Also dann herzlich willkommen zur Nachaufzeichnung der Vorlesung vom 11. Januar. Wir waren vor den Ferien dabei, uns um Funktionenfolgen zu kümmern und Funktionenreihen

und dann festgestellt, dass man da verschiedene Konvergenzbegriffe hat. Zum einen die irgendwie naheliegendere Punktweise Konvergenz. Wenn wir eine Funktionenfolge Fn haben, dass wir für jedes x schauen, was die Folge Fn von x macht. Und wir hatten aber festgestellt, diese Konvergenz befriedigt uns nicht in allen Belangen.

Deswegen haben wir noch die gleichmäßige Konvergenz eingeführt, wo das Fn von x konvergiert für jedes x, aber eben in einer gleichmäßigen Weise. Und zum Schluss der letzten Vorlesung hatte ich Ihnen das sogenannte Majorantenkriterium für Funktionenreihen

bewiesen noch mal kurz zur Erinnerung. Das war der Satz 2010. Wenn Sie eine Funktionenfolge auf D haben, D ist irgendeine Teilmenge von K, also von R oder C,

und jetzt wissen, dass es eine reelle Folge Cn gibt, die erstens summierbar ist, das heißt die Reihe n gleich eins bis unendlich über Cn konvergiert.

Und zweitens, unsere Funktionenfolge lässt sich betragsmäßig durch diese Folge Cn kontrollieren, zumindest ab irgendeinem Index, also verfasst alle n aus n und für alle x in D. Dann sind diese, wenn man Fn jetzt als Funktionenreihe auffasst,

also man schaut die Funktionenreihe n gleich eins bis unendlich über Fn an, dann ist, liefert diese reelle Folge Cn eine konvergente Majorante für jedes x, das heißt schon mal die Reihe konvergiert für jedes x, aber sie konvergiert nicht nur punktweise,

sondern auch gleichmäßig, weil eben die Majorante eine gleichmäßig ist. Und dieses Kriterium, diesen Satz, Majorantenkriterium für Funktionenreihen, wollen wir jetzt verwenden, um unsere, sozusagen, Lieblingsfunktionen anzuschauen. Dann schauen wir uns Funktionen an, die durch Potenzreihen gegeben sind.

Und wir haben schon gesehen, Potenzreihen sind spezielle Funktionenreihen, nämlich Funktionenreihen, wo das Fn genau monom ist, in Form von der Form an mal x hoch n. Dann schauen wir uns eine Potenzreihe an, Summe n gleich 0 bis unendlich an x hoch n.

Und damit es nicht langweilig ist, mit Konvergenzradius R größer 0. Das ist eine spezielle Funktionenreihe mit Fn bis an mal x hoch n. Und da ist jetzt die Frage, innerhalb des Konvergenzradius konvergiert das Ding erst mal punktweise.

Wie sieht es mit gleichmäßiger Konvergenz aus? Und die Antwort ist, sie kriegen gleichmäßig Konvergenz auf jeden Fall, wenn sie nicht ganz bis zum Rand des Konvergenzbereichs gehen. Wenn wir uns ein abgeschlossenes Teilintervall des Konvergenzbereichs minus RR hernehmen,

dann kriegen sie auf diesem abgeschlossenen Teilintervall immer gleichmäßige Konvergenz. Also dann konvergiert die Potenzreihe gleichmäßig auf dem Intervall AB. Im Allgemeinen ist das auch alles, was man kriegen kann,

das man als Übungsaufgabe formuliert, sich zu überlegen, dass man auf dem ganzen Konvergenzintervall im Allgemeinen nicht gleichmäßige Konvergenz kriegt. Schauen Sie sich eine sehr einfache Potenzreihe an, nehmen Sie die geometrische Reihe. Die ist bekanntermaßen konvergent auf dem offenen Intervall von minus eins bis eins punktweise.

Aber wenn Sie dieses ganze Intervall nehmen, dann ist das Ding nicht gleichmäßig konvergent. Dadurch ist hier ein, das zu überprüfen. Also, das heißt, Sie kriegen die gleichmäßige Konvergenz im Allgemeinen wirklich nur,

wenn Sie von den Rändern des Konvergenzbereichs wegbleiben, wenn eben der Intervall abgeschlossen AB noch ganz in dem Konvergenzbereich drin liegt. So, woran liegt das jetzt? Wie gesagt, wir führen das zurück auf das in der letzten Vorlesung bewiesene Majorantenkriterium.

Unsere Potenzreihe ist eine Funktionenreihe mit der speziellen Wahl Fn ist An mal Xn. Das schauen wir uns jetzt an auf dem abgeschlossenen Intervall AB. Auf dem wollen wir uns jetzt um die Konvergenz kümmern. Und jetzt definieren wir uns einen neuen Radius rho.

Der ist das Maximum von den Beträgen von A und B. Das Entscheidende an diesem rho ist, dass wenn wir uns jetzt das symmetrische Intervall um Null, abgeschlossene Intervall, von minus rho bis rho anschauen,

dann ist, weil das Intervall AB ja ganz in Minus rr drin liegt, das hier auf jeden Fall auch Teilmenge vom Konvergenzbereich der Potenzreihe.

Und gleichzeitig enthält dieses Intervall von minus rho bis rho das Intervall von A bis B, weil wir ja die größtmöglichen Intervallgrenzen gewählt haben. So, das heißt, für alle x in AB ist der Betrag von x kleiner gleich rho.

Und rho ist strikt kleiner als r. Rho kann nicht r sein, weil das abgeschlossene Intervall mit Rand rho noch im offenen Intervall mit Rand r drin liegt. Also ist der Betrag x strikt kleiner als r. Das heißt, wir sind im Inneren des Konvergenzbereichs von unserer Potenzreihe.

Und wir kriegen als Abschätzung für alle x im Intervall AB, dass der Betrag von Fn von x, das ist der Betrag von An x hoch n,

kleiner gleich Betrag An mal Betrag x hoch n, genauer gesagt hier noch gleich. Und das ist jetzt aber kleiner gleich An mal rho hoch n. Und wenn wir jetzt noch einmal in das Majorantenkriterium von drüben schauen,

dann müssen wir Was finden. Wir müssen eine Folge in R finden, die summierbar ist. Und so, dass der Betrag Fn von x kleiner gleich diese Folge Cn ist. Hier steht eine schöne Folge Cn, die nicht mehr von x abhängt. Und was wir jetzt nur noch überprüfen müssen, ist, ob diese Folge tatsächlich summierbar ist, ob die Reihe über Cn konvergiert.

Jetzt kommt uns aber zu Hilfe, dass dieses rho im offenen Intervall von 0 bis r ist. Insbesondere ist es kleiner als r. Das heißt, die Reihe über n gleich 1 bis unendlich Cn ist die Reihe n gleich 1 bis unendlich Betrag An rho hoch n.

Und da das rho kleiner ist als der Konvergenzradius, haben wir hier eine konvergente Reihe stehen. Das folgt zum Beispiel aus dem Satz von Hadamard. So, das heißt, jetzt haben wir Cn gefunden, das Konvergent ist,

und das Fn gleichmäßig für alle x dominiert. Also folgt die Behauptung jetzt aus dem Majorantenkriterium von Potenzreihen. Das war Satz 2010.

So, da sieht man wieder, Potenzreihen haben ein relativ freundliches Konvergenzverhalten gegen den Rand. Kann es etwas entgleisen. Es ist nur punktweise Konvergenz, aber solange man sich ein kompaktes Intervall im Innern des Konvergenzbereiches sucht, Kreises sucht, hat man auf jeden Fall gleichmäßige Konvergenz.

So, ich will jetzt in der Vorlesung nicht auf das Hauptresultat dieser Vorlesung stürzen oder dieses Abschnitts über gleichmäßige und punktweise Konvergenz. Wir haben schon gesehen, gleichmäßige Konvergenz ist etwas stärkeres als punktweise Konvergenz.

Aber so den richtig ganz großen Vorteil haben wir noch nicht gesehen, aber dieser ganz große Vorteil der gleichmäßigen Konvergenz kommt jetzt. Das ist der Satz 2013, der sagt, gleichmäßige Konvergenz erhält Stetigkeit. Das ist etwas, was bei punktweiser Konvergenz schiefgeht. Also, genauer gesagt, sagt der Satz,

wenn wir eine, wir haben eine Funktionenfolge auf einer Teilmenge D von K, wie schon die ganze Zeit, also Fn sei eine Funktionenfolge auf D, beziehungsweise Reihe Fn eine Funktionenreihe auf D.

Und von der wissen wir, dass sie gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion F oder gegen eine Grenzfunktion S für die Summe gegen eine Grenzfunktion F konvergiert.

Und dann überträgt sich, falls vorhanden, Stetigkeit von den Fn auf das F. Also sind die Fn stetig in x0 aus D für alle n. Dann ist auch F stetig in x0.

Wenn jedes Fn stetig ist und sie gleichmäßige Konvergenz haben, ist F stetig oder kurz gesagt, gleichmäßige Grenzwerte von stetigen Funktionen sind stetig. Und das ist eine Eigenschaft, die bei punktweiser Konvergenz nicht gilt. Wenn Sie sich an die Beispiele zurück erinnern,

die wir am Anfang dieses Kapitels angeschaut haben, dann war da ein besonders einfaches dabei, an dem man das hier gut sieht. Und das waren die Monome. Also Fn von x ist x hoch n für x aus 0,1 und n aus n. Ich habe ein paar mal hingemalt.

Also 0,1. F von x gleich x für n gleich 1 ist die Gerade. Für n gleich 2 kriegen sie den Parabelast. Für n gleich 3 kriegen sie die steilere Parabel usw. Und wir hatten gesehen, dass dann die Grenzfunktion F gegeben ist durch 0, falls x nicht 1 ist,

und 1 für x gleich 1. Also die Grenzfunktion ist hier überall 0. Und an der Stelle 1 ist sie 1. Und jetzt sieht man, alle Fn sind stetige Funktionen, sind Monome, sind wunderbar stetige Funktionen. Aber die Grenzfunktion ist in Nahstelle 1 nicht stetig.

Insofern haben wir hier, können wir jetzt, wenn wir den Satz bewiesen haben, sofort sicher davon ausgehen, dass wir keine gleichmäßige Konvergenz haben. Gleichmäßige Konvergenz würde dafür sorgen, dass die Grenzfunktion auch stetig ist. Und das ist eine der zentralen, schönen Eigenschaften von gleichmäßiger Konvergenz.

Kommen wir gleich nochmal drauf zurück. So, warum ist das jetzt so? Warum erhält gleichmäßige Konvergenz Stetigkeit? Ich will den Beweis hier für Funktionen folgen, für Reihen. Entweder spielt man es darauf zurück, dass Funktionen Reihen auch nur Folgen sind,

oder man modifiziert die entsprechenden Argumente. Und der Beweis, dass hier Stetigkeit übertragen wird, ist ein sogenanntes 3-Epsilon-Argument. Warum, werden Sie gleich sehen. Wir wollen zeigen,

dass die Grenzfunktion f stetig ist. Wir verwenden dazu das Epsilon-Delta-Kriterium für Stetigkeit. Das geht hier am angenehmsten. Wir geben uns ein Epsilon größer Null vor. Und wenn wir das Epsilon-Delta-Kriterium richtig anwenden wollen, dann ist unser Ziel,

ein Delta größer Null zu finden, sodass für alle x in D, die näher als Delta an x0 sind, also mit Abstand x-x0 kleiner als Delta, schon gilt, dass der Abstand von f von x zu f von x0

kleiner wird als Epsilon. Das Epsilon-Delta-Kriterium für das Epsilon gibt es ein Delta, sodass alle x in D, die näher als Delta an x0 liegen, dass für alle diese x der Abstand von f von x0 von f von x zu f von x0 kleiner als Epsilon. Über dieses Epsilon-Delta-Kriterium wollen wir Stetigkeit von f nachweisen. Das heißt, unsere Aufgabe ist,

jetzt finde ich so ein Delta. Was haben wir an Zutaten, um das zu beweisen? Wir wissen, wir haben eine Funktion in Folge fn, die konvergiert gleichmäßig gegen f und die fn sind alle stetig. tun wir diese ganzen Informationen mal ausschlachten.

Wir wissen, die Funktion in Folge fn ist gleichmäßig konvergent gegen f. Das heißt was? Das heißt, es gibt ein Index m in n, ab dem

der Abstand von dem fm von x zu f von x kleiner wird als Epsilon. Für jede positive Zahl können Sie so ein m finden. Und wir suchen jetzt ein m, sodass dieser Abstand kleiner wird als Epsilon-Drittel. Und zwar

der Abstand von fm von y zu f von y wird kleiner als Epsilon-Drittel. Und zwar, weil wir gleichmäßige Konvergenz haben, können wir dieses m so wählen, dass der Abstand kleiner wird als Epsilon-Drittel gleichmäßig für alle Y in D. Das ist genau die gleichmäßige Konvergenz. Sie kriegen den Abstand von

fm zu f kleiner als jede positive Zahl, wenn Sie das m groß genug machen und das ganze gleichmäßig im Argument Y. So, damit haben wir die gleichmäßige Konvergenz ausgeschlachtet. Jetzt verwenden wir noch, nehmen wir uns diese Funktion fm her, für dieses große m, sodass der Abstand von fm zu f klein ist,

und nutzen aus, dass das eine stetige Funktion ist an der Stelle x0. Das war die Voraussetzung, alle fm sind an x0 stetig. Dann wollen wir zeigen, dass auch f stetig ist. Also, Epsilon-Delta-Charakterisierung der Stetigkeit. Wir haben einen Epsilon vorgegeben.

Zu diesem Epsilon gibt es also einen Delta größer 0, sodass für alle x in D mit Abstand von x zu x0 kleiner Delta gilt, dass der Abstand von fm von x

zu fm von x0 kleiner ist als Epsilon-Drittel. Auch hier nehmen wir Epsilon-Drittel. Das gilt für jede positive Zahl finden wir so einen Delta. Wir nehmen einen Delta, dass die Sache für Epsilon-Drittel sichert. So, damit haben wir jetzt einen Delta gefunden und die sich behauptet,

dieses Delta ist jetzt das, mit dem wir arbeiten können. Nehmen wir die beiden Punkte zusammen und nehmen wir uns ein D her, das jetzt eben weniger als dieses Delta von x0 wegliegt, also ein x aus D mit x-x0 Betrag kleiner als Delta.

So, wir wollen Stetigkeit von f haben. Oben steht noch unser Ziel. Wir haben jetzt also einen Delta gefunden. Wir nehmen uns x aus D her mit x-x0 kleiner Delta. Was wir uns dann anschauen müssen, ist der Abstand von f von x zu f von x0. Und von dem müssen wir jetzt sicherstellen, dass der kleiner als Epsilon ist.

Was wissen wir? Wir wissen was über den Abstand von f von x zu fm von x und von f von x0 zu fm von x0 nach diesem ersten Sternchenpunkt hier. Und wir wissen etwas über den Abstand von fm von x zu fm von x0. Das ist hier der Punktdoppelstern. Also müssen wir irgendwie diese Abstände in unser Kalkül mit einbeziehen.

Das macht man auf die übliche Weise durch Einfügen nachhafter Nullen. Wir wissen was über f von x minus fm von x. Also f von x minus fm von x. Dann korrigieren wir wieder durch fm von x. Wenn wir jetzt direkt f von x0 abziehen,

haben wir fm von x minus f von x0. Da wissen wir nichts drüber. Aber wir wissen etwas über fm von x minus fm von x0. Also rein damit. Wieder gut machen. Plus fm von x0. Und dann minus f von x0. Mit dem Term können wir jetzt was anfangen. Der Abstand von fm von x0 zu f von x0, den können wir mit dem einfachen Stern kontrollieren.

So, Dreiecksungleichung. Es gibt drei Terme. Einmal f von x minus fm von x. fm von x minus fm von x0. Plus Betrag fm von x0 minus f von x0.

So, und jetzt kann man sich alle diese Terme anschauen. Der erste Summand hier, da wenden wir Stern an. Wir wissen für alle y in D ist die Differenz von f von x zu fm von x kleiner als epsilon drittel. Insbesondere also für unser x hier. Also ist das hier kleiner als epsilon drittel.

Gleiches Argument hier hinten. Für alle y ist dieser Abstand kleiner als epsilon drittel. Also insbesondere auch für x0. Und der hier in der Mitte, der geht nach Doppelstern. fm von x minus fm von x0 ist kleiner als epsilon drittel. So hatten wir gerade unser Delta gewählt. Also der ist kleiner als epsilon drittel. Deswegen haben wir epsilon drittel plus epsilon drittel plus epsilon drittel.

Und das ist epsilon. Und damit haben wir unser Ziel erreicht. Und gezeigt, dass f an der Stelle x0 stetig ist. Warum ist das jetzt was schönes?

Oder was mit dem man viel anfangen kann? Erstens siehe das Beispiel von vorhin. Es ist wirklich was, was gleichmäßige Konvergenz liegt. Dass für beliebige Punktweise Konvergenz falsch ist. Nicht immer. Es gibt durchaus Funktionenfolgen, die punktweise konvergieren.

Die nicht gleichmäßig konvergieren. Und zufällig eine stetige Grenzfunktion haben. Das kann sein. Aber was eben nicht passieren kann ist, dass eine Funktionenfolge von stetigen Funktionen gleichmäßig konvergiert. Und dann die Grenzfunktion unstetig ist. Dass es nicht selbstverständlich ist, kann man sich auch noch anders überlegen.

Wir können das was wir gerade gezeigt haben noch mal ein bisschen anders hinschreiben. Stetigkeit kann man ja auf verschiedene Weisen sehen. Und eine Möglichkeit Stetigkeit zu interpretieren ist, dass man, Stetigkeit bedeutet, dass man Limiten, Grenzwerte in die Funktion reinziehen kann. Und wenn wir das

hier mal so hinschreiben, dann sagt der Satz folgendes, wenn alle fn stetig in x0 sind und fn konvergiert gleichmäßig auf d

gegen die Grenzfunktion f, dann gilt der Limits n gegen unendlich von fn von x ist gleich f von x. Das ist sozusagen die Punktweise Konvergenz der Funktionenfolge

fn von x. Und wenn ich jetzt hier noch einen Grenzwert x gegen x0 davor schalte, also auch hier einen Grenzwert x gegen x0, dann ist wegen der stetig, dann sagt der Satz 2013 dass dieses f stetig ist, das heißt was hier rauskommt ist f von x0.

f von x0 ist aber andererseits der Limits n gegen unendlich fn von x0. Weil fn konvergiert ja für jedes x gegen f. Und jetzt können Sie die Stetigkeit der fn ausnutzen, dann steht hier Limits n gegen unendlich von Limits x gegen x0

fn von x. Und wenn man sich die gleiche Kette jetzt nochmal anschaut, stellt man fest, der 2013 garantiert Ihnen mal wieder die Vertauschbarkeit von zwei Grenzprozessen. Und dann wurden wir uns schon ein paar Mal überlegt, zwei Grenzprozesse darf man im Allgemeinen nicht vertauschen. Siehe auch das Beispiel hier oben links,

aber für gleichmäßig Konvergenz geht es eben. Also so kann man sich den Satz auch merken, wenn Sie eine gleichmäßig konvergente Folge haben, Funktionenfolge haben, dann vertauschen der Stetigkeitsgrenzwert und der Funktionenfolgengrenzwert und man darf hier die Grenzprozesse vertauschen.

Insofern ist also dieses 2013 wieder ein Satz von der Sorte. In diesem Fall ist die das Vertauschen von Grenzprozessen erlaubt. Kann sich, dass das im Allgemeinen nicht geht, jetzt zum Beispiel wieder an dem Bild da oben klar machen, wenn Sie sich diese

Funktionenfolge x hoch n hernehmen und zuerst den Grenzwert x gegen x0, nehmen Sie als x0 jetzt natürlich 1, nehmen Sie x0 gleich 1, wenn Sie jetzt erst den Grenzwert x gegen 1 machen, für jedes fn, dann bekommen Sie 1 raus, wenn Sie dann den Grenzwert n gegen unendlich machen, Grenzwert von 1 ist 1, wenn Sie

zuerst den Grenzwert n gegen unendlich machen, für jedes x hoch n, dann kriegen Sie für alle x kleiner als 1 0 raus und wenn Sie jetzt den Grenzwert x gegen 1 machen, dann laufen Sie gegen 0. Also landet man einmal in der einen Reihenfolge, landet man hier unten,

in der anderen Reihenfolge landet man hier oben und die beiden Grenzwerte stimmen nicht überein. Auf die Weise wird der Satz sehr sehr oft verwendet, wenn Sie in den nächsten Jahren in allen möglichen Vorlösungen wieder hören,

die Funktionfolge ist gleichmäßig konvergent und die fn sind alle stetig, also ist auch das f stetig. Er wird aber auch sehr oft oder ist auch sehr gut nutzbar in der anderen Richtung, weil der Satz hier ist ein ja, liefert die auch eine notwendige Bedingung für gleichmäßige Konvergenz.

Wenn Sie also eine Funktionfolge kriegen und sollen entscheiden, ob die Punktweise und oder gleichmäßig konvergent ist, dann bestimmt man natürlich erstmal die punktweise Grenzfunktion und wenn alle fn stetig sind und die punktweise Grenzfunktion ist unstetig, dann wissen Sie schon mal, gleichmäßige Konvergenz können Sie von vn aus schließen.

Der in dem Sinne wird der Satz auch sehr gern verwendet. So, zum Abschluss dieses Kapitels über Funktionen folgen, will ich einen noch einen Satz zeigen, der thematisch

nur so halb hierhin passt. Es geht um Potenz rein, also auch um spezielle Funktionen rein. Ja, hat aber nicht viel jetzt mit gleichmäßiger oder punktweise Konvergenz zu tun. Aber trotzdem passt er hier ganz gut hin und ich will ihn auch den nicht vorenthalten, weil er so einen auf den ersten Blick auch etwas überraschendes

Ergebnis liefert. Der Satz 2015 sogenannte Identitätssatz für Potenzreihen. Und genau darum geht es um die Frage wenn ich zwei Potenzreihen habe, zwei Funktionen, die durch Potenzreihen gegeben sind, wann stimmen die über ein die Funktionen

und das Ergebnis ist auf den ersten Blick vielleicht verblüffend. Ich schreibe Ihnen den Satz mal hin. Also wir schauen uns zwei Potenzreihen an. Summe über a n x hoch n und eine Summe n gleich 0 bis unendlich über b n x hoch n. Seien

Potenzreihen die Konvergenzradien dürfen natürlich verschieden sein. R1 von der ersten, R2 von der zweiten. Aber damit wir was zu diskutieren haben, setzen wir voraus, die sind beide null. Dann gibt es ein gemeinsames Konvergenzgebiet von dem beiden. Setzen Sie groß

R als das Minimum von R1 und R2. Dann kriegen Sie auf dem Kreis mit Radius groß R beide Funktionen. Das haben wir einmal gegeben, eine Funktion f. So nennen wir mal den Reihenwert der Potenzreihe mit den Koeffizienten a n. Das macht Sinn für alle Betrag x

kleiner als R1. Und wir haben ja eine Funktion g. So nennen wir mal den Reihenwert der Funktionsreihe mit den Koeffizienten b n. Das macht Sinn für alle Betrag x kleiner als R2. Das heißt aber insbesondere für alle Betrag x mit kleiner als groß R

machen jetzt beide Funktionen Sinn. Jetzt sagt der Satz, der den Tester zur Potenzreihe sagt jetzt, wenn es eine Folge gibt, xk von Punkten in diesem Kreis mit Radius R, also in der Menge aller reellen oder komplexen Zahlen

mit Betrag kleiner als groß R. So das gilt erstens xk ist ungleich 0 für alle k in n. Zweitens, das ist g von xk.

Und drittens, f von xk ist gleich g von xk. Das heißt, die beiden Funktionen, die durch diese Potenzreihen gegeben sind, stimmen an diesen Punkten, an denen die von dieser Folge überein.

Dann bleibt nicht mehr viel Freiheit übrig. Dann stimmen die beiden Potenzreihen tatsächlich komplett überein. Also was dann für alle n in n0, also insbesondere, weil dann alle Koeffizienten gleich sind,

gilt dann f von x gleich g von x für alle x mit Betrag x kleiner als R. Warum könnte das überraschend sein? Naja, dieser Kreis mit Radius groß R, auf dem die beiden Funktionen

existieren, der hat relativ viele Punkte. Man auf jeden Fall überabzählbar viele. Und was Sie hier in den Voraussetzungen nur brauchen, ist eine einzige Folge von Punkten, auf denen die Funktionen übereinstimmen. Also es könnte zum Beispiel sein, Sie haben zwei, nehmen Sie zwei schöne Potenzreihen mit Konvergenzradius und endlich, dann existieren die auf ganz C. Und was der Satz

jetzt sagt, ist, wenn Sie zwei Funktionen auf C haben, die beide durch Potenzreihen gegeben sind, und die stimmen an allen Punkten der Form 1 durch n, für n aus n überein, dann stimmen sie auf ganz C überein. Das ist vielleicht erstmal nicht offensichtlich. Woran es liegt, dass es doch stimmt,

ist, dass so eine Potenzreihe im Wesentlichen nur abzählbar viele Freiheitsgrade hat. Man kann die Koeffizienten wählen, aber wenn man diese abzählbar vielen Koeffizienten gewählt hat, liegt die Potenzreihe fest. Und wenn heueristisch gesprochen, ist jede Bedingung von der Form f von xk gleich g von xk für eins und k

liegt eben einen Koeffizienten fest. Und wenn es abzählbar viele Bedingungen sind, liegen alle Koeffizienten fest. Das ist so die Idee, woran es liegt. Das ist natürlich noch kein Beweis, aber ich denke, wenn man diese Idee im Hinterkopf hat, sieht man genauer, was hier in dem Beweis passiert. Was man in dem Beweis macht,

ist eine Induktion. Wir beweisen diese Aussage hier per Induktion. Für alle n aus n ist a n gleich b. Das ist eine schöne Allaussage mit den natürlichen Zahlen. Also fangen wir mit dem Induktionsanfang an. Was müssen wir dazu tun? Dafür ist jetzt erstmal n gleich 0.

Also müssen wir zeigen a0 gleich b0. Was wir dazu brauchen, ist, dass unsere Funktionen f und g beide stetig in 0 sind. Das können Sie jetzt auf viele verschiedene Weisen begründen. Mittlerweile eine Möglichkeit ist, Sie ziehen Satz 18.6 aus dem Kapitel der Potenzreihen. Da hatten wir gezeigt,

Potenzreihen sind im inneren Konvergenzintervall stetige Funktionen. Sie können aber auch mit 2013 argumentieren, den wir heute in der Vorlesung gemacht haben und sagen, diese Potenzreihen sind auf abgeschlossenen Intervallen im inneren ihres Konvergenzbereichs gleichmäßig

konvergente Funktionen rein. Jede Partialsumme oder jedes fn ist eine stetige Funktion bei einer Potenzreihe. Also ist die Grenzfunktion stetig auf solchen abgeschlossenen Teilintervallen und die Null liegt natürlich im abgeschlossenen Teil dabei. Also egal wie Sie es argumentieren, was Sie rauskriegen ist, f und g

sind beide stetige Null. So, was heißt das? Das heißt, f an der Stelle Null, und das ist ja genau das a0, bei der Potenzreihe kriegen Sie immer, ist das a0 immer der Funktionswert an der Stelle 0, weil alle anderen Summanden x gleich 0 verschwinden. Also a0 ist f von 0

und dieses f von 0 ist jetzt wegen der Stetigkeit von f genau das gleiche wie der Grenzwert k gegen f von xk. Jetzt nehmen Sie Ihre Folge xk. xk ist eine Nullfolge. Die Definition der Stetigkeit über Folgen, dass für jede Folge xk gegen Null geht, muss der Grenzwert

f von 0 gehen. So, auf den f von xk stimmen aber g und k überein auf den xk. Das heißt, f von xk ist g von xk. Das ist unsere Voraussetzung. Hier, gleiche Argumentation,

g ist stetig, also steht hier g von 0 und g von 0 ist b0. Also haben wir Induktionsanfang gezeigt. a0 gleich b0. Induktionsvoraussetzung, wir sind schon bis zu einem gewissen N gekommen. Also wir haben gezeigt, es gelte aj gleich bj

für alle j von 1 und Ziel jetzt, im Induktionsschritt zu zeigen, es gilt a n plus 1 gleich b n plus 1. Also das Ziel hier ist jetzt zu zeigen, am plus 1 gleich b n plus 1.

Gut. Dann schauen wir mal, wie wir da hinkommen. Wir nehmen uns ein x her, im gemeinsamen Konvergenzbereich von den beiden

Potenzreihen, also mit Betrag x kleiner als r und schauen uns die Differenz von f und g an. Die Differenz von den beiden ist die Differenz der Summen, also Summe j gleich 0 bis unendlich aj x hoch j minus Summe j gleich 0 bis unendlich bj x hoch j.

Im Inneren des Konvergenzbereichs, wo ich jetzt gerade bin, das Betrag x ist kleiner als r, finde das jeweils absolut Konvergente rein, das heißt, damit kann man gefahrlos rechnen, wie man das gewohnt ist. Das heißt, wir können die beiden mal zu einer Summe zusammenfassen, das ist Summe j gleich 0 bis unendlich aj minus

bj mal x hoch j. Also diese Differenz ist auch durch eine Potenzreihe gegeben, und zwar mit Koeffizienten aj minus bj. Das ist insofern schön, weil wir über diese Koeffizienten ja schon eine ganze Menge wissen. Nach unserer Induktionsvoraussetzung sind die ersten Summanten in dieser Summe 0, weil aj

gleich bj ist, das heißt, diese Summe startet eigentlich gar nicht bei 0, sondern erst bei m plus 1. Also hier steht j gleich m plus 1 bis unendlich aj minus bj mal x hoch j. Das heißt jetzt aber,

wenn wir unsere xk einsetzen, also kriegen wir wenn das k so groß ist,

dass der Betrag von xk kleiner als r ist, dann das muss irgendwann passieren, weil xk eine Nullfolge ist, irgendwann sind also die Betrag xk immer kleiner als r. Dann kriegen wir für all diese xk, für den Abstand

von f von xk zu g von xk, zwei Dinge. Zum einen, das ist natürlich 0, weil wir auf den xk, f und g übereinstimmen. Und zum anderen, nach der Überlegung von gerade eben, ist das Ganze eine Reihe, die bei n gleich 1, n plus 1 anfängt, bis unendlich geht von aj minus bj

mal x hoch j, mal xk hoch j. Und jetzt ist eben entscheidend, dass diese Reihe erst bei m plus 1, j gleich m plus 1 anfängt, das heißt, jeder Summand in dieser Reihe hat mal mindestens ein xk hoch n plus 1 als Faktor. Wir können also diese Gleichung hier durch xk hoch m plus 1

dividieren. Man beachtet, dass hier die Voraussetzung xk ungleich 0 für alle k aus n dabei steht, die ist an der Stelle wichtig. Wir dividieren den xk hoch m plus 1 raus. Dann folgt daraus das 0 durch xk hoch m plus 1, also immer noch 0. Das selbe ist wie

Summe von j gleich n plus 1 bis unendlich, aj minus bj mal xk hoch j minus n minus 1. Jetzt machen wir einen Index-Shift. Ich will trotzdem bei 0 anfangen zu summieren, also das ist eine Summe

von j gleich 0 bis unendlich. Das muss ich dazu tun. Bei dem xk hinten gibt es dann einfach einen hoch j. Wenn Sie j gleich m plus 1 einsetzen, ist j minus n minus 1 genau 0. Und vorne müssen wir jetzt korrigieren. Wir müssen das j jeweils um n plus 1 raufschieben.

Also steht hier aj plus n plus 1 minus bj plus n plus 1. Diese Potenzreihe hier ist jetzt mal zu betrachten. Was hier schon steht, ist

für alle dass die ziemlich oft 0 ist, nämlich an allen Stellen xk ist die Potenzreihe 0. Trotzdem ist es natürlich eine schöne Potenzreihe. Man kann sie sich jetzt anschauen und mal den Konvergenzradius bestimmen.

Wenn man das macht, zum Beispiel nach der Formel von Hadamard, seien Sie ruhig großzügig im Abschätzen, wenn Sie feststellen, der ist mindestens größer. Also der nächste Schritt ist, man betrachtet diese Funktion phi. Also betrachte phi von x, gegeben durch diese Potenzreihe, die da gerade stand, summe j gleich 0

bis unendlich, an plus 1 plus j minus bn plus 1 plus j, multipliziert mit x hoch j. Ich behaupte, ich lade Sie ein, das mit Hadamard nachzurechnen, das Ding hat Konvergenzradius mindestens r.

Was nutzt uns das Ding jetzt? Wir haben jetzt wieder eine Potenzreihe gegeben. Das heißt, Sie wissen, die auf einem echten Intervall um die Null rum konvergiert, also gleich in Überlegung wie vorhin, diese Funktion phi ist jetzt wieder stetig in Null. Und was passiert?

Wenn wir da Null einsetzen, wir können den Funktionswert von phi an der Stelle Null leicht angeben, weil wir wissen, dass phi von xk gleich Null ist, für groß genug K, also für fast alle K.

Das war die Rechnung von gerade eben. Diese Potenzreihe phi ist auf diesen ganzen Punkten xk Null, zumindest für die K, die so groß sind, dass xk im Betrag kleiner als groß R ist. So, das heißt aber, wegen der Stetigkeit

von phi, dass das phi von Null gleich Limes K gegen unendlich, phi von xk, das ist die Stetigkeit

von phi, weil xk eine Nullfolge ist. Naja, phi von xk haben wir gerade gesehen, ist immer Null, also ist dieser Grenzwert Null. Andererseits setzen Sie oben die Potenzreihe x gleich Null ein, dann passiert das übliche, dass nämlich fast alle Summanden wegfallen, es bleibt nur der erste übrig. Und was ist

der erste Summand? Der ist a n plus eins, minus b n plus eins. Also, wenn a n plus eins minus b n plus eins Null ist, ist a n plus eins gleich b n plus eins und unsere Induktion ist am Ende. Auf diese Weise kriegt man also tatsächlich, dass alle Koeventienten der

Potenzreihe von f und von g einstimmen, damit sind sie komplett gleich, wenn auch f und g gleich. Ja, das war der Identitätssatz für Potenzreihen. Und damit will ich es jetzt für den Moment mal zum Thema gleichmäßige Konvergenz dabei bewenden lassen

und mich dem nächsten Kapitel zuwenden, das zu einem anderen Begriff übergeht. Aber die Grundidee dessen, was wir jetzt gerade gemacht hatten, sollten wir nicht vergessen, weil was jetzt passiert ist, ein ganz ähnlicher Effekt, wie gerade bei gleichmäßiger Konvergenz. Wir wollen uns mit sogenannte gleichmäßiger Stetigkeit beschäftigen.

Was war der Hauptpunkt bei der gleichmäßigen Konvergenz gegenüber der Punktweisen? Bei der Punktweisen-Konvergenz schaut man sich jedes x einzeln an und schaut, ob die Folge f n von x eine konvergente Folge ist. Dabei blendet man alles drumrum aus und bei der gleichmäßigen

Konvergenz verlangt man natürlich erstmal, dass es punktweise konvergiert, aber dann will man eben, dass diese Konvergenz gleichmäßig überall gleich gut ist. Und was ähnliches will ich jetzt mit der Stetigkeit machen. Stetigkeit ist in der bisherigen Definition auch eine rein punktweise Definition. Wir haben definiert

f heißt in x0 stetig. Ich schreibe es nochmal hin. Wir haben eine Funktion f von D nach K. Und da haben wir auch ganz punktweise definiert. Wir nennen das in x0 aus D stetig. Falls die übliche, zum Beispiel eine epsilon delta Definition gilt, für alle epsilon größer 0, gibt es ein delta

größer 0, größer 0, sodass für alle x in D gilt, wenn x minus x0 im Abstand kleiner als delta ist, folgt daraus, dass der Abstand von f von x zu f von x0

kleiner als epsilon ist. Haben wir vorhin schon gesehen, epsilon delta Kriterium der Stetigkeit. Ich habe jetzt hier eine Lücke gelassen, weil es sich lohnt zu überlegen, von was darf dann dieses delta abhängen. Und erstens ist natürlich klar,

dieses delta ist eine Funktion von epsilon. Je kleiner sie das epsilon machen, desto kleiner wird im Allgemeinen das delta werden. Aber es ist eben auch eine Funktion von diesem x0. Wenn Sie jetzt die Funktion auf D anschauen und Stetigkeit in jedem Punkt machen wollen, dann dürfen Sie für jedes x0 dieses delta anders wählen. Das tut man im Allgemeinen auch und das ist für Stetigkeit auch völlig okay, denn Stetigkeit ist eine punktweise

Eigenschaft. Wir haben erst definiert Stetig in einem Punkt und dann gesagt, wir nennen das Ding Stetig auf D, wenn es in jedem Punkt Stetig ist. Punktweise Formulierung. Und dass dieses delta im Allgemeinen auch von x0 abhängen wird und nicht unabhängig von x0 wählbar ist, kann man rechnerisch und grafisch machen.

Gucken wir uns erst mal grafisch an, nehmen Sie mal eine Funktion, die Sie, denke ich, alle gut kennen, nehmen Sie die Normalparabel, eine positive x, sieht ungefähr so aus, x, hier f von x gleich x² und wie sieht es jetzt hier mit dem epsilon und dem delta aus? Nehmen Sie sich irgendein x0

her, dann gibt es hier drüben ein f von x0, wenn Sie jetzt hier ein kleines epsilon vorgeben, epsilon ist dieses Stückchen, das ist das Intervall der Länge 2 epsilon um f von x0 herum, was können Sie dann als delta dazu wählen?

Naja, man muss dann, damit man mit dem f von x sicher in diesem Intervall landet, das delta hier wählen, so dass, das ist delta, dann kriegen Sie hier dieses Intervall, wenn Sie hier das x wählen, dann

liegt das f von x ganz sicher näher als epsilon an x0, an f von x0. So, nehmen Sie sich ein anderes x0, hier hinten, gleiches Spielchen, bauen wir das zugehörige f von x0, jetzt nehmen Sie hier das selbe epsilon,

also wieder diesen Bereich hier, müssen Sie jetzt hier delta wählen, damit Sie da drin bleiben, bis hier und bis hier, weil die Funktion steiler geworden ist, das heißt, das zulässige delta hier unten, das kann man jetzt schon

gar nicht mehr hinmalen, ist nur noch dieses kleine Stück. Wenn Sie sich jetzt vorstellen, Sie gehen mit dem x0 noch weiter hier raus, dann wird es zu jedem epsilon immer wieder so ein delta geben, aber dieses delta wird kleiner und kleiner, je größer Sie das x0 machen, anschaulich, weil der Funktionsgraf immer steiler wird, dadurch wird

Ihre Fehlertoleranz unten in dem delta eben weniger und weniger. Das ist ein sogenanntes Beispiel, also die Funktion ist natürlich stetig, aber man sieht, man kann dieses delta nicht unbedingt immer gleich groß wählen, für alle epsilon,

man kann das auch rechnerisch machen, also das Beispiel von gerade eben, nehmen Sie auf den positiven reellen Zahlen die Funktion f von x gleich x², dann ist die natürlich stetig auf D, für ein freundliches, schönes Polynom, aber wenn Sie sich einen epsilon größer 0

vorgeben, dann muss man die Frage, dann wäre die Frage jetzt von oben, ist das zugehörige delta, dass es ja gibt, weil das Ding ist stetig, ist delta unabhängig von x0 größer 0 wählbar, das Bild

gibt uns die Intuition nein, und die Antwort nein ist auch richtig, hier kann man das rechnerisch sehen, nehmen Sie x als x0 plus delta halbe, wenn denn,

wir gehen sozusagen davon aus, wir könnten das delta von x0 unabhängig wählen, dann nehmen Sie sich für jedes x0, den Punkt x0 plus delta halbe, als x, dann ist dieses x auf jeden Fall ein Punkt, der von dem x0 nicht allzu weit weg ist, die Differenz hat Betrag delta halbe,

also die Differenz ist auf jeden Fall kleiner als delta, also wenn es so ein delta, so ein gemeinsames delta für alle x0 gäbe, dann wäre dieser Punkt x, gleich x0 plus delta halbe, immer einer, der in der delta Umgebung um x0 liegt, der weniger als delta von x0 weg ist, schauen wir uns an, was passiert mit dem f von x und dem f von x0,

das f von x und das f von x0 im Abstand, gut, einsetzen, f ist quadriern, also das ist x² minus x0², das ist dritte binomische Formel x plus x0 mal x minus x0, jeweils im Betrag,

x plus x0 ist x0 plus x0 plus delta halbe, also 2x0 plus delta halbe, und x minus x0 im Betrag ist genau delta halbe, also was hier rauskommt ist delta mal x0 plus delta

quadrat viertel, wenn wir jetzt hoffen, was wir hier wollen ist, dass für dieses delta für alle x0 gleichzeitig funktioniert bei der Stetigkeit, das heißt dieser Ausdruck hier, der soll bitte schön immer kleiner als epsilon sein,

was kriegen wir raus, wenn epsilon größer ist als delta x0 plus delta quadrat viertel, zunächst mal ist der Ausdruck hier auf jeden Fall größer als delta x0, weil delta quadrat viertel positiv ist, das heißt wir kriegen raus, delta x0 ist kleiner als epsilon,

oder umgestellt, delta muss dann kleiner sein als epsilon durch x0, ja und jetzt sieht man genau das, was oben passiert, wenn das x0 jetzt immer größer wird, wenn Sie jetzt x0 gegen unendlich jagen, dann wird dieser Ausdruck gegen 0, das heißt Sie müssen, je größer Sie das x0 wählen, umso kleiner müssen Sie das delta wählen,

so ein Universaldelta für alle x0 kann es nicht gehen, also ist die Antwort oben tatsächlich nein, und solches Universaldelta wird es nicht geben, aber wenn es das gibt, wäre die Sache ja eigentlich schöner,

also erfindet man auch hier den Begriff, den sogenannten Begriff der gleichmäßigen Stetigkeit, eine Funktion für die das geht, nennen wir eben gleichmäßig stetig. So, was heißt jetzt gleichmäßig stetig, gleichmäßig stetig bedeutet, wenn wir wieder hierher zurückgehen, in die Definition der Stetigkeit, wir wollen, dass das delta

nicht mehr von x0 abhängt, also wir wollen diese Abhängigkeit hier loswerden, das heißt, es muss für alle epsilon größer 0 und für alle x0, hier kommt ein zusätzlicher Quantor rein, der diese Existenz des deltas für alle x0 fordert,

und der Rest und das delta darf dann eben nur noch vom epsilon abhängen, schreiben wir uns das mal als eine Definition hin, das ist die Definition 21,2,

also wir haben eine Funktion wieder auf einem Definitionsbereich, Teilmenge von k, f geht von d nach k, und wir sagen, diese Funktion ist gleichmäßig stetig auf d,

falls, gilt, dass es für jedes epsilon größer 0 ein delta größer 0 gibt, und dieses delta, schauen wir es nochmal explizit hin, dieses delta ist jetzt eben nur noch ein delta von epsilon größer 0, sodass

egal welches x und welches x0 aus d sie wählen, gilt, dass wenn der Abstand von x zu x0 kleiner ist als dieses Universaldelta, dieses delta, das es für alle x0 tut, dann ist der Abstand von f von x zu f von x0

kleiner als epsilon. Gleichmäßige Stetigkeit, wenn man es mit dem vorne vergleicht, ist das einzige was passiert, sozusagen, dass der Alquantor für alle x0 aus d von vorne nach hinten gewandert ist, der steht jetzt hier, und wir haben ein delta, das für alle x0 tut. Vorher war es für jedes x0

ein delta, jetzt gibt es ein delta, das für alle x0 tut. In gewisser Weise ist diese, wenn man sich die Bedingungen jetzt anschaut, in x und x0 symmetrisch geworden, vorher war das x0 ein ausgezeichneter außen ausgezeichneter Punkt, man hat die Stetigkeit in x0 untersucht,

x0 war vorgegeben, und dann hat man das epsilon und delta gesucht, so das für alle x. Jetzt ist das Ganze, ja, jetzt sind die Rollen von x und x0 gleich, deswegen ist es eigentlich von der Bezeichnungswahl nicht üblich hier von x und x0 zu sprechen, weil das ja so aussieht, als wäre der eine irgendwie was anderes, also von einer anderen

Art als der andere, deswegen schreibt man hier üblicherweise statt x0 einfach y, also gleichmäßige Stetigkeit heißt, es gibt für alle epsilon ein delta, so dass für egal welche x und y aus D, die näher als delta auseinanderliegen, der Abstand der zugehörigen Bilder f von x und f von y strick kleiner als epsilon ist.

So, das ist der Begriff der gleichmäßigen Stetigkeit, noch eine Bemerkung dazu, auch ganz in Parallelität zur gleichmäßigen Konvergenz, bei gleichmäßiger Konvergenz haben wir festgestellt,

dass die Frage, ob eine Funktion gleichmäßig konvergent ist, hängt sehr stark von dem Intervall, von der Menge ab, auf der man diese Funktion betrachtet, und wenn sie eine Funktionenfolge haben, auf einem Intervall gleichmäßig konvergent ist, und sie nehmen jetzt ein größeres Intervall, dann kann

diese gleichmäßige Konvergenz problemlos verloren. Das heißt, gleichmäßige Konvergenz ist immer eine Eigenschaft von der Funktionenfolge auf der Menge und hängt stark von der Menge ab, und das gleiche passiert mit der gleichmäßigen Stetigkeit auch. Also, eine Funktion f ist immer gleichmäßig

stetig auf d. Gewöhnen Sie sich's einfach an, wenn Sie von gleichmäßiger Stetigkeit reden, gleich dazu zu sagen, auf welcher Menge gemeint ist. Eine Aussage f ist gleichmäßig stetig, wird man zwar oft lesen, sollte aber bei Ihnen immer den Reflex auslösen, sofort nachzufragen, worauf. Also, wann immer Sie irgendjemanden

aus Ihrer Lerngruppe erwischen, dass er sagt, die Funktion ist gleichmäßig stetig, dann machen Sie sofort reflexartig die Frage, auf welcher Menge. Gewöhnen Sie sich an, immer zu sagen, gleichmäßig stetig auf einer Menge. Also, das ist der eine Punkt, der ist in der Bemerkung da, der Punkt b.

Also, der Begriff hängt stark von d ab, geben Sie das immer dazu an. Das andere ist relativ banal, also wie bei gleichmäßiger und punktweiser Konvergenz auch, aus gleichmäßiger Konvergenz folgt punktweiser Konvergenz, aus gleichmäßiger Stetigkeit

folgt Stetigkeit. Also, eine gleichmäßig-stetige Funktion auf d ist natürlich insbesondere stetig, wenn das nicht so wäre, wäre auch der Begriff total bescheuert. Aber, man sieht's auch an der Definition, wenn man natürlich für jedes Epsilon ein Delta hat, dass es für alle x0 tut, dann findet man auch für jedes x0 ein individuelles Delta,

nehmen Sie halt immer das gleiche. Was wir auch schon gesehen haben, ist Vorsicht, Umkehrung geht nicht. Es gibt durchaus stetige Funktionen, die nicht gleichmäßig stetig sind, denken Sie an x² auf den positiven reellen Zahlen, haben wir vorhin gesehen. Es gibt einen sehr, sehr wichtigen Spezialfall,

in dem Stetigkeit und gleichmäßige Stetigkeit tatsächlich zusammenfällt. Und zwar ist das, wenn Sie eine Funktion haben, die auf einer kompakten Menge stetig ist. Kompakte Menge haben wir schon ein paar Mal und wir haben immer

positive Dinge mitgebracht. Kompaktheit ist ein sehr schöner Begriff und auch hier hilft Kompaktheit eine ganze Menge. Also, wenn Sie eine kompakte Teilmenge von k haben, denken Sie an abgeschlossenes beschränktes Intervall in r und eine stetige Funktion auf dem Kompaktum, ich schreibe das wieder so kurz, f ist in c von k,

dann ist f nicht nur stetig, sondern sogar gleichmäßig stetig auf k. Kompakte Menge macht also aus der lokalen Eigenschaft eine globale Eigenschaft, aus der lokalen Stetigkeit kriegen Sie sofort die gleichmäßige Stetigkeit, aber wie gesagt, nur auf kompakten Mengen. Man sieht das,

wenn Sie ans Beispiel von vorhin denken, dass die gleichmäßige Stetigkeit der Funktion x² ging schief, wenn Sie das x0 immer größer, größer, größer machen, dabei verlassen Sie natürlich irgendwann jede kompakte Menge. So, das wollen wir beweisen und für den Beweis muss man am Anfang erstmal

eine Grundprüfung in elementarer Logik machen, weil der Beweis geht per Widerspruch. Also, wir nehmen an, unser f wäre nicht gleichmäßig stetig. So, das heißt, wir müssen die Definition von gleichmäßig stetig hier oben negieren. Und da sehen Sie schon, da stehen ganz, ganz viele Quantoren.

Wenn man das negieren will, ist die beste Methode gar nicht darüber nachzudenken, was da jetzt inhaltlich genau steht, sondern ganz stumpfsinnig Quantoren, also so richtig mechanisch Quantoren zu negieren. Also, was passiert beim Negieren? Eine Aussage, jeder Allquantor wird ein Existenzquantor, jeder Existenzquantor wird ein Allquantor

und die Aussage am Ende müssen wir negieren. Also, aus dem für alle Epsilon größer Null wird ein es existiert ein Epsilon größer Null. Um klar zu machen, dass es hier um eine Existenzsache geht, schreibe ich jetzt mal, es gibt ein Epsilon Null größer Null. Aus dem es existiert ein Delta wird so das

für alle Delta. Aus dem für alle X, Y, aus D werden jeweils Existenzquantoren. Also, es gibt ein X und es gibt ein Y. Die Wahl dieses X hängt natürlich von dem Delta ab. Ich habe für jedes, was da jetzt steht, für jedes Delta gibt es ein X. Also, ein X von Delta aus der kompakten

Menge K und es gibt ein Y. Ebenso ein Y von Delta aus der kompakten Menge K. Sodass zwei Dinge gelten. Erstens, der Abstand von X zu Y ist kleiner als Delta. Und jetzt, Negation der

Schlussaussage, der Abstand von F von X zu F von Y, der ist größer gleich Epsilon. Negation von dem Ding geschafft, alle Quantoren umgedreht und hinten die Aussage negiert. Eine Implikation ist falsch, wenn das vorne war und das hinten falsch ist. Deswegen

kriegen wir die Aussage Betrag X minus Y kleiner als Delta und der Abstand von F von X zu F von Y bleibt aber immer größer gleich Epsilon. So, damit wissen wir jetzt mal, was es heißt, dass F nicht gleichmäßig stetig ist. Und aus diesem Bausatz wollen wir jetzt losarbeiten und zu einem Widerspruch

kommen. Und dabei müssen wir jetzt verwenden, erstens, dass F stetig ist und zweitens, dass K kompakt ist. Das erste, was ich machen will, ist den Allquantor übers Delta nutzen. Wir wissen, also wir haben jetzt unsere Epsilon Null und wir wissen jetzt, für alle

Delta gilt irgendwas. Ich will gar nicht alle Delta angucken. Ich nehme ganz spezielle Delta. Ich nehme Delta, die von der Form 1 durch N für N in N sind. Was heißt das dann, was da oben steht? Das heißt, also es gibt eine Epsilon Null größer gleich Null, eine größere Null.

Aus dem Allquantor für alle Delta wird dann ein für alle N aus N. Das X ist ein X von Delta, wird jetzt zu einem X N. Das Y wird zu einem Y N. Also es existieren X N und Y N in K, sodass die beiden Aussagen da gelten mit Delta als Null.

1 durch n, also so dass xn minus yn im Betrag kleiner als 1 durch n ist. Und zweitens der Abstand von f von xn zu f von yn trotzdem immer größer gleich epsilon 0 bleibt. So, das ist im Prinzip das gleiche wie vorher, da steht nur eben für den Spezialfall,

dass delta von der Form 1 durch n ist. So, was wir dadurch gewonnen haben, ist, wir haben jetzt hier zwei Folgen gegeben. Also wir haben das epsilon 0, das ist wichtig, und wir haben zwei Folgen gegeben in k. Und jetzt kann man gut nutzen, dass das k kompakt ist.

Wenn Sie eine Folge in einer kompakten Menge haben, dann hat das immer schöne, dann hat die schöne Eigenschaften. Also nehmen Sie diese Folge xn her. Das ist eine Folge in k. Jetzt können Sie den Bolzano-Weierstrass ziehen. k ist als kompakte Menge auf jeden Fall beschränkt.

Also gibt es eine konvergente Teilfolge von dieser Folge. Also in k hat diese Folge xn eine konvergente Teilfolge. Die nennen wir wie üblich xnk. Das ist konvergent, also können wir hier den Grenzwert anschauen. Den nenne ich mal x0. Also ist der Limes n

k gegen unendlich von dieser Teilfolge xnk. Wichtig fürs weitere ist, auch dieses x0 ist ein Element in k. Das liegt jetzt daran, dass k kompakt und damit abgeschlossen ist. k ist eine abgeschlossene Menge. xnk ist für jedes k in k. Durch den Grenzwert kommen wir

aus k nicht raus. Also liegt auch der Grenzwert x0 in k. So, jetzt haben wir also aus der Kompaktheit von k gefolgert, wo unser xn da oben hat irgendeine konvergente Teilfolge mit einem Grenzwert x0, der in k liegt. So, jetzt schauen wir uns mal das zugehörige ynk. Also für alle k in n, gucken wir uns mal das ynk an. Wenn ich behaupte, dieses

ynk muss dann auch gegen x0 konvergieren. Warum? Das liegt im Wesentlichen daran, dass der Abstand von xnk zu ynk klein wird. Schreiben Sie das xynk mal als xnk plus

ynk minus xnk, wenn man nur eine nahe Hafte 0 addiert. Diese Differenz hier, die geht gegen 0, wegen dieser Gleichung hier oben. Das hier wissen wir konvergiert gegen x0,

Grenzwertsätze, das Ganze konvergiert gegen x0. Also nicht nur das xnk konvergiert gegen x0, sondern auch das ynk konvergiert gegen x0. Damit haben wir jetzt die Kompaktheit von k ausgenutzt. Jetzt kommt der Auftritt der Stetigkeit von f. Wir wissen, f ist

stetig in x0, f ist stetig auf dem ganzen k, also insbesondere stetig in x0. Das bedeutet, dass der Grenzwert für k gegen unendlich von der Differenz von xnk minus

f von ynk, da können wir erstmal f von x0 reinschmuggeln. Also das ist kleiner Gleich, kleiner Gleich, dem Grenzwert k gegen unendlich von Betrag f von x von nk minus

f von x0 plus Betrag f von x0 minus f von ynk. Das ist nur eine nahe Hafte 0 ergänzt und dann 3x Umgleichung gemacht. Aber der Vorteil von dieser 3x Umgleichung ist, dass

wir über diese beiden Beträge jetzt was wissen. Wir wissen nämlich xnk konvergiert gegen x0, ynk konvergiert gegen x0, f ist stetig, das heißt f von xnk konvergiert

gegen f von x0, f von ynk konvergiert gegen f von x0, also konvergieren diese beiden Ausdrücke hier gegen 0 für k gegen unendlich und der Glimis hier an der Stelle ist 0. Und warum ist das gut oder wie man es immer auch sieht, schlecht, zumindest schlecht

für unsere Annahme. Unsere Annahme war für alle diese xn und für alle yn ist der Abstand von f von xn und f von yn immer größer als y0. Naja, wenn er größer als 0 ist, kann er schlecht gegen 0 konvergieren. Also das ist ein Widerspruch zu der Eigenschaft

Doppelstern, die wir oben aus unserer Annahme gezogen haben. Damit kann die Annahme nicht stimmen und wir haben gezeigt, dass f gleichmäßig stetig ist. Wenn man sich den Weiß anguckt, sieht man auch deutlich, dass hier die Kompaktheit von dem k ganz massiv eingeht,

ohne die Kompaktheit von dem k keine konvergente Teilfolge, ohne konvergente Teilfolge, da ist der ganze Weiß im Eimer. Und das ist auch, wie man an dem Beispiel am Anfang des Kapitels sieht, im Allgemeinen Falschstetigkeit und gleichmäßig Stetigkeit ist etwas Schwächeres als gleichmäßige Stetigkeit. Nur auf einem

Kompaktum fallen die beiden Begriffe zusammen. So zum Abschluss noch ein Stetigkeitsbegriff. Es gibt Unmengenstetigkeitsbegriffe. Wir haben bisher die Stetigkeit und die gleichmäßige Stetigkeit gesehen. Ich will Ihnen noch einen dritten jetzt zeigen, sogenannte Lipschitz-Stetigkeit. Also Definition 21.5,

wieder eine Funktion auf einem Definitionsbereich in K, in R oder C, ganz egal, und f auf D definiert. Und dann nennen wir die Lipschitz-Stetigkeit,

falls das folgende gilt. Es gibt eine Konstante L größer gleich 0, sodass der Abstand von f von x zu f von y immer kleiner gleich ist L mal der

Abstand von x zu y. Und das muss gelten für alle x und y in D. Was hat so eine komische Abschätzung mit Stetigkeit zu tun? Warum nennt man das stetig? Es ist wieder gut, sich daran zu erinnern, dass die sozusagen die

wesentliche Bedeutung von Stetigkeit war. Wenn ich an der Variabel nur wenig wackele, dann wackeln auch die Funktionswerte nur ein kleines bisschen. Das heißt, wenn ich ein x wähle, das sehr nah bei y liegt, also wenn der Ausdruck hier auf der rechten Seite klein ist, dann darf auch der Ausdruck auf der linken Seite nicht allzu groß werden. Und

Lipschitz-Stetigkeit liefert genau das. Lipschitz-Stetigkeit sagt, die Funktion L vergrößert Abstände allerhöchstens um einen festen Wert L. Also f macht, wenn es L5 ist, dann wird der Abstand zwischen zwei Punkten durch die Anwendung von f allerhöchstens verfünffacht. In dem

Sinne ist Lipschitz-Stetigkeit sogar etwas schöneres als Stetigkeit. Stetigkeit heißt nur, es gibt da einen Zusammenhang. Lipschitz-Stetigkeit sagt sogar, wie der Zusammenhang ist. Es sagt, wenn x und y so und so weit auseinanderliegen, dann darf f von x von f von y alle höchstens so und so weit

wegliegen. Und das macht irgendwie plausibel, dass wahrscheinlich aus Stetigkeit, aus Lipschitz-Stetigkeit Stetigkeit folgt. Es gilt sogar mehr, aus Lipschitz-Stetigkeit folgt sogar gleichmäßige Stetigkeit. Dadurch, dass man den Zusammenhang über das L so genau kennt, kann man feststellen,

dass man ein gleichmäßiges Delta für jedes Epsilon wählen kann. Und das geht kurz und schmerzlos. Also Lipschitz-Stetigkeit impliziert gleichmäßig stetig. Warum ist das so? Also geben Sie sich ein Lipschitz-Stetiges f vor und

ein Epsilon größer 0. Und dann ist die Aufgabe, finde ein Universal-Delta, ein Delta, das nur von Epsilon abhängt, von der Funktion f natürlich,

so dass der Abstand von f von x zu f von y kleiner wird als Epsilon, wenn x näher als Delta an y. So, und ich behaupte, wenn Sie Ihr Delta im Intervall von 0 bis Epsilon durch L nehmen, nehmen Sie irgendwas zwischen 0

und Epsilon durch L. Was ist ich? Epsilon durch 2L zum Beispiel. Dann kriegen Sie für den Abstand von f von x zu f von y, wenn Sie sich ein x hernehmen, wenn Sie sich x und y hernehmen, die weniger als dieses Delta

auseinander liegen, dann ist der Abstand von f von x zu f von y nach der Lipschitz-Stetigkeit kleiner als L mal der Abstand von x zu y. Der Abstand von x zu y soll kleiner sein als Delta, also das ist kleiner als L mal Delta. Und Delta ist kleiner als Epsilon durch L, also das ist kleiner

als L mal Epsilon durch L. Und das ist Epsilon. Und Sie sehen, für x und y der Abstand kleiner als Delta ist der Abstand von f von x zu f von y kleiner als Epsilon. Und das Delta hängt nicht von x und y ab, also haben wir gleichmäßige Stetigkeiten. Man beachtet, das Delta ist unabhängig von x und y.

In dem Sinne ist Lipschitz-Stetig impliziert gleichmäßig stetig, kommt natürlich sofort die Frage danach, wie sieht es umgekehrt aus? Also ist jede gleichmäßig stetige Funktion Lipschitz-Stetig und die Antwort ist nein. Und das einfachste typische Beispiel ist die Wurzelfunktion. Nehmen

Sie sich das Abschlussintervall von 0 bis 1 und die Funktion f von x gleich Wurzel x. Dann haben wir schon gesehen, dass dieses f stetig ist.

Jetzt dürfen Sie fragen, wann haben wir gesehen, dass die Wurzel stetig ist? Und dann an der Stelle, wo Sie es überhaupt nicht suchen würden, das finden Sie nämlich im Kapitel 7, dann ist der Einwand berechtigt. Damals wussten wir noch überhaupt nie, was Stetigkeit ist. Das ist schon wahr. Kapitel 7, da geht es um Folgengrenzwerte. Trotzdem behaupte ich, wenn Sie sich den Satz 7.1

noch mal anschauen, dann wird Ihnen der genau das liefern, dass die Wurzel stetig ist. Dort haben wir nämlich gezeigt, wenn die Folge an gegen a geht, dann konvergiert die Folge Wurzel an gegen Wurzel a und das ist nichts anderes als aus heutiger Sicht Stetigkeit der Wurzelfunktion. So, das

ist eine stetige Funktion, aber Achtung, das d hier ist eine kompakte Menge. Das heißt, wir kriegen gleichmäßige Stetigkeit umsonst dazu geschenkt. Die ist sogar gleichmäßig stetig, weil das Intervall 0,1 ein kompaktes ist. Wir haben ja gerade gesehen, in 21.4, dass Stetigkeit auf kompakten Mengen

gleichmäßige Stetigkeit ist. Nun, jetzt behaupte ich, diese Funktion ist aber nicht liebststetig. Wenn wir mal annehmen, das Ding wäre liebststetig, dann landen wir auf der Nase. Also liebststetig würde heißen, es gibt ein L größer

als Null, so dass der Abstand von f von x zu f von y, also das L mal der Abstand von x zu y. Das wäre die Stetigkeit für diese Funktion und das muss gelten für alle x und y in 0,1. Weil, da wir es ja nur kaputt machen

wollen, reicht uns ein Spielverderbergegenbeispiel, nehmen sie y gleich 0, dann kriegen sie, dann ist die obige Gleichung, schnurrt dann zusammen zu Wurzel x ist kleiner gleich L mal x für alle x aus 0,1. Für x

gleich 0 mag das zwar noch stimmen, aber wenn sie mal 0 rausnehmen, dann dürfen sie hier eine Wurzel x rausdividieren und kriegen L ist größer gleich 1 durch Wurzel x für alle x aus dem Intervall von 0 bis 1

und dieses L müssen sie mir erst mal zeigen. 1 durch Wurzel x haut gegen und endlich ab für x gegen 0, da ist für so ein L kein Platz mehr, also widersprochen, man müsste dieses L beliebig groß wählen, man kann so ein L nicht wählen. Was passiert hier? Sieht man gut, wenn man sich die Wurzelfunktion mal

hinmalt. Ich denke sie kennen sie alle, sieht so aus. Warum ist das Ding nicht Lipschitz-stetig? Lipschitz-Stetigkeit bedeutet was? Lipschitz-Stetigkeit bedeutet, wenn ich mir einen Abstand hier unten

vorgebe, dann ist der Abstand der entsprechenden Bilder höchstens L mal so groß. In dem Fall hier die beiden wären gut, da ist der Abstand von f von x zu f von y ungefähr so groß wie der von x zu y. Aber wenn sie mit dem x und dem y hier nahe an 0 rankommen und die x und y sehr nah beieinander

wählen, dann ist dadurch, dass die Funktion hier am Anfang so wahnsinnig steil ist, dass bei sehr nahe x und y trotzdem der Abstand von f von x zu f von y relativ weit und deswegen ist das Ding nicht Lipschitz-stetig. Das Problem tritt ja auch auf hier oben, wenn sie mit dem x gegen 0 gehen. Das ist eine sehr

gute Anschauung für Lipschitz-Stetigkeit. So als Faustregel kann man im Kopf behalten. Lipschitz-stetig bedeutet, das Ding ist stetig und wenn man es als Graf hinmalt, dann bleibt die Steigung immer beschreckt. Der Graf wird nicht beliebig steil, so wie hier bei der Wurzel. Sobald sie hier so eine Stelle haben, an der der

Graf beliebig steil wird, haben sie keine Lipschitz-Stetigkeit mehr, weil man dann immer so einen Effekt kriegt wie hier. Gut, das ist jetzt auch das, was zum Thema gleichmäßige Stetigkeit für den Moment zu sagen ist. Wir werden am Anfang der ANA 2 das Thema nochmal aufgreifen. Ich will jetzt den

Themenblock Stetigkeit verlassen, auch wenn noch nicht das Thema. Das Thema Stetigkeit ist immer im Hintergrund und wird uns immer wieder beschäftigen. Aber wir werden dann in der nächsten Vorlesung uns einer nächsten Stufe, nämlich der Differenzierbarkeit von Funktionen, widmen also der

Frage, was mit ableiten und so weiter ist. Aber das dann nächstes Mal und erst mal vielen Dank für die Aufmerksamkeit.