf den jemand draufgetreten ist, aber sowas ist eben nicht einfach zusammenhängt.

Vielleicht kann ich so für die, neben dem Protokoll noch sagen, was die Definition ist. Die kann man nämlich auch, also die Definition, die ich jetzt bringe, ist auch keine mathematischen Formeln, aber die anschauliche Umsetzung der realen Definition. Man nennt so ein Gebiet einfach zusammenhängt,

wenn man jede, nehmen sie sich irgendeine beliebige geschlossene Kurve in dem Gebiet, also sprich, sie legen da irgendwo einen Gummiring rein, irgendeinen geschlossenen Faden, legen sie in das Gebiet rein. Und jetzt muss es möglich sein, sich an einen Punkt in diesem Kurve zu stellen und diese Kurve zusammenzuziehen.

Sie müssen diese Schlaufe immer enger ziehen können und am Schluss muss die auf einem Punkt rauslaufen. Also sie müssen jede geschlossene Schlaufe zu einem Punkt zusammenziehen können, und zwar ohne das Ding zu zerreißen, dass es einfach zusammenhängt. Und offensichtlich geht das schief, wenn sie ein Loch haben,

legen sie ihre Schlaufe ums Loch rum und ziehen sie und irgendwann hängt die an dem Loch. Also sie dürfen nicht aus der Menge raus, das ist der Punkt. Also sie müssen also innerhalb der Menge die Schlaufe zusammenziehen können, wenn das immer geht für jede Schlaufe, dann ist es einfach zusammenhängt. Und das schließt im Wesentlichen aus, dass sie Löcher haben. Aber das ist die formale Definition.

Und falls jemand was, jetzt schweife ich völlig ab, aber wir haben Zeit, falls jemand was vom Poincaré, hat jemand was schon mal von der Poincaré-Vermutung gehört? Nein, die Poincaré-Vermutung ist wahr, muss man sagen, eins der sieben berühmtesten ungelösten Rätsel der Mathematik. Es gibt so den sogenannten,

die sogenannten Millenniumspreise. Millenniumspreise hat das Clay Institute für Mathematik ausgelobt im Jahr 2000 für die sieben größten, deren Meinung nach größten offenen Rätsel der Mathematik. Gibt jeweils eine Million Dollar, wenn man sie löst. Und von diesen sieben ist bisher eins gelöst, das ist die Poincaré-Vermutung.

War ja auch schon 300 Jahre alt, kann man mal langsam lösen. Es gibt andere, die haben auch länger gedauert, aber die hat immerhin, so nach zwei, dreihundert Jahren, hat man es da hingekriegt. Und die Poincaré-Vermutung hat genau mit diesen Begriffen zu tun, mit diesem Zusammenziehen von solchen Fäden.

Und sagt im Wesentlichen, was die Poincaré-Vermutung sagt, ist, wenn sie eine Teilmenge, wenn sie eine dreidimensionale Fläche im vierdimensionalen Raum haben, muss man sich jetzt auch erst mal vorstellen, aber gut, sie haben eine dreidimensionale Fläche im vierdimensionalen Raum. Und die ist genau das, die es einfach zusammenhängt. Das heißt, sie können jede Schlaufe

zu einem Punkt zusammenziehen. Dann können sie diese Fläche so stetig deformieren, dass eine Kugelsphäre rauskommt. Also es gibt sozusagen, es gibt bis auf stetige Deformation nur eine einzige Fläche, die einfach zusammenhängt ist, im vierdimensionalen, das ist die Kugel.

Im dreidimensionalen ist das bewiesen und bekannt, im vierdimensionalen war es schwierig. Und hat eben zwei, dreihundert Jahre gedauert. Jetzt können Sie fragen, warum man das interessiert. Weil dahinter zum Beispiel die Frage nach der Struktur oder nach der Form

unseres Universums steckt, weil unser Universum ist eine dreidimensionale Fläche im vierdimensionalen Raum. Und die Frage ist, wie sieht das Ding aus? Wen es noch weiter interessiert, gerne Literaturhinweis. Die Buch dazu von Donald O'Shee heißt, glaube ich, die Poincaré -Vermutung, so ein, ich finde, sehr gelungenes populärwissenschaftliches Werk über dieses Ding.

Und wenn Sie das lesen, werden Sie feststellen, dass dann auch dauernd irgendwelche Schlaufen auf Punkte zusammengezogen werden. Gut, Ende Abschweifung. Im realen Leben werden Sie keine Schlaufen zuziehen müssen, sondern ich bin sicher, Sie werden diesen Mengen ansehen, ob Sie Löcher haben oder nicht.

Der Hauptlehrsatz an der Stelle ist, im Normalfall, wenn Ihr Vektorfell zum Beispiel auf den ganzen Rn definiert ist, der Rn ist einfach zusammenhängt, weil der hat keine Löcher,

dann reicht es, wenn Sie die Indigabilitätsbedingungen nachxen und wenn die Indigabilitätsbedingungen erfüllt ist, haben Sie sofort ein Potential und alles ist gut. Sie müssen dann aufpassen, wenn Ihr Definitionsbereich Löcher hat, weil dann reicht die Indigabilitätsbedingungen nicht, dann müssen Sie schauen, ob Ihr Weg, über den Sie integrieren wollen, mit diesen Löchern was zu tun hat.

Wenn Sie natürlich, also zum Beispiel in diesem M hier sind und Ihr Weg, über den Sie das Vektorfell, das hier drin definiert ist, integrieren wollen, ist so und Ihr L verfüllt die Indigabilitätsbedingungen, was machen Sie dann?

Na dann hacken Sie Ihr M kleiner, dann gucken Sie sich das M hier an, dass es dann einfach zusammenhängt und die Kurve liegt drin und dann ist wieder alles gut, dann haben Sie Potential und sind fertig. Sie dürfen nur nicht um Löcher rum integrieren, dann wird es dreckig.

Gut, das ist die Message zum Thema Potentialfelder. Potential ist etwas Tolles, weil dann muss man die Kurvenintegrale nicht mehr ausrechnen und wenn man sie bestimmen will, wenn man sehen will, ob

es dann es gibt, integriert die Indigabilitätsbedingungen prüfen und schauen, ob die Definitionsbereich des Vektorfeldes hinreichend brav ist. So, das ist das, was ich Ihnen zu Kurvenintegralen sagen wollte und es bleibt jetzt noch ein

weiteres Thema beim Integrieren übrig und das ist das, was man eigentlich am ehesten erwartet hätte, wenn wir mal, wenn ich Ihnen jetzt, ich habe Ihnen gesagt, was wir machen wollen, ist, wir wollen mehrdimensional integrieren. Was wir bis jetzt gemacht haben, waren eigentlich immer nur eindimensionale Integrale, wir haben die Parameterintegrale gemacht, das waren einfach nur Integrale mit noch einen zweiten Buchstaben drin,

wir haben Kurvenintegrale gemacht und Kurvenintegrale waren eigentlich auch nur eindimensionale Integrale, aber halt verbogen. Das kann man natürlich erst im mehrdimensionalen machen, weil im R kann man halt nicht verbiegen, aber im Prinzip auch ein bisschen eindimensional integriert und wenn ich Ihnen sage, wir wollen mehrdimensional integrieren, dann ist eigentlich, denke ich, das, was

man am ehesten erwartet, wir haben halt irgendeine Funktion in mehreren Variablen, damit man sich das vorstellen kann, wieder von R2 nach R, das Bild haben Sie schon gesehen, es ist egal, es ist irgendeine Funktion und was jetzt, was man

naheliegend verallgemeinern könnte, wäre, ich will jetzt wissen, was ist der, nicht mehr Flächen, sondern Volumeninhalt unter der Kurve, also unter der Fläche, also ich könnte sozusagen parallel zum eindimensionalen Integral die Frage stellen, gegeben diese Funktion, dieses Gebirge, kann ich jetzt über ein Integral nicht irgendwie ausrechnen, wie groß ist

das Volumen, das von dieser Fläche und der x- und der y-Achse und so weiter eingeschlossen wird. Sogenanntes Gebietsintegral und die Antwort ist ja und damit wollen wir uns jetzt beschäftigen, also was ich jetzt machen will, ist, sozusagen diese Idee, dass man integriert, um eine Fläche unter einem Grafen zu bestimmen, hochziehende Dimension, wir integrieren jetzt, um zum Beispiel in

diesem zweidimensionalen Fall, also Funktion von R2 nach R, das heißt, der Graf ist im dreidimensionalen, das Volumen unter dem Graf zu bestimmen. Das ist jetzt, und das kann man natürlich auch wieder im Rn machen, dann definiert man, hat man eine Funktion von Rn nach,

machen wir erstmal Rn nach R, dann kann man das n plus 1 dimensionale Volumen unter dem n plus 1 dimensionalen Grafen bestimmen, aber von der Anschauung her ist wieder gut, nehmen Sie n gleich 2, dann haben Sie wirklich ein Volumen vor Augen, das wir bestimmen wollen. Und das ist das nächste Thema, der Paragraph 3 von diesem Integrationskapitel und ich habe den mal

Integrale in Rn überschrieben, das ist, wenn man so will, die naheliegendste Verallgemeinerung des Integralbegriffs ins höher Dimensionale. Also was wir tun wollen ist, wir wollen Funktionen in mehreren Variablen integrieren und jetzt wirklich in

allen Variablen integrieren, wenn Sie Funktionen in zwei Variablen haben und nur eine integrieren, haben Sie ein

Parameterintegral, ich will jetzt alles weg integrieren, ich will das komplette Volumen haben, das da unten drunter ist. So, und wie so oft in der mehrdimensionalen Analysis werden wir feststellen, das Hauptproblem in dem Zusammenhang sind wilde Integrationsgebiete, also das eine Problem sind die Funktionen, aber

je mehr man ins mehr Dimensionale kommt, umso mehr nervt die Geometrie und weniger die Funktion, also wenn ich bei dem Bild hier bin und sage, ich will das gesamte Volumen, das sich über diesem

Quadrat da oder in diesem Quadrat unten in der XY-Achse aufspannt, dann mag das noch eine vernünftige Aufgabenstellung sein, aber wenn ich jetzt hier unten in den Definitionsbereich von der Funktion eine wilde Kartoffel reinlege als Gebiet und

sie fragt, was ist das Volumen, also ich mach hier unten, steck ich irgendeinen Claim ab und ich mach da ein Zylinder drüber, also mit wild gebogenen Rändern und frag, wie ist jetzt das Volumen von dem Ding, dann wird das nicht mehr so klar, wie man das ausrechnet und sie werden sehen, viel Hirnschmalz in diesem Kapitel

geht da rein, wie man mit wilden Geometrien umgeht und weniger, wie man dann die Funktionen in den Griff kriegt. Aber fangen wir mal mit den einfachen Geometrien an, bevor man wilde Dinge macht, muss man erstmal die einfachen in den Griff kriegen und nehmen wir mal diesen Fall, dass wir über dieses Quadrat oder über ein Rechteck integrieren wollen,

das ist der Fall, wo noch alles einigermaßen glimpflich abgeht, also das erste sind solche Quadrate oder Rechtecke oder allgemein im RN, etwas nicht mehr perfekt, also im Englischen heißt das so schön Abuse of

Notation, also Missbrauch der Notation, wird das üblicherweise auch noch als ein Intervall bezeichnet, ein Intervall im RN, das ist eben so ein Rechteck oder ein Quadrat, irgendeine Teilmenge, die sich schreiben lässt als kathetisches Produkt von Intervallen,

also, oder anders ausgedrückt, alles was zwischen zwei Vektoren liegt, wobei ich jetzt Ihnen sagen muss, was heißt bitte zwischen, also ich habe zwei Vektoren A und B aus dem RN und die seien so gelegen, dass das A, die i

-te Komponente vom A kleiner gleich der i-ten Komponente von B ist und das für alle i von 1 bis N, also jeweils jede Komponente von A ist kleiner als die zugehörige Komponente von B und dann kann man folgende Menge anschauen,

die Menge aller x im RN, sodass das x i jeweils zwischen A i und B i liegt, auch wieder für alle i gleich 1 bis N,

also ich habe einen Vektor, der ist in jeder Komponente kleiner als ein anderer und jetzt gucke ich mir alle x an, die eben in jeder Komponente dazwischen liegen und eben abuse of notation, das kann man sich jetzt wieder vorstellen oder wieder schreiben als das Intervall von A bis B, das sind alle

x zwischen A und B in gewissem Sinne und so ein Ding, das nennt man ein abgeschlossenes Intervall im RN. Abgeschlossen, weil ich es mit kleiner gleich definiert habe, ein abgeschlossenes Intervall im RN.

Ich muss eben wissen, was damit gemeint ist, aber dann ist das eigentlich eine relativ angenehme Bezeichnung, weil es ja in gewissem Sinne die Verallgemeinerung von einem Intervall ist, wie sieht sowas aus? Also sie brauchen zwei Sovektoren A und B, zwei Punkte A und B, sodass das B in jeder Koordinaten größer ist als das A,

also im R2, das B muss weiter rechts oben liegen als das A und was ist dann das Intervall? Das sind alle die Vektoren, die in der ersten Komponente, also in der x Komponente zwischen A1 und B1 liegen und in der y Komponente zwischen A2 und B2,

also dieses Rechteck hier, das ist das Intervall AB. Also sie geben zwei Vektoren vor und dann ist das Intervall das, was mit dem einen unten links und dem anderen oben rechts als Rechteck eingezäunt wird.

So und so ein Intervall, das können Sie auch noch anders schreiben, also das Intervall von A bis B, ist nichts anderes als das kathesische Produkt der eindimensionalen Intervalle A1, B1, Kreuz A2, B2, Kreuz A3, B3,

und so weiter bis A, N, B, N. So, solche Intervalle, solche Rechtecke oder mehrdimensionalen sind das halt natürlich N-1-dimensionale Quader, N-dimensionale Quader, das sind da mal die einfachsten Integrationsgebiete, die rumlaufen,

wenn Sie eine Funktion haben und die über so einen Rechteck integrieren wollen, also wie hier, so ein Quadrat, dann kann man das relativ fix auf ein eindimensionales Integral zurückspielen,

das ist der Abschnitt 3.2, wie integriert man über ein Intervall und die Idee ist die folgende, Sie integrieren zwei eindimensionale Integrale, also Vorstellung muss jetzt sein,

Sie haben dieses Rechteck hier als Integrationsgebiet, darüber eine Funktion von R2 nach R, also so eine Landschaft darüber und Sie wollen jetzt das Volumen unter der Landschaft über diesem Rechteck haben. Und die Idee ist, Sie integrieren, Sie nehmen zum Beispiel erst mal das Y als fixen Parameter

und integrieren für jedes Y hier über X, kriegen Sie jeweils einen Wert raus, einmal alle Streifen hoch und diese Werte, die integrieren Sie dann in Y auf.

Anders formuliert, was man macht ist, man hat so ein Intervall, also ein Intervall zwischen zwei Vektoren A und B im Rn und ein F,

das auf diesem Intervall stückweise stetig ist, das ist wieder die übliche Voraussetzung, die wir brauchen, damit wir integrieren können. So und jetzt definieren wir das Integral über das Intervall i von unserer Funktion,

folgenderweise, hier haben wir jetzt n Variable und oben waren es zwei, also Sie nehmen die eine Variable und integrieren Ihre Funktion

über die zugehörige eindimensionale Intervall an bis bn, also f von x1 bis xn dxn. Wenn Sie das gemacht haben, haben Sie jetzt noch eine Funktion in n-1 Variablen übrig, die Variable xn ist verschwunden, weil weg integriert,

wenn Sie das integriert haben, ist das xn ja nicht mehr da, es sind nur noch die anderen Variablen und die integrieren Sie jetzt der Reihe nach weg, also jetzt kommt ein Integral in xn-1 und so weiter, bis zu einem Integral a2 bis b2 dx2 und am Ende Integral a1 bis b1 dxn.

Also man integriert unter Festhaltung der anderen n-1 Variable und zunächst, Reihenfolge ist egal, die Ente, die Ergebnisse dann bezüglich der n-1 Variable,

bezüglich der nächsten, bezüglich der nächsten und am Ende ist man dann bei der ersten Variable. Und das ist das Integral über ein Intervall und das das geht liegt eben daran, dass das Intervall so schön recht eckig begrenzt ist. Dadurch kann man die Variablen voneinander trennen.

Wenn man über ein Quader oder ein Rechteck integriert, hat man für jede Koordinatenrichtung klare Intervallgrenzen und kann die so trennen und kriegt so ein iteriertes Integral. Gute Nachricht dabei, ist die Reihenfolge beliebig,

das heißt, ob Sie jetzt so wie es da steht, im Innersten zuerst nach xn integrieren und dann am Letzten nach x1, oder umgekehrt oder in einer ganz anderen Reihenfolge, ist Ihnen überlassen und egal, sollte immer das Gleiche rauskommen.

Also ich schreibe es mal für n gleich 2 hin. Da ist das Integral über das Intervall, über die Funktion f gegeben. Also das Intervall ist hier a, b, kreuz, c, d.

Also erste Variable aus dem Intervall a, b, zweite Variable aus dem Intervall c, d. Dann haben wir hier a bis b, Integral c bis d, f von x und y, dy, dx.

Das ist das Gleiche wie das Integral von c bis d, Integral von a bis b, f von x, y, dx, dy. Also wie rum Sie integrieren ist Ihnen überlassen und egal. Und wenn man so einen Intervall hat, kann man eben immer iterativ eine Variable nach der anderen weg integrieren.

Die Probleme fangen an, wenn Sie keine Intervalle mehr haben. Und wenn Sie jetzt hier 17 Variablen haben, haben Sie halt viele iterierte Integrale, aber die Idee ist immer die gleiche. Ich rechne Ihnen noch ein oder zwei Beispiele vor,

aber hauptsächlich damit Sie sehen, in diesem Fall, wenn man wirklich über einen Intervall integriert, passiert nicht viel Neues, es ist nur mehr Rechnerei.

Machen wir mal einen ersten Plausibilität-Check. Integrieren wir mal über einen Intervall die Funktion Konstant 1. Was sollte dann anschaulich rauskommen, wenn wir so ein Intervall nehmen, so ein endimensionales Intervall, das ist ja ein endimensionaler Quader. Und wenn Sie darüber die Funktion 1 integrieren,

das gilt immer, dann müssten Sie das Volumen dieses Quaders rauskriegen. Wenn Sie über einen Intervall die Funktion 1 integrieren, kriegen Sie die Intervalllänge. Wenn Sie über das Rechteck die Funktion 1 integrieren, rechnen Sie das Volumen aus des Quaders mit Grundfläche dieses Rechtecks und Höhe 1, gibt die Fläche vom Rechteck. Also Funktion 1 integrieren liefert Ihnen immer Volumen,

das Volumen des Integrationsgebietes. Also wenn Sie f gleich konstant einsetzen, sollten wir das Volumen von dem, des Intervalls i kriegen. Schauen wir mal, ob das klappt.

Also was ist das Integral über das Intervall i, 1, t, x? Nach Definition die iterierten Integrale von a1 bis b1, bis a n bis b n über 1, d x n bis d x 1.

So, was wir jetzt machen, ist wir rechnen das innerste Integral aus. Die anderen bleiben stehen, also es bleibt stehen das Integral von a1 bis b1 und von a2 bis b2 bis a n minus 1 bis b n minus 1. Das innerste Integral liefert einfach seine Intervalllänge,

b n minus a n, d x n minus 1 bis d x 1. Nun ist dieses b n minus a n eine Konstante. Die können Sie nach ganz vorne ziehen. Und was dann übrig bleibt, ist wieder ein Integral über 1.

Also wenn wir die Konstante mal nach vorne ziehen, die geht aus allen Integralen raus, weil sie von keine Integrationsvariable abhängt. Dann bleibt übrig ein Integral von a1 bis b1 und ein Integral von a n minus 1 bis b n minus 1 und alle dazwischen wieder über 1, d x n minus 1 bis d x 1.

Naja, jetzt können Sie gerade von vorne anfangen und so weiter und so weiter. Und was rauskommt ist b n minus a n mal b n minus 1 minus a n minus 1 mal und so weiter bis b 2 minus a 2 mal b 1 minus a 1.

Und was das ist, ist das endimensionale Volumen eines Quaders. Seitenlänge mal Seitenlänge mal Seitenlänge mal Seitenlänge mal Seitenlänge mal Seitenlänge mal Seitenlänge mal Seitenlänge mal Seitenlänge je nachdem wie groß n ist, ziemlich viel Seitenlänge. Wenn Sie es dreidimensional sehen wollen eben. Seitenlänge mal Seitenlänge mal Seitenlänge. Klappt.

Das ist ein besonders schöner Spezialfall, weil Sie natürlich eine maximal einfache Funktion gewählt haben, die Funktion Konstant 1. Es gibt noch einen anderen schönen Spezialfall, wie sich so ein Integral leicht zerlegt.

Das ist nämlich, wenn Ihre Funktion f eine multiplikative Struktur hat, also wenn f von x y von der Form ist, irgendeine Funktion in x mal irgendeine Funktion in y. Das ist natürlich im Allgemeinen nicht so.

Ich meine, nehmen Sie f von x y ist x plus y, dann ist es schon aus. Aber wenn Sie Glück haben und Ihre Funktion hat diese schöne Struktur, dass Sie ein Produkt von einer Funktion, die nur von x abhängt ist, mit einer Funktion, die nur von y abhängt, dann lassen sich solche interierten Integrale ganz gut ausrechnen.

Weil was ist dann das Integral übers Intervall, also das interierte Integral von a bis b, bezüglich x und von c bis d, bezüglich y, setzen Sie das f ein, das ist das Integral von a bis b, vom Integral von c bis d, g von x, h von y, dy, dx.

Dann ist jetzt im innersten Integral, dieses g von x, y unabhängig, also für das Integral in y eine reine Konstante. Können Sie also vorziehen, bleibt übrigens das Integral von a bis b, g von x, mal das Integral von c bis d,

h von y, dy, dx. So und jetzt schauen Sie sich mal dieses ganze Teil an, das enthält überhaupt kein x, das ist x unabhängig, also für das x Integral eine Konstante, können Sie aus dem x Integral rausziehen und was man dann kriegt ist,

dass dieses interierte Integral über f einfach das Produkt von zwei eindimensionalen Integralen ist, nämlich das Integral über g, kommen Sie nicht auf die Idee daraus, eine allgemeine Formel fürs Produkt von zwei Integralen rauszuziehen,

das funktioniert hier nur, weil eben diese Funktion f diese schöne Struktur hat, dass sie ein Teil ist, der nur von x abhängt, mal ein Teil, der nur von y abhängt. Wenn Sie in der schönen Situation sind und das Integrationsgebiet auch noch zufällig in Recht eck, dann ist der Traum überhaupt, dann ziehen Sie alles auseinander und Sie müssen nur zwei eindimensionale Integrale bestimmen

und das ist ein konkretes Beispiel verschiebe ich auf nächste Woche für heute, dann danke für die Aufmerksamkeit.