22A.5 Kriterium für positive Eigenwerte der 2x2-Hesse-Matrix
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Formale Metadaten
| Titel |
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| Serientitel | ||
| Anzahl der Teile | 64 | |
| Autor | ||
| Lizenz | CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland: Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben. | |
| Identifikatoren | 10.5446/10354 (DOI) | |
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| Produzent |
Inhaltliche Metadaten
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Mathematik 2, Sommer 201260 / 64
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MatrizenringZahlenbereichDiagonale <Geometrie>ZugbeanspruchungEigenwertDeterminanteComputeranimation
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DeterminanteComputeranimationDiagramm
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Negative ZahlEigenwertReelle ZahlQuadratDeterminanteMatrizenringVorzeichen <Mathematik>ZahlComputeranimation
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DeterminanteGleichungEigenwertNegative ZahlUngleichungQuadratische GleichungMatrizenringQuadratPositive ZahlGradientNichtlineares GleichungssystemPunktComputeranimationDiagramm
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DeterminanteBetrag <Mathematik>Positive ZahlNegative ZahlEigenwertVorzeichen <Mathematik>VariableMatrix <Mathematik>QuadratRechnenComputeranimation
Transkript: Deutsch(automatisch erzeugt)
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Jetzt wollte ich mir mit Ihnen mal diesen Trick angucken. Eine Zweimal-Zweimatrix. Ich erfahre etwas über die Eigenwerte, ohne die Eigenwerte auszurechnen. Das ist spannend. Das wollte ich einmal ausbuchstabieren. Also ich habe eine symmetrische Zweimal-Zweimatrix A, B, B, C.
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Das wäre der allgemeine Fall. Auf der Nebendiagonalen stehen dieselben Zahlen. Auf der Hauptdiagonalen steht, was will. Angenommen, die Determinante davon ist größer als Null. Angenommen das.
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Zeigen Sie Folgendes. Das A niemals Null sein kann und das C niemals Null sein kann. Wenn A größer ist als Null, dann ist auch D größer als Null.
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Und beide Eigenwerte sind positiv. Und umgekehrt, wenn A kleiner ist als Null, oben steht etwas Negatives. Wenn A kleiner ist als Null, dann ist auch C kleiner als Null.
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Und beide Eigenwerte sind negativ. Das ist genauer der Trick mit der Hesselmatrix in Zweimal-Zwei. Wenn ich nachgewiesen habe, dass die Determinante positiv ist,
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für eine symmetrische Zweimal-Zweimatrix, kann ich direkt sagen, wenn oben was Positives steht, oben links was Positives steht, sind beide Eigenwerte positiv. Probieren Sie das mal nachzuweisen. Was heißt Determinante, wenn Sie Determinante ausbuchstabieren? Was wissen Sie dadurch, dass die Determinante positiv ist?
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Und was wären die Eigenwerte? Wenn Sie die Eigenwerte dieser Matrix allgemein mal hinschreiben, was wären die Eigenwerte? Und wie kann ich das jetzt mit der Determinante verrühren, um genau dieses Kriterium hinzukriegen? Was ist die Determinante? Die Determinante ist A mal C minus B².
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Wenn A mal C minus B² größer sein soll als Null, weiß ich Folgendes. B ist eine reelle Zahl. Das Quadrat einer reellen Zahl ist Null oder größer als Null.
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Von A zu C wird etwas abgezogen. Oder nichts abgezogen, wenn B null ist. Aber allenfalls wird von A zu C etwas abgezogen, und das Ergebnis ist größer als Null. Das heißt, A zu C selbst muss größer als Null sein. B² ist größer als Null. Ich ziehe etwas ab, das größer als Null ist.
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A zu C muss größer als Null gewesen sein, sonst kann das Ergebnis hier nicht größer als Null sein. Wenn aber A zu C größer ist als Null, dieses Produkt der mal den, dann wissen Sie, A kann nicht Null sein, sonst stünde da ja Null und nicht größer als Null. Und Sie wissen, C kann nicht Null sein, sonst stünde da A mal Null.
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Und das ist auch nicht größer als Null. Das wäre im Widerspruch dazu. Also in der Situation wissen wir sofort, weder A noch C können Null sein. Sonst haben Sie sich bei der Determinante verrechnet, dann werden Sie da Null rauskriegen. So, und wenn A größer ist als Null, wenn A größer ist als Null, dann können Sie hier nicht mit Null oder mit etwas Negativen
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multiplizieren und wieder etwas größer als Null rauskriegen. Vier mal wie viel ist größer als Null, da muss wieder eine positive Zahl stehen. Wenn A größer ist als Null, dann muss C größer als Null sein. Zwangsläufig, wegen dieser Ungleichung. Und andersrum, wenn A kleiner ist als Null, minus vier mal wie viel ist größer als Null, Sie brauchen hier eine negative Zahl.
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Negative Zahl mal negative Zahl, das ist der hier unten. Das sind diese größer-kleiner Geschichten. Was jetzt fehlt, ist das hier, beide Eigenwerte. Dazu braucht man jetzt die Gleichung mit den Eigenwerten. Bisher haben wir erst ausgewertet, was es bedeutet, dass die Determinante einer symmetrischen 2-mal-2-Matrix positiv ist. Das heißt, A mal C muss größer sein als Null,
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haben wir daraus gefolgert. A mal C größer als Null heißt nicht unbedingt, dass die Determinante positiv ist, aber das muss mindestens gelten, dass dieses Produkt A mal C größer ist als Null. Sonst kann die Determinante nicht positiv sein. Und jetzt brauche ich die Gleichung für die Eigenwerte. Wenn ich sage, Lambda ist ein Eigenwert, wie üblich.
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Es muss also haben A minus Lambda, B, B, C minus Lambda, daraus die Determinante gleich Null. Eine Matrix minus Lambda, weil die Andersmatrix gleich Null, gibt A minus Lambda mal C minus Lambda, minus B²,
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gibt Lambda² minus A plus C mal Lambda plus A mal C minus B². Alles ziemlich ratlinig, hoffentlich.
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Ich verrechne mich. Also, was weiß ich? Lambda ist die quadratische Gleichung. A plus C halbe plus minus A plus C halbe Quadrat minus A C plus B².
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Versuchen Sie daraus mal irgendwas abzulesen über die Eigenwerte. Nach dem, was wir jetzt hatten eben, überlege ich gerade. Ich glaube folgendes wird leichter sein. Ich schreibe es mal gerade nochmal ein bisschen um. Ich schreibe mal hier hinten, minus A C minus B². Also es ist hoffentlich leichter zu verstehen, was da passiert.
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Hier dieses Minus per halbe Quadrieren, minus Q, das ist mein Q. Versuchen Sie da jetzt etwas wiederzuerkennen, was größer Null kleiner Null heißt. Wenn A größer ist als Null, dann weiß ich, C ist größer als Null. Was weiß ich dann über diesen Ausdruck?
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Die Determinante soll positiv sein und A soll positiv sein. Was wissen Sie dann? Wenn die Determinante größer Null ist und A größer ist als Null. Was wissen Sie dann? Und analog zu Determinante größer Null und A kleiner als Null.
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Das wäre der zweite Fall. Determinante positiv, links oben etwas Positives, schwarz, links oben etwas negatives, rot. Was lesen Sie über die Eigenwerte ab? Machen wir das mal so.
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Nenne ich den hier mal bla. Dann steht hier das bla-Quadrat netterweise. Und hier steht ja die Determinante. Und die Determinante soll positiv sein. Hier ziehe ich also auf jeden Fall etwas Positives ab. Nicht nur Null, sondern garantiert etwas Positives wird hier abgezogen.
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Das Vorzeichen von bla kann ich auch bestimmen. Das Vorzeichen von bla kann ich bestimmen. A soll positiv sein. Dann wissen wir schon, Determinant positiv, A positiv, C muss positiv sein. Dieses Ding hier vorne muss positiv sein. Hier steht etwas Positives plus Minus, Wurzeln, dieses Ding ins Quadrat,
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minus eine positive Zahl. Da steht also lambda ist gleich eine positive Zahl plus Minus, die Wurzel aus einer positiven Zahl, dieser selben positiven Zahl ins Quadrat, minus die Determinante. Und die Determinante ist garantiert positiv.
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Wenn die Determinante da hinten nicht stünde, wenn das da stünde, dann würden Sie rauskriegen bla plus Wurzel bla-Quadrat, also zweimal bla und bla minus Wurzel bla-Quadrat, Null. Bla minus Wurzel bla-Quadrat wäre Null.
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Jetzt steht da aber nicht bla-Quadrat in der Wurzel, sondern es wird noch etwas abgezogen. Aus der Wurzel kommt etwas raus, was garantiert kleiner ist als das bla. Wenn ich das abziehe, bleibt das auf jeden Fall, in der Summe, in der Differenz, bleibt es auf jeden Fall größer als Null. In der Wurzel steht weniger als bla-Quadrat.
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Die Wurzel ist deshalb weniger als bla. Wenn Sie das rechnen, bla minus die Wurzel, haben Sie immer noch etwas über. Das muss größer sein als Null. Das wäre händewedelnd die Begründung, dass beide Eigenwerte positiv sein müssen. Der mit Minus auf jeden Fall, und der mit Minus positiv ist,
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der mit plus erst recht, der ist ja noch viel größer. Oder auf jeden Fall größer, nicht viel größer. Wenn das A kleiner ist als Null, dann weiß ich, dass dieser Ausdruck hier vorne kleiner ist als Null. A negativ, dann weiß ich C negativ. Hier steht etwas Negatives. Dieser Ausdruck ist kleiner als Null.
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Etwas, was kleiner ist als Null. Plus, kann ja allenfalls gefährlich werden, plus Wurzel aus dessen Quadrat, aber etwas weniger. Bleibt kleiner als Null. Der vorne hier wird gewinnen. Der ist im Betrag größer als die Wurzel, weil in der Wurzel noch etwas reduziert wird. Also bleibt das kleiner als Null. Das ist das Argument dahinter,
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weshalb man da nicht mehr die Eigenwerte ausrechnen muss, sondern sich einfach die Determinante angucken kann. Wenn die Determinante positiv ist, und wenn links oben eine positive Zahl steht, geht das einfach ruckzuck durch. Beide Eigenwerte müssen positiv sein. Mich interessiert ja nicht, ob die beiden Werte 3 oder 48 sind.
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Mich interessiert nur, ob sie positiv sind. Deshalb geht das so schön einfach. Wenn oben links etwas Negatives steht, steht unten rechts etwas Negatives. Das Ganze wird negativ in jedem Fall. Das ist dieses Kriterium. Determinante angucken, ob sie positiv ist, und dann links oben gucken, ob der positiv oder negativ ist.
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Das ist mehr oder minder Zufall für 2 mal 2 mal 13. Sie können sich vorstellen, wenn Sie 3 mal 3 haben, dass da viel mehr Unbekannte im Spiel sind, und das Ganze wesentlich komplizierter wird. Bei 2 mal 2 ist es so schön einfach.
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