15.6 Potenzreihen und Analytische Funktionen
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Formale Metadaten
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| Anzahl der Teile | 92 | |
| Autor | ||
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| Identifikatoren | 10.5446/10263 (DOI) | |
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Inhaltliche Metadaten
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Mathematik 2, Sommer 201158 / 92
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PotenzreiheFunktion <Mathematik>RadiusAbleitung <Topologie>RichtungAbklingen <Physik>ReiheWiener-Hopf-GleichungExponentAnalytische FunktionUnendlichkeitCW-KomplexSummandKurveSummeGruppenoperationKreisscheibeSummierbarkeitComputeranimation
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MathematikPolynomFunktion <Mathematik>Ableitung <Topologie>Negative ZahlKurveHöheZahlGraphPositive ZahlGegenbeispielAnalytische FunktionSinusfunktionPrognoseExponentialfunktionTaylor-ReiheReiheZahlenbereichQuadratzahlExponentRadiusVorzeichen <Mathematik>QuadratEllipseMatrizenringRationale FunktionPhysikalische GrößeDiagramm
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Funktion <Mathematik>Analytische FunktionSinusfunktionKosinusfunktionExponentialfunktionComputeranimation
Transkript: Deutsch(automatisch erzeugt)
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Einmal noch ein Rückblick zu den Potenz-Reihen. Zwei Aspekte gab es bei den Potenz-Reihen. Wenn ich eine Täler-Reihe bilde zu einer gegebenen Funktion,
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gucke ich mir ja die Funktion und ihre Ableitungen an einer Stelle an. Ich hoffe dann, dass die Potenz-Reihe, die ich damit bilde, diese Funktion nicht nur an dieser einen Stelle nachahmt, sondern vielleicht sogar insgesamt für alle x-Werte nachahmt.
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Leider haut das nicht ganz hin. Es gibt zwei Probleme. Erstens ist die Frage, ob die Täler-Reihe konvergiert ist. Ich summiere ja unendlich viele Sachen auf. Wenn Sie nur aufsummieren zwei plus drei plus vier und vielleicht noch tausend andere Sachen,
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ist keine Aktion. Endliche Summen sind kein Problem. Das Problem ist diese unendliche Summe. Die Reihe, Sie aufsummieren eins plus ein Halb plus ein Drittel plus ein Viertel, wird das zum Schluss etwas Endliches werden? Lustigerweise, das wird schon nichts Endliches werden. Diese Summanden müssen hinreichend schnell abklingen, sonst klappt das nicht mit der Konvergenz.
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Das habe ich letztes Mal vorgeführt. Bei Potenz-Reihen ist das dann relativ einfach. Die Antwort ist der Konvergenz-Radius. Wenn die Stelle, an der ich meine Funktion ausrechnen will, die Stelle x, die ich in meine Reihe einsetze, wenn die hinreichend dicht an der Stelle ist, an der ich die Funktion entwickle,
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haut es hin. Wenn sie so weit weg ist, haut es nicht hin. Mit der Konvergenz. Und das geht in alle Richtungen gleichermaßen. Das ist das Erstaunliche. Wenn man das im Komplexen macht, das ist die Stelle, an der ich im komplexen Realtal-Imaginärteil entwickle. Die Stelle, an der ich hier meine x0 entwickle.
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Dann gibt es eine Kreisscheibe mit einem bestimmten Radius. Der nennt sich der Konvergenz-Radius. Überall innerhalb dieser Scheibe habe ich Konvergenz. Überall außerhalb dieser Scheibe habe ich garantiert Differenz. Genau auf der Kreislinie kann man so nicht entscheiden, was passiert.
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Das kam bei der Untersuchung der Konvergenz raus. Also ein relativ einfaches Konvergenzverhalten. Aber typischerweise wird man nicht für alle x-Werte eine Konvergenz haben. Diese Potenzreihen, die man da rausbekommt, fliegen einem gerne um die Ohren.
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Und zwar sobald man mehr als den Konvergenz-Radius von dem Punkt weg ist, an dem man entwickelt hat. Das war die Antwort auf die Frage nach der Konvergenz. Die zweite Frage ist die, ob denn dann auch das Richtige rauskommt. Wenn diese Teller-Reihe mit ihren unendlich vielen Summanden, wenn die dann wirklich zu bilden ist,
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ist das Ergebnis die Originalfunktion oder nicht? Ist die Reihe gleich der Originalfunktion? Originalfunktion war die zweite Frage. Das muss ja nicht sein. Und in der Tat stellt sich heraus, es gibt auch gerne mal Funktionen, bei denen das nicht passiert.
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Man könnte sich hier erst vorstellen, auch ich bilde zu einer gegebenen Kurve an einer Stelle, an der ich sie entwickle. Die Tangentengrade, die Spiegeparabel, die kubische Schmiegeparabel und treibe das weiter, treibe das weiter.
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Wenn das im Unendlichen nicht dirigiert, dann müsste das doch eigentlich die Originalkurve werden. Leider nicht. Das kann gut schiefgehen. Diese zweite Frage ist auch gerne mal mit Nein zu beantworten, ob die Originalfunktion wieder rauskommt. Das gibt einen anderen Begriff, mit dem man das klärt.
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Dann bin ich jetzt bei Nummer 6, analytische Funktionen. Wenn das funktioniert, wenn aus der Tälerreihe die Originalfunktion wieder rauskommt, dafür gibt es keinen Lücken Text, das habe ich alles aufgeschrieben, wenn das gilt, heißt die Funktion, die man da entwickelt hat, analytisch.
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Formal ist das ein bisschen heftiger, aber die Idee dahinter ist folgende. Bei einer analytischen Funktion weiß ich, wenn ich die entwickle mit Tangentengrade, Spiegeparabel und so weiter, dann ist zumindest innerhalb vom Konvergenzradius das Ergebnis der Originalfunktion.
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Das ist aber nicht sicher bei allgemeinen Funktionen. Die analytischen Funktionen sollen diejenigen sein, bei denen das tatsächlich stimmt, das Original wieder rauskommt. Die nicht analytischen Funktionen sind diejenigen, bei denen das schiefgeht. Offensichtlich gibt es welche, bei denen das schiefgeht.
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Man muss ein bisschen basteln, um eine einfach hinzuschreiben. Die übliche Funktion, die nicht analytisch ist, ist das übliche Gegenbeispiel.
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Ich sage, meine Funktion soll sein, sowieso für alle Reallzahlen definiert. Und was baue ich? Ich sage, sie soll 0 sein an der Stelle x gleich 0. Und sie soll e hoch minus 1 durch x² sein, wenn x o gleich 0 ist.
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Das sieht dann ungefähr so aus für die Nummer 28. Das Spannendste an dieser Funktion ist der Graph.
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Was halten Sie von dem Graph von dieser Funktion? Wie wird der aussehen?
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Für sehr große x steht hier 1 durch eine sehr große Zahl. e hoch minus 1 durch eine sehr große Zahl ist e hoch ungefähr 0, e hoch 1. Nach rechts raus pendelt sich das auf der Höhe 1 ein. Nach links raus pendelt sich das auf der Höhe 1 ein. Nach links raus, negative Zahl, Quadrille, wird positiv 1 durch eine große positive Zahl.
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Mit minus pendelt sich auch bei der 1 ein, e hoch 0 in jedem Fall. Wenn x dicht bei 0 ist, steht hier 1 durch etwas dicht bei 0 ins Quadrat, also in jedem Fall etwas Positives, eine große positive Zahl.
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1 durch etwas dicht bei 0 ins Quadrat, eine große positive Zahl. Mit einem Minus ist eine große negative Zahl. e hoch eine große negative Zahl ist dicht bei 0. Das muss zum Schluss so was werden.
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Diese Kurve ist extrem platt gedrückt auf die x-Achse rund um x gleich 0. Diese Funktion lässt sich tatsächlich unendlich oft differenzieren an der Stelle 0. Sie ist so platt, dass alle Ableitungen gleich 0 sind.
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Der Funktionswert ist 0. Wenn Sie die erste Ableitung ausrechnen, die Funktion ist so platt, die erste Ableitung ist 0, die zweite Ableitung ausrechnet 0. Alle Ableitungen sind 0. Diese Funktion ist unendlich oft differenzierbar und alle Ableitungen sind 0. Wenn ich die Taylor-Reihe bilde, nehme ich den Wert der Funktion an der Stelle 0 plus die Ableitung
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der Funktion an der Stelle 0 mal x-0 plus die zweite Ableitung der Funktion an der Stelle 0,
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die ist so platt, dass das schon wieder 0 ist, mal x-0²½ plus und so weiter. Was wird also die Taylor-Reihe für diese Funktion ergeben? Wenn Sie das machen würden, bekämen Sie einfach 0 heraus. Diese Funktion nach Bild mit einer Taylor-Reihe ergibt einfach 0, was deutlich was anderes ist als die Originalfunktion.
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Das heißt, auch dicht neben dem Ursprung wird das nicht mehr stimmen. Die Funktion hat ja im Original zwar sehr kleine Werte, sehr dicht an 0, aber nicht 0. Das heißt, nur an der Stelle 0 stimmt der Wert tatsächlich mit dem, was Sie aus der Reihe rauskriegen. Aus der Reihe kommt überall 0 raus.
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Das ist definitiv falsch. Das ist so das Feldwaldwiesenbeispiel für eine nicht-analytische Funktion. Wenn Sie da von der Taylor-Reihe bilden, kriegen Sie leider etwas anderes raus. Kann passieren. Schlimmer noch, die Funktionen des wahren Lebens sind typischerweise nicht analytisch.
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Wenn eine Funktion analytisch ist, heißt das ja, Sie bestimmen den Funktionswert alle Ableitungen an einer Stelle und können den Wert an einer anderen Stelle perfekt vorhersagen. Das muss man sich auf der Zunge zergehen lassen.
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Wenn Sie eine analytische Funktion haben, dafür gibt es keinen Lückentext, einfach als Idee im Hinterkopf behalten. Wenn Sie eine analytische Funktion haben und Sie kennen an einer Stelle den Funktionswert, die erste Ableitung, die zweite Ableitung usw., alles an dieser einen Stelle, dann heißt analytisch, dass Sie perfekt vorhersagen können, was der Wert an einer anderen Stelle ist.
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Eine perfekte Vorhersage, weil die Taylor-Reihe dann ja mit dieser Information machbar ist. Wenn Sie all das hier wissen, die ganzen Ableitungen und der Funktionswert, können Sie die Taylor-Reihe hinschreiben. Innerhalb des Konvergenzradius der Taylor-Reihe können Sie damit die ganzen anderen Werte vorhersagen.
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Das ist natürlich etwas, was einen in der Praxis ein bisschen stutzig macht. Das heißt, keine gewöhnliche Messung kann ein analytisches Signal sein. Denn das würde ja heißen, zum Beispiel Sie messen, messen, messen, messen und dann könnten Sie jetzt vorhersagen, was der Wert in zwei Sekunden ist.
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Das kann nicht sein in der Wirklichkeit. Das, was man in der Wirklichkeit typischerweise hat, sind keine analytischen Funktionen offensichtlich, die Signale. Analytische Funktionen sind so die Modellfunktionen, die man gerne hat. Die Exponentialfunktion ist analytisch, Sinus und Cosus sind analytisch. Natürlich sind Tangents, Arkustangents, der ganze Club ist analytisch.
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Die Potenzen, die Wurzeln, der Logarithmus, die rationalen Funktionen, die Polynome sind analytisch. Aber die Funktionen in der wahren Welt, was ich wirklich messe, die können in den meisten Fällen nicht analytisch sein, sonst hätte ich keine Überraschungen mehr drin. Da muss man ein bisschen vorsichtig sein. Die Mathematiker sind total stolz auf die analytischen Funktionen,
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aber das können nicht die Funktionen sein, die man dann wirklich als Signale messen kann. Das als Warnhinweis am Handel. Also solche Entwicklungen sind eher was für modellhafte Funktionen. Zusammengefasst nochmal, das waren die beiden wesentlichen Aspekte zu der Tälerreihe.
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Erstens muss ich angucken, ob sie konvergiert. Das tut sie nur, wenn ich nicht zu weit weg von der Stelle bin, an der entwickelt wird, bei der Exponentialfunktion und Sinus und Cosinus und ähnlichen schönen Sachen habe ich das Glück.
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Es geht immer, der Konvergenzradius ist unendlich, aber das ist untypisch, dass der unendlich ist. Punkt eins, Konvergenz. Punkt zwei, was sie rauskriegen, muss nicht die Originalfunktion sein. Und je realistischer die Funktion ist, mit der ich starte, desto kleiner ist die Chance, dass wirklich die Originalfunktion rauskommt,
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weil analytische Funktionen sind in der wahren Welt eher selten.
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