Jetzt gucken wir uns auch noch die Biologie an, zu einem Überfluss, und zwar ein System aus Raubtieren und Beutetieren. Mit B bezeichne ich mal die Anzahl der Beutetiere und mit R bezeichne ich die Anzahl der Raubtiere. Mich interessieren jetzt die zeitlichen Ableitungen.

Wie ändern sich diese Anzahlen? So zu viele Beutetiere pro Tag oder pro Stunde, pro Jahr, wie ist die Änderung genauso für die Raubtiere, die Änderung pro Zeitintervall. Was passieren soll, ist Folgendes, dass die Beutetiere sich vermehren von selbst und

dass sie von den Raubtieren gefressen werden, diese beiden Prozesse, und die Raubtiere sollen an Altersschwäche sterben und sich umso mehr vermehren, je mehr Beutetiere sie fressen.

Vermehrung, ich schreibe mal Vermehrung proportional fressen, Vermehrung proportional wieviel sie fressen. Nach dem Massenwirkungsgesetz von eben, müssten sie das im Prinzip hinschreiben können. Die dümmsten Ausdrücke, die man sich vorstellen kann, um das zu modellieren.

Die Beutetiere sollen sich von selbst vermehren, sie werden von den Raubtieren gefressen, die Raubtiere sollen von selber an Altersschwäche sterben und sie sollen sich vermehren, je nachdem wieviel sie fressen, an den Beutetieren, und wenn man das hin hat, hat man sofort schon den Schweinezyklus, wenn sie wollen, modelliert, man hat sofort einen biologischen

Zyklus dastehen, als Differentialgleichungssystem. Die billigste Art der Vermehrung aus mathematischer Sicht ist Zinseszins, die Differentialgleichung für Zinseszins. Wie sieht das aus? Die Ableitung des Kapitals nach der Zeit, was schreiben Sie hin?

Hier muss was stehen wie so und so viel, ich habe jetzt mal Alpha, so und so viel mal das Originalkapital, das hier hat mit dem Zinssatz zu tun. Wenn Sie einen doppelten Zinssatz haben, steht hier die doppelte Zahl. Die Änderung pro Zeiteinheit ist ein Vielfaches des Kapitals, was ich gerade habe.

Das liefert den Zinseszins, bzw. wenn Sie hier eine negative Zahl davor stehen haben, haben Sie da den exponentiellen Zerfall. Probieren Sie sowas jetzt hinzustricken, dass die Beutetiere, wenn sonst nichts anderes passieren würde, quasi mit Zinseszins ausgezahlt werden.

Wir erst nur den ersten angucken, das vermehren, den Rest ignorieren. Die Vermehrung aus Hasen hier, sollen sich exponentiell vermehren. Hier steht auf dieser Seite, wenn Sie wollen, Hasen pro Tag, die Änderung der Anzahl

der Hasen in Hasen pro Tag oder Hasen pro Jahr oder Hasen pro Minute, wenn es ganz schlimm wird, diese Änderung, wie viele Hasen pro Tag kommen dazu, die sollte doch proportional sein zur Zahl der Hasen. Wenn es schon doppelt so viele sind, dann sollten auch doppelt so viele wieder dazukommen. Und dann schreibe ich einfach hier noch eine Konstante davor, dann haben Sie das

Die Änderungsrate ist proportional zur aktuellen Anzahl. So haben Sie exponentielles Wachstum. Was sollten wir gerade nochmal, weil das noch nicht so sicher ist, uns das angucken, was würden Sie hier als Lösung ansetzen, wenn das alles wäre in dieser Situation.

Es ist natürlich nichts alles, aber wenn das alles wäre, was wäre Ihr Ansatz als Lösung? So, dann haben wir es, also, Exponentialfunktion natürlich, eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten, 1, Alpha, homogen vor allem, Ansatz wäre zwangsläufig

eine Exponentialfunktion, E hoch irgendwas, mal die Zeit, wenn Sie sich das angucken, naja, was muss das irgendwas sein, natürlich Alpha, wenn ich ableite, muss das Alpha dazukommen, so, mal eine Konstante, da vorne, und die Konstante hat sofort die Bedeutung der Anfangsmenge, wie beim Zinseszins, wenn Sie t gleich 0

setzen, steht hier 1, das muss die Anfangsmenge rauskommen, d.h., Sie sehen, das ist ja kein Ansatz mehr, da steht schon die Lösung, das wäre die Lösung, kein Ansatz mehr. Exponentiales Wachstum, wenn die Änderungsrate, die Ableitung nach der Zeit, wenn die Änderungsrate proportional ist, zum Wert haben Sie eine Exponentialfunktion,

exponentiell wachsend, Alpha größer 0, unser Fall, oder exponentiell fallend, Alpha kleiner 0. So, das zu dem ersten Term, den haben wir jetzt abgehakt, bauen Sie die anderen 3 auch noch dazu.

Fangen wir erstmal hier an, ich glaube, das ist das Einfachste, mit dem Sterben der Raubtiere. Die dümmste Art, das Gegenteil von Wachstum zu machen, ist exponentieller Zerfall, Sie schreiben hier Minus, weiß jetzt nicht, wie ich die Konstante nennen soll, da oben

nenne ich sie gleich, dann schreibe ich hier mal Gamma, Gamma mal R, so, jetzt habe ich das mit dem Sterben, die sterben wie Plotoniumatome sterben, exponentiell zerfallen, was natürlich ein superschlechtes biologisches Modell ist, wenn Sie sich exponentiellen Zerfall vorstellen, es gibt hier Atome, die super, super lange

leben, die gibt es bei den Füchsen garantiert nicht, die Zerfallskurve für die Füchse wird ja eher so aussehen, wenn die Füchse die Mindesthaltbarkeit erreicht haben, ist dann irgendwann Feierabend, das ist ja nicht exponentieller Zerfall, also das ist hier ein total billiges Modell, führt aber schon zum richtigen Effekt.

So, bei dem Gefressenwerden muss man jetzt einfach an das Massenwirkungsgesetz wieder denken, wie häufig treffen sich Hasen und Füchse, Beutetiere und Raubtiere, das muss proportional zur Anzahl sein, des einen mal die Anzahl

des anderen, hier muss das Produkt stehen B mal R, wie häufig sich die beiden treffen, die Beutetiere werden gefressen, das heißt hier muss ein Minus stehen, die Rate ist negativ, dieser Teilrate ist negativ, das führt ja dazu, dass die Zahl der Beutetiere sich verringert und irgendeine

Konstante, diese Konstante sagt was darüber, wie tödlich diese Treffen sind, je größer das Better ist, desto größer ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Treffen der Hase nicht überlebt, das ist der Teil und die Vermehrung ist jetzt umgekehrt, wenn sich Füchse und Hasen treffen,

werden die Füchse, die Raubtiere sich vermehren, also schreibe ich hier plus Delta noch davor und habe so einen Vermehrungseffekt, das ist total krude, hat aber die richtige Wirkung, diese Art von Differenzalgleichung nennt sich Lotka-Volterra nach den Erfinder, die Zeit ist ein bisschen zu

kurz, sonst hätte ich das noch mal in der Tabellenkalkulation gehackt, dass man wirklich sieht, dass das passiert, was man erwartet, die faßenvertrieben geht drauf und wenn die Zahl der Beute-tiere geht, geht auch

Fall der Raubtiere mit Verzögerung rauf oder wenn die Zahl der Raubtiere mit orange geht, geht die Zahl der Beute-tiere wieder runter, weil mehr Beute-tiere gefressen werden, aber wenn die Zahl der Beute-tiere runtergeht, haben die Raubtiere weniger zu fressen, also

sind es mal weniger Raubtiere, wenn das weniger Raubtiere Rita, geht die Zahl der Beute-tiere wieder rauf und so weiter, Ich habe die Phasenverschiebung nicht ganz schön hingekriegt. Erinnert so ein bisschen an Sinus und Kosinus, ist aber nicht hundertprozentig Sinus und Kosinus. Sie kriegen auf jeden Fall so ein Zyklus hin, wenn Sie das tatsächlich mal lösen. Der Ärger ist, das kann man nicht in geschlossener Form lösen.

Das kriege ich jetzt nicht hingeschrieben mit tatsächlich Sinus und Kosinus und ähnlichem. Man kann Gesetzmäßigkeiten angeben, es gibt eine Erhaltungsgröße, sowas wie eine Energieerhaltung, sowas ähnliches gibt es hier, aber ich kann nicht ausdrücklich Lösungen hinschreiben. B von T ist gleich bla bla bla mit ordentlichen Funktionen.

Wir könnten mal gerade sagen, was ist denn das für eine Sorte an Differentialgleichung für überhaupt? Richtig, erste Ordnung nicht linear, dieses B mal R macht es nicht linear. Wenn hier nur B stünde oder nur R stünde, eine der gesuchten Funktionen alleine, dann wäre es linear, aber so ist es nicht linear und das ist ziemlich eklig.

Man kann sich so ein paar Tricks noch überlegen. Sie können zum Beispiel einen Fixpunkt finden, Fixpunkt heißt eine Stelle, an der nichts passiert. Es gibt eine Kombination von der Anzahl an Beutetieren und Raubtieren, bei der kein

Zyklus stattfindet, bei der die Anzahl festgefroren ist. Wenn Sie es nämlich schaffen die Zahl der Beutetiere und der Raubtiere so einzustellen, dass hier Null rauskommt und das hier Null rauskommt, zwei Gleichungen, zwei unbekannte, dass wir typischerweise gehen, dann heißt das, die Raten ändern sich nicht. Es gibt eine Art Bevölkerung im Wald, wie man die Zahlen wählen kann und die bleiben

konstant gleich, ohne dass man so einen Schweinezyklus hat. Ansonsten hat man immer so einen Schweinezyklus drin, das kann man zum Beispiel dann hier raus ablesen. Aber es gibt keine ausdrückliche Lösung in handelsüblichen Funktionen. Und eine Sache muss ich auch noch dazu sagen, es sind ja ganz viele

Ernährungen drin. Hier exponentielles Wachstum für die Hasen, das geht nur halbwegs durch. Exponentieller Zerfall für das Sterben durch Altersschwäche ist nicht gerade so prickelnd als Modell, das hatte ich schon aufgemalt. Es gibt noch eine ganz andere, ganz wesentliche Geschichte, in der das hier kein gutes

Modell ist für die biologische Wirklichkeit. Wenn Sie sich das vorstellen, B ist die Anzahl der Hasen, ich leite nach der Zeit ab. Was für Anzahlen sind hier eigentlich alle erlaubt?

Richtig, also B können hier reelle Zahlen sein, wenn Sie sich die Kurven dann angucken unter der Lupe, hier irgendwelche Verlaufskurven, wenn Sie das unter der Lupe angucken, sind das ja wirklich durchgezogene Kurven. Ich habe 100 Hasen, 100,39 Hasen, 100,4567 Hasen und so weiter und so fort, gebrochen

seilige Hasen, dann habe ich zum Schluss 101 Hasen. Das ist natürlich kein prickelndes Modell, außer ich habe sehr viele davon, also das ergibt nur dann Sinn, wenn Sie wirklich Tausende, Hunderttausende von denen haben. Sobald Sie hier dicht auf die Achse kommen, dass Sie wirklich sehen müssten, ein Hasen, zwei Hasen, drei Hasen, oder wenn die letzten beiden Hasen gefressen sind,

dann ist Feierabend, dann geht die Kurve nicht mehr rauf. All das macht dieses Modell natürlich nicht mit. Dass ich hier Differenzialgleichungen hinschreibe, ist eine ganz böse Vereinfachung, die nur funktioniert, wenn ich sehr viele Hasen und Füchse habe. Dasselbe natürlich hier in der Chemie, das stört es keinen, weil ich sowieso

immer Fantastilionen an Teilchen habe und nicht ein einzelnes Atom, ein einzelnes Molekül. Da denkt man da nicht viel drüber nach, aber sobald Sie hier so etwas Biologisches simulieren und tatsächlich kleine Zahlen haben können, die letzten zehn Blauwale oder was auch immer, dann haut das so nicht hin, weil Sie hier mit gebrochenzahligen Blauwalen rechnen und wenn zum Schluss 0,000137 Blauwale über sind, kann es immer noch

wieder die Population raufgehen, das passiert natürlich in der Wirklichkeit nicht. Also Vorsicht an der Stelle, das ist sehr viel Lügerei hier, es ist eben ein mathematisches Modell, es ist nicht die Wirklichkeit.