nach den linearen nun zu den quadratischen Gleichungen in einer Variable wir betrachten das wieder erstmal über die Grundmenge r und was ist eine quadratische Gleichung? Nun, das ist eine Gleichung der Form ax² plus bx plus c

gleich Null wobei wir wieder a, b und c fest wählen, das heißt wir sind in der Situation, dass a und b und c aus r sind und die sind uns vorgegeben x ist unsere Variable, nach der wir lösen möchten

das heißt unsere Grundmenge ist r und wir suchen x aus r, sodass diese Gleichung erfüllt ist Gut, auch hier wissen wir das Schaubild der zugehörigen Funktion, x wird abgebildet auf ax²

plus b x plus c das sieht dann so aus ja, das ist eine Parabel, wir wissen nicht ob sie noch oben oder unten geöffnet ist

die hat hier auch irgendeine Öffnung, kann also flacher oder steiler sein das wird durch die koeffizienten a, b und c bestimmt genauso, wo der Scheitelpunkt der Parabel liegt

so, jetzt möchten wir das ein kleines bisschen systematischer angehen, das heißt wir möchten uns davon befreien, dass wir so viel über diese Parabel hier nicht wissen und das heißt am liebsten würden wir die Gleichung durchnormieren, also uns von diesem a hier befreien

das können wir natürlich nur, wenn a ungleich Null ist das heißt, bevor ich das mache möchte ich erstmal den Fall diskutieren, dass a gleich Null ist wie sieht dann die Gleichung aus?

ja, dann steht da a ist Null, das kann ich also a Null mal x² weglassen, dann steht da nur noch b x plus c gleich Null und das ist eine lineare Gleichung der quadratische Term ist weggefallen

und wie man die löst, das haben wir schon besprochen

das heißt, die können wir lösen deswegen werde ich mich im Folgenden auf den Fall beschränken, dass a ungleich Null ist das heißt, dass unsere quadratische Gleichung auch in Wirklichkeit eine ist

und nicht eigentlich eine getarnte lineare das heißt, wir nehmen jetzt an, dass a ungleich Null ist

dann gilt für alle x aus den reellen Zahlen das ax² plus bx plus c gleich Null gleichbedeutend dazu ist, dass x²

plus b durch a mal x plus c durch a gleich Null also, warum ist das hier wirklich äquivalent? um von dieser Gleichung auf diese zu kommen muss ich durch a teilen alles

das geht, dann bekomme ich diese Gleichung von dieser Gleichung gelange ich aber auch wieder zurück zu dir, indem ich mit a mal nehme also ist das Teilen durch a in diesem Fall wirklich eine Äquivalenzumformung und jetzt

gibt es folgende Konvention man nennt den Koeffizienten, also die Zahl, die vor dem x steht, hier p und den konstanten Koeffizienten, also die Zahl, die ohne x und x² hier steht

die nennt man Q und dann lautet unsere Gleichung jetzt allgemein x² plus px plus Q gleich Null dann sparen wir uns also in der ganzen Diskussion viele Brüche mitzuziehen

ich fasse mal zusammen, was wir bisher gemacht haben wir haben gesagt, wenn a ungleich Null ist, dann können wir p als b durch a setzen und Q als c durch a und dann gilt das die Lösungen der Gleichung ax² plus bx plus c gleich Null ist

sind die Gleichungen wie die die Lösungen sind die gleichen wie die der Gleichung x² plus px plus Q gleich Null und die Gleichung x² plus px plus Q gleich Null, das ist die Normalform der Gleichung

und die heißt Normalform, weil es eine Normalparabel ist das heißt, die ist auf alle Fälle schon mal nach oben geöffnet die sieht irgendwie so aus gut, in der Schule haben sie schon Lösungen für diese Gleichung kennengelernt

wissen sie nämlich dass die Lösung gegeben ist als x gleich minus p halbe

plus oder minus die Wurzel von p halbe zum Quadrat minus Q das ist die sogenannte p Q Formel

jetzt eine Warnung, Achtung Schleudergefahr das stimmt zwar, dass wir Lösungen so schreiben können aber reelle Lösungen also reelle Zahlen sind das nur wenn das was unter der Wurzel steht, die Diskriminante größer gleich Null ist, also wenn ich aus dieser Zahl

die nennt man normalerweise d für Diskriminante gegeben als p halbe zum Quadrat minus Q auch wirklich die Wurzel ziehen kann so das ist die Diskriminante

und reelle Lösungen gibt es nur wenn die Diskriminante größer oder gleich Null ist

das heißt das heißt wenn Wurzel d in R existiert so jetzt nehmen wir das einfach mal an, also

wir sagen die Diskriminante sei größer oder gleich Null und um zu gucken ob das auch stimmt setzen wir doch einfach mal dieses x ein in die Gleichung

das heißt wir rechnen minus p halbe plus oder minus Wurzel p halbe zum Quadrat, ach wissen Sie was, damit wir es ein bisschen leichter haben schreibe ich hier erst mal nur Wurzel aus d

zum Quadrat plus p mal minus p halbe plus oder minus Wurzel d plus Q das multiplizieren wir distributiv aus, das ist ein Binom

das gibt p halbe zum Quadrat, das Minus kann ich gleich weglassen, aber ich kann es auch nochmal mit dazu tun, also minus p halbe zum Quadrat plus oder minus 2 mal minus p halbe

mal Wurzel d und dann plus Wurzel d Quadrat dann hier diesen Termen multipliziere ich auch aus das gibt ein Minus p Quadrat halbe und dann ein p mal

plus oder minus Wurzel d plus Q das ist gleich p Quadrat Viertel dieser Term dann habe ich hier eine 2 und hier eine 2, das kürzt sich weg

und jetzt mache ich ja beide Fälle gleichzeitig, das heißt, im ersten Fall, wenn hier ein Plus steht, habe ich plus mal minus p halbe bzw. minus p, das gibt also ein Minus p in dem Fall, dass ich hier mit Minus arbeite, habe ich ein

Minus mal Minus p, das gibt ein Plus p mal Wurzel d plus Wurzel aus d zum Quadrat, das ist d und dann schließlich haben wir gesagt, d ist größer als 0 dann haben wir ein Minus p Quadrat halbe

ein Plus oder Minus p mal Wurzel aus d plus Q und jetzt sehen wir dieser Term hier Minus p oder Minus oder Plus p mal Wurzel d

der hebt sich mit dem hier weg und dann schreibe ich hin, was noch da ist, wir haben p Quadrat Viertel dann d schreiben wir jetzt aus plus p Quadrat Viertel minus Q, also ich habe hier d eingesetzt

dann bleibt uns noch ein Minus p Quadrat halbe und ein Plus Q übrig so, das können wir jetzt zusammenfassen, da haben wir hier ein Minus Q und hier ein Plus Q, das fällt weg

und dann haben wir hier p Quadrat Viertel plus p Quadrat Viertel, das sind zwei p Quadrat Viertel also p Quadrat halbe und p Quadrat halbe minus p Quadrat halbe gibt auch 0 ok das heißt wir haben in unsere Gleichung x Quadrat plus p x plus Q

diese Lösungen hier eingesetzt und gesehen es sind wirklich Lösungen, es kommt Null heraus und damit haben wir diesen Satz gezeigt wenn wir also Reelle p und Q wählen

und unsere Diskriminante auch gleich nochmal definieren d also p halbe zum Quadrat minus Q ist dann hat die quadratische Gleichung x Quadrat plus p x plus Q über der Grundmenge der realen Zahlen die folgende Lösungsmenge so im Fall das d größer als Null ist

haben wir diese zwei Lösungen, mit denen wir gerade gerechnet haben, nämlich minus p halbe plus Wurzel aus der Diskriminante und minus p halbe minus der Wurzel aus der Diskriminante so im Fall, dass d gleich Null ist das sind diese beiden Lösungen

der gleich Wurzel d ist dann Null deswegen ist die Lösung in dem Fall nur einelementig und wir haben minus p halbe und in dem Fall, dass die Diskriminante kleiner ist als Null, dann können wir diese Wurzel nicht ziehen und demnach finden wir gar keine Lösung

also machen wir dazu noch ein Beispiel wir gehen aus von der Gleichung 2x Quadrat plus 5x plus 7 gleich Null

das ist Äquivalent, ich schreibe hier ruhig hin für alle x aus R ist das Äquivalent dass diese Gleichung gilt dazu, dass die Gleichung x Quadrat plus 5 halbe x plus 7 halbe gleich Null ist

so das hier ist in Normalform sie ist normiert und p ist gleich 5 halbe und q ist gleich 7 halbe

was ist dann die Diskriminante? d die ist p halbe zum Quadrat also 5 halbe durch 2 zum Quadrat minus q das ist minus 7 halbe

das sind 25 sechzehntel minus 7 halbe und ich muss hier entscheiden, ob das größer als Null ist oder gleich Null also ob das größer als Null ist, gleich Null ist oder kleiner als Null das heißt ich bringe das auf den Hauptnummer, damit ich die beiden Brüche

ordentlich subtrahieren kann, der Hauptnummer ist offensichtlich oder ein Hauptnummer ist offensichtlich 16 das heißt ich habe hier oben 25 minus 7, mit was muss ich 7 halbe erweitern, näher mit 8 minus 8 also

das sind 25 minus 56, das sind minus 31 sechzehntel und das ist kleiner als Null die Diskriminante ist also kleiner als Null und daraus folgt die Lösungsmenge ist leer

es gibt keine Lösungen über der Grundmenge R