Einmal die lineare Näherung in der Geometrie. Wenn ich eine Kreisbahn habe, hier auch Achsen reingelegt, ein schöner Kreis durch den Ursprung, nicht ganz so schön, aber sei es so. Angenommen, ich habe hier einen Punkt, der bei

Koordinaten 5 Metern, 4 Meter liegt. Diese Strecke also 4 Meter, diese Strecke 5 Meter. Und dieser Punkt dreht sich auf der Kreisbahn. Jetzt möchte ich wissen, wo wird er landen, in der linearen Näherung, wo wird er landen, wenn ich ein Grad weiter gehe?

Das ist jetzt deutlich mehr als ein Grad, aber wie soll ich ein Grad malen? Ein Grad, ein Winkelgrad weiter. Total übertrieben gezeichnet. Was werden die xy-Koordinaten werden?

In linearer Näherung. Das ist der Job für die erste Hälfte vom Seminar heute. Wichtiger Punkt, lineare Näherung heißt nicht, dass ich

geometrisch eine Gerade ergeben muss in diesem Bild, sondern irgendeine Größe hängt linear von einer anderen ab. Was muss nicht zwangsläufig eine Gerade werden? Nennen wir diesen Winkel hier innen vielleicht mal alpha.

Und den Winkel bis zur violetten Linie hier beta. Einige Leute müssen sich noch mal Sinus und Kosinus angucken. Ja, es ist Sinus quadrat plus Kosinus quadrat gleich eins und solche Geschichten, aber hier braucht man natürlich ganz

grundlegend die Definition von Sinus und Kosinus. Wenn Sie sich das Dreieck angucken, was von x und y gebildet wird, x nach rechts, y nach oben und hier ist der Winkel beta. Da gucken Sie jetzt einfach direkt mit Sinus und Kosinus, was x und y sind.

So, das erste was man sich überlegt ist natürlich, dass diese Hypotenuse Wurzel 41 Meter lang ist. Das soll eine Kreisbahn sein. Und hier sehen Sie den Radius der Kreisbahn. Fünf Meter nach rechts, vier Meter nach oben. Der Radius der Kreisbahn ist Pythagoras.

25 Quadratmeter plus 16 Quadratmeter Wurzel raus. Das ist die Länge dieser Hypotenuse. Der Radius der Kreisbahn. Das hier muss dieselbe Länge sein, das violette. Wurzel 41 Meter. Und jetzt kommt

ganz rezeptmäßig Trigonometrie aus der Dose. y, die Gegenkathete von dem Winkel, geht mit dem Sinus. y durch die Hypotenuse ist der Sinus. Also y ist gleich die Hypotenuse mal den Sinus. Wurzel 41 Meter Sinus von Beta. Für x ist es dann der Cosinus.

Wurzel 41 Meter Cosinus Beta. Und nun weiß ich was Beta ist. Beta ist Alpha plus ein Grad. Wir können auch noch sagen was Alpha ist. Ich denke das habe ich auch bei einigen gesehen.

Was ist Alpha? Ja, mit dem Akustangens. Alpha ist der Akustangens von 4 durch 5. Gegenkathete durch Ankathete. So, damit haben wir den Alpha. Im Prinzip könnte man jetzt einfach rechnen. Akustangens 4 durch 5.

Gibt knapp 40 Grad. 1 Grad da drauf addieren. Da von den Cosinus mal das gibt x. Da von den Sinus mal das gibt y. Netterweise ist das in der linearen Nährung alles viel schlichter. Akustangens und Cosinus und so weiter, die fliegen alle gleich raus in der linearen Nährung.

Netterweise. Man kann das also zu Fuß relativ einfach schätzen mit der linearen Nährung. Der Gedanke ist, hier habe ich nicht den Cosinus von Akustangens 4 fünftel, sondern ich habe den Cosinus von einem Winkel, der etwas anders ist. 1 Grad mehr.

In einer Funktion einen gestörten Wert. Das kriege ich jetzt mit der linearen Nährung. Probieren Sie das mal auseinander zu dröseln, aufzudröseln, wie ich hier jetzt lineare Nährung einsetzen kann, um diese 1 Grad als Störung aufzufassen.

Ich male noch einmal den Denkansatz auf, wie die lineare Nährung funktioniert. Habe irgendeine Funktion. Daraus kriege ich mir eine Stelle, an der ich typischerweise lebe. Und eine andere Stelle, an der ich wissen will, was denn rauskommt.

X0 plus H. Die beiden sind H auseinander. H ist die Störgröße sozusagen. Meine Abweichung. In der Physik ist dann gerne X0 sowas wie ein Mittelwert. Oder anderswo ist das vielleicht der Arbeitspunkt eines Motors, wo ich die Störgröße

oder der Arbeitspunkt irgendeiner Anlage an diesem Mittelwert bestimme. Da bestimme ich die Tangente. Und ich gucke auf der Tangente nach, was auf der Tangente der Wert ist. Das ist die lineare Nährung. Ich gucke nicht den Wert auf der Kurve nach, sondern auf der Tangente nach.

Das heißt lineare Nährung. Was ist der Anteil da unten? Was kommt da oben zu? Ja, wenn die Funktion hier F heißt, ist das hier unten schlicht und ergreifend F von X0. Die dümmste Nährung, die ich machen kann, ist zu sagen, es ändert sich zwar mein Parameter X,

aber ich tue so, als ob die Funktion sich nicht ändert. Es bleibt alles beim Alten. Das ist ja erst mal das dümmste, was man machen kann. Das ist diese Höhe hier. F von X0. Aber Sie sehen, mit linearer Nährung bin ich ein Stückchen besser. Ich lege die Tangente dran. Und wie groß ist das Stückchen, das hier oben noch dazukommt?

In diesem Fall kommt es dazu, weil die Tangente steigt. Was ist das Stückchen, das hier oben noch dazukommt? Auf den reinen Funktionswerts. H mal die Ableitung. Die Ableitung ist die Steigung dieser Geraden hier. Also das Stückchen durch das Stückchen.

Und wenn ich hier nur das Stückchen haben will, nehme ich dieses Stückchen H mal die Steigung. Dieser Anteil hier ist H mal F Strich von X0. Wenn Sie beides zusammennehmen, haben Sie die lineare Nährung. Und die lineare Nährung ist nichts anderes als die Tangentengrade. Dann setze ich die verschiedenen Hs ein, die mir so einfallen.

Und rechne aus der eigentliche Funktionswert plus wie viel durch die Steigung da drauf käme oder davon ab käme. Ich gucke auf der Tangentengrade nach. Das heißt lineare Nährung. Und der Job ist jetzt das zu übertragen.

Dieses Bild irgendwie hierauf zu übertragen. Der Cosinus von einem Winkel Alpha, der fest ist, plus eine Störung. Ein Grad als Störung aufgefasst. Wissen Sie schon, dieses eine Grad hat quasi die Rolle von dem H eben. Das ist das, wie viel ich zur Seite gehe.

Auf meinem Originalwert. Versuchen Sie das mal zu übertragen auf unsere Situation hier. Ich sehe gerade, wo man sich verheddern kann. Dieses zweidimensionale Diagramm lebt in einem ganz anderen Raum als dieses zweidimensionale Diagramm.

Diese Achsen hier, XY, die haben nichts mit diesen Achsen zu tun. Das hier ist eine total abstrakte Geschichte. Vielleicht können wir uns das nochmal klar machen. Wenn ich hier in diesem Diagramm auf der X-Achse hin und her laufe, von meinem Wert in der Mitte abweiche, um irgendwas auf plus minus H nach links oder rechts gehe, auf der X-Achse.

Was passiert dann hier in diesem Diagramm? Wo starte ich und wo laufe ich hin? Das hier ist mein Startwert sozusagen. Ich starte bei diesem Punkt hier, bei dem richtigen Winkel, Akkustangens 4 durch 5.

Da starte ich und ich laufe den Kreis rum. Das ist eine ganz andere Geschichte, die da plötzlich passiert. Ich denke mir dieses hier, aber Sie sehen, das sieht hier total anders aus. Ich starte hier und laufe den Kreis rum.

Nehmen Sie das ruhig sehr abstrakt an der Stelle. Ich möchte wissen, was der Kosinus macht, wenn ich nicht den Akkustangens 4 V einsetze, sondern ein bisschen was anderes. Jetzt schreiben wir das erstmal ganz abstrakt hin. Was macht der Kosinus, wenn ich nicht den Akkustangens 4 V einsetze, sondern ein bisschen mehr?

Nehmen Sie das einfach mal so. Das mit linearer Näherung. Noch einmal einen Schritt zurück. Denken Sie an die Wurzel 4,1. Ich glaube, so etwas hatten wir irgendwann mal. Wie kann ich die Wurzel 4,1 schenken?

Wurzelfunktion bei 4 kommt 2 raus. Und ich möchte jetzt wissen, was bei 4,1 rauskommt.

Wie gehen Sie vor? Also wir fangen mit der dummen Näherung an. Wurzel 4 wird sich schon nicht so stark ändern. Und den Rest, der dazukommt, gucken wir auf der Tangentengraden nach.

Wie groß ist die Steigung der Tangentengraden für die Wurzel an der Stelle 4? Sie leiten ab. Was ist die Ableitung der Wurzel? X hoch 1,5 ableiten ist 1,5. X hoch minus 1,5 ist also 1 durch 2 mal die Wurzel.

Die Steigung der Wurzelfunktion an der Stelle 4 heißt hier, 4 einzusetzen. 1 durch 2 mal die Wurzel aus 4. Das muss die Steigung hier sein. Also ein Viertel. Die Zeichnung ist ja gar nicht so schlecht. Ein Viertel muss die Steigung hier sein. 1 durch 2 mal Wurzel aus 4.

Das ist jetzt zufällig ein Viertel der Kehrwert von 4. Wir sehen, wo es herkommt. Zwar mal die Wurzel aus 4. Wie kann ich das jetzt benutzen für meine Näherung hier? Die Wurzel aus 4,1 ist Wurzel 4 plus was?

0,1 mal die Steigung. Also 0,1 durch 4. Das wäre die lineare Näherung. Wie weit gehe ich hier rauf? Ich gehe 0,1 zur Seite und die Steigung sagt, 1 Viertel von dem, was ich zur Seite gehe, gehe ich nach oben. 0,1 durch 4. Das ist die lineare Näherung.

Ich gucke auf der Tangentengrade nach. Sie sehen, da stand auch nichts von irgendwas, was abgeleitet werden kann. Hier steht auch keine Variable drin. Versuchen Sie das zu übertragen. Auf den Quosinus vom Arcus Tangens 4 Fünftel plus ein Grad.

Also was steht hier? Sicherheitshalber nochmal. Ich rechne die Funktion an der original Stelle, an der ungestörten Stelle. Das ist der erste Ausdruck hier. Ich sage erstmal, wird sich schon nicht ändern. Die Näherung nullter Ordnung. Ich gehe einfach davon aus, dass das konstant bleibt. Das schreibe ich hin. Die Funktion an der ungestörten Stelle.

Die Funktion ist der Quosinus. Und die ungestörte Stelle, Störung Null, ist Arcus Tangens 4 Fünftel. Da gönne ich uns noch die Klammern da. Das entspricht hier der Wurzel 4. Die Funktion an der original Stelle. Bei uns ist es der Quosinus von Arcus Tangens.

Die Störung auf Null setzen. Plus. Und nun gucke ich auf der Tangentengrade nach. Die Steigung der Tangentengrade an unserer zentralen Stelle hier. Am Mittelwert, Arbeitspunkt, wie auch immer. Die Steigung an dieser Stelle mal, wie weit ich zur Seite gehe.

Ein Viertel mal 0,1. Das ist der Beitrag, um das Ganze dann zur linearen Näherung zu machen. Die Steigung meiner Funktion. Quosinus. Minus Sinus wird die Steigung sein. Minus Sinus an dieser Stelle. Arcus Tangens 4 Fünftel.

Das ist die Steigung an der Stelle. Den Quosinus ableiten. Arcus Tangens ist die Stelle, an der ich sitze. Das bleibt fest, ich leite den Quosinus ab. Ich möchte wissen, was dem Quosinus passiert, wenn ich den Wert in Quosinus etwas störe. Mal. Das hier war die Ableitung. Mal, wie weit gehe ich zur Seite. Ein Grad.

Gefährlich. Wenn ich den Quosinus ableite und den Minus Sinus rauskriege, dann habe ich ein Bogenmaß abgeleitet. Wenn Sie das Bildchen vorstellen. Der Quosinus. Der Sinus. Hier ist zwei Pi und hier ist eins. Das passt alles wunderschön, wenn Sie im Bogenmaß sind. Im Gradmaß bin ich hier ja bei 360.

Die Einheit ist also irgendwo hier auf der x-Achse. Noch viel dichter dran. Da ist die Einheit auf der y-Achse, da ist die Einheit auf der x-Achse. Wenn Sie im Gradmaß arbeiten, werden die Ableitungen von Sinus und Quosinus nicht so hübsch. Hier habe ich die Ableitungen im Bogenmaß berechnet. Ich muss deshalb auch insgesamt im Bogenmaß bleiben. Also nicht hier ein Grad hinschreiben, sondern das eine Grad umrechnen im Bogenmaß.

180 Grad sind Pi, dann 60 Grad sind zwei Pi. Also wäre es im Bogenmaß Pi durch 180. Ein Grad ist ein Pi durch 180.

Bogenmaß. Sowas kommt da raus. Für den Quosinus. Jetzt kann man noch sagen, was der Quosinus vom Akustangens ist. Der Quosinus vom Akustangens. Ich gehe mal weiter nach unten. Hier hatte ich fünf Meter, da hatte ich vier Meter.

Hier hatte ich Wurzel 41 Meter. Hier war mein Winkel Alpha. So, mich interessiert der Quosinus vom Akustangens von 4 durch 5.

Sehen Sie in dem Bild irgendwie, wie man das retten kann. Den Akustangens haben wir ja sowieso schon gehabt. Der Akustangens ist Alpha. Dieser Winkel Alpha. 4 durch 5. Gegen Kathete durch Ankathete.

So sind wir auf den hin gekommen. Und jetzt ist gefragt, was ist der Quosinus Alpha? Der schöne Quosinus Alpha ist Ankathete durch Hypotenuse. 5 Meter durch Wurzel 41 Meter. Also 5 durch Wurzel 41. Das wird der Quosinus vom Akustangens werden. Ganz harmlos, 5 durch Wurzel 41.

Das geht bei allen möglichen Kombinationen von trigonometrischen Funktionen und Akusfunktionen. Die heben sich gegenseitig weg. Und es muss irgendwas nachher mit Pythagoras bleiben. Vielleicht sogar noch einfacher, je nachdem, was für Kombinationen man da gerade bildet. Also der Quosinus kann ich durch 5 durch Wurzel 41 ersetzen.

Wo waren wir? Da waren wir. Das gibt also jetzt gleich. Was hier steht, ist gleich. 5 durch Wurzel 41. Minus, wenn ich das mit dem Sinus mache, offensichtlich. Was wird der Sinus wohl werden? Genau.

4 durch Wurzel 41. Mal Pi durch 180. Das kriege ich für den Quosinus. Das würde ich jetzt... Guck mal auf die Uhr. Na ja gut. Das setzen Sie hier ein.

Multiplizieren mit Wurzel 41, dann hebt sich viel weg. Vielleicht schauen wir es gerade nochmal hin. Also Wurzel 41 mal den... 41 Meter sollte ich sagen, mal den Quosinus, der hier steht. Wo stand der? Da stand er. Dieses Mal Wurzel 41 Meter. Das heißt, x wird sein, das mal Wurzel 41 Meter,

wird sein 5 Meter minus 4 Meter mal Pi durch 180. Pi durch 180. Na ja, 3 durch 180, ungefähr ein Sechzigstel. Also ein Sechzigstel von 4 Metern nach links gehen mit x.

Ich glaube, y muss man gar nicht mehr ausführlich einsetzen. Wenn Sie raten müssten, was y ist, was schreiben Sie hin? Wir starten mit 4 und y wird größer, genau. Also, wo sind wir? Hier sind wir. Was schreiben Sie hin? Was raten Sie?

Genau, das kann doch gar nichts anderes mehr werden, als 4 Meter plus 5 Meter mal Pi durch 180. Ja, das ist der Wert, von dem ich starte. y startet bei 4 Meter und dann kommt der Term von der Tagentengrade dazu. Und hier bei x genauso. Also das ist mit x startet und das hier ist der Term von der Tagentengrade.