dass ich sage, ok, dieses Ding, ein Vektor aus dem R3, einmal ein Anderen aus dem R3 oder mal denselben aus dem R3 soll sein, x Komponenten multiplizieren, addieren, dazu y Komponenten multiplizieren, addieren dazu y Komponenten multiplizieren,

eine dumme Definition, kann man locker ausrechnen, nun kann man sich überlegen, was denn das nun bedeutet, dann möchte ich jetzt Schritt für Schritt entwickeln, warum das das Skalarprodukt ist, was Sie sowieso kennen, warum es diese geometrischen Eigenschaften hat, mit dem Kosmos und mit der Länge eines Vektors. Das mit der Länge eines Vektors hatten wir letztes Mal auch schon,

wenn Sie einen Vektor mal sich selbst nehmen, kommt dabei offensichtlich, hier 1 Quadrat plus 2 Quadrat plus 3 Quadrat, ist nichts anderes als das Quadrat der Länge des Vektors. Das gilt ganz banal, also hat man da schon den ersten Fingerzeig,

was das Skalarprodukt mit Geometrie zu tun hat, das Skalarprodukt eines Vektors mal sich selbst, gibt die Länge des Vektors. Bei komplizierteren Wegräumen macht man es dann nachher genau umgekehrt, man gibt das Quadrat der Länge, das Quadrat der Länge eines Vektors, sagt man dann nachher ist das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst, auch wenn man gar nicht mehr genau weiß, was die Länge ist.

Und was wir letztes Mal auch schon hatten, war mit Hilfe von Plutagoras festzustellen, was denn passiert, beschreibe ich das mal, wenn ich zwei Vektoren habe, die senkrecht aufeinander sind, mit A mal B und die beiden senkrecht aufeinander, mit A senkrecht B, da kam ganz dreist Null raus,

ergab sich mit etwas Riesentücke aus dem Plutagoras. Das heißt, ich habe ein Kriterium dafür, wann zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen. Das gilt auch umgekehrt, das habe ich nicht ausführlich vorgeführt, das gilt natürlich auch umgekehrt, wenn Null rauskommt, dann stehen die beiden senkrecht aufeinander, oder einer davon ist Null,

aber man definiert es dann schlicht und ergreifend allgemein so, auch wieder umgekehrt, wenn das Skalarprodukt Null ist, dann heißen die beiden senkrecht aufeinander, das führt insbesondere dazu, dass der Nullvektor senkrecht auf allen anderen steht. Der Nullvektor hat zwar keine Richtung, oder jede Richtung, wie auch immer, aber trotzdem sagt man dann ganz dreist, der Nullvektor steht senkrecht auf allen anderen, denn Nullvektor mal irgendwas, kommt immer Null raus.

Da muss man hier keine Fallunterscheidung mehr machen, wenn das Skalarprodukt Null ist, stehen die beiden senkrecht aufeinander, oder es ist einer davon der Nullvektor, oder es sind beide der Nullvektor, egal, ich nenne das einfach so, immer stehen die beiden senkrecht aufeinander, wenn das Skalarprodukt Null ist, und der Nullvektor steht dann senkrecht auf allen.

Das ist immer noch nicht der allgemeine Fall, da soll es jetzt weitergehen, wenn ich zwei Vektoren in allgemeiner Lage habe, im R2 mal ist jetzt auf, aber das kann man sich dann genauso umsetzen, im R3 vorstellen, im R4 kann man sich nicht mehr gut vorstellen, man rechnet dann einfach genau dasselbe, was man im R2 und im R3 gerechnet hat,

Vektor A ist ja ein Vektor A, ein Vektor B, und ich möchte nun ausrechnen, was denn deren Skalarprodukt sein soll, und eine geometrische Idee haben, was dahinter steckt. Trick ist, wo ich weiß, dass das Skalarprodukt 2a senkrechter Vektoren Null ist,

dass ich dieses B zerlege, wie sie in der Physik Kräfte zerlegen, dieses B hat einen Anteil parallel zu meinem Vektor A und einen Anteil senkrecht zu meinem Vektor A,

also das soll senkrecht sein, den hier nenne ich schon mal Phi, den hier nenne ich B senkrecht, und diesen hier nenne ich B parallel, das heißt, ich habe zerlegt den Vektor B

in einen Anteil parallel zu meinem Vektor A und einen Anteil senkrecht zu meinem Vektor A, und nun versuchen wir mal mit Geometrie festzustellen, was denn das werden wird, die Länge von B parallel,

ich schreibe die mal hin, die Länge von B parallel, die kann ich jetzt versuchen mit Sinus, Cosus und Freunden auszuwechnen, die Länge von dem hier, macht das mal so hin, die Länge von dem hier, das hier ist die Länge von B parallel,

nach welcher Winkelfunktion schreibt das? Also der Sinus würde mir sagen, gegen Kathete, der Sinus von Phi würde mir sagen, gegen Kathete durch Hypotenuse, das ist nicht was ich brauche, aber an Kathete durch Hypotenuse,

diesen rechten Winkel hier nicht vergessen, an Kathete durch Hypotenuse, das ist schon hilfreich, also der Cosinus irgendwo, der Cosinus sagt an Kathete durch Hypotenuse, wenn ich mit der Hypotenuse multipliziere, habe ich nur noch die an Kathete,

die Länge der Hypotenuse ist die Länge vom Vektor B, das ist jetzt noch nicht ganz richtig, muss ich gestehen, wenn wir wirklich alle Winkel betrachten, das sieht erstmal, ich schreibe hier noch ein Fragezeichen, das haut noch nicht immer hin, aber erstmal denkt man sich so mit Schulmathematik,

an Kathete durch Hypotenuse ist der Cosinus, wenn ich mit der Hypotenuse multipliziere, dann kommt die Länge der an Kathete raus, wann stimmt das nicht, für welche Winkel ist das falsch, es funktioniert im Prinzip, auch wenn der Winkel über 90° ist,

nur wird der Cosinus negativ, wenn Sie sich den Verlauf von Cosinus vorstellen, ab 90° wird der Cosinus negativ, dann steht da eine nicht negative Zahl, diese Länge ist eine nicht negative Zahl, das kann so nicht funktionieren, damit das auch für negative Winkel funktioniert,

brauche ich hier einen Betrag vom Cosinus, das macht diese Überlegung hier etwas unangenehmer, als sie eigentlich sein müsste, also so kann ich die Länge von diesem parallelen Anteil feststellen, und die ist dann auch garantiert immer größer als Null, wenn ich den Cosinus in den Betrag nehme,

ich schreibe hier vielleicht mal Vorsicht, wenn viel größer als 90°, die Länge von B parallel kenne ich, damit kann ich jetzt B parallel insgesamt hinschreiben,

ich weiß nämlich, dass B parallel ein Vielfaches von A sein muss, die beiden zeigen in die selbe Richtung, B parallel soll der Anteil von B parallel zu A sein, B parallel ist ein Vielfaches von A, und ich kann dieses Vielfache direkt angeben,

wenn Sie die Länge von B parallel wissen, wie können Sie dann B parallel als Vielfaches von A schreiben, dann kriegen wir das hin,

das muss mit dem Verhältnis der Längen zu tun haben, wenn ich A auf die Länge 1 bringen will, teile ich einfach durch seine Länge, Normalisierung eines Vektors, das haben wir schon gesehen,

ich nehme natürlich stilschweigend an, dass A nicht der Nullvektor ist, sonst würde ich hier durch Null teilen, jetzt habe ich einen Vektor, der zeigt in die Richtung von A, hat aber die Länge 1, wenn A 5 cm lang ist, teilen Sie durch 5, haben Sie einen Vektor der Länge 1, und nun möchte ich daraus einen Vektor bauen, der die Länge von B parallel hat,

da multipliziere ich das Ganze mit der Länge von B parallel, aber, das haben wir gerade gesehen, das kann leider auch das falsche Vorzeichen haben, also so habe ich hier auf jeden Fall einen Vektor der Länge von B parallel

in die Richtung von A, oder entgegen der Richtung von A, wenn B so zeigen würde, bräuchte ich einen Vektor entgegen von A, mit anderen Worten dieses Vorzeichen hier, ich brauche hier das Minus, wenn der Winkel über 90 Grad ist,

oder so rum, aber das will ich jetzt nicht alles buchstabieren, wenn er auf die andere Weise über 90 Grad ist, das wäre B parallel dann ausgedrückt als Vielfaches von A, diese Länge von B parallel habe ich da aber schon, da steht die Länge von B parallel,

das heißt, hier steht plus minus die Länge von B durch die Länge von A, plus minus habe ich eben nicht hingeschrieben, da müssen wir uns gleich noch kümmern, mal Betrag von Cosinus Phi,

jetzt ahnen Sie hoffentlich was mit diesem Plusminus und dem Betrag von Cosinus passiert, die beiden hier arbeiten perfekt zusammen, wenn der Cosinus negativ wird, brauche ich da vorne das Minuszeichen, wenn hier ein Winkel über 90 Grad steht,

genau dann brauche ich da vorne das Minuszeichen, der hier zeigt gerade in die falsche Richtung, das heißt, ich kriege das Plusminus geschenkt, wenn ich einfach die Betragstriche um den Cosinus weglasse, so stimmt es, plötzlich sind die Betragstriche wieder weg, das ist ein bisschen ärgerlich mit den Betragstrichen, aber man kann sie dann wieder wegdiskutieren,

also ich kriege auf diese Weise, dass B parallel, dieser parallele Anteil von B, da ist B, dieser parallele Anteil von B parallel zu A, ist die Länge von B durch die Länge von A, mal den Vektor A, mal den Cosinus vom Winkel zwischen den beiden und das stimmt dann automatisch auch, ob B parallel entgegen von A oder mit A zeigt,

wenn der Cosinus größer ist als 90 Grad, steht da im Endeffekt Minus A, mal irgendwas, und das ist alles eingebaut, damit habe ich jetzt B parallel ausgerechnet und nun kann man, das ist Nummer 13,

da hatte ich da eben 12 hingeschrieben, ja, nochmal die komplette Zerlegung einsetzen, was wird denn das Skalarprodukt werden, A mal B, das wollte ich eigentlich, das Skalarprodukt zweier allgemeiner Vektoren,

der Trick war, dass ich B zerlegt habe in einen Anteil parallel zu A, einen Anteil senkrecht zu A, wie Sie eine Kraft zerlegen, das ist also B ist B parallel plus B senkrecht, was kann ich nun machen mit dem Skalarprodukt,

Skalarprodukt darf ich einfach ausmultiplizieren, das hatten wir schon gesehen, sieht man, wenn man es einfach mit Zahlen hinschreibt, aus dieser grundsätzlichen Idee, wenn Sie da hinten eine Summe haben, können Sie ihn ausmultiplizieren, da steht dann das Skalarprodukt ausmultipliziert,

das muss sich ausmultiplizieren können, gibt Vektor A mal den Parallelanteil plus Vektor A mal den senkrechten Anteil von B, jetzt können wir mit der Kenntnis darauf los, dass das hier Null ergibt, A mal der Anteil von B senkrecht zu A,

A mal der Anteil von B senkrecht zu A, A mal der Anteil von B senkrecht zu A ergibt Null, da steht nur noch A, Skalarprodukt mit Parallelanteil, mit dem Parallelanteil, und hier steht der Parallelanteil, das ist A mal,

die Länge von B durch die Länge von A, immer stillschweigend vorausgesetzt, A ist ungleich Null, sonst wird es ja ganz billig, mal den Vektor A, mal den Kosinus des Winkels dazwischen,

A mal B parallel, A mal, das ist der da vorne, jetzt kommt B parallel, das Verhältnis der Längen A und der Kosinus, wie fassen Sie das zusammen?

Hier muss man erkennen, hier steht A Skalarprodukt A mal irgendein Krempel, A mal A steckt da drinnen, A Skalarprodukt mit A, Sie können jetzt nicht diesen Vektor direkt mit seiner Länge kürzen, das haut nicht hin, ich kann jetzt nicht 1, 2, 3 durch Wurzel entsprechend, wie soll ich das jetzt gekürzt kriegen, und dann sagen, oben fliegt der weg, das haut nicht hin,

aber A mal A gibt die Länge ins Quadrat, von A durch, unten steht einmal die Länge, mal die Länge von B, mal den Kosinus, jetzt können wir kürzen, und da steht das, was Sie sowieso schon kennen, die Länge von A,

mal die Länge von B, mal den Kosinus vom Winkel zwischen den beiden Vektoren, das ist die geometrische Interpretation von dem Skalarprodukt, also ich würde so anfangen, dass ich erst sage, wie vorgeführt,

wir denken uns ein Skalarprodukt ganz dumm, rechnerisch, komponentenweise multiplizieren, addieren und gucken uns an, was dann geometrisch passiert, und Sie sehen, das passiert geometrisch, Sie kriegen dasselbe Resultat über die Komponenten, wenn Sie die Länge des einen nehmen, mal die Länge des anderen, mal den Kosinus vom Winkel dazwischen. Ganz billige Anwendung davon ist,

wenn Sie das Skalarprodukt in Komponenten ausrechnen, steht hier eine bekannte Zahl, dann kriegen Sie auch die Länge des ersten Vektors in Komponenten ausgerechnet, die Länge des zweiten Vektors in Komponenten ausgerechnet, bekannte Zahl ist gleich bekannte Zahl, mal bekannte Zahl, mal Kosinus, das heißt, Sie können sagen, was der Kosinus von dem Winkel zwischen den Vektoren ist,

eine Art Winkel auszurechnen. Und nebenbei lerne ich hier raus etwas über das Vorzeichen des Skalarprodukts, wenn der Winkel spitz ist und stumpf ist,

passiert etwas Verschiedenes jeweils, ein Spitzerwinkel soll heißen, er ist zwischen 0 und 90 Grad, konnte ich jetzt lange darüber streiten, ist 0 Grad, ein Spitzerwinkel ist 90 Grad, ein Spitzerwinkel 90 Grad ist wahrscheinlich kein Spitzerwinkel, sondern ein rechter Winkel, deshalb schreibe ich es mal so hin,

ein Spitzerwinkel, und was passiert mit einem stumpfen Winkel? Das heißt, der Winkel ist überstreckt, das hat nicht ganz gereicht, der Winkel ist überstreckt, über 90 Grad, also 90 Grad kleiner Vieh, ist 180 Grad ein stumpfer Winkel,

oder schon kein stumpfer Winkel mehr, will ich jetzt auch keine Philosophie anfangen, ich schreibe mal kleiner 180 Grad als stumpfer Winkel, als stumpfen Winkel. In diesem Fall, wenn der Winkel ein Spitzerwinkel ist, ist der Kosinus

positiv, er wird bei 90 Grad gerade 0, das heißt, das Skalarprodukt muss größer als 0 sein, weil der Kosinus größer ist als 0, die Länge des einen mal die Länge des anderen ist garantiert eine positive Zahl,

wenn nicht einer von beiden 0 ist, dann habe ich jetzt sowieso ein Problem mit dem Kosinus, also Spitzerwinkel heißt, Skalarprodukt ist positiv, in diesen Fällen hier haben Sie ein positives Skalarprodukt, wenn der Winkel stumpf ist, in diesen Fällen über 90 Grad,

ist der Kosinus negativ, das Skalarprodukt wird negativ, das heißt, ich kann nicht mehr entscheiden, ob zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen, ich kann auch sofort entscheiden, ob die beiden spitz oder stumpf zueinander liegen,

einfach nur über das Vorzeichen des Skalarprodukts, und wenn Sie noch ein bisschen genauer rechnen mit den Längen, kriegen Sie sogar den richtigen Winkel raus, das kriegt man dann geometrisch geschenkt mit dem Skalarprodukt und man kriegt den Kosinus-Satz geschenkt,

dann habe ich im Vorkurs etwas umständlich erklären müssen, jetzt geht es Kosinus-Satz, jetzt geht das ganz banal, Sie nehmen A und B als Kantenvektoren, eines Dreiecks und B,

wie auch immer die gerade liegen, von mir aus malen Sie die so ein, A und B, oder Sie malen die so ein, A und B, dass die auf einem Punkt zu zeigen, es wird dasselbe dabei rechnerisch rauskommen, ich finde es am einfachsten, das so aufzumalen,

zwei Kantenvektoren, so liegen, von einem gemeinsamen Punkt ausgehend, hier zwischen liegt der Winkel Phi, und auch eine Seite, die da wirklich sauber abschließt, Übung,

das ist jetzt rechtwinklig geworden, sorry, ich will ausdrücklich kein rechtwinkliges Dreieck haben, sieht das aus wie ein ausdrücklich nicht rechtwinkliges Dreieck, ich hoffe es, wie können Sie einen Kantenvektor für die dritte Seite finden,

also wenn Sie die beiden Kanten haben, können Sie die dritte Seite direkt hinschreiben, das ist A minus B, wie male ich das mal hin, ich kann mir das mit der Subtraktion nie so richtig merken, ich würde minus B bilden, das wäre minus B,

und die Behauptung ist, dass dieser Vektor da oben, A minus B ist, nehmen Sie hier den roten, minus B, hängen Sie den da hin, minus B, und dann sehen Sie, A minus B, wird das hier, da scheint voll hin zu hauen, dieser Vektor und der,

sollten derselbe sein, also die dritte Kante ist die Differenz, so wie ich die beiden jetzt hier gezeichnet habe, beide aus einem Punkt ausgehen, dann ist die dritte Kante die Differenz, A minus B oder andersrum B minus A, das wäre für Nummer 15,

und nun will ich mir überlegen, wie die Seitenlängen zusammenhängen in diesem Dreieck, die Länge des Vektors A ist die Länge dieser Seite, das ist das einzige komplizierte, die Länge dieser Seite da oben,

wie lang ist die dritte Seite, das ist die Länge des Vektors A minus B, mit dem Skalarprodukt kann ich immerhin sagen, was das Quadrat davon ist, nämlich das Produkt A minus B mit sich selbst, Vektor Länge ins Quadrat war Vektor,

Skalarprodukt Vektor, wie kann ich das umformen jetzt, in gewisser Weise die binomische Formel, aber jetzt für Vektoren, ich schreibe es lieber zu Fuß hin, um keinen Unsinn zu machen, A mal A, also einfach ausmultiplizieren, was man ja mit dem Skalarprodukt tun darf,

A mal A, A mal minus B, das Minus kann ich da vorne ziehen, minus B mal A, minus B mal minus B plus B mal B, das kann ich jetzt zusammenfassen, A mal A, kennen wir schon, ist die Länge von A ins Quadrat,

minus A mal A, B mal B ist die Länge von B ins Quadrat, und dann steht der Minus A mal B, minus B mal A, dem Skalarprodukt

ist die Reihenfolge egal, B mal A, A mal B, das heißt hier steht Minus 2 mal A mal B, das kennen wir aber auch schon, das Skalarprodukt in geometrischer Form ist die Länge des einen mal die Länge des anderen

mal den Kosinus, hier steht also Länge A, Länge B mal den Kosinus, macht insgesamt die Länge der einen Kante ins Quadrat plus die Länge der anderen Kante ins Quadrat, minus 2 mal die Länge der einen Kante mal die Länge der anderen Kante, mal den Kosinus,

von dem Winkel zwischen den beiden, den sollte ich im Dreieck eigentlich nicht Phi nennen, wie sollte ich diesen Winkel im Dreieck nennen, das sollte eigentlich im Dreieck Gamma heißen, schreiben wir da lieber Gamma hin, hier ist die Seite C, A, B, da ist die Seite C,

gegenüber der Seite C liegt der Punkt C und daran der Winkel Gamma, hier liegt der Winkel Alpha und hier der Winkel Beta, immer gegenüber der Seite, wobei mir jetzt auffällt, dass dieses Dreieck ärgerlicherweise dann im Uhrzeigersinn beschriftet ist, das ist unschön, aber der Kosinusssatz gilt

auch für Dreiecke, die im Uhrzeigersinn beschriftet sind, also eigentlich sollte hier so etwas stehen wie der Winkel Gamma, und wenn Sie das jetzt alles zusammennehmen, hier steht die Länge der dritten Seite,

im Dreieck steht da also, die Länge der dritten Seite ins Quadrat, C war das, C Quadrat ist die Länge der ersten Seite ins Quadrat und die Länge der zweiten Seite ins Quadrat, minus 2 mal die Länge der ersten Seite mal die Länge der zweiten Seite, mal den Kosinus von Gamma,

schreibe ich jetzt mal ganz dreist, das ist der altbekannte Kosinusssatz, im allgemeinen Dreieck, also Pythagoras für das allgemeine Dreieck, das ist Pythagoras, und im allgemeinen Dreieck kriegen Sie

zweimal das Skalarprodukt abgezogen, das ist der Kosinusssatz, der ist dann auch eingebaut, wenn man das Skalarprodukt hat, natürlich analog dann weiter, wenn Sie hier zügig durchtauschen, A Quadrat ist B Quadrat und C Quadrat, dann hier B, C und Winkel Alpha,

und so weiter drei Gleichungen bauen. Das zum Skalarprodukt,