18B.3 quadratische Gleichung mit komplexen Zahlen
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Formale Metadaten
| Titel |
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| Serientitel | ||
| Anzahl der Teile | 187 | |
| Autor | ||
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| Identifikatoren | 10.5446/10106 (DOI) | |
| Herausgeber | ||
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Inhaltliche Metadaten
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Mathematik 1, Winter 2012/201389 / 187
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00:00
Schnitt <Mathematik>ZahlenbereichLösung <Mathematik>GradientKomplexe EbeneVorzeichen <Mathematik>Quadratische GleichungPhysikalische GrößeZahlQuadratComputeranimation
Transkript: Deutsch(automatisch erzeugt)
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Noch einer von der Sorte. Finden Sie alle komplexen Zahlen, alle Zahlen z aus den komplexen Zahlen mit folgender Eigenschaft. z² minus 2iz minus 1 minus i gleich Null.
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Denken Sie an die PQ-Formel. Die funktioniert so halbwegs. Also netterweise funktioniert die PQ-Formel auch für komplexe Zahlen. Da passiert ja nichts besonderes. Um die PQ-Formel herzuleiten, macht man eine quadratische Ergänzung. Da ist ja nichts magisches dabei.
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Das muss auch für komplexe Zahlen gehen. Aber Sie müssen ein bisschen vorsichtig sein. Was denn jetzt P und Q ist? Das hier ist P. Das, was mit der unbekannten Größe steht, und zwar alles außer der unbekannten Größe, nicht das i verstanden.
01:02
Das P ist minus 2i. Und das Q ist alles, was ohne unsere unbekannte Größe steht, da hinten. Das wird das Q werden. Und dann ist der Rest einfach. Z ist gleich. Minus P halbe. Das Minus fliegt weg, die 2 fliegt weg. i bleibt da über. Das ist minus P halbe.
01:22
Plusminus die Wurzel, was hier vorne steht, quadrieren. Also minus 1. Ich schraub jetzt erst mal i² hin. Das hier vorne quadrieren. Und Q abziehen. Minus 1 minus i abziehen. Also plus 1 plus i. i² plus 1 ist 0. i² ist minus 1 plus 1 macht 0.
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Und dann steht hier, das ist i plus minus Wurzel i. Und Sie sehen, hier ist die Mehrdeutlichkeit der Quadratwurzel schon eingebaut. Wurzel i hatten wir ja gerade. Da liegt Wurzel i bei plus 45 Grad und bei 180 Grad weiter.
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Das ist ja sozusagen schon plus minus. Die unterscheiden sich bei dem Vorzeichen. Das heißt, sie kriegen hier nichts Neues. Sondern das sind die beiden Wurzeln, Quadratwurzeln von i, die wir schon kennen. Also i plus minus 1 durch Wurzel 2 plus 1 durch Wurzel 2 mal i.
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Das könnte man noch zusammenfassen. 1 durch Wurzel 2 können wir herausziehen. Plus minus 1 durch Wurzel 2. Und diese beiden i zusammenfassen. Das wäre dann 1 plus minus 1 durch Wurzel 2 mal i. Das wären die beiden Lösungen dieser quadratischen Gleichung.
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Wobei man sich jetzt vielleicht noch dazunotieren sollte. Wenn ich das hier so schreibe, meine ich jetzt an dieser Stelle überall das plus oder überall das obere oder überall das untere. Zwei verschiedene Lösungen. Beides mal plus, beides mal minus. Das sind meine beiden Lösungen.
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Das ist der Realteil 1 durch Wurzel 2 oder minus 1 durch Wurzel 2. Das ist der imaginäre Teil.