14A.2 nichtlineare Gleichung mit Schmiegeparabel in quadr. Gleichung umwandeln, Taylor
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Formale Metadaten
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| Serientitel | ||
| Anzahl der Teile | 64 | |
| Autor | ||
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| Identifikatoren | 10.5446/10330 (DOI) | |
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Inhaltliche Metadaten
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Mathematik 2, Sommer 201236 / 64
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00:00
GleichungTaylor-ReiheMinimalgradSinusfunktionSummierbarkeitQuadratische GleichungAbleitung <Topologie>SinusfunktionVerschlingungNullstelleGleichungKettenregelGradientIntegration <Mathematik>Stützstelle <Mathematik>Funktion <Mathematik>QuadratSchätzungKosinusfunktionRechnenTaylor-ReiheSchätzfunktionNewton-VerfahrenAdditionPolynomZahlComputeranimation
09:35
MinimalgradSummierbarkeitAbleitung <Topologie>SinusfunktionKosinusfunktionStützstelle <Mathematik>GleichungZifferComputeranimation
Transkript: Deutsch(automatisch erzeugt)
00:01
Wenn wir das mal andersrum. Ich möchte eine Gleichung lösen, die ich nicht exakt lösen kann. x mal 2 plus Sinus von x soll sein 1 Zehntel. Also Sie sehen, da stehen Sie mit den üblichen Methoden auf dem Schlauch. Das Newton-Verfahren hatten wir schon, damit können wir es leicht hinkriegen.
00:21
Aber mit den üblichen Methoden, quadratische Gleichung oder Akkusinus haben Sie keine Chance. x mal Sinus kriegen Sie mit den üblichen Verfahren nicht auseinander. In der Gedanke schreiben Sie die linke Seite mal näherungsweise mit einer Schmiegeparabel. Also Telepolynum zweiten Grades.
00:41
An der Stützstelle, an welcher Stützstelle sind voller Weise x0 gleich was? Damit ich diese Gleichung hier mal lösen kann. Mit Schmiegeparabel, quadratische Schmiegeparabel schreiben, nähern.
01:01
An einer Stützstelle x0 gleich irgendwas, überlegen Sie sich. Und dann kriege ich ja hoffentlich auch eine näherungsweise Lösung für x. Weil ich dann nur noch eine quadratische Gleichung habe, die ich lösen kann. Sicherheitshalber hier meine ich x mal die Klammer. Keine Funktion x von der Klammer, sondern meine gesuchte Zahl x mal das, was in der Klammer steht.
01:25
Gesucht ist die Zahl x. Nochmal die Strategie. Diese linke Seite hier wird eine mehr oder minder fürchterliche Funktion werden. Mein Gedanke ist, ich suche mir ein x0, für das das grob hinkommt.
01:43
Für das aus der linken Seite grob ein Zehntel rauskommt. Und dann baue ich eine Schmiegeparabel an diesen Ausdruck. Und gucke nach, wo die rote Schmiegeparabel hier exakt ein Zehntel ist. Und habe dann hoffentlich eine bessere Näherung für meinen x-Wert. Das ist der Gedanke.
02:03
Also jetzt ganz dumm mir die linke Seite wieder als Taylor Polynom zweiten Grades. Meine Funktion ist x mal 2 plus den Sinus. Meine Ableitung, Produktregel, alle unbedingt wiederholen. Vorn ableiten, das x wird 2, 1.
02:21
Hinten stehen lassen, also 2 plus Sinus. Andersherum, x stehen lassen, hinten ableiten, x stehen lassen, plus x mal und hinten ableiten. Die 2 fällt weg, der Sinus wird zum Cosinus. Und die zweite Ableitung, die 2 fliegt raus, der Sinus wird zum Cosinus.
02:49
Und hier hinten wieder Kettenregel, vorn ableiten, x wird 2, 1, also Cosinus nur. Hinten ableiten, x stehen lassen, plus x hinten ableiten, wird der Minus Sinus.
03:02
x mal Minus Sinus von x. Das heißt insgesamt ist die zweite Ableitung 2 mal der Cosinus. 2 mal der Cosinus von x, Minus x mal der Sinus von x. Und jetzt suche ich mir eine vernünftige Stelle, x Null, an der das zumindest halbwegs stimmt.
03:23
x Null mal 2 plus Sinus von x Null, ungefähr ein Zehntel. Baue Wert, Ableitung, zweite Ableitung an dieser einen Stelle. In der Hoffnung, dass diese Stelle natürlich auch nicht ganz so kompliziert zum Rechnen dann ist. Habe diese Näherung mit der quadratischen Schmiegeparabel und versuche dann das x zu finden, um es noch ein bisschen genauer zu machen.
03:45
Wenn Sie sich das angucken, was ein sinnvoller Wert wäre zum Starten. Ich möchte den Sinus ausrechnen, das ist schon sehr unschön. Irgendetwas mit Pi halbe, Pi, 3 halbe Pi, dann steht hier vorne Pi halbe, 3 halbe Pi mal 2 plus irgendwas, das wird viel zu groß.
04:04
Ich nehme ganz einfach Null. Null mal 2 plus irgendwas ist Null, nicht ein Zehntel, sondern Null. Das ist doch schon halbwegs dicht dabei. Das benutze ich jetzt. Wir nehmen, nehmen, wieso nehmen eigentlich, so nehme x Null, gleich Null.
04:23
Dann gucke ich jetzt, was aus meinen Ableitungen wird und den Funktionswert. Der Funktionswert Null mal, haben wir gerade eben, der ist Null. Die erste Ableitung, da steht 2 plus den Sinus von Null, Sinus von Null ist Null, plus Null mal irgendwas, also 2.
04:42
Einfach nur 2. Und die zweite Ableitung, Null einsetzen, zweimal den Cosinus von Null ist 1 minus Null mal irgendwas. Also zweimal 1 davon ist auch 2.
05:03
Das gibt mir jetzt eine Nährung für diese linke Seite hier. x mal 2 plus Sinus von x, x mal 2 plus Sinus von x, ist also ungefähr Null plus 2 mal x minus Null.
05:23
Ich schreibe es wirklich ausführlich hin. x minus x Null plus die zweite Ableitung, zweimal x minus x Null, x Null ist Null, Quadrat halbe. Das wäre jetzt meine Nährung. Mit anderen Worten, das üblich bleibt 2x, das kürzere Wort, 2x plus x Quadrat wäre meine Nährung.
05:48
Und ich möchte, dass ein Zehntel rauskommt. Das kann ich jetzt auflösen. Wir wollen, dass dieses Ding hier ungefähr ein Zehntel ist.
06:02
Wir wollen, dass das hier ein Zehntel ist. Wir wollen, dass das ein Zehntel ist. Um das x zu schätzen, was die Lösung sein sollte. Also habe ich x Quadrat plus 2x minus ein Zehntel gleich Null.
06:20
2x plus x Quadrat gleich ein Zehntel. Ich kriege die PQ Formel, x ist gleich. Hier von minus das halbe, minus 1 plus Minus Wurzel, den Quadrieren und ein Zehntel drauf addieren. Dieses ein Zehntel, minus ein Zehntel abziehen.
06:44
Das wäre die Schätzung für die Lösung. Weil wir sowieso nur am Schätzen sind, ist die Frage, ob vielleicht die Wurzel hier noch auseinandernehmen können. Sehen Sie eine Chance, wenn man die Wurzel hier Pi mal Daumen bestimmen kann in ähnlicher Genauigkeit.
07:02
Hier die Wurzel aus 1,1. Die probieren wir jetzt nochmal gerade im Fluge mit der Schmiegeparabe. Die Wurzel aus 1,1 ist die Wurzel aus 1 plus, jetzt kommt die Steigung meiner Quadratwurzel an der Stelle 1, mal ein Zehntel. Wie weit ich daraus weg bin, was ist die Steigung meiner Quadratwurzel an der Stelle 1?
07:26
Steigung der Quadratwurzel an der Stelle 1, genau 1 durch 2 Wurzel 1. Wurzel x ableiten, 1 durch 2 Wurzel x, eineinhalb ist die Steigung. Quadratwurzel Funktion aufmalen, hier an der Stelle 1 kommt der 1 raus. Das hier scheint Steigung eineinhalb zu haben.
07:43
Und um es hübsch zu machen, könnte ich auch noch die nächste Ableitung dazu nehmen. Dann steht hier hinten x minus x0 Quadrat, also eine Hundertstel halbe. Haben wir eben auch schon gesehen, hier. x minus x0 Quadrat halbe. Und hier steht die zweite Ableitung der Quadratwurzel an der Stelle 1.
08:01
Was ist die zweite Ableitung der Quadratwurzel an der Stelle 1? Minus ein Viertel in der Tat. Das machen wir gerade mal zu Fuß. Also ich fange an mit x hoch eineinhalb die Wurzel. Die leite ich einmal ab und kriege ein halb mal x hoch minus ein halb. Das haben wir hier und das leite ich nochmal ab. Das minus ein halb kommt nach vorne.
08:21
Dann steht da minus ein Viertel x hoch minus, um 1 reduzieren, minus dreieinhalb. Da setze ich 1 ein. Das ist minus ein Viertel mal 1. Steht dann da. Also hier minus ein Viertel mal, wenn Sie wollen, 1 durch Wurzel 1 hoch 3.
08:41
1 hoch minus dreieinhalb. Damit habe ich gerade die Wurzel da, wie mein Daumen bestimmt, ohne Taschenrechner. Das macht also minus eins plus minus eins plus ein Zwanzigstel minus, oh je, ein Viertel,
09:02
ein Achthundertstel, so was. Eins plus ein Zwanzigstel minus ein Achthundertstel. Das sieht plausibel aus. Können wir jetzt auch noch zu Fuß ausrechnen. Ich bin ein bisschen faul. Gucken wir uns das ein. Minus eins plus eins.
09:22
Sehr schön. Plus eins plus ein Zwanzigstel minus ein Achthundertstel. Das wäre also ein Kandidat. Dann speichere ich mir vielleicht mal in den Memory Store.
09:41
So in den Speicher rein. Das wäre näherungsweise Kandidat für meine Lösung. Ich habe auf der Schmiegeparabel nachgeguckt, wo denn ein Zehntel rauskommen müsste, ungefähr. Kommen wir nochmal die Original Gleichung setzen wir mal ein, um zu gucken, was denn jetzt rauskommt. Also ich möchte rechnen.
10:01
Oh, bevor ich das jetzt rechne, an was muss ich denken? Radiant, in der Tat. Gefährlich, gefährlich. Ich rechne ja, Ableitung vom Sinus ist der Cosinus. Ich rechne den Radiant. Also Radiant. Und nun kommt, ich hole mir das aus dem Speicher. Es steht eigentlich schon da, wer weiß.
10:21
Memory Recall. Mal Klammer auf. Zwei plus Memory Recall Sinus Klammer zu. 0,0998. Korrekt wäre 0,1. Wir sind also schon auf, wenn Sie wollen, drei Ziffern, drei Stellen nach dem Komma.
10:41
Korrekt. Die letzte stimmt auch schon fast. Soweit so gut. Warum habe ich jetzt eigentlich das Plus-Zeichen genommen und nicht das Minus-Zeichen genommen? Richtig. Wenn Sie das Minus-Zeichen nehmen, ich streiche das hier mal ganz dreist durch, sind Sie zu weit weg.
11:01
Das wird nicht hinhauen. Wenn ich das Plus-Zeichen nehme, Minus 1, Plus 1 und hier noch ein bisschen Müll dazu, bleibe ich dicht an der Null. Dicht an der Stützstelle. Das ist okay. Aber wenn ich das Minus-Zeichen nehme, Minus 1, Minus 1, Minus 2 und hier noch ein bisschen Schmutz, dann bin ich zu weit weg von der Null.
11:20
Dann erwarte ich nicht, dass es irgendwas Sinnvolles noch wird. Das muss man dann im Auge behalten. Sie legen ja Ihre Schmiegeparabel irgendwo durch. Wie liegt sie denn? Sie ist nach oben geöffnet, ansteigend an der Stelle Null. Sie läuft irgendwie so da durch, die Schmiegeparabel.
11:45
Die Lösung mit Plus liegt hier irgendwo. Die Lösung mit Minus liegt da irgendwo. Das hat überhaupt nichts mehr mit meiner Originalfunktion zu tun, die ja hier durchläuft. Also erwarte ich nicht, wenn ich das Minus nehme, erwarte ich nicht irgendwas Sinnvolles. Mit dem Plus wird das schon plausibel.
12:04
So kann man mal die Taylor-Polynomen etwas anders einsetzen. Das sind hier mal um eine Gleichung zu lösen, die als solche nicht gut lösbar ist.