Ja, schön, dass ihr da seid heute im Stream und ich habe hier einen Quiz mitgebracht, dass ich meinen Studierenden von meiner Veranstaltung Inside Maths stelle. Da geht es um Mengenlehre und ja, ich habe hier mal so ein paar Aussagen,

oder knifflige Aussagen in einer Quiz-Aufgabe in Learning-Apps gemacht, genau, Mk, Mk, genau, Zwinker, Zwinker, in Learning-Apps und das wollte ich mal mit euch

besprechen, weil die Studierenden haben da Schwierigkeiten, welche dieser Aussagen korrekt sind und nicht korrekt sind und haben sich gewünschte Lösungen dazu zu bekommen. Ich mache jetzt hier kein Lösungsblatt oder so, sondern ich mache ein Video und ich brauche eure

Hilfe jetzt, um mal rauszukriegen, was sind denn hier die richtigen Antworten, die korrekten Antworten und das Video gebe ich dann meinen Studierenden. Okay, hier gibt es schon die ersten Vermutungen, C und D müssten wahr sein. Ja, schauen wir mal, was glaubt ihr,

welche Aussagen sind wahr? C und D wird hier gesagt, sind wahr. Was meinen die anderen? Alle einverstanden? Sehr gut, danke. Admiral Wurst hat gleich die entsprechenden Symbole

hier rauskopiert. Also, wir haben hier die Menge mit den Elementen 1, 2, 3. Also,

ich schreibe es hier nochmal hin. 1, 2, 3. So, okay. Und jetzt wird hier gesagt, C und D sind gleich groß. Schon, C und D sind wahr. C und D sind wahr als Aussagen. Also, hier wäre jetzt die erste Aussage, die Menge 1, 2. Was war Teilmenge oder echte Teilmenge?

Ah, Teilmenge, genau. 1, 2 ist Teilmenge von 1, 2, 3 und 3 ist Element von 1, 2, 3. Genau,

die beiden Aussagen sind wahr. Also, ich habe eine Menge, die hat drei Elemente. 1, 2 und 3. Da sind drei Elemente drin. Elemente stehen in der Menge, wenn man die formal hinschreibt, in so einer geschweiften Mengenklammer und Kommata dazwischen. Es gibt drei Elemente in

der Menge. Denn es steht hier ja in der Liste der Elemente zwischen den geschweiften Klammern. 3 ist ein Element. Was hier noch steht ist, 1, 2 ist Element von 1 der Menge 1, 2, 3. Stimmt

das oder stimmt das nicht? Das stimmt nicht. Also, das stimmt, das stimmt, das stimmt nicht,

denn die Menge 1, 2 ist ja kein Element der Menge, die die Elemente 1, 2 und 3 hat. Genau, wie jetzt Admiral Wurst korrekt schreibt, das wäre nur korrekt, zum Beispiel in einem solchen Fall. Wenn ich eine Menge habe, die Elemente hat und die Elemente stehen ja alle hier als

Kommata dazwischen. Und eines der Elemente ist eine Menge, nämlich diese hier. Und dann

könnte vielleicht noch irgendwie eine Zahl drin sein und keine Ahnung, vielleicht noch ein Emoji oder so. Kann da unterschiedliche Objekte in der Menge haben, auch Mengen. Mengen können auch Elemente sein, aber sie müssen als Elemente geführt sein in der Menge. Dieses Objekt hier,

diese Menge ist Element dieser Menge, weil es in der Liste der Elemente auftaucht. Während in diesem Fall hier oben, deswegen ist er auch falsch, die Menge kein Element ist der Menge, die rechts steht, sondern eine Teilmenge, also hier oben, das ist richtig, eine Teilmenge.

Was bedeutet, alle Elemente in der linken Menge sind auch in der rechten drin. Das erinnert mich jetzt irgendwie an Arrays, da kann man auch viel Mist bauen. Ja, genau. Also, wer sich in der Informatik auskennt, beim Coden ein bisschen Arrays, da kann man viel Mist

bauen. Demnach ist auch 3 keine Teilmenge der Menge 1, 2, 3. Das war eine andere Aussage, die hier in der Quizaufgabe gestellt wurde, denn die Zahl 3 ist ja keine Menge. Und nur

eine Menge kann eine Teilmenge von etwas sein. Die 3 ist keine Teilmenge, weil sie keine Menge ist. Die 3 ist aber Element der Menge 1, 2, 3, weil sie ja als Element geführt wird in der

Menge. Okay, also ich glaube jetzt wissen wir ungefähr, wie wir hier vorgehen müssen. Also, die Menge 1, 2 ist kein Element der Menge, denn die Menge hat nicht eine Menge als Element. 3 kann auch keine Teilmenge sein, weil 3 keine Menge ist. Aber die Menge 1, 2 ist Teilmenge

der Menge 1, 2, 3. Und die 3 ist ein Element der Menge. Aha, das stimmt also. Gucken wir mal, überprüfen wir mal die Lösung. Das kann man bei Learning Apps ja immer. Das ist immer schön. Erfällt man, ob man richtig gedacht hat. Wir haben richtig gedacht. Habt ihr super gemacht. Perfekt. Nächste Frage. Oh ja, das sind auch schöne Aussagen. Also, die erste

Frage bedeutet, die leere Menge ist Teilmenge der natürlichen Zahlen oder ist die leere Menge Element der natürlichen Zahlen oder ist die Menge der ganzen Zahlen Element der

natürlichen Zahlen oder sind die natürlichen Zahlen Element der ganzen Zahlen? Das ist die Frage. Und ich habe das Ganze jetzt mal hier in GoodNotes übertragen, damit man so über Gedanken machen kann. Genau. Admiral Wurst schreibt schon, die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge. Also, die erste Aussage scheint zu stimmen. Alle Elemente,

die in der leeren Menge drin sind, sind auch in der Menge der natürlichen Zahlen. Das ist manchmal ein bisschen unklar. Ah, Susabin from hell sagt, A, B und

C sind korrekt. Das merken wir uns mal vor mit Fragezeichen. Also, Null ist Teilmenge von N. Nochmal bei der ersten Aussage, weil alle Elemente, die in der leeren Menge drin sind, auch in den natürlichen Zahlen drin sind. Manche denken dann, alle Elemente,

die in der leeren Menge drin sind, da sind doch gar keine drin. Also, stimmt denn die Aussage, alle Elemente, die in der leeren Menge drin sind, sind auch in den natürlichen Zahlen drin? Ja, die stimmt. Denn angenommen, sie würde nicht stimmen, dann müsstet ihr mir ein Element zeigen, das in der leeren Menge drin ist, aber nicht

in den natürlichen Zahlen. Man müsste so Detektiv spielen und so ein Element finden, das gegen die Regel verstößt sozusagen. Alle Elemente in der linken Menge sind auch in dem Element von der rechten Menge. Zeig mir eins, dass eine leere Menge drin ist,

das nicht in den natürlichen Zahlen drin ist. Ach, kannst du nicht zeigen? Okay, dann ist die leere Menge Teilmenge der natürlichen Zahlen. Die leere Menge ist aber nicht Element in den natürlichen Zahlen. Das ist tatsächlich falsch, weil die Menge der

natürlichen Zahlen ist ja diese hier. Mit oder ohne Null kann man sich noch darüber streiten. Lassen wir sie mal weg. 1, 2, 3, 4 und jetzt natürlich Bissen an Unendlichkeit, das ist die Menge der natürlichen Zahlen. Da steht nirgendwo als Element drin die leere Menge. Also, es ist nicht so, dass irgendwo hier die leere Menge vorkommt in den

natürlichen Zahlen, wenn ich die irgendwo aufliste. Es ist auch nicht die Null. Die leere Menge ist eine Menge in der nichts drin ist und sozusagen ein leerer Sack. Und die

natürlichen Zahlen ist eine Menge, ist auch ein Sack, da sind lauter Zahlen drin. Und die Frage ist jetzt, ist in dem Sack, in dem lauter Zahlen drin sind, also die Menge der natürlichen Zahlen, irgendwo auch ein leerer Sack drin? Die leere Menge? Nee, hat man da

nicht drin. Mit Element und Teilmenge komme ich immer durcheinander. Ja, genau. Elemente sind sozusagen, wenn ich eine Menge tatsächlich aufliste, dann als ein Element zwischen irgendwo in dieser Liste mit drin, während eine Teilmenge, da vergleiche ich zwei

Mengen und schaue, sind die Elemente in der einen Menge, alle auch in der anderen drin. Genauso sind die letzten beiden Aussagen beide falsch. Denn weder die Menge der ganzen Zahlen ist in der Menge der natürlichen Zahlen drin noch umgedreht als Element. Also

ich habe keinen Sack, in dem alle ganzen Zahlen drin sind und der ist im Sack der natürlichen Zahlen drin. Oder ich habe den Sack der natürlichen Zahlen, da ist nicht irgendwo ein Sack drin, wo alle ganzen Zahlen drin stecken. Was aber natürlich der Fall ist, die Menge der natürlichen Zahlen ist eine Teilmenge der Menge der

ganzen Zahlen. Weil alle Elemente, die in den natürlichen Zahlen drin sind, sind auch in der Menge der ganzen Zahlen drin. Aber die Menge der natürlichen Zahlen ist selbst nicht Element der Menge der ganzen Zahlen. Ganze Zahlen sind Elemente

der Menge der ganzen Zahlen. Also 1, 5, minus 7, minus 100, 0, 35 und so weiter. Aber doch keine Menge von natürlichen Zahlen, das ist so kein Element. Okay, gucken wir, ob wir recht haben, indem wir Learning Apps befragen. Wir haben gesagt,

nur das hier ist richtig. Die leere Menge ist Teilmenge der Menge der natürlichen Zahlen. Lösung überprüfen. Prima, haben wir richtig gemacht. Super. Ganz toll. So und jetzt kommt der letzte Screen. Ich schreibe ihn gerade mal ab

in GoodNotes, damit wir uns das auch gleich noch mal hier gemeinsam schriftlich überlegen können. Also die Menge 1, 2, 3 ist echte Teilmenge

der Menge 1, 2, 3. Zweite Aussage, die Menge 1, 2, 3 ist echte Teilmenge der Menge der natürlichen Zahlen. Dritte Aussage, die Menge 1, 2, 3 ist Teilmenge der Menge der natürlichen Zahlen. Und die letzte Aussage, die Menge 1, 2, 3 ist Teilmenge

der Menge 1, 2, 3. Okay, wie sieht es hier aus, Leute? Was denkt ihr? Was stimmt? Welche Aussagen sind richtig? So, hier wird schon gesagt, B, C und D sind

korrekt. A nicht. Also das, die drei hier scheinen korrekt zu sein und A nicht. Warum? Ja, da haben manche ein Verständnisproblem, was Teilmenge

und echte Teilmenge anbelangt. Man kann es ganz gut vergleichen mit, wenn man den natürlichen Zahlen geht, mit kleiner und kleiner gleich. Also, jeder würde sagen, drei ist kleiner als vier. Das ist okay. Was auch geht, drei ist

kleiner gleich vier. Was auch geht, drei ist kleiner gleich drei. Was aber

nicht geht, ist drei kleiner drei. Kleiner bedeutet ja echt kleiner. Also drei ist kleiner als vier, aber drei ist nicht kleiner als drei. Wenn ich jetzt das Gleichheitszeichen noch mit in das Symbol nehme, bedeutet das, zu

diesen Situationen echt kleiner kommt noch die Möglichkeit hinzu, dass es Das heißt, drei kleiner gleich drei gilt und drei kleiner gleich vier sowieso.

Genauso ist es mit Teilmenge und echte Teilmenge. Also, die Menge vier fünf ist eine Teilmenge, eine echte Teilmenge der Menge vier fünf und sechs.

Die Menge vier fünf ist auch eine Teilmenge der Menge vier fünf und sechs. Da kommt jetzt noch die Möglichkeit dazu, dass beide Mengen auch gleich sein dürften. Ist in diesem Fall nicht so. Sie ist ja eine echte

Teilmenge, in dem Fall kleiner, nachdem man in der Symbolik der natürlichen Zahlen oben geht. Aber potenziell dürfte sie auch gleich sein. Das heißt, das ginge auch. Die Menge vier fünf ist eine Teilmenge der Menge vier fünf. Das geht auch, weil sie sind auch gleich. Okay, das ist damit

berücksichtigt. Was aber nicht geht, ist die Menge vier fünf ist echte Teilmenge der Menge mit den Elementen vier und fünf. Das geht nicht. Das wäre die gleiche Verletzung wie oben drei kleiner drei. Es ist keine echte Teilmenge, aber eine Teilmenge. Jede Menge ist Teilmenge von sich selbst,

weil alle Elemente in der Menge auch in der Menge sind. Aber eine Menge ist nicht echte Teilmenge von sich selbst, sondern nur, naja, echte Teilmenge. Also, da müssen dann Elemente fehlen. Okay, also dann gucken wir noch mal hier

durch. Tatsächlich, die Menge mit den Elementen eins zwei drei ist nicht echte Teilmenge der Menge eins zwei drei hier oben. Das ist falsch. Eine Menge kann nicht echte Teilmenge von sich selbst sein. Eine Zahl ist nicht kleiner als sie selbst. Vergleich. Bitte nicht das Kleine jetzt auf Mengen übertragen.

Es ist nur sozusagen, ich habe jetzt die Symbole miteinander verglichen, damit man sich eine Vorstellung davon machen kann. Das gilt aber. Die Menge mit den Elementen eins zwei drei ist eine echte Teilmenge der natürlichen Zahlen. Der Menge der natürlichen Zahlen. Denn in der Menge der natürlichen Zahlen ist eins zwei drei drin, aber viel mehr noch. Okay.

Es ist sogar eine Teilmenge. Es käme die Möglichkeit dazu, dass sie auch gleich sein dürften. Sie sind es nicht. Okay. Aber die Menge mit den Elementen eins zwei drei ist eine Teilmenge der natürlichen Zahlen. Der Menge der natürlichen Zahlen. So, und jetzt haben wir noch hier unten die Situation, natürlich die Menge ist Teilmenge von sich selbst. Okay,

übertragen wir das mal. Also die letzten drei Aussagen sind korrekt. Lösung prüfen. Prima, richtig. Wir haben es geschafft. Super, herzlichen Glückwunsch. Wir haben die Aufgabe richtig gelöst. Vielleicht, wenn ich euch gerade noch einen Tipp geben darf.

Learning Apps ist wirklich eine super Plattform, bei der man solche Quizaufgaben machen kann. Und insbesondere bietet sie eine sehr einfache Möglichkeit, Quizaufgaben zu erstellen aus bereits vorhandenen Quizaufgaben. Man kann nämlich jede beliebige Quizaufgabe oder jede beliebige

App, die bei learningapps.org vorliegt, die irgendjemand anders erstellt hat, die man sieht und denkt, ah Mensch, ich würde gerne so eine ähnliche App mal machen. Dann kann man die einfach klonen. Also man meldet sich an bei Learning Apps, dann kann man die klonen. Irgendeine App, die jemand gemacht hat, klonen. Dann wird die in den eigenen Arbeitsbereich hineinkopiert mit den

Werten, die derjenige da eingestellt hat. Und dann braucht man nur zu Das macht sehr einfach. Also wenn ich hier zum Beispiel jetzt sage, oh, ich möchte gerne mal so eine ähnliche App machen wie die hier, dann sage ich Create Simular App. Und dann sieht man schon, Apptitle war oder falsch, ein Quiz mit Mengen, das hat sich ja eingeschrieben. Und hier unten

kommt die Frage 1, Question 1. Welche der folgenden Aussagen sind wahr? Kreuze alle wahre Aussagen an. Und dann sieht man hier die Antworten. Und jetzt könnte man einfach hier anfangen zu modifizieren und so eine ähnliche App zu machen. Da kann man sehr einfach Quizaufgaben erstellen aus bereits vorhandenen. Man sieht hier sogar, wie man diese

schönen LaTeX-Formulierungen der mathematischen Ausdrücke generieren kann. Nämlich mit den Doppel-Dollar-Symbolen und so. Wer es damit nicht auskennt, LaTeX ist eine Text-Beschreibungssprache, die in der Mathematik sehr gerne eingesetzt wird, weil man da sehr schön mathematische Formeln

setzen kann, mathematische Ausdrücke setzen kann. Und wenn man sich mit dieser Symbolik auskennt, dann kann man da sehr schön auch Quizaufgaben machen, in denen diese Texte mit vorkommen. Also auch nochmal eine Empfehlung für alle, die solche Quizaufgaben erstellen wollen, insbesondere auch in der Mathematik.