K10 Funktionsgraph verschieben, umformen
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Formale Metadaten
| Titel |
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| Serientitel | ||
| Anzahl der Teile | 89 | |
| Autor | ||
| Lizenz | CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland: Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben. | |
| Identifikatoren | 10.5446/10013 (DOI) | |
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Inhaltliche Metadaten
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Aussage <Mathematik>Funktion <Mathematik>QuadratSinusfunktionComputeranimation
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KosinusfunktionSinusfunktionQuadratDiagramm
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SinusfunktionQuadratGradientTangente <Mathematik>FrequenzStreckeComputeranimationDiagramm
Transkript: Deutsch(automatisch erzeugt)
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Eine Funktion skizzieren. Doppelpunkt folgendes. x wird abgebildet auf Sinus von x plus Pi halbe Quadrat plus eins.
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Für x aus sagen wir 0 bis 2 Pi. Was ist der prinzipielle Verlauf dieser Funktion? Den Sinus x plus Pi halbe Quadrieren und eins drauf.
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Wir starten mit dem Sinus. Hier ist irgendwas bei 6,2 Pi, 3, irgendwas Pi. Dann haben wir hier die eins. Erstmal setze ich Pi in die Mitte, das hat den Vorteil.
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Naja, der ganz normale Sinus soll das sein. Sinus von x. Y gleich Sinus von x. Hier haben wir jetzt eine Verschiebung entlang der x-Achse. Ich setze nicht x ein, sondern x plus Pi halbe setze ich ein. Das heißt, wenn meine neue Funktion
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y ist gleich Sinus von x plus Pi halbe Wenn ich die wissen will, an der Stelle x gleich 0 gucke ich den Original Sinus nach an der Stelle Pi halbe.
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Hier bei x gleich 0 schreibe ich für diese grüne Funktion den Wert der Sinusfunktion an Pi halbe rein. Wenn ich diese neue Funktion hier an der Stelle Pi halbe wissen will, rechne ich die Sinusfunktion an der Stelle Pi aus. Den Wert schreibe ich da rein. Wenn Sie das weitermachen, sehen Sie, ah, okay.
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Wenn hier x plus Pi halbe steht, heißt das um Minus Pi halbe nach links. Das ist irritierend. Um Minus Pi halbe nach links verschieben. Sie nehmen die Sinuskurve um Minus Pi halbe nach links und haben natürlich nichts anderes als den Cosinus. Das ist der Cosinus eigentlich, was da steht. Die Cosinuskurve haben wir hier.
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Sanity check. Wenn Sie Minus Pi halbe einsetzen, wenn x gleich Minus Pi halbe ist, steht hier der Sinus von 0 und es kommt 0 raus. Stimmt. So, jetzt soll das quadriert werden. Y ist gleich Sinus von x plus Pi halbe Quadrat.
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Das ist ja in der Reihenfolge, was dem Y-Wert angetan wird. Das ist mein Sinuswert, den ich gerade hatte. Den quadriere ich. Und dann zum Schluss wird 1 aufadiert, was den Y-Wert angeht. Das Quadrat. 1 quadrieren, toll.
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Das ist gleich 1. 0 quadrieren ist 0. Minus 1 quadrieren ist plus 1. 0 quadrieren ist 0. 1 quadrieren ist 1. Das sollte natürlich jetzt keine Zick-Zack-Kurve sein. Hoffentlich. Die bleibt ja nun differenzierbar. Wenn ich das hier, diese parabelförmige Kurve,
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wenn ich da anfange zu quadrieren, die ist ungefähr gleich 1. Wenn Sie quadrieren, bleibt sie ungefähr gleich 1. Da ändert sich ja nichts dran. Wenn Sie hier minus 1 quadrieren, das wird auch alles ungefähr 1 sein. Wenn Sie 1 quadrieren, bleibt es ungefähr 1. Das hat hier auf jeden Fall eine horizontale Tangente.
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Dieser hier, den habe ich wirklich sehr ungeschickt gemalt. Gucken wir uns den normalen Sinus mal an. Hier haben Sie eine Gerade mit 45 Grad Steigung. Wenn Sie die quadrieren, y gleich x, eine Gerade mit 45 Grad Steigung durch die Null. Wenn Sie die quadrieren, dann haben Sie die Normalparabel. An jedem Nulldurchgang haben Sie mehr oder minder die Normalparabel.
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Im Original ist das hier gerade mit Steigung minus 1 oder plus 1. Wenn Sie quadrieren, haben Sie ungefähr eine Normalparabel. Und dann kann man sich jetzt, glaube ich, zusammenreimen, was passieren wird. Das wird passieren. Sie kriegen offensichtlich wieder eine sinusförmige Funktion,
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jetzt aber mit der doppelten Frequenz. Die hat zwei Berge auf der Strecke, wo die originale Funktion nur einen hatte. Und jetzt fehlt noch plus eins. Das ist das Einfachste von all dem.
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Zu jedem dieser Werte addieren Sie eins dazu, immer eins nach oben. Dann haben Sie das Ergebnis. Das sollte sehr grob und schnell skizziert dann rauskommen als endgültige Funktion. Schön wäre hier noch eine 2 dran zu schreiben.
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Das Quadrat vom Sinus ist zwischen 0 und 1. Der Sinus ist zwischen minus 1 und 1. Das Quadrat ist zwischen 0 und 1. Sie addieren eins drauf und liegen zwischen 1 und 2.