Wir betrachten zwei Mengen - eine Definitionsmenge und eine Wertemenge. Wir ordnen jedem Element der Definitionsmenge genau ein Element der Wertemenge zu. Eine solche Zuordnung nennen wir "Funktion". Wir haben quasi eine Maschine, die Elemente auf dem

Definitionsbereich entnimmt und sie in ein Element aus dem Wertebereich umwandelt. In unserem Beispiel sind die Elemente Zahlen. Unsere Maschine entnimmt eine Zahl aus dem Definitionsbereich, verdoppelt diese, addiert 3 hinzu

und erhält eine Zahl des Wertebereichs. Aus 0,5 wird 4; aus 5 wird 13; usw. Die Zahl aus dem Definitionsbereich heißt auch Argument x, die Funktion verwandelt dieses Argument in einen Funktionswert; diesen Funktionswert nennen wir y oder f(x) (f von

x) Die Mengen müssen nicht unbedingt aus Zahlen bestehen; wir können auch andere Objekte zuordnen. Wichtig ist, dass wir bei einer Funktion eindeutig zuordnen. Zu jedem Element der grünen Menge gehört genau ein Element der roten Menge. Die umgekehrte Aussage muss nicht zutreffen: es kann durchaus sein, dass ein Element

der roten Menge mehreren Elementen der grünen Menge zugeordnet ist. Die Umkehrung der hier skizzierten Funktion ist also keine Funktion. Wenn wir Zahlen zuordnen, können wir die Funktion sehr schön graphisch darstellen: Wir zeichnen das Argument auf eine x-Achse und den Funktionswert auf eine y-Achse ("Graph der Funktion")

In diesem Graphen wird dem Argument x der Funktionswert (x²-3) zugeordnet: Zu x=0 gehört y=(-3) Zu x=2 gehört y=1. Zu x=1 gehört y=(-2). Jeder Zuordnung entspricht ein Punkt im Diagramm; alle möglichen Zuordnungen

ergeben eine Linie im Diagramm. Hier sehen Sie ein weiteres Beispiel eines Graphen: Der Definitionsbereich wird auf der x-Achse eingetragen; der Wertebereich

wird auf der y-Achse eingetragen. Jeder Punkt entspricht einer Zuordnung; alle Zuordnungen liegen auf einer Linie. Wir können beispielsweise auch die Anfangsgeschwindigkeit und den Bremsweg eines Fahrzeugs

gegeneinander auftragen und erhalten folgende Darstellung. Offensichtlich folgt die Zuordnung einer Funktion, die wir mathematisch als quadratischen Zusammenhang formulieren können: Bremsweg s gleich Geschwindigkeit v zum Quadrat durch zweimal Beschleunigung a. Die Beschleunigung ist hier der Geschwindigkeit entgegen gerichtet - es

handelt sich also um eine Verzögerung. Die Verzögerung hängt von der Reibung zwischen Fahrzeug und Untergrund ab und kann zwischen 0,5 und 8 m²/s variieren. Wir wollen die Funktion y=Wurzel(x) graphisch darstellen. Unser Definitionsbereich sind die positiven Zahlen.

Dem Argument 1 ordnen wir Wurzel(1) zu; dem Argument 4 ordnen wir Wurzel(4)=2 zu; dem Argument 9 ordnen wir Wurzel(9)=3 zu; alle Funktionswerte liegen auf der rot gezeichneten Linie. Die Graphen der Funktionen y=x hoch alpha unterscheiden sich, je nachdem ob alpha eine

positive gerade Zahl ist, eine positive ungerade Zahl ist, eine negative gerade Zahl ist, oder eine negative ungerade Zahl ist. Entsprechend unterscheiden sich auch die Umkehrfunktionen der Potenzfunktionen, die Wurzelfunktionen.

Bei einer Funktion ordnen wir jedem Element der Definitionsmenge genau ein Element der Wertemenge zu. Bei der Definitionsmenge dieser Funktion gibt es eine Einschränkung: Weil der Nenner nicht 0 werden darf, darf t weder (+1) noch (-1) betragen. Man formuliert dies so, dass die Definitionsmenge die

Menge der reellen Zahlen enthält mit Ausnahme der beiden Elemente (-1) und (+1).