Jetzt mal eine Gleichung mit Matrizen und Vektoren. Wenn ich Folgendes habe, die Matrix A mal die Matrix B mal mein Vektor X ist gleich der Vektor C. Ich sollte jetzt X und C mal mit Pfeilen schreiben, so ganz Ingenieurmäßig, physikermäßig. Gegeben diese Gleichung für

Vektoren, Matrizen A, B, X und C und diese beiden Matrizen A und B sollen umkehrbar sein. A hoch minus eins und B hoch minus eins sollen existieren. Diese Inversenmatrizen sollen existieren. Sollen existieren. Die Matrizen sollen umkehrbar sein. Man nennt es da nicht umkehrbar offiziell, man nennt es regulär.

Sie sind nicht singulär, sie sind regulär. Komische Art es auszudrücken, wir sind umkehrbar. Lösen Sie diese Gleichung hier mal nach X auf. Wie können Sie diese Gleichung da oben nach X auflösen, indem Sie passend mit Matrizen multiplizieren?

Sie dürfen an der Stelle nicht zu viele Schritte auf einmal machen, das ist echt gefährlich. Wenn dieser Vektor hier vielleicht dem Vektor ist, ein Vektor, der ist ein bisschen kompliziert ausgerechnet, ein Vektor ist gleich einem anderen, dann kann ich auch die Matrix A hoch minus eins auf diesen Vektor anwenden.

Ich kann die Matrix A hoch minus eins auf diesen Vektor anwenden, der der links steht, und kriege dasselbe heraus, als wenn ich die Matrix A hoch minus eins auf den Vektor anwende, der rechts steht. Der Vektor ist gleich dem Vektor. Dann ist auch irgendeine Matrix mal den Vektor links gleich dieselbe Matrix mal den Vektor rechts, wogemerkt die Matrix immer schön links lassen.

Das soll natürlich ein Spaltenvektor sein. Sie können jetzt hier nicht die Matrix auf die rechte Seite schieben. So, das muss also auf jeden Fall gelten. Was fällt Ihnen hier dran auf? Genau, das hebt sich ja weg. Die Matrix A anwenden und die Inversummatrix anwenden ist die Einheitsmatrix, das hebt sich einfach weg.

So wie ein Drittel mal drei sich weghebt. Einheitsmatrix mal irgendwas, das heißt, hier steht insgesamt, hier steht insgesamt auf der linken Seite B mal X. Wie kriege ich jetzt das B weg?

Ja, beide Seiten von links, soll ich sagen, beide Seiten von links mit B hoch minus eins multiplizieren. Wenn ich das weiß. Also beide Seiten von links mit B hoch minus eins. Der Vektor B mal X ist gleich dem Vektor A hoch minus eins mal C. Dann ist auch der Vektor B hoch minus eins mal, was hier links steht, gleich B hoch minus eins mal, was hier rechts steht.

Und Sie sehen, aha, X erst mit B verformen und das wieder rückgängig machen. Hier vorne steht die Einheitsmatrix oder sowieso ganz klar, hier kommt X wieder raus. Ich habe also geschrieben, X ist gleich ein Matrizenprodukt mal C. Was ist

das hier eigentlich? Was ist jetzt ein kurzer Name für dieses Matrizenprodukt da? Genau, das hier ist also nichts anderes als das Produkt und davon die inverse Matrix. Absurderweise. Wir haben angefangen, das ist genau das selbe wie eben.

Eine Matrix mal X ist ein gegebener Vektor und wir haben aufgelöst, X ist also irgendeine andere Matrix mal gegebenen Vektor. Das hier ist die inverse Matrix von der originalen Matrix. Wenn Sie die inverse Matrix von einem Produkt haben wollen, Vorsicht, dann sich einige hinreißen lassen, das sofort hinzuschreiben, aber das Ergebnis

ist überraschend. Die inverse Matrix von einem Produkt ist falsch rum. Erst die vordere invertieren und dann die hintere invertieren. Was, wenn man fünf Minuten drüber nachdenkt, auch nicht so überraschend ist. Stellen sich geometrische Operationen vor. Irgendeine geometrische Operation, das können wir sinnvollerweise machen.

B dreht um die X-Achse und A dreht um die Y-Achse. Dann wollen Sie sinnvollerweise, um das rückgängig zu machen, erst die Drehung um die Y-Achse rückgängig machen und dann die Drehung um die X-Achse rückgängig machen. Sie machen diese beiden in ungekehrter Reihenfolge rückgängig. Sie machen erst die rückgängig, die

zuletzt angewendet worden ist, und Sie machen zuletzt die rückgängig, die zuerst angewendet worden ist. B wird ja zuerst angewendet. Das X und das B stehen direkt nebeneinander. Erst wird B angewendet. Deshalb will ich B auch als letzte Wege rückgängig machen. Also nach kurzem Nachdenken ist klar, dass ich hier die Reihenfolge umkehren muss, wenn man die inverse bildet.