09.3 inhomogene lineare DGL 1. Ordnung
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Formale Metadaten
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| Anzahl der Teile | 92 | |
| Autor | ||
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| Identifikatoren | 10.5446/10241 (DOI) | |
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Inhaltliche Metadaten
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Mathematik 2, Sommer 201136 / 92
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Lösung <Mathematik>QuadratDifferentialgleichungVollständiger VerbandAbleitung <Topologie>GleichungssystemPolynomKonstanteAnfangsbedingungNichtlineares GleichungssystemGleichungSummeKerndarstellungPhysikMatrizenringLineares GleichungssystemSinusfunktionKoeffizientLogarithmusKosinusfunktionComputeranimation
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Ableitung <Topologie>PolynomQuadratGradientKoeffizientAnfangsbedingungDifferentialgleichungHausdorff-RaumKonstanteSummeZahlenbereichFormelsammlungGleichungComputeranimation
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Computeranimation
Transkript: Deutsch(automatisch erzeugt)
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eine inhomogene lineare Differential-Gleichung, 1. Ordnung, mit konstanten Koeffizienten. Was für ein Mörderausdruck. Also das hier ist meine Inhomogenität. Da steht nicht für eben 0.
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Hier steht ein Ausdruck, der nicht ein Vielfaches von der gesuchten Funktion ist oder seinen Ableitungen ist. Der Trick ist nun folgender. Man sucht hiervon eine spezielle Lösung.
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Hierzu eine spezielle Lösung. Das heißt eine Lösung zu irgendeiner Anfangsbedingung. LSG schreibe ich hier. Eine Lösung zu irgendeiner Anfangsbedingung. Das wäre eine spezielle Lösung. Und dann addiert man die allgemeine Lösung dieser Art.
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Das ist die allgemeine Lösung von der homogenen Form derselben Differential-Gleichung. Addiere die allgemeine Lösung der homogenen Form.
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Warum haut das hin? Wenn Sie von dieser Differential-Gleichung zwei Lösungen haben,
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selbe Argument wie vor zwei Wochen oder was beim Kern, bei den Jahren, wenn Sie von dieser zwei Lösungen haben, y1-5y1 ist gleich x², steht im Text ein bisschen mehr ausbuchstabiert. Ich habe eine Lösung, eine Funktion y1, die das kann.
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Und ich habe eine Funktion y2, die das kann. y2 gleich x². Was können Sie mit diesen beiden Gleichungen veranstalten? Genau, die ziehen wir voneinander ab.
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Die ziehen wir voneinander ab. Und dann steht da y1-y2 abgeleitet plus 5y1-y2 ist gleich x²-x² ist gleich 0. Und dann steht da die homogene Form.
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Also, wenn ich zwei Lösungen habe für diese Differential-Gleichung, kann ich die voneinander abziehen und ich kriege eine Lösung der homogenen Form, die wir eben hatten. Oder andersrum, wenn ich eine Lösung habe, diese inhomogenen Linearen-Differential-Gleichung,
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wenn ich eine Lösung davon habe, kann ich eine Lösung der homogenen addieren und habe sofort eine zweite Lösung. Und das geht dann auch immer. Also, zwei Lösungen, zwei beliebige Lösungen der inhomogenen Form unterscheiden sich um eine Lösung der homogenen Form. Der Trick ist dieser hier jetzt.
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Ich suche irgendeine Lösung dazu. Dieses Ding zu lösen ist ein bisschen eklig. Ich suche irgendeine einzige Lösung, eine spezielle Lösung, wie es so schön heißt, zu irgendeiner passenden Anfangsbedingung und addiere dazu die allgemeine Lösung der homogenen Form. Ich kenne alle, die das hier unten können.
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Das habe ich eben bestimmt mit dem Ansatz A mal E hoch X mal B. Die waren das von eben, die kenne ich, die das können. Wenn ich eine von der Sorte habe, alle von der Sorte habe, kriege ich dann zum Schluss auch alle von der Sorte, alle Lösungen der inhomogenen Gleichung, der inhomogenen Form. Das ist ein allgemeiner Trick bei linearen Gleichungssystemen und bei linearen Differential-Gleichungen.
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Bei den Gleichungssystemen war das, ich kann zu einer Lösung ein beliebiges Element aus dem Kern, ein beliebiges Element des Kerns addieren und kriege wieder eine Lösung. Hier addiere ich eine beliebige Lösung der homogenen Form, wo hier eine Null steht.
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Das entspricht dann dem Kern bei den linearen Gleichungssystemen. Okay, ich suche also irgendeine Lösung, eine spezielle Lösung, wie es so schön heißt, das hört sich besser an, als wenn man sagt, irgendeine Lösung. Dazu brauchen wir einen Ansatz natürlich wieder.
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Die allgemeine Lösung hier unten, der homogenen Form hatten wir eben schon. Ein Ansatz für eine spezielle Lösung hier vorne.
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Also so entsteht dann der Ansatz. Hier E hoch X zu benutzen, hier wäre wieder etwas mit E hoch X, 5 mal E hoch X, da kommt beim besten Willen die X² raus. Sinus ableiten macht den Cosinus plus den Sinus, kommt auch eine X² raus. Denn natürlich der Logarithmus wird 1 durch X plus 5 mal der Logarithmus wird auch eine X². Sie können jetzt alle durch Xen.
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Irgendwann weiß man dann, okay, für X² probiere ich doch einfach mal das mit X², ein Vielfaches von X². Hier habe ich ein Vielfaches von X² dann. Offensichtlich muss ich ein Fünftel X² nehmen, aber das sehen wir gleich. Ein Vielfaches von X², dann steht hier aber ein Vielfaches von 2X durch das Ableiten.
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Das ist jetzt blöd. Das 2X muss ich noch loswerden, denn auf der rechten Seite habe ich nichts mit X. Wenn ich in das Y hier aber noch X rein nehme, habe ich die Chance das X da vorne rauszuhebeln. Wenn ich hier aber noch ein X rein nehme, heißt das, ich kriege hier noch die Ableitung von dem X, eine Konstante.
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Die muss ich auch wieder aushebeln. Und dann sind wir bei der Form. Was weiß man dann irgendwann? Wenn hier als Störfunktion auf der rechten Seite ein quadratisches Polynom in X steht, setzt sich ein quadratisches Polynom auch als Lösung an. Und jetzt ist der Job diese konstanten A, B, C zu bestimmen.
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Die sollte ich vielleicht nicht, A, B, C. Jetzt haben wir es schon abgeschrieben. Eben habe ich mit A und B angefangen. Das war vielleicht ein bisschen ungeschickt. Sorry. Ich mache mal weiter. C, D, E. Dass das nicht durcheinander geht. Und nun kann ich ablesen, was passieren wird.
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Die Ableitung wird sein 2 mal CX plus D. Das wird die Ableitung davon sein. Gucken wir uns an, was das heißt. Diese Differentialgleichung wird dann zu Y Strich ist 2CX plus D plus,
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und jetzt 5 mal Y, 5CX Quadrat, 5 mal DX plus 5 mal E soll sein,
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X Quadrat, strengt ihr mal, soll sein, X Quadrat für alle X. Was man dann in den Universitäten seltener dazuschreibt, und in der Physik, für alle X soll das gelten. Ich habe jetzt einfach meinen Ansatz eingesetzt. Hier steht die Ableitung von meinem Ansatz. Hier steht 5 mal das Y aus meinem Ansatz.
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Und nun gucke ich mir an, was das bedeutet, wenn das für alle X gelten soll. Mal sehen, wir sehen hier 5C mal X Quadrat. Das ist das einzige mit X Quadrat auf der linken Seite. Damit das auf der linken Seite gleich dem sein muss,
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geht nur, dass 5C gleich 1 ist. Damit ich auf der linken Seite so viele X Quadrat habe, wie auf der rechten Seite. Es soll ja nicht für ein bestimmtes X gelten, es soll ja für alle X gelten. Das heißt, dass das Polynom links gleich dem Polynom rechts sein muss.
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Das ist nun die X Quadrat. Die X, insgesamt habe ich 2C und 5D X auf der linken Seite, auf der rechten Seite keines. Das muss natürlich in der Summe dann hinkommen. Und da sind wir noch 5.
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Dann habe ich hier ohne X, das ist D und 5E. Rechts steht nichts ohne X, also muss ich haben D plus 5E ist gleich 0. Das muss gelten für diese drei Regler, die ich da eingebaut habe in meinen Ansatz. Das ist blöd zu lösen, immer noch derselbe Lücke im Text.
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Ich hoffe, Sie haben Platz gelassen. Ich sehe, was ich vorhin schon wusste, C muss ein Fünftel sein. 2 mal ein Fünftel plus 5 mal D soll 0 sein. Das heißt, D ist minus 2,25.
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Das habe ich zu Hause auch ausgereicht, wunderbar. Und die letzte Gleichung, minus 2,25 plus 5E soll 0 sein. Das heißt, D ist gleich 2,25. Jetzt müsste ich, streng genommen, eigentlich noch mal diese Zahlen einsetzen und gucken, dass es hinkommt.
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Aber aus der Rechnung ist klar, das muss hinkommen. Und damit habe ich eine spezielle Lösung. Also habe ich eine spezielle Lösung, nämlich ein Fünftel, ich schreibe mal Y davor, weil es so schön ist.
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Y ist ein Fünftel mal X² minus 2,25 mal X plus 2,25. Das ist eine Funktion, die diese inhomogene lineare Differenzalgleichung
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in erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten löst. Das ist ein Tipp für die Formelsammlung. Suchen Sie sich ein paar rechte Seiten raus, die man erwarten könnte. Sinus, Cosinus, E, Polynome und schreiben Sie sich einfach auf, was der typische Ansatz ist.
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Aber wenn man dann aufgeschrieben hat, was der typische Ansatz ist, weiß man dann auch auswendig, ist es wirklich ganz banal, wie das dann funktioniert. Hierfür ein Polynom zweiten Grades. Als Störfunktion setze ich ein Polynom zweiten Grades an und bestimme die Koeffizienten darin. Das hier wird eine Lösung für diese
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inhomogene lineare Differenzalgleichung sein. Eine spezielle, hier steht jetzt keine Konstante mehr, das ist aber auch nichts, was ich wollte. Ich wollte eine einzige Lösung und jede Lösung hiervon, die allgemeine Lösung,
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kriege ich, indem ich die allgemeine Lösung der homogenen Form dazu addiere. Das ist für die Nummer sechs und die allgemeine Lösung sieht dann so aus.
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Die allgemeine Lösung der inhomogenen linearen Differenzalgleichung, ich nehme diese spezielle Lösung, ein fünftel x² minus zwei durch 25x plus 225 plus
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diese hier a mal e hoch minus 5x, die allgemeine Lösung der homogenen Form, a mal e hoch minus 5x plus a mal e hoch minus 5x, also hier hinten die allgemeine Lösung
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der nach allgemeine Lösung der homogenen Form. Das ist der übliche Trick, um mit inhomogenen
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linearen Differenzalgleichungen umzugehen. Man baut sich eine spezielle Lösung dafür, Ansatz Polynom zweiten Grades in diesem Fall, eine spezielle Lösung, eine bestimmte Anfangsbedingung
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und dann addiere ich dazu die allgemeine Lösung der homogenen Form. Ich schreibe dann hier statt x² null hin, baue die homogene Form, löse die aber allgemein, was einfacher ist, die allgemein zu lösen
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und was da rauskommt, addiere ich dazu. Und der Grund ist mehr oder minder offensichtlich, wenn Sie das in die original Differenzalgleichung einsetzen, sorgt dieses dafür, dass auf der rechten Seite das rauskommt, dass sie da rauskommen muss und das liefert hier einfach nur null auf der rechten Seite, als Lösung der homogenen Form.