Wie kriegen wir jetzt Zahlen an die Vektoren dran? Das sollte auch noch nichts Neues sein. Die Ebene R2 und der Raum R3. Wenn ich so etwas hinschreibe wie ein Vektor ist gleich 2, 3, soll das heißen?

Ich meine die Menge aller Pfeile in der Ebene, die 2 Einheiten nach rechts und 3 Einheiten nach oben zeigen. Also der wäre dabei.

Vielleicht sollte ich das sogar wirklich als Menge hinschreiben. Ich habe es im Skript so nicht vorgesehen, aber vielleicht wirklich als Menge vorstellen. Dieser Pfeil wäre dabei. 2 Einheiten nach rechts, 3 nach oben. Dieser hier wäre dabei. 2 Einheiten nach rechts, 3 Einheiten nach oben. Dieser hier wäre dabei. 2 Einheiten nach rechts, 3 Einheiten nach oben.

Und so weiter und so weiter. Alle Pfeile dieser Art soll das heißen. Und das schreibe ich dann in Komponenten. So heißen die beiden hier. Die X-Komponente ist die 2 und die Y-Komponente ist die 3. So hin. Das soll ein Vektor sein. Damit habe ich übersetzt von einem Pfeil oder genauer von einer Menge von Pfeilen.

Alle diese parallel verschobenen, eine Klasse sagt man auch gerne, von Pfeilen. In zwei Zahlen. Sicherheitshalber, das sind Komponenten. Die X-Komponente vom Vektor ist 2. Die Y-Komponente vom Vektor ist 2. Anders als bei Punkten, wenn Sie einen Punkt haben. Der Punkt A mit der Koordinate X5 und Y ist 7.

Das sind Koordinaten bei Punkten. Bei Vektoren sind das Komponenten. Wenn ich zwei Punkte habe, jetzt geht es dann durcheinander. Dann kann ich damit einen Vektor bauen.

Aus Punkten werden Vektoren. Wo mache ich das hin? Ich mache das hier frei. Irgendwo sitzt mein Ursprung. So etwas. X, Y.

Unser Kandidat 2, 3 von eben. 2 nach rechts, 3 nach oben. Ein bisschen krumm geworden. Das sieht vielleicht so aus. Wer zeigt zum Punkt mit den Koordinaten 2, 3? Der Vektor mit den Komponenten 2, 3 zeigt zum Ursprung zum Punkt 2, 3.

Sie können diesen Vektor auch da einzeichnen oder da einzeichnen. Wenn Sie ihn aber hier anzeichnen, vom Ursprung aus, zeigt er zu dem Punkt mit den Koordinaten 2, 3. Der Vektor mit den Komponenten 8, 5. Wenn ich ihn eben so einzeichne.

Dieser hier, 8, 5, zeigt vom Ursprung zum Punkt mit den Koordinaten 8, 5. Wie gesagt, können Sie auch da einzeichnen. Können Sie auch hier einzeichnen. Hilft uns aber gerade nichts. Wenn ich ihn am Ursprung einzeichne, zeigt er zu diesem Punkt.

Und jetzt kann ich auch Differenzen bilden. Dieser Vektor in rot, dieser Vektor hier, ist der Differenz-Vektor zwischen den beiden Punkten.

Also man kann tatsächlich Punkte voneinander abziehen. Es gibt nicht viel Sinn, Punkte zu addieren. Aber Sie können Punkte voneinander abziehen und das Ergebnis wird ein Vektor sein. Und das ist netterweise einfach die Differenz dieser beiden Vektoren, die zu den Punkten zeigen.

Der Differenz-Vektor zwischen zwei Punkten ist der Vektor, den Sie kriegen, wenn Sie einfach diese beiden Vektoren hier voneinander abziehen. Also das wird 8, 5, minus 2, 3, macht 6, 2.

Wenn ich einen Vektor nehme, der 2 nach links, 3 nach oben zeigt, und ziehe davon einen Vektor ab, der 2 nach rechts und 3 nach oben zeigt, und ziehe davon einen Vektor ab, der 8 nach rechts, 5 nach oben zeigt,

haben Sie sinnvollerweise einen Vektor, der 6 nach rechts und 2 nach oben zeigt. Damit hat man nebenbei schon die Subtraktion von Vektoren. Wenn man will, kommt sogar zuerst die Subtraktion. Ich ziehe zwei Punkte voneinander ab.

Sobald wir bei den Zahlen sind, geht das relativ schlicht weiter. A soll sein 2, 3. Da kann ich sofort sagen, was das Dreifache von A ist.

A ist der Vektor, der 2 nach rechts, 3 nach oben zeigt. Der dreifache Vektor A zeige ich 2 nach rechts, 3 nach oben. Wenn Sie den vor dreifachen, wird er natürlich dreimal so weit nach rechts, dreimal so weit nach oben zeigen.

Wird also sein 3 mal 2, 3 mal 3, 6, 9. Das heißt, das Vielverein des Vektors ist den Zahlen billig auszurechnen. Ebenso billig ist die Summe auszurechnen. Wenn ich oben 3 noch einen Vektor baue, B, der soll sein minus 4, 2,

der zeigt 4 nach links, 2 nach oben, das wäre B. Wenn ich die beiden addiere, was mache ich denn hier, 23? Falsch, das hier war 23, Entschuldigung, 24.

Die beiden hintereinander gehängt, soll ja diese Summe sein. Dann brauche ich einen Fall, der 2 nach rechts, 4 nach links zeigt, also 2 nach links. Und 3 nach oben, 2 nach oben, 3 nach oben, 2 nach oben, also 5 nach oben zeigt.

Die werden einfach addiert. 2 minus 4 macht die minus 2 und die 3 und die 2 macht zusammen die 5. Einfach die Komponenten addieren. Billig, billig. Das 2 sind in 2 Dimensionen vorgeführt, genauso in 3 Dimensionen,

genauso in 98 Dimensionen, es wird noch ein bisschen schwierig zu schreiben. Es stellen sich 98 Zahlen untereinander vor. Mal ein bisschen Mühe, die unterzubringen. Hier diese Kombinationen von zwei Zahlen, die bilden den R2.

Das habe ich gar nicht als Lückentext vorgesehen, ist aber auch banal. R2 soll sein die Menge aller dieser Kombinationen, also sowas wie 3, 4, und minus 7, dritte, 18, siebte oder Wurzel 2 und Pi und so weiter und so fort.

Diese unendlich vielen Kombinationen, alle zusammengenommen, heißen dann R2. Das ist ein Modell für die Ebene. Und R3 sind dann sinnvollerweise alle diese Kombinationen,

bei denen jeweils 3 Zahlen übereinander stehen. Ein Modell für den Raum. Das sind einfach nur die Profi-Namen dafür. Und damit es wirklich professionell sind, bitte nicht R2.

Das Ding heißt R2, aus irgendwelchen historischen Gründen, die ich nicht kenne, heißt das Ding R2, R3, nicht R2, R3. Auch im Englischen R2, R3. Ich wollte Englischen. In den USA und deshalb auch in viel Software,

schreibt man keine runden Klammern, sondern eckigen Klammern. Nicht wundern, wenn Sie auf Wikipedia gucken oder aus irgendeiner Mathe Software komische Resultate wieder kriegen. In den USA würden Sie diesen Vektor so schreiben, mit eckigen Klammern.

Das sehen wir dann noch mal in der Software. Es gibt da bitte schon ausbuchstabiert, das sehen wir noch in der Software später. Diese beiden Mengen, ich nenne sie erst mal Mengen, später sagen wir Vektorräume dazu,

diese beiden Mengen haben ein Doppelleben. Wenn Sie hier genauer gucken, R2 heißt, ich packe immer zwei reelle Zahlen zusammen in ein Paar. Alle Möglichkeiten, reelle Zahlen zu einem Paar zusammenzuführen.

Das hatten wir eigentlich mal als Ebene. R2 als die Ebene. Ich schreibe mal als Punkte der Ebene. Gibt es keinen Lückentext für, ich habe es im Skript ausbuchstabiert.

R2 als Punkte der Ebene. Sie sagen, dieser Punkt hat von mir aus die Koordinaten 4, 3. Dieser Punkt hat vielleicht die Koordinaten 7, minus 2. Jeder Punkt hat zwei reelle Zahlen als Koordinaten.

Sie nehmen alle Paare an Koordinaten zusammen und haben damit die Ebene beschrieben. So hatten wir R2 schon. Plötzlich hatte R2 eine andere Bedeutung als Punkte der Ebene. Plötzlich hatte R2 eine andere Bedeutung als Menge der Vektoren in der Ebene.

Also ich sage, dieser Vektor 4 nach rechts, 3 nach oben.

Das ist nicht ganz gelungen. 4 nach rechts, 4,3 nach oben. Dieser Vektor hier, 4,4,3. Schränk genommen dann auch alle parallel verschobenen Pfeile. Die Menge aller dieser Pfeile beschreibe ich durch diese Zahlen.

4,4,3. Das ist eine ganz ähnliche Konstruktion. Beides beschrieben durch den R2. Man muss auf den Zusammenhang aufpassen. Ist der R2 gerade eine Menge an Punkten oder ist der R2 gerade die Menge aller Vektoren? Die billigste Übersetzung ist der odds Vektor.

Den haben wir eben schon gesehen. An der Stelle. Wie komme ich von einem Punkt zu einem Vektor? Ich verbinde ihn mit dem Ursprung.

25, 2, 3, 4, 1, 2, 3. Hier habe ich den Punkt 4,3.

Da habe ich den Punkt 4,3. Und die Verbindung mit dem Ursprung nennt sich dann der odds Vektor dazu. Der hat dieselben Komponenten wie dieser Punktkoordinaten hat.

Jetzt sollte ich den hier so. Das ist der odds Vektor. Das hier ist der Punkt. Und das ist der odds Vektor dazu. Ein Vektor, der dieselben Komponenten hat wie der Punktkoordinaten hat.

Der Pfeil vom Ursprung zu diesem Punkt. Das ist, wenn Sie so wollen, wieder ein gebundener Vektor. Der ergibt nur Sinn, wenn ich ihn an den Ursprung anmale und nicht wenn ich ihn da einzeichne oder da einzeichne. Das ist die einfachste Übersetzung zwischen Punkten und Vektoren.

Diese Übersetzung hier zwischen den beiden Bedeutungen des R2. Analog dann beim R3, der R3 als Menge der Punkte des dreidimensionalen Raums und als Menge der Vektoren in dem Raum.