Letztes Beispiel für heute, die Linsengleichung. Eins durch Brennweite ist gleich eins durch Bildweite, Abstand zum Bild, plus eins durch Gegenstandsweite, Abstand zum Gegenstand. Ein optisches System, das ich danach baue. Sie haben hier in der Physik gerade die Optik.

Brennweite, Bildweite, Gegenstandsweite. Und nun sage ich mal, die Gegenstandsweite sind auf jeden Fall genau gemessen 50 cm. Aber die Linse ist Billigproduktion. Ich weiß, dass die Linse 10 cm plus minus 1 cm Brennweite hat.

Ich schreibe es mal mathematisch. Also Brennweite ist aus dem Intervall von 9 bis 11 cm. 10 cm. So ist es klar, dass ich es wie Größtfehler meine. Also die Brennweite soll garantiert zwischen 9 und 11 cm liegen. 10 plus minus 1 cm. Nur wenn man plus minus 1 schreibt, weiß man ohne Fußnote eigentlich nicht so genau, was gemeint ist.

Standardabweichung oder Größtfehler oder irgendein Konfidenzintervall. So schreibe ich es mal gerade mathematisch, um klar zu sagen, ich meine Größtfehler. Und die Frage ist, diese Gegenstandsweite, diese Brennweite, die ein bisschen variabel ist, was passiert mit der Bildweite?

Wo muss ich meinen Bildschirm sozusagen hinstellen, um ein scharfes Bild zu sehen? Das mit linearer Näherung. Man kann auch einfach die 9 einsetzen und die 11 einsetzen und dann durchrechnen.

Je schwieriger die Formeln werden und je empirischer das Ganze ist, desto eher wird man versuchen mit Ableitungen zu arbeiten. Nicht die 9 einzusetzen, nicht die 11 einzusetzen, sondern den Wert und die Ableitung an der Stelle 10 zu nehmen. Hier schreibe 10 plus minus 1 cm. Also ich möchte an der Stelle 10 rechnen. Der Wert an der Stelle 10, die Ableitung an der Stelle 10.

Und dann geht es natürlich dabei um Schätzungen eigentlich. Was hier rauskommt, sind nur Schätzungen, lineare Näherungen. Das sind nicht wirklich die exakten Größfehler, aber das ist was man typischerweise macht in der Fehlerrechnung. Man nimmt diese lineare Näherung. Was habe ich hier erzählt? Formen Sie diese Gleichung um, sodass da steht B gleich irgendwas.

Und dann versuchen Sie mit der linearen Näherung zu arbeiten. Das Umformen. 1 durch F ist gleich. 1 durch B plus 1 durch G. Ich will 1 durch B alleine haben. Ich bringe 1 durch G auf die linke Seite.

Dann steht da 1 durch F minus 1 durch G ist gleich 1 durch B. Kehrwerte bilden. Sicherheitshalber auch da nochmal. Der Kehrwert von 1 drittel plus 1 viertel ist nicht 3 plus 4. Rechnen

Sie es überschlagen. Das kann nicht hinhauen. Es kann nicht 3 plus 4 daraus werden. Am Rande bemerkt, wie die Wurzel einer Summe auch höchst selten die Summe der Wurzeln ist. Dasselbe mit Logarithmus, dasselbe mit dem Sinus. Vorsichtig an diesen Stellen. Also man muss hier ein bisschen mehr nachdenken oder ein bisschen mehr arbeiten, was das Bilden des Kehrwerts angeht.

B ist 1 durch 1 durch F minus 1 durch G. Und das ist natürlich ein etwas unhandlicher Ausdruck hier. Den können wir ja net hier noch zusammenfassen. 1 durch, die beiden unten fassen sich zusammen. Hauptnenner F mal G.

Den ersten mal G, den zweiten mal F. Jetzt kann ich hier den Kehrwert eines Bruchs, Zähler und Nenner, vertauschen und kriege den. So, das ist B. B ist gleich F mal G durch G minus F. Und jetzt kann ich schon mal den Wert in der Mitte ausrechnen.

F sollten in der Mitte als Mittelwert 10 cm sein. G war festgegeben als 50 cm. Was haben wir? 10 cm mal 50 cm durch die Differenz 50 minus 10 sind.

Was soll ich das mit dem Kürzen auch nochmal vorführen? Hier unten habe ich ein Faktor 10 drin.

Hier oben kann ich ein Faktor 10 rausnehmen. Unten kann ich Faktor 10 rausnehmen. Hier oben steht ein Mal. Vorsicht! Da kann ich ein Faktor 10 rausnehmen. Da muss ich unten überall den Faktor 10 rausnehmen. Genauso mit den Zentimetern. Die sind ja auch nur ein Faktor. Wenn ich unten überall die Zentimeter rausnehme, kann ich es oben bei einem rausnehmen.

Was bleibt? 50 cm durch 5 minus 1 sind. 50 durch 4 cm sind 12,5 cm. Das ist der Wert in der Mitte. Ich schreibe mal ganz dreist b quer. Das ist der Wert in der Mitte. Umdrehen sich das Ganze bald.

Was ist die Abweichung? Das ist der spannende Teil. Das ist plus minus. Wie kommen Sie jetzt hier auf das plus minus? Überlegen sich alle nochmal. So, für die Abweichung in linearer Näherung interessiert mich die Ableitung von b nach der Brennweite.

Wie ändert sich b, wenn ich die Brennweite ändere? Diesen Ausdruck f mal g durch g minus f nach der Brennweite ableiten. b nach der Brennweite ableiten. Ich schreibe jetzt wirklich mal del b del f. Das ist ja eine partielle Ableitung.

Ich habe mehrere Größen drin, nach denen ich ableiten könnte. Potenziell leite ich ab nach der Brennweite. Was war b? b war das Produkt. Habe ich geschrieben f mal g oder g mal f? f mal g hatte ich geschrieben.

f mal g durch g minus f ableiten nach f habe ich jetzt bei diversen Leuten gesehen mit Prozentenregel. Und unten quadrieren. g minus f Quadrat. Dann den Zähler ableiten mal den Nenner. Zähler ableiten nach f ableiten. g bleibt stehen. Behandle ich als Konstante nach f ableiten. Also einfach nur g mal den Nenner.

g mal g minus f minus und jetzt umgedreht den Zähler stehen lassen und den Nenner ableiten. Wenn Sie g minus f partiell nach f ableiten. Ja, minus eins. g wie eine Konstante behandeln.

minus f nach f ableiten gibt es minus eins mal minus eins. Und lustigerweise g mal minus f plus f mal g. Das fliegt raus.

Und da steht das ist g Quadrat durch g minus f Quadrat. An der Stelle die mich interessiert. Was ist das bei uns? Ich schreibe jetzt mal ganz lustig. Bei uns wird das also werden. g ist 50 Zentimeter ins Quadrat durch.

Unten steht 50 minus 10 sind 40 Zentimeter ins Quadrat. Oben Quadratzentimeter Quadratzentimeter. Oben 100 kürzen. Unten 100 kürzen. 10 Quadrat. 10 Quadrat. Es bleiben 25 Sechzehntel über.

Das ist die Ableitung. Wenn sich die Brennweite um einen Millimeter vergrößert, vergrößert sich der Abstand zum Bild um 25 Sechzehntel Millimeter.

Das heißt das im Endeffekt. Wenn ich mit der Brennweite um ein kleines kleines Stückchen weiter gehe, geht die Bildweite um 25 Sechzehntel mal diese Stückchen weiter. Aber auch positiv. Größere Brennweite, größere Bildweite. Und das benutze ich jetzt hier. Was ist also die Abweichung? Wie schreibe ich die hin?

Ja die Ableitung mal wie weit ich zur Seite gehe. 25 Sechzehntel mal wie weit ich zur Seite gehe 1 Zentimeter. Ich kann jetzt auch plus minus davor schreiben. Soweit geht es nach oben wie nach unten. In linearer Näherung. Ich gucke ja auf der gerade nach.

Ich gehe so weit nach links wie weit ich nach rechts gehe. Und deshalb ist dann auch die Änderung in der Höhe symmetrisch so weit rauf wie weit ich runter gehe. Also habe ich insgesamt folgendes Ergebnis für den Größtfehler. Die Bildweite ist also zwischen 12,5 minus 25 Sechzehntel und 12,5 plus 25 Sechzehntel Zentimeter.

In linearer Näherung. Es gibt kein Grundezeichen für Element. Ich schreibe dazu in linearer Näherung. Das gilt natürlich umso schlechter, je größer Ihre Abweichungen hier sind.

Wenn Sie eine richtig schlechte Messung haben und geraten dann weit raus. Sehen Sie sich vor Sie haben so eine Funktion. Messen hier. Wollen hier messen. Das ist Ihr Mittelwert.

Aber eigentlich ist Ihr echter Wert den Sie messen da. Und Sie nähern jetzt mit der Tangentengrade. Dann kriegen Sie aus der Tangentengrade natürlich den völligen Blödsinn raus. Das darf nicht zu weit wegliegen, wenn man diese Formeln einsetzt. Im nächsten Semester gibt es das noch ein bisschen genauer mit der Tälerreihe, wie man das tatsächlich abschätzen kann. Wie weit darf ich weggehen von diesem x0 und kriege immer noch was vernünftiges raus. Offensichtlich ist das viel zu weit.

Das muss man bei dieser Fehlerschätzung, denn es ist eine Fehlerschätzung. Es heißt zwar Fehlerechnung, aber es ist eine Fehlerschätzung. Das muss man bei dieser Fehlerschätzung im Hinterkopf behalten. Die Abweichungen dürfen nicht zu groß sein, sonst stimmt diese linearere Näherung für keine fünf Pfennig mehr.