Ich möchte ein bisschen darauf hin arbeiten, wie das Integral in der Physik angewendet wird. Dass Sie das nicht nur als Flächenberechnung kennen, das Integral, sondern auch dann so, wie man es dann wirklich sieht. Wir fangen mit einer ganz billigen Geschichte an. Ich sage, ein Auto fährt eine Stunde lang mit 50 Kilometer pro Stunde

und fährt zwei Stunden lang danach mit 75 Kilometer pro Stunde. Wenn Sie das mal in ein Diagramm bringen.

Die Abhängigkeit der Geschwindigkeit von der Zeit. Wie sieht dieses Diagramm aus? Und wie kann man aus dem Diagramm die gesamte zurückgelegte Strecke ablesen? Wie kann ich aus dem Diagramm die zurückgelegte Strecke ablesen? Das würde mich interessieren.

Also eine Stunde lang, eine Stunde lang die 50 Kilometer und dann noch zwei Stunden lang, also bis zu drei Stunden hier,

zwei Stunden lang die 75 Kilometer. Es gibt so eine gebrochene Linie.

Ich ignoriere, dass man hier eigentlich beschleunigen muss. Dieser Sprung hier ist ja im wahren Leben nicht wirklich ein Sprung. Das ist ja nicht wirklich ein Sprung im wahren Leben, sondern ich brauche ein paar Sekunden, um von den 50 Stunden Kilometern

auf die 75 Stunden Kilometer zu kommen. Aber wenn hier der Maßstab in Stunden ist, sind da so ein paar Sekunden praktisch vertikal darauf. Deshalb lassen wir das mal so, denke ich. Das wäre was auf dem Fadenschreiber steht, wenn Sie Geschwindigkeit mitschreiben.

Wie die Achsen beschriftet werden und so weiter, richten sich vielleicht besser nicht nach dem, was ich sage, sondern was die Kolleginnen und Kollegen in der Physik und Elektrotechnik und so weiter sagen. Ich schreibe gerne Einheiten an die Achsen direkt dran bei den Werten an den Achsen und lasse die Einheiten bei den Bezeichnungen der Achsen weg. Das werden andere Leute anders sehen.

Also nicht irritieren lassen, es gibt viele Wege an der Stelle, die nach Rom führen. Ich schreibe es typischerweise so auf. Ja, und ich denke die meisten wussten schon im Prinzip, es ist die Fläche darunter lustigerweise, die zurückgelegte Strecke, das Integral.

Es gibt jetzt mehrere Arten das zu begründen, dass diese Fläche unter der, Anführungszeichen, Kurve, die ja keine Kurve ist, sondern so eine gebrochene Linie, dass diese Fläche darunter die zurückgelegte Strecke ist. Die geometrische Begründung wäre folgende. Sie gucken sich diese Rechtecke an, die man da bilden kann.

Eine Stunde mal 50 Kilometer pro Stunde. Eine Stunde mal 50 Kilometer pro Stunde. Das ist ja genau die Strecke, die ich in der ersten Stunde zurückgelegt habe.

Also wenn Sie hier die Fläche, in Anführungszeichen berechnen, von diesem Rechteck, eine Stunde längs, 50 Kilometer pro Stunde hoch, haben Sie die Strecke, die Sie zurückgelegt haben in der ersten Stunde. Eine Stunde langt die 50 Kilometer pro Stunde. Hier kommen wir ja auch schon kürzen, nett.

Also 50 Kilometer. In der ersten Stunde lege ich 50 Kilometer zurück. In der zweiten Stunde, Quatsch, in der zweiten und dritten Stunde muss ich sagen, in der zweiten und dritten Stunde lege ich 2 Stunden mal 75 Kilometer pro Stunde zurück. 2 Stunden mal 75 Kilometer pro Stunde will sagen 150 Kilometer.

Das ist ein H mal 75. Also auch hier rechne ich die Fläche aus und weiß, was die zurückgelegte Strecke ist. Fläche ist natürlich mit Vorsicht zu genießen. Die Fläche, von der ich hier spreche, ist ja nicht Quadratmeter oder Quadratlichtjahre oder was.

Die Fläche, von der ich hier spreche, ist Stunde mal Kilometer pro Stunde. Also nicht wirklich von der Einheit her eine Fläche. Im Bild ist es eine Fläche, aber von den Einheiten her, wir sehen Stunde kürzlich gegen Stunde, von den Einheiten ist diese Fläche lustigerweise Kilometer, auch wenn es im Bild eine Fläche ist.

Und das geht natürlich allgemein. Hier mit dieser gebrochenen Linie als Geschwindigkeit geht es offensichtlich. Selbes Ergebnis, was Sie zu Fuß rauskriegen würden. Eine Stunde mit 50 Stunden Kilometer, 50 Kilometer gefahren. 2 Stunden mit 75 Stunden Kilometer gefahren.

Also insgesamt 150 Kilometer gefahren. Die Fläche unter der Kurve ist hier offensichtlich dasselbe, wie das Ergebnis, was man zu Fuß hat. Wenn Sie so einen allgemeinen Zusammenhang haben, da ist die Zeit, hier ist die Zeit und hier ist die Geschwindigkeit.

Wenn Sie so einen allgemeinen Zusammenhang haben, wie die Geschwindigkeit von der Zeit abhängt, warum ist dann immer noch die Fläche unter dieser Kurve die zurückgelegte Strecke? Wie kann man das leicht begründen? Was an der Stelle die Art wie Ingenieure und Physiker gerne denken,

stellen Sie sich das in Scheiben geschnitten vor. Und stellen Sie sich vor, dass Sie in jeder von dieser Scheibe eine konstante Geschwindigkeit haben. Dann muss ja dasselbe Argument gelten. Ob ich das nun für Zeitscheiben mache oder für 10.000 Scheiben mache, dasselbe Argument muss gelten.

Ob Sie sehen, hier mit 10.000 Scheiben sind Sie schon sehr dicht an Ihrer original Kurve dran. Das muss immer genauer werden, je mehr Scheiben man bildet. Das wäre die ingeniörmäßige Vorstellung davon. Also das muss auch funktionieren, wenn meine Kurve hier keine gebrochene Linie ist, sondern frei kurvig verläuft, egal wie kurvig sie verläuft.

Es muss immer funktionieren. Es muss immer die Fläche hier unter der Kurve die zurückgelegte Strecke sein. Und das ist, wenn man dann Ableitungen versteht und Integrale versteht, das ist dann hier das Integral, ist das gar kein großes Wunder, denn es ist ja die Ableitung des Orts nach der Zeit.

Wenn ich das so hinschreibe, die Ableitung des Orts nach der Zeit ist die Geschwindigkeit. Wenn Sie den Ort nach der Zeit ableiten, kriegen Sie die Geschwindigkeit. Und das Integral arbeitet ja rückwärts. Das Integral macht die Ableitung rückgängig. Ende des Semesters mehr dazu, aber ich hoffe, dass das an der Stelle schon klar ist,

dass man mit dem Integral dann plötzlich rückwärts kommt. Wenn Sie die Ableitung kennen, bestimmt das Integral rückwärts, was abgeleitet worden ist. So bestimmt man ja auch gerade Stammfunktionen. Was ist abgeleitet worden? Das muss hier ins Spiel kommen, wenn ich von der Geschwindigkeit zur Strecke kommen will. Und das klappt netterweise sogar mit Vorzeichen, also nicht nur die reine Strecke,

sondern ich kriege sogar eigentlich die Position raus. Wenn das mein Geschwindigkeitsverlauf ist, hier die Zeit, da die Geschwindigkeit, und ich habe auch mal negative Geschwindigkeiten, inwiefern passt jetzt die Vorstellung vom Integral gut mit der Physik zusammen,

bei negativen Geschwindigkeiten? Genau, das Integral macht netterweise genau das, was es tun muss. Das Integral zählt ja diesen Teil hier unten negativ. Das Integral bestimmt ja nicht wirklich die Fläche unter der Kurve,

sondern was unter der horizontalen Achse liegt, wird negativ gezählt im Integral. Das ist bei der Flächenberechnung schwachsinnig. Aber Sie sehen, hier wird es plötzlich sinnvoll bei der Physik, wenn die Geschwindigkeit negativ ist, hier ist die Geschwindigkeit ja negativ, dann fahre ich zurück und ich verringere meine Position. Die Position geht nach links, ins Negative rein.

Negative Geschwindigkeit, Position wird nach links wandern. Insofern ist es sinnvoll, dass das Integral hier den unteren Teil abzieht. Ich rechne wirklich dann die Position aus. Das funktioniert hier mit Geschwindigkeit und Position viel besser eigentlich, als mit der üblichen Vorstellung, dass das Integral die Fläche bestimmt.

Bei der Flächenberechnung mit dem Integral fragt man sich erst immer, was soll das für ein Blödsinn sein, dass die Fläche unter der horizontalen Achse negativ zählt. Insgesamt, im Großen und Ganzen ist das total sinnvoll, dass die negativ zählt. Insbesondere, weil man das Integral höchst selten für Flächenberechnungen verwendet.

Das Typische, was man mit dem Integral macht, deshalb zeige ich das hier jetzt ja, das Typische, was man nachher mit dem Integral macht, ist, wir geben die Geschwindigkeit abgängig von der Zeit die Position bestimmen und solche Geschichten. Man nutzt es nicht wirklich, um Flächen zu berechnen. In dem Stile gibt es jetzt mal endlich eine vernünftige Aufgabe.

Und zwar, ich habe ein Fahrzeug, das von 0 auf 100 kmh beschleunigt, und zwar in 10 Sekunden, das soll meine Zeit sein, und es beschleunigt von 0 auf 100 kmh, das ist meine Geschwindigkeit,

und zwar einfach linear. Was Dümstes, was wir machen können, hier einfach so eine Gerade da durch. Im wahren Leben wird es natürlich nicht linear sein. Wir brauchen irgendwelche Ideen, wie sieht diese Kurve im wahren Leben aus?

Die Geschwindigkeit abgängig von der Zeit, wenn Sie ein reales Fahrzeug nehmen. Wenn wir ignorieren, dass man noch schaltet im Zweifelsfall, das ist ja ganz schwierig. Es wird auf jeden Fall hier unten langsamer losgehen. Sie brausen ja nicht mit einem konstanten Beschleuniglos,

es wird erst mal langsam in die Gänge kommen müssen, das Gefährt. Und hier oben haben wir einen heftigen Luftwiderstand, ich kann sogar sagen, viel Arbeit aufzubringen. Also ich würde erwarten, dass die Kurve im wahren Leben mindestens so aussieht. Und dann kommt obendrein eben noch das Schalten hinzu.

Es wird alles nur mal schwieriger. Insofern also hier ein ganz heftiges Modell, dass man sagt, wir beschleunigen konstant hier, konstante Beschleunigung und haben dann so einen linearen Anstieg der Geschwindigkeit. Ein Modell, aber man kann damit immerhin schon mal so über den breiten Daumen gucken, was denn die zurückgelegte Strecke ist.

Also beschleunigen von 0 auf 100 kmh in 10 Sekunden. Was ist die zurückgelegte Strecke? Das rechnen wir auf zwei Arten aus. Einmal rein geometrisch, das habe ich ja gerade gezeigt, und einmal mit Integral, damit Sie sehen, dass es auch wirklich hinhaut.

Was ist die zurückgelegte Strecke? Also erstens geometrisch und zweitens, wenn Sie das fertig haben, mit Integral. Okay, also die erste Lösung wäre hier die, in Anführungszeichen, Fläche zu bestimmen.

Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks. Sie nehmen die Fläche des Rechtecks durch zwei. Die haben dieselbe Fläche noch mal oben drüber, die Hälfte von dem Rechteck.

Also, eineinhalb mal, die eine Seite sind 10 Sekunden und die andere Seite sind 100 kmh. Jetzt sind wir eigentlich fertig. Dann können wir sagen, ja fertig, das ist jetzt ja eine Strecke.

Ist nur ein bisschen ungeschickt, das so hinzuschreiben. Wir müssen irgendwie noch die Einheiten auseinandernehmen, sonst sieht es ein bisschen unübersichtlich aus. Wie mache ich hier mal weiter? Ich mache mal hier vorne weiter. Einhalb mal 10 Sekunden mal 100.

Und jetzt haben wir einen Kilometer, das sind 1000 Meter. Sie können einfach die Einheit ersetzen. Ein Kilometer sind 1000 Meter. Und da unten ersetzen Sie die Einheit. Eine Stunde sind 60 mal 60 Sekunden, 3600 Sekunden. Man kann sich auch irgendwie merken,

da kommt ein Faktor mal 3,6 oder durch 3,6. Kann ich mir nie merken, deshalb mache ich es so zu Fuß. Ein Kilometer, 1000 Meter, eine Stunde, 3600 Sekunden. Da sind wir auf der sicheren Seite, da weiß man, was man tut. Sie kürzen Sekunden gegen Sekunden. Und es bleiben Meter, wie sich das gehört. Hier oben müssen wir noch ein paar Nullen kürzen. Da eine Null und da noch eine Null kürzen.

Und dann sind wir bei ein halb mal 10 mal 100. Also 1000 durch... Oh, da haben wir noch eine 10. Ich habe eine verbunden. 10 mal 100 mal 10. 10.000. 10, 100, 10. 10.000 durch 36 Meter.

Und jetzt ganz grob. 1000 sind ungefähr 30 ins Quadrat. 30 ins Quadrat sind 900. 1000 sind ungefähr 30 ins Quadrat. Hier teile ich 10.000, das Zehnfache, durch ungefähr 30.

Das heißt, das hier wird ungefähr 300 werden. 10.000 durch 36 wird ungefähr 300 werden. Davon die Hälfte ist ungefähr 150 Meter. Viel mehr kann man während der Schrecksekunde vor dem Bremsen auch nicht ausrechnen. Das Taschenrechner sagt es Ihnen genauer,

aber das würde mir jetzt persönlich erst mal reichen, um die Größenordnung zu wissen. Also irgendwas bei 150 Meter. Wir rechnen eine Strecke aus, indem wir eine Fläche bestimmen. Die Fläche ist eigentlich gar keine Fläche. Das sehen Sie an den Einheiten. Das ist am Anfang immer erst überraschend. Wie kann eine Fläche eine Strecke sein?

Einfach weil die Einheiten andere sind. Im Bild ist es eine Fläche. Aber mit den Einheiten Sekunde mal Kilometer pro Stunde werden es zum Schluss Meter werden. Irgendwas knapp unter 150 Metern. Das war die geometrische Rechnung. Normalerweise in der Situation würde ich es rein geometrisch machen und nicht weiter darüber nachdenken.

Aber jetzt wissen wir schon, es geht auch mit dem Integral. Wenn Sie nicht diese billige Situation hätten, sondern sowas, wären Sie geometrisch ein bisschen aufgeschmissen, aber hätten mit dem Integral hoffentlich eine Chance. Deshalb zur Übung auch das mal mit dem Integral, um zu prüfen, ob das auch wirklich hinhaut.

Rechnen Sie das selber aus, aber benutzen Sie ein Integral. Es wird eine Funktion integriert, und es müssen dann auch wieder irgendwas bei 150 Metern rauskommen, selbst Ergebnis. Was wird integriert und wie geht es dann weiter? Mit dem Integral wird das schon etwas heftiger, wegen der Einheiten.

Genau deshalb füge ich das vor, weil in der Physik müssen Sie es mit Einheiten können. Das kriegen Sie auch noch mal offiziell in der Physik mit Einheiten, aber ich denke, doppelt gemobbelt hält besser. Nochmal dieselbe Kurve. Ja, was für Kilometer.

Ich muss jetzt also diese Abhängigkeit formelmäßig aufschreiben. Was ist die Geschwindigkeit abhängig von der Zeit? Eine Gerade durch den Ursprung. Das sollten Sie irgendwo schon mitgekriegt haben.

Sowas wie y ist gleich m mal x plus b. Ist eine Gerade mit Steigung m und Achsenabschnitt auf der y-Achse b. Netterweise, der Achsenabschnitt ist null. Ich gehe durch den Ursprung. Es bleibt nur noch da stehen eine Konstante, nämlich die Steigung, mal der x-Wert. Aber jetzt bitte nicht x-Werte, denn es sind t statt x und v statt y.

Nehmen Sie besser t und v und nicht x und y. Also wir haben, dass die Geschwindigkeit gleich einer Konstanten mal der Zeit ist. Das brauchen wir da. Und die Konstante ist die Steigung. Ich will sagen, was gewinne ich, wenn ich so und so viel nach rechts gehe. Hier steht die Steigung

und hier mal die Zeit. m mal x stünde da. Theoretisch, aber es ist ja nicht x, sondern die Zeit. Und hier die Steigung. Was gewinne ich? 100 km pro Stunde. Ich bin immer sehr unsauber. 100 km pro Stunde gewinne ich, wenn ich 10 Sekunden nach rechts gehe.

So sieht das aus. Das wäre meine Steigung. 100 km pro Stunde durch 10 Sekunden. Was natürlich wieder total schräg von den Einheiten ist. Wir haben sie zum Schluss als Einheit Kilometer pro Stunde und Sekunde. Da kann jetzt so richtig keiner was mit anfangen. Das heißt, den hier muss man irgendwie noch ein bisschen hübscher machen.

100 km pro Stunde. Also 100 x 1000 m durch 3600 Sekunden. Durch 10 Sekunden. Na ja, hier die 100 und die 10. Da können wir immer ein bisschen kürzen.

Und hier können wir auch noch kürzen. Die beiden Nullen, die beiden Nullen. 10 x 10 haben wir also. Sind 100 durch 36 Meter durch Sekunde, durch Sekunde. Meter pro Sekunde Quadrat. Diese Einheit sollte Ihnen schon was sagen.

Was das für eine Bedeutung hat. Meter pro Sekunde Quadrat. Genau, das sollten Sie schon kennen als Beschleunigung. Wenn Sie es noch nicht kennen, in den nächsten Wochen werden Sie es kennenlernen in der Physik. Meter pro Sekunde, Geschwindigkeit pro Sekunde. Wie viel Geschwindigkeit gewinne ich pro Zeiteinheit? Das ist die Beschleunigung. Meter pro Sekunde Quadrat. Eine Beschleunigung steht da.

Mal die Zeit. Jetzt haben wir eine Gradengleichung. Meine Geschwindigkeit, abhängig von der Zeit, ist gleich 136 Meter pro Sekunde Quadrat mal die Zeit. Finde ich mit Einheiten schöner. Dann wissen alle, wovon die Rede ist. Sind es Dichtjahre pro Jahrhundert oder was? Nein, das sind Meter pro Sekunde Quadrat.

Jetzt können wir die Fläche ausrechnen mit dem Integral. Wie gesagt, bei dieser Figur würde ich die Fläche niemals mit dem Integral ausrechnen, außer, dass Sie jetzt einmal sehen, dass es wirklich hinhaut. Die Änderung der Position

ist also das Integral und gleichzeitig die Fläche darunter mit Vorzeichen von 0 Sekunden. Ich schreibe jetzt hier mal tatsächlich 0 Sekunden und nicht 0. Viele Physiker schreiben auch einfach 0 statt 0 Sekunden oder 0 Äpfeln oder 0 Kilometer. 0 ist 0. Ich schreibe jetzt tatsächlich mal 0 Sekunden bis 10 Sekunden ist zu integrieren.

Von bis ist das Integral ja. Von bis. Und dann schreiben Sie die Funktion da rein. Das ist 136 mal die Einheit Meter pro Sekunde Quadrat mal die Zeit. Das ist die Funktion. Da steht sonst schulmäßig f von x Integral von a bis b f von x. Hier ist es meine Geschwindigkeit,

abhängig von der Zeit. Hier steht dann dahinter schulmäßig dx, aber das ist ja nicht dx hier, sondern dt. Hier steht die Variable, über die integriert wird bei dem D. D und dahinter. Was ist denn die Variable, über die integriert wird? Es könnte ja von sonst was abhängen, von der Temperatur abhängen,

keine Ahnung, von der Luftfeuchtigkeit abhängen. Nein, interessiert uns alles nicht. Ich integriere über dieses T. Das ist die Variable, die ich von 0 Sekunden bis 10 Sekunden laufen lasse. So sieht das hübscher aus, als wenn Sie hier x schreiben. Bei T weiß jeder, es ist die Zeit. Wenn Sie hier x schreiben,

denkt jemand, oh, ich integriere über die Position. Ist sehr interessant. Nein, über die Zeit, T. Ich sollte noch kurz sagen, wo diese Schreibweise herkommt, hatte ich schon mal gesagt, aber kann man nicht häufig genug sagen. Anschaulich passiert ja Folgendes. Ich habe eine Funktion, die ich integrieren will.

Und klassischerweise, was eine schlechte Idee ist, aber klassischerweise macht man das dann so, dass man diese Fläche unter der Funktion in Scheibchen zerteilt. Wo diese Scheibchen, die haben alle eine bestimmte Dicke, die nennen wir dann doch einfach mal Dt, wenn das hier die T-Achse ist.

Und was wird dann passieren? Ich muss alle diese Scheibchen aufsummieren. Das ist Funktionswert. Die Fläche aller Scheibchen aufsummieren, das ist Funktionswert mal Breite. Das ist Fläche eines Scheibchens. Dann hier, Funktionswert mal Breite. Fläche des Scheibchens und so weiter aufsummiert. Funktionswert mal Breite. Breite ist Dt. Das hier ist der Funktionswert.

Und Summe, das ist das Integralsymbol. Das ist ein langgezogenes S. Da kommt das eigentlich her. Wenn Sie ein S nehmen und es sehr in die Länge ziehen, dann haben Sie das Integralsymbol. Da kommt es klassischerweise her von dieser Scheibchendenkart. Das ist nicht, wie man heute Integrale sinnvollerweise baut, aber erstmals oder allererste Gedanke.

Also das ist dann zum Schluss heute rein formal. Da hinten steht Dt und damit meinen wir, dieses T ist die Variable, die hier durchläuft auf der Achse. Es hatte ursprünglich auch mal eine ganz korrekte anschauliche Bedeutung, wie so eine Fläche zusammengestückelt wird, dass man zum Schluss so einen Lattenzaun hat.

Und das Dt ist dann die Breite einer dieser Latten des Lattenzauns. Und das hier ist dann jeweils die Höhe, die Funktion, die integriert wird. Die Höhe einer der Latten. Und das wird das Ganze wird aufsummiert. Da kam das Integral mal her. Genug des Exkurses zum Integral.

Integration ist Ableiten rückwärts. In gewisser Weise. Das haben Sie, denke ich, alles schon jetzt mitgekriegt. Ich suche eine Funktion, deren Ableitung das hier wird. Die heißt dann Stammfunktion.

Und dann nehme ich deren Wert an der Stelle 10 Sekunden, deren Wert an der Stelle 0 Sekunden und ziehe das voneinander ab. So kann man es schreiben. Andere Leute schreiben es bla bla bla mit einem Strich dahinter, 10 Sekunden, 0 Sekunden. Wie auch immer. Ich habe mir diese Schreibweise angewöhnt mit den eckigen Klammern. Hier kommt jetzt, wie gesagt, eine Stammfunktion rein. Ich suche eine Funktion, deren

Ableitung meine Originalfunktion wird. 136 Meter pro Sekunde Quadrat ist eine Konstante. Ich brauche hier jetzt etwas, das abgeleitet nach T. T ergibt. Was leiten Sie nach T ab? Und kriegen T raus? Eineinhalb T Quadrat. Oder T Quadrat halbe.

Das steht dann hier zwangsläufig. T Quadrat halbe nach T ableiten. Das T Quadrat wird 2T. T Quadrat wird 2T. Die Zwei kürzen und dann steht das T da. Das ist eine Stammfunktion zu dem da oben. Wenn ich den hier ableite, kriege ich die Funktion raus, die im Integral steht.

Das ist der Trick an der Stelle. Integration ist Ableitung rückwärts. Nicht ganz, wie Sie sehen. Man muss ein bisschen ergänzen hier noch mit den Grenzen. Aber der wesentliche Teil ist Ableitung rückwärts. Ich suche eine Funktion, deren Ableitung meine gegebenen Funktion ist. Das hier ist nicht die einzige Funktion, die es tut. Es gibt andere

Funktionen, die dieselbe Ableitung haben, welche zum Beispiel nicht nur zum Beispiel plus eine beliebige Zahl, sondern das ist die einzige Chance, die man noch hat. Man kann hier noch etwas dazu addieren. Wenn Sie hier noch eine andere Zahl dazu addieren, sagen wir 42, eigentlich nicht 42, sondern wenn Sie

sehen, was da stehen muss, eigentlich 42 Meter, wenn ich die Zahl noch dazu addiere, von den Einheiten her. Oder 42 Lichtjahre. Die Physiker gehen sicherlich auf die Barrikaden, wenn sie da nur 42 addieren. Das muss ja eine Länge sein, die da rauskommt. 42 Meter hier addieren.

Diese Funktion ableiten. Der vordere Teil wird das, was wir kennen. Und die 42 Meter nach T ableiten, ist eine Konstante, ist weg. Das wird auch funktionieren. Also die Stammfunktion ist nicht eindeutig bestimmt. Deshalb steht in der Formelsammlung immer plus eine Konstante, sowieso plus C. Das ist egal, wenn man Flächen bestimmt. Ich nehme ja nachher dieses

hier an der Stelle 10 Sekunden minus an der Stelle 0 Sekunden und dann ist die 42 wieder weg, weil ich es einmal dazu gezählt habe und einmal wieder abgezogen habe. Bei der Flächenberechnung ist diese Konstante egal. Dann brauchen Sie auch gar nicht hinzuschreiben. Lohnt sich ja nicht. Was soll man den Ärger machen? Bei der Flächenberechnung nehme ich die simpelste Stammfunktion, die mir einfällt.

Später bei Differenzialgleichungen wird das eine andere Geschichte werden. Dann muss man ein bisschen aufpassen. Aber erstmal, wenn es hier um solche Sachen geht, können Sie diese Konstante, die dahinter steht, eigentlich ignorieren. Oder ich sollte streng sagen, bei Flächenberechnungen können Sie die Konstante ignorieren. Alles andere ist alles andere. Hier haben wir eine Flächenberechnung.

Und das soll jetzt heißen, 10 Sekunden einsetzen. Also 100 durch 36 Meter pro Sekunde Quadrat mal 10 Sekunden ins Quadrat. Halbe. Vorsicht, die 10 Sekunden insgesamt quadrieren. Nicht nur 10 quadrieren. Minus 0 Sekunden

einsetzen. Hier setzen Sie 0 Sekunden ein. Toll sind 0 Meter natürlich. Muss ich nicht ausbuchstabieren. 0 Sekunden Quadrat. Es bleiben 0 Meter. Einige Physiker würden auch einfach 0 schreiben, statt 0 Meter. Der Rest ist hoffentlich, ob ich es gerade hier nicht,

wenn ich mich jetzt nicht verrechne irgendwo. Wir müssen eigentlich nur mit dem Alten vergleichen. Das ist klug. Sie sehen Sekunde Quadrat. Sekunde Quadrat kürzt sich. Ich buchstabe es doch lieber aus. Also 136 Meter pro Sekunde Quadrat. Hier stehen jetzt 10 Sekunden ins Quadrat.

Was sind 10 Sekunden ins Quadrat? Genau. Also aufpassen. 100 Sekunden ins Quadrat werden das. Nicht nur 100 Sekunden, sondern 100 Sekunden ins Quadrat. Alles quadrieren. 100 Sekunden ins Quadrat durch 2. Jetzt können wir endgültig hier die Sekunden Quadrat loswerden. Da stehen nur noch Meter. Und dann haben wir

10.000 10.000 durch 2 mal 36 Meter. Das ist hoffentlich dasselbe wie eben. Wo waren wir da? Wo waren wir da? Wo waren wir da? 10.000 durch 2 mal 36, dasselbe Ergebnis wie eben. Sie sehen, Sie können es mit dem Integral auch richtig kompliziert ausrechnen. Für diese Funktion

wird das keiner machen. Das nur noch mal als Illustration. Was denn da eigentlich passiert, wenn Sie das mit dem Integral ausrechnen. Sie müssen die Geschwindigkeit wirklich als Funktion der Zeit gegeben haben. Und dann geht es ganz los, als ob Sie mit dem, geht es ganz normal weiter, als ob Sie mit dem Integral eine Fläche ausrechnen. Sie rechnen aber keine Fläche

aus, sondern, Überraschung, Sie rechnen eine Strecke aus, wegen der Einheiten. Die typischen Einheiten behandeln Sie so, als ob das Faktoren sind, als ob das Variable sind. Wenn Sie 10 Sekunden haben, ins Quadrat, tun Sie so, als ob dieses S irgendeine Variable wäre.

Schauen Sie sich vor, 10 a ins Quadrat. Und dann kriegen Sie 10 Quadrat mal a Quadrat. Und dann erinnern Sie sich dieses a mal eigentlich eine Sekunde. So geht es dann vielleicht. Das gilt für die typischen Einheiten. Es gilt nicht für alle Einheiten, aber die Einheiten, die Sie im ersten Semester sehen, sind die üblichen Einheiten. Wenn Sie sowas haben,

wie Dezibel oder so, dann wird es nur mal schwieriger. Dann wird man sowas wahrscheinlich auch gar nicht rechnen dürfen, weil es ziemlich blödsinnig wäre. Die Standard-Einheiten funktionieren so.