Bestand wählen
Merken

Funktionengrenzwerte

Zitierlink des Filmsegments
Embed Code

Automatisierte Medienanalyse

Beta
Erkannte Entitäten
Sprachtranskript
Roman sind hier in der immer so sein Nachbar den werden an der TU Darmstadt so so normal herzlich
willkommen zum Fortsetzung der Vorlesung über Konvergenz wobei der mit dem Basis Kapitel über Konvergenz im wesentlichen schon durch sind ich hatte den letztes Mal erklärt was es bedeutet Folge konvergiert gegen den Grenzwert und ich habe dann am Schluss 1 wenn ich gerade weiß doch arg knapp war nochmal kurz wiederholen wir haben erklärt was bestimmte Divergenz ist manchmal auch fälschlicherweise Konvergenz noch unendlich genannt sollte man auseinanderhalten Folge die nach unendlich geht in Anführungszeichen ist eben nicht Konvergenz sondern die wir kennen und da hatte ich ihn als Definition gesagt wir schreiben Limes n gegen unendlich am weil ich unendlich das heißt ist bestimmt die wir gehen nach unendlich falls Folgendes gilt ja das ist die Folge fast überall positiv also größer 0 fast überall haben Sie mich irgendwie wenn sie gegen unendlich gehen soll dann muss sie in der größten Zeit der Dinge positiv sein und wenn die Folge 1 durch Aalen wenn daheim gegen unendlich geht mit 1 durch einen beliebig nahe nur also wenn das Ei 0 Folge ist wenn endlich 1 durch eine 0 ist dann sagt man A ist bestimmt die wir nach unendlich das Gleiche hatten wir noch mit minus unendlich also die Messe am ist
minus unendlich bestimmt die wir gehen nach minus unendlich in das Ding fast über 3 kleine 0 ist und durch eine 0 vor und dann hatte ich damit ist also auch diese Begriff der bestimmten Divergenz auf den normalen Konvergenz Begriff zurückgespielt auf den Begriff der nur Folge und er und wir können jetzt eben unterscheiden folgen die 2. Divergenz sind aber das zielstrebig nach plus oder minus unendlich tun und solche die Divergenz sind weil sie sich nicht entscheiden können als die klassische vor Zeichenfolge minus 1 1 1 1 1 1 1 1 die ist und bleibt die Gegend in jedem Sinne er so
uneinheitlich letztes Mal noch kurze Beispielen
angefangen also Beispiel 1 20 beziehungsweise 6 13 und da hat ich zunächst ja wesentlichen nur hingeschrieben die eigentlich ja zu erwartenden Dinge in dem es Quadrat werden gehen wir endlich wird unendlich groß das entgegen unendlich von minus 1 hoch 5 wird beliebig kleinen giftigen minus unendlich das ist nun zu sehen was darstellt und das Teil B
von dem Beispiel das ist noch mal ein Beispiel das bisschen vor den Türken diese Definition waren soll schauen Sie sich die folgende Folge an also eine Folge am die geben alles und jetzt sieht es erstmal Bild aus überlegen uns was die Folge Tod 1 plus n plus minus 1 Woche n war n Faymann zwar die 1. verfolge wieder der hindern man sieht was die Folge tot es wird immer n an dir zu 1 und dann je nachdem ob er wusste wo gerade oder ungerade ist wird das wieder abgezogen oder nochmal addiert also für gerade entsteht der 1 plus 2 für ungerade entsteht einfach 1 dementsprechend gibt es also für gerade für n gleich 1 mit 1 los in gleich 2 gerade kriegen Sie 1 plus 2 plus 2 bis 5 wenn gleich 3 ist wieder ungerade der bleibt eine 1 plus 3 minus 3 übrig also 1 dann kriegen Sie ihn gleich 4 1 plus 4 plus 4 bis 9 dann kommt wieder mehr 1 dann kriegen Sie 1 plus 6 plus 6. 13 wieder 1 dann kommt 17 1 21 und so weiter wir als ist die Folge 5 9 13 1 5 9 13 17 21 und dazwischen über Eisen geparkt so ist es bei der mit Konvergenz bestimmte Divergenz und so weiter und die Antwort ist schauen wir uns die Definition an also was haben
wir der 1. period sieht gut aus diese Folge am die ist nicht nur fast überall positiv dies überall positiv und diese auch unbeschränkt nur weil zumindest dieser Teil der Folge 5 9 13 17 21 der wird immer größer den kriegen Sie unter keine Schranke und dass sie bestimmt weggehen nach unendlich was müsste gelten
damit sie bestimmte wir Gärtner oder ähnliches müssen als durch die Folge anschauen das muss sowohl Folge sein was ist 1 durch die Folge 1 one fifth 1 one ninth 1 L 3 Zehntel eigensten 17. 1 21. das kann WDR ich nach 0 weil sie mit dieser einen Sinn haben auch das ist keine also das wird keine nur Folge und damit ist dieses Ding nicht bestimmt die Werke also man muss mehr tun als nur feststellen wer diesen alle positiv und ist nicht beschränkt dann wird's schon bestimmte zur noch unendlich gehen weil auch diese Folge hier kann sich nicht entscheiden ja die klebt bei jedem zweiten folgen die beiden fest und die ungeraden voll wieder werden nach oder das ist nicht wirklich überzeugen doch unendlich gerannt her das sind nur die ungeraden ich alle also dies nicht bestimmt divergent bestimmt die wir gern bedeutet eben die ganze Folge gibt's auch noch unendlich ab gut dass noch zur Klärung
dieses Begriffs und wenn man sich jetzt überlegt was wir jetzt haben wir haben jetzt in den Konvergenz Begriff wir können mathematisch exakt fassen was es bedeutet so Folge so unendlich lange Listen von Zahlen nähert sich ihrem Grenzwert das ist aber bei der den ich interessante aber normalerweise nicht das was man ein jetzt als Ingenieur Physiker oder sonstige Naturwissenschaft interessiert was ein interessiert ist ich warne die Handlung des unendlichen aber die Zusammenhang mit Folgen denn die ist so gut wie nie auftauchen sondern sagen Funktion und da wollen wir jetzt sehen und diese Folgen wenn dieser Begriff des
Grenzwertes verfolgen wird sich zeigen
ist das richtige Werkzeug um jetzt Konvergenz oder Grenzwert Zusammenhänge Grenzwert Begriff in vielen andern Zusammenhängen zu definieren ok also wollen zu funktionieren das ist abschnittsweise Funktionen Grenzwerte der was gilt sie haben der Funktion von nein kann man sich gut vorstellen über den
Grafen also wenn wir so was hier das nächste als er von X und ihre Funktionen C zu aber es und hier zum Beispiel springt sie noch ein Stück mehr das ist interessante Stelle hier externe und das muss ich doch sagen was die Funktionsweise der Stelle externes packen Sie den mal hier oben hin also extern sonst im oberen Aste Funktionswerte oberen erst gehört aber dann ist natürlich trotzdem dieser Wert hier diesen diesen Werten die Funktion gerade nicht annimmt das ist schon auch interessanter wäre denn mit der Funktion was zu tun hat also wenn sie sozusagen von links geradeaus weiter ginge was gehen denn dann an der Stelle F von X der raus und was wir dazu tun muss ist sei ja man muss irgendwie X die Links von externen liegen einsetzen und mit den gegen externe angehende Unternehmen das ist das sieht man jetzt nichts Unendliches aber das ist auch so ein Grenzübergang das X muss gegen externen gehen genauso kann man natürlich auch hier von rechts nach extern laufen und auch wenn sich in ganz braven Punkte funktioniere rausnehmen man sich mit dem X X 0 dann ist eine Idee die beitragen würde das heißen dass das die Funktionen der Stelle brav ist ja das heißt gut da die springt dann nicht die Macht der kein Firlefanz die geht geradeaus glatt durch und auch das kann man mathematisch beschreiben wenn man vergleichen kann den Funktionswert mit dem Grenzwert wenn ich hier von rechts oder von links die nix 0 auf wenn ich von links Gimmicks nun laufe kann ich alle F von X ausrechnen und wenn ich jetzt an der Stelle x Stern hier wenn ich jetzt mit X Dingsda brauche was sich begrenzt werde rauskriege entspricht nicht dem wird er von X Stern weil ich meine dass der den Sprung ins aber man kann es eben dieses Eigenschaft hat keinen Sprung darüber formulieren dass man sagt wenn ich hier von links und rechts komme und das ist von beiden Seiten er kommt das gleiche raus wie f von x 0 dann habe ich eben so schön glatten period dafür brauchen wir jetzt Personen zum Begriff von vom Gas passiert viele Funktionen wenn ich X gegen einen vorgegebenen period x nur laufen lasse Variante davon sieht man auch wieder er was die Unendlichkeit reinkommt erinnern Sie sich an unsere Augusttagen ins dieser der Akkus Tangens aus das war so eine sehr behäbige Schlange da ist die halbe das Minus P habe da kam hier so an ging durch die 0 und verschwindet dann wieder und da ist jetzt die Frage offensichtlich wenn sie X immer kleiner machen und gegen minus unendlich also erst an Darmstadtium vorbei und dann Richtung Griesheim oder noch weiter jagen dann wird der Akkus tangential in Grenzwert gegen das kleine gehen und VX positiv klingt ja alle und auch das wollen wir mathematisch exakt passen so und das haben wir bisher nicht wir können bisher nur folgen wir können
bisher nur folgende haben muss ich ihn jetzt zeigen ist wie man aus dem reinen Folgen aus diesem Wissen über Folgen und diesen einen von Folgen sich weiter an den kann und damit mit dem mit der Definition der Konvergenz verfolgen diese Funktion Grenzwerte auch definieren kann das hat ich letzte vorlesen oder vorletzte gesagt im Wesentlichen definieren wir die Konvergenz einmal beim Begriff der 0 Folge und alles andere bauen wir da drauf auf an dieser Stelle brauche es eine technische einen technischen Begriff der dafür sorgt dass so begrenzt Betrachtung an seiner Stelle extern oder X nun überhaupt nur Sinn macht und das ist der Begriff des Walfangs Punktes den muss ich zuerst mal hilfsweise einführen was ist damit gemeint wenn Sie zum Beispiel im linken Bild diesen Grenzwert beschreiben wollen X geht von links gegen X starren dann können Sie das in dem Bild wunderbar machen warum weil es längst von den extern Punkte x geht diesen die Funktion einsetzen können wenn die Funktion überhaupt 1. Definitionsbereich erst bei extern nach rechts losgeht dann können Sie die nicht einsetzen das heißt Sie finden überhaupt keine Punkte in ihrem Definitionsbereich mit denn sie werden können dann können Sie natürlich die ganze nicht anschauen und diese Eigenschaft vor dem Punkt an Bar zu sein das ist der Begriff des Reifens Punktes also wir haben eine Menge des die heißt nicht umsonst die denken sehr den Definitionsbereich einer Funktion und wir haben period X Sternen in der Bar entspricht diesem period extern da oben und dieses period Stern denn wenn wir eine Häufung Std period von Diehl wenn er eben aus der heraus an der Bar ist so und das ist jetzt keine vernünftige Definition des ist die schwammige Formulierung des aus der aus einer Bar aber dass das was man sich darunter vorstellen sollte und die Frage ist wie formulieren wir das exakt was heißt ist aus der heraus an der Bar beachten Sie ich vor ja nicht dass das extern selbst in die ist schick stehe in letztes ist eine sehr reelle Zahl das kann außerhalb von dem liegen was ich formulieren will es externe lässt sich aus der heraus approximieren approximieren heißt in die Grenzwert Bildung das heißt es muss vorgekommen so und wenn das Ding eben Alfons period oder aus der heraus approximieren war wenn es eine Folge des von Punkten die wir nicht mal XL mit den
folgenden 3 Eigenschaften und wie gesagt denken Sie dabei immer an wir wollen was approximieren das extern approximieren aus des heraus was muss dazu liegen mehr diese liegt vor soll die Approximation von extern seien und wenn wir aus der raus approximieren wollen muss natürlich erstmal XN in seien für alle in Aussicht 1. period wollen aus der heraus approximieren wir wollen wirklich approximieren ich meine die erst die Idee des extern zu approximieren ist die Folge extern extern extern extern extern extern mit der Conn 20. das ist keine echte Approximation des gemogelt also wird die Folge mal glatt ausgeschlossen wir fordern dass das X N nie externes also für alle in aus allen gilt XM und extrem ungleich extern gemogelt wirklich wir
wollen echte Approximation vor extern haben also period in B die alle nicht extern sind und die letzter Punkt das externe nähern also die Folge X 1 soll Konvergenz sein und der Grenzwerte 6. zurück das bedeutet sie können extern aus der aus an sie finden Folge die ganzen des liegt die nächste an es die aber trotzdem gegen dann konvertiert und das ist der Begriff des Wolfens period das weil der jetzt gleich wieder Frau scrollt und wenn ich den aber noch ein paar Mal drauf Referenz hier habe ich in den vorhin gezogen der vor steht genau das was auch in der Definition drinsteht und das kostet das jetzt das steht nur dass man das alles Referenz noch hat man sich hieraus scrollt gut brauchen der braucht noch ein bisschen muss vom Kohlen einwerfen hier ist der Helge noch ist aber dann aber das Glöckchen für wir also diese 3 Bedingungen für Alfons period die Folge muss in des liegen sie darf nie extern selber treffen und sie muss aber die Dichter Committee ok das ist Definition Reibungspunkt vielleicht noch zur Verdeutlichung 2 3 kurze Beispiele nach so Beispiel 2
entsprechend 8 13 nehmen Sie sich war ein paar übersichtliche Mengen also zum Beispiel das offene Intervall von 0 bis 1 nun alle reellen Zahlen schrieb Größe und Strickkleider 1 was in Häufung es Punkte von diesem Intervall welche das Drehen zahlen können sie an mehreren wenn er wenn sie Material wenn sie folgen diesem oft Intervall anschauen können das ist zwar zweier bekommt die 8 Herr danke gut Zeit gerade schon kurz und schrie schräg über das ich 2 wird über 2 können natürlich nicht approximiert aber was kann ich approximieren hier zum Beispiel Einhalt kann man wunderbar approximiert es da drin und es gibt von können Sie den sie ganz viele zahlende der Nähe wie sieht es mit 0 aus auch 0 können Sie approximieren indem sie die Folge als sich entnehmen 1 durch in dessen Folge die für jedes Ende des liegt weil als sich indes immer strikt zwischen 0 und 1 1 Als sich in allen Fragen sind wenn sie als sich im Plus 1 erweist n gleich 1 ist einzig in 1 liegt nicht drin also gut 1 durch endlos 1 weltweit halb anhalten 3. 4. 5. 6. 7. liegt da wunderbar drin keines der Folgen ist 0 aber es geht gegen 0 also 0 ist auch mal Nahrungs- mit period und genau so ist auch der Punkt 1 9. period nehmen sie die Folge N durch N plus 1 also einhalten 3. 4. 5. 6. 7. halb two thirds three fourths four fifths five sixths 6 7. und so weiter die konvergiert gegen 1 Isny 1 und liegt immer da drin war also alle x aus dem abgeschlossen Intervall 0 1 10 in dem Fall Alfons period wir sehen es dadurch ellipsis geben die selbst gar nicht zur Menge dazugehören ich in dem Fall hier die Punkte 0 und 1 so nächstes Beispiel die
natürlichen Zahlen was sind die Häufung es Punkte der natürlichen Zahlen welche und das ist jetzt ein Beispiel an den Mann die Subtilitäten von der Definition sehen welche Tränen zahlen können Sie approximieren wenn sie nur natürliche Zahlen zur Führung haben nicht viel er die die reelle Zahl die nicht gerade die ganze Zeit nicht gerade natürliche Zahl es ist sowieso schon mal auch aufwendig weil er die kommen Sie nicht an also 3 Alben finden Sie garantiert keine Folge von natürlichen Zahlen in 3 bekomme die aber auch die natürlichen Zahlen selbst sind keine Häufung Punkte die traurige Wahrheit ist diese Menge hat gar keine Häufung spuckt warum es 2 keine Alfons period beachten Sie den zweiten Fall den Fall der da rechts ist natürlich gibt es in Folge in G 2 sind die Folge natürlichen Zahl die den 2 konvergiert nämlich 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 konstant 2 komplette wunderbar gegen 2 dieser verboten weil sie dafür die 2 selber sein er das muss Erfolge in der seinen die nie den Grenzwert annimmt aber den Grenzwert hat und so eine für Sie hierfür keine period die natürliche Zahl dann gar keine Häufung so also sehen man kann sogar relativ große Mengen haben die gar keine neue Songs period haben es geht aber auch umgekehrt ich kann Ihnen ne Menge angeben mit sehr sehr vielen Häufung funken in Sie Marco also die Menge aller rationale Zahlen zur weißen Reibungspunkte von Q 1. das jedes Element von Q ist auch nur so schwungvoll Q weil sie grob gesprochen weil sie jeden Bruch mit Einbrüchen approximieren könnte Bruch 71 wunderst approximieren wollen dann können Sie das er traf auf viel Leid haben tun das ist ein fast in dem 1 70 100 100 dir einzig in dazu wir wunderbare Approximation von diesem Bruch das heißt alle rationalen Zahlen sind schon morgens Punkte aber Sie können ja auch jede reelle Zahl durch irrationale approximieren wenn einfach die Dezimalbruch Darstellung abschneiden und immer weiter hinten abschneiden wenn jetzt Laarbruch Darstellung gleich nach der Außenstelle Abtsteinach der 2. ab der dritten nach der wird nach 5 nach der 6. immer eine Stelle weiter steigen Sie ab dann ist jeder ab jeder abgeschnitten bezahle endliche Dezimalbruch Darstellung also rational und in Summe habe geht es den gegen die gegeben hätte irrationale Zahl also können sie auf die weil sie jede reelle Zahl approximieren und die Reibungspunkte von zentral sind insofern alle x aus er hin also die ganze reagiere die reelle Zahl es Häufung Sprung vom Kuchen und das liegt im Wesentlichen daran dass jede reelle
Zahl sich durch rationale Zahlen approximieren ist und die Idee dahinter ist das Abschneiden der Dezimalbruch Darstellung zur also wichtig er diesen Begriff des Walfangs period es ist die Vorstellung period des Forums period von der Menge wenn sie denn aus dieser Menge heraus approximieren können ohne den Punkt selbst dazu zu definieren zu müssen wer also die konstante Folge die konstant dieser Punkt ist dieses Verbot so jetzt comma Zoomfunktion Grenzwerte also jetzt kommt die dürfen damit können wir
jetzt definieren was es heißt der von X gegeben wert wenn X gegen externe das ist die Definition in Abschnitt 2 3 also der Grenzwert in dem Fall für Funktionen entsprechende nochmals 8 14 also werden die Funktion von er nach er definiert aufnehmen Definitionsbereich die 11 deren Funktion kann was ziemlich will dass sein ja ja weich zu schnell weiß
sich schnell einfach so oder weil gab es lange die Debatten und Fragen und es gibt noch was zu diskutieren gut und die Idee kann ich also mal wissen was erzählen die Idee was heißt er X geht gegen Nennwert für X gegen externe was wir jetzt machen ist wenn im Gefolge des extern approximiert genau gesagt wie jede Folge des extern approximiert setzen Sie folgendes F 1 dann kriegen Sie es von 1 Herr von 1 wieder Folge und wenn die konvergiert der Grenzwert ist dann der Grenzwert für X gegen X da das ist die Idee kann ich jetzt gerade im
also setzte die Idee auf nicht das Papier auf auf Bildstörung und damit ich dieses period externe dem ich dass man wenn überhaupt durch Folge approximieren kann und jetzt kommt der Begriff von gerade eben muss es immer Dollfuß period sein und zwar Anhäufung Sprung vom Definitionsbereich von 11 denn ich werde approximieren befolgen die Funktion einsetzen und ich kann wird immer der außen Definitionsbereich einsetzen also was ich brauche ist das das Fixstern Häufung Std period vom Definitionsbereich ist zur und dann sagt man die Funktion f hat in der Stelle x Sternen den Grenzwert Ziel und wie gesagt dem Grenzwert an der Stelle kann man nur definieren als Rolf uns Punkte des Definitionsbereichs anders als ist der Begriff einfach existiert nicht weil es eben für jede Folge die das X Stern approximiert also für jede Folge XL mit diesen 3 Eigenschaften dar also das N liegt im Definitionsbereich von 11 für alle allen aus allen das X N ist ungleich Stern für alle allen aus allen und das X N approximiert das extern also der Limes in gegen unendlich X der 6 Stern ja Sonne irgend eine solche
Folge gibt es das wissen wir weil ich sterbe Alfons period ist barfuß period meist genau mindestens eine also haben wir so solle vorgesehen Fügung im Normalfall geht davon wie Sand am Meer und wenn jetzt für jede Folge gilt das wenn Sie diese Folgen nehmen und in die Funktion einsetzen jedes XN dürfen sehen die Funktion einsetzen weil XLS im Definitionsbereich als F von X R macht Sinn XL approximiert des X stören und was Sie jetzt machen sie rechnen F von X N aus Essen im Normalfall sollte F von X allen da XNA bei externen ist was mit ihren Grenzwert für X N gegen für x Stern zu tun haben und jetzt bilden sie davon den Limes n gegen unendlich also jagen das X R in nach extern dann sollte das gehen gegen den Grenzwert für 11 für XING nächster war und das ist Danzig zur diese Definition hat eine Sache auf die ich unbedingt wie hinweisen will wenn Sie den Satz lesen und dann müssen Sie bitte in der deutschen Sprache ist die Betonung ein sehr Sinn tragen so wichtiges Element dann lohnt es sich eine ganz dicke Betonung auf das Wort jede zulegen Trunk also das Ding werden Grenzwerte fix gemixt dann gleicht sie für jede solche Folge das gibt also müssen mich irgendeine hätten für die ist tot sondern sie müssen für jede Folge die in dem Sinne dass ums period das dem Punkt X der vernünftig approximiert zeigen 1. F von X N ist bei mir der der konvergenten Folge und alle diese Folgen F von X N für jede solche Folge konvergieren gegen den gleichen wird warum das wichtig ist wenn man noch sehen es gibt nämlich ganz schön schräge Funktion also diese vor diese Definition der diese diese Bedingung verdient Grenzwert ist ganz schön rigide und eigentlich heftig nachzuprüfen weil was Sie machen ist müssen ist jede mögliche Approximation ihres period Fixstern anschauen und feststellen dass für jede mögliche Approximation immer der gleiche ganz herauskommt und wenn es nur eine Spielverderber Folge gibt die etwas anderes produziert dann ist es nicht existiert weil was man dir tut man definiert den Grenzwert der Funktion in dem man spezielle Approximationen einsetzt nur das ist das was man im im praktischerweise tun würde man versuchte Funktionen erstelle anzunähern nicht so genau kennt der ja dann der Mann stellen wo man sie genau kennt und versucht sich anzutasten wird es das Problem dass sie irgendwelche K ab das Punkte nehmen die der die sich immer näher dran bewegen oder Nachbarn völlig anderer und wenn dabei was Vernünftiges rauskommen soll müssen bitte bei beiden das gleiche rauskommen und nur dann wenn egal welche Folgen ihre Nachbarn nimmt das Gleiche rauskommt dann können wir das vernünftig definieren und den geben der Begriff Grenzwert zu wahren so wenn das der
Fall ist dann gibt es dafür die übliche Schreibweise also wenn Sie so einen Grenzwert haben den für alle approximieren folgen immer das Gleiche rauskommt dann schreibt man dafür Limes X gegen Sternen f von x 60 also diese Limes X Genick Stern F von X ist der Limes n gegen unendlich F von X N für alle Folgen zu Ende des extern aus dem Definitionsbereich heraus approximiert
gut das damit haben wir den Grenzwert von
Funktionen habe ich ja auch noch mal drauf auf der Folie da wir wir noch mal auf sich wirken lassen kann also ist auch nur noch mal das was ich gerade geschrieben habe damit können wir jetzt sagen mit Funktion für X gegen 5 geht gegen 3 wir können an der Stelle schon bisschen verallgemeinern haben wenn ich diese Szene ja das kommt heraus als Grenzwert von n gegen unendlich F von X an der Stelle können wir durchaus gleich plus oder minus unendlich zu Lasten Sinne von bestimmte Divergenz wir also können auch seine Funktion geht Felix gegen 3 gegen unendlich kann sich jeder vorstellen wie dann der Graf aus wenn eben diese Folge F von X N für jede approximieren der Folge von dem Stern bestimmt nach unendlich divergiert war also es deshalb B bei dieser ganzen Definitionen ist sie gleich unendlich oder minus unendlich also 10 plus minus ähnlich im Sinne bestimmte Divergenz zugelassen also mit MS es Ex gegen F von X gleich unendlich ist gemeint für jede Folge XN extern deren approximiert divergiert F von X N bestimmt nach unendlich also noch mal hier auf die Folie das heißt das
gilt für jede Folge auch hier Betonung bitte auf also gilt für jede Folge wie oben das heißt diese 3 Bedingungen alle XL liegen die des Kriegsendes nix da nix konvergiert gegen externe das der Limes n gegen unendlich F von X N gleich unendlich ist oder minus unendlich dann und zwar im Sinne von in der Liebe sondern im Sinne von besteht bestimmte Divergenz dann schreibt man auch Limes X gegen X Sterne F von X gleich unendlich beziehungsweise mir das zur mehr 3.
damit können wir jetzt sagen wir
Funktion geht für x Gegenden Wert gegen 3 Siege gegen endlich was wir nicht können ist das eine Beispiel was ich am Anfang der Vorsaison gebracht mit dem Markus Tangens also wir können unendlich und nach minus unendlich jagen das ist halt sehr so in wie definieren wir 1 x gegen unendlich F von X und die die ist wieder der Gleiche nur das müssen wir jetzt tun wir müssen Gefolge oder müssen für jede Folge die den wird wogegen wir konvergieren approximiert also für jede Folge die unendlich approximiert er von XNA anschauen was heißt unendlich approximieren eben bestimmt die wir gern noch unendlich sein also man hat man hat so und ist er untersuchen jede Folge die im Definitionsbereich bestimmt die wir nach unendlich geht also was muss gelten in der Folge in diesem Sinne also die 3 Punkte wobei wir sehen werden ein können wir verzichten XM muss im Definitionsbereich liegen für alle in aus allen 2. period XN muss ungleich demnächst deren seines externes Edition endlich in tödliches XN ungleich X stärker ungleich unendlich weil unendliches keine reelle Zahl den gewann sie also sparen aber es muss eben gelten das die Folge X bestimmt die Werke nach unendlich ist
also wenn für jede Folge den Definitionsbereich legt und bestimmt die Werke nach unendlich ist Geld dass der Limes Fällen gegen unendlich ja von X in gleich C ist dann nehmen das ist der Grenzwert fix gegen unendlich schicken Sie denn jede Folge den Definitionsbereich noch unendlich geht gucken was rauskommt und wenn für alle Folgen Grenzwert F von X N also finde den sehr F von X in das Gleiche rauskommt ist dass der Grenzwert für die X gegen unendlich er das geht natürlich nur wenn es folgen überhaupt bietet die Definitionsbereich liegen und bestimmte hole ich die legendäre Definitionsbereichs Intervall 3 5 ist wenn wir das nicht mehr dann gibt's aber auch ist aber auch sind frei in dem was er für x wunderlich zu definieren gut und auch hier also 1. natürlich kann man genauso den Limes X gegen minus 1 nicht definieren ja da steht n gegen unendlich das ist immer wenn ich ja ganz nach unten vom Blatt kommen dann Spender
ich mache das einmal sauber Sr auf die Weise können Sie auch den nehme 6 gegen
minus unendlich definieren das muss man machen aber auch der Folge bestimmt die wir gerne nach minus unendlich ist also das einzige was man machen ist es hier wie schmieren und alles andere bleibt so wie es ist und letzte Bemerkung der Name wirklich alle Varianten auch hier ist wieder C
gleich plus minus unendlich zugelassen ja also insofern können wir jetzt auch sagen Grenzwert X gegen unendlich F von X ist unendlich also es aber alle Varianten ein so aber was wir gemacht haben ist wirklich nur denn Funktions- Grenzwerten Grenzwert X gegen irgendwas gegen X nix da gegen endlich zurückgespielt auf den Grenzwert von Volk solange wir doch mal gleich beispielhaft unser
Beispiel von gerade eben August Handelns
also beispielsweise 4 entsprechend 8 15 was es X gegen unendlich oder Ministern dann endlich von Markus Tangens von X na und nix ich ihn jetzt nicht vor muss man sich mit dem Tangens beschäftigen aber aus der anschauen wenn Sie die Zeichnung von Markus Tangens glauben Sie mir sicher wenn dessen vernünftiger Begriff ist dann kommt hier Kerl aus dem und so ist es auch ab das können wir
damit noch machen schauen wir uns mal Betrags
Funktion an die die bezahlt Funktion aus X Betrag X ja so fallen damit Knick in der 0 wieder auf und Frage Was ist der Grenzwert wenn Sie X gegen 0 schicken vom Betrag X was müssen sie Ton in dem Fall ist so Definitionsbereich ganz er da kann nicht viel passieren sie müssen jede Folge nehmen die gegen 0 geht und schauen was macht Betrag von der Folge also in dem sich jede folge X XN her im Definitionsbereich der Funktion also in R einfach strikt
nach Definition mir 1. Sie müssen Definitionsbereich liegen 2. Sie darf die betrachtet sich der legst der also hier 0 erreichen also das X muss und gleich 0 sein in der Folge XL er die nie 0 ist und die 0 aber approximiert also es in gegen unendlich XN gleich 0 also eine Folge zum Beispiel nein 3. 4. 5. 6. 7. 8. und so weiter als durch aber zum Beispiel auch eine Essen halt minus one third Viertel mindestens 5. 6. mindestens 7. also mehr als alterniert wird in der Folge da kann man alles mögliche machen man hat ihn wohl auch viele viele Arten approximieren ja und was man jetzt tun muss es man muss sich anschauen was es mit dem Limes n gegen unendlich von der stets von F von X N also in dem Fall vom Betrag von x N muss ich jede approximieren Gefolge hernehmen muss sie die Funktion einsetzen Funktion ist der Betrag und muss schauen was passiert mit dem Bilder in dieser Folge und jetzt haben war werden müssen Sie sich erinnern er wie das war mit den Betrag von konvertierten folgen Daten wir eine Rechenregel wenn Folge konvergent ist dann ist auch der folgende Beträge Konvergenz und der Grenzwert ist der Betrag des Grenzwertes also wird das ist das selbe wie der Betrag von dem was n gegen unendlich XL das war ein Satz über er an konvergente Folgen also das ist hier steht ich hoffe die Nummer stimmt 1 13 a bitte gut Limes in MSN gehen wenn ich von XM kennen aber das ist nämlich 0 nur Sie hier und der Betrag von 0 es immer noch 0 und damit kriegen Sie raus die sehr grenzwertig ist 0 wird vom Bild her auch nicht so verwunderlich ja wenn sie von links oder von rechts oder von wo auch immer mit ihren X gegen 0 gehen geht in der Betrag von x gehen soll so mein anfangs Beispiel in der
Vorlesung war so ein Sprung der Funktionen des Heft ich bringe den beiden einfachste Sprung Funktion als Modellbeispiel die taucht in Ihrem weiteren Studium wahrscheinlich noch ein paar Mal auch die heißt verwies halt Funktionen und die sieht folgendermaßen aus weil sie Gewissheit heißt habe ist immer mit H abgekürzt und dies sehr einfach das ist im Prinzip mit Vorzeichen Test wenn er x negativ ist hat sie werden 0 und wenn ihr X positiv oder 0 ist hat sie den Wert 1 das aber nun teste ihn sagt ist meine Zahl größer gleich 0 Jahren ein wenn ja kann sie der einst wenn kriegen sie 0 er also gerade ist auch nicht besonders
schwer zu malen hier ist X das Haar von X das 1 und die Funktion ist für alle negativen Argumente 0 an der 0 ist die 1 und ab dann ist überreicht relativ übersichtlicher Graf und eignet sich gut jetzt da einmal im Leben anzuschauen mehr werden treffen sich natürlich in dem es X gegen 5 ankucken von den Dingen wie X gegen 5 laufen lassen geht der geht H von X auch gegen die Herr von X gegen 1 Uhr meinem der von 5 die konstant 1 interessantes natürlich der Grenzwert gegen 0 also mit dem Limes X gegen 0 von Avonex was müssen Sie tun uns überlegen ob es denn geht oder nicht Definitionen nehmen sie sich alle Folgen Definitionsbereich Definitionsbereich ist hier ganz real die nie 0 sind die 0 aber annähern stecken Sie denn die Funktion und gucken Sie was rauskommt wenn Sie jetzt den Grenzwert entgegen wenn ich nach so und ich hatte vorhin gesagt bei der Definition sollten besondere Betonung auf jede Freude liegen also Sie müssen wirklich jeder Folge nehmen die die 0 approximiert eine mögliche Folge sie Folge einzig also schauen Sie sich an was ist mit H von einst durch n einzig eines immer größer gleich 0 also das ist 1 für alle allen aus allen also ist der Limes n gegen unendlich ja die Zähne aus die weit unter den Limes in gegen unendlich H von
einst durch n der S 1 nehmen Sie die Folge H von minus also den die Folge minus als ich deshalb müssen wir wieder so viel wie das fünfte dies auch nie 0 geht auch gegen 0 aber war von minus 1 durch ist für alle in aus allen 0 bei minus 1 sich indes immer negativ also ist der Limes n gegen unendlich H von minus 1 durch n der ist 0 sorgsam Sie die 0 auf 2 verschiedene Weisen approximiert stecken die beiden folgen in ihrer Funktionen Gewissheit Funktion ein Schritt auch beides meine konvergent Folge raus der wunderbar kompetente Folge konstante Folge konvergenter geht nicht mehr aber die Grenzwerte sind verschiedene 1 ist meistens nicht 0 dementsprechend an selber Stelle ein Problem den Einsätze definieren den Grenzwert geht einfach nicht wenn es der sozusagen gleichzeitig 1 zu 0 sein das ist nicht also der der existiert nicht sieht man auch irgendwie ein Bild Ja das kommt eben darauf an ob Sie hier von links oder von rechts auf die 0 zu laufen noch schlimmer wird wenn sie es an denn wir machen also wenn sie die Folgen dem Inhalt minus ein Drittel Viertel Minus so 5. und 6. mindestens 7. 8. minus 9. was macht dann H von der Folge macht dann 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 das ist und ich war Mirko gibt also sehen hier haben Sie keine Staus den Grenzwert vernünftig zu definieren also und das ist mir
Allgemeines ein allgemeines Fidschi dass sie beim Sprung immer haben damit ihre Folge Funktion Sprung hat dann existiert an der Stelle der Grenzwert nicht weiß eben davon ankommt ob sie von rechts oder von links marschieren und der dann der sie können dann die Poliker rechts verschiedene Werte draußen damit existierte grenzwertig so lassen Sie mich das Beispiel noch ein bisschen
modifizieren und noch eine andere wichtige er ja Subtilität auszuarbeiten schauen Sie mal die folgende Funktion an die aus der Service seit Funktion abgeleitet ist H von X plus seit von minus X also in dem erwies halbwegs unter der Decke sei von minus X drauf nur 2 erst überlegen was denn das der Funktion ist also auch wieder definiert auf ganz er der wie WISAG steht noch oben einfach 0 für negativen eine sehr positive Argumente und für die 0 Sa auch 1 so was kommt jetzt hier alles überlegen was
uns in der Fallunterscheidung wie sieht das denn
aus das mal negative X für negative X dies H von X erstmal 0 er war von minus 6. 1 x weil wir nichts Negatives ist mir 6 natürlich positiv also für negative X kriegen Sie hier 1 raus mal so dass der Graf bis zur einziehen bis sowohl den negativen konstant 1 was passiert in der 0 selbst von 0 ist von 0 plus H von minus 0 ja von den es nur ließen sich wieder 0 also das habe nur plus H von 0 das ist 1 plus 1 ist 2 also an der Stelle 0 ist die Funktion 2 also positive X für positive X ist H von X 1 aber von Windows XP 0 weil wir nichts Positives wieder 6 negativ also für eine positive nix ist das denn wieder konstant 1 es gibt interessante Funktion die sie über 1 Tausend 0 2 alle die die immer gedacht haben Funktion es sowas was ich als mir gerade liegen durch die Landschaft mal bitte jetzt von diesem Gedanken abstatten denn spätestens also das ist Funktionen sind viel viel reichhaltiger als nur gerade Linien gibt wie diese Funktion sehr viel die Funktion ich setze damit gar nicht belegen aber gerade Strich ist nicht also wunderbar Funktion an jeder Stelle 1 0 0 des 2 was ist denn jetzt an der Stelle mit unseren Grenzwert also Frage was ist jemals X gegen 0 von dieser Funktion ja da hilft jetzt nur stupide auf die Definition starren und sie anwenden also was müssen wir tun gute bis 1. kann ja mal versuchen ob wir vielleicht uns wenden können vielleicht ist nur ja gar keine Häufung Sprung vom Definitionsbereich dumm gelaufen Definitionsbereichs ganz er also Bundes Volvos period gut nächster Versuch wer weiß morgens ist können wir das den wären wir müssen uns wieder jede Freude hernehmen die gegen 0 geht denn die neue ist und die 0 approximiert so also wenn sie sich nachfolge hier er in der Folge in deren
Definitionsbereich ist er XL nie 0 und 0 ja so was ist für diese Folgen wenn sich jede neue Folge werden die 0 wird was es für diese Folgen jetzt F von X N so und
das entscheidende ist X endet eben nie 0 das heißt F von X N wenn die 2 zu 1 ist immer 1 ja egal wie ihre Freude wie die 0 approximiert wird egal was sie Csendes egal was ist es kommt immer ein Trost also F von X N ist mit konstante Freude und damit ist dieser Grenzwert hier egal was es ist in war immer konstant 1 und der Mission existiert und ist 1 tun und was man hier raus als mehr geregelt ziehen kann und da
bekommen wir auch noch diese Vorlesung darauf zurück oder als spätes es Anfang der nächsten der konkrete Funktionswert an der Stelle x Stern also in diesem Fall hier in 0 es ist völlig unerheblich für die Bestimmung des Grenzwerts also die sein wie das X gegen X F von X der ist blind dafür was das 11 an der Stelle x Stern tut und das ist auch gut und richtig so das soll der sein weil der Sohn uns ja nur sagen was macht das F wenn wir das X Stern annähern und das sonst eben nichts darüber sagen was das er für den Stern selber macht was es will vielleicht dann selber macht es können ausrechnen wächst dann einsetzt die neuen Formation es was macht das erst wenn wir X gegen externen gehen lassen und deswegen ist der Wert an der Stelle x deren komplett unerheblich für den Grenzwert als solche und in dem Sinne kann man jetzt das Bild und verstehen ob da an der Stelle 0 1 1 rauskommt oder mit 2 oder mehr fahren das einfach wurscht wichtig für den Grenzwert ist das was nahe 0 passiert links und rechts und der Nähe von der 0 links und rechts ist immer alles 1 dementsprechend der Grenzwerte um 1 gut aber das ist eine wichtige Sache zum Mitnehmen der Funktionswert an der Stelle x da es für den Grenzwert Ex-Gangster das heißt ein bisschen auch als Kontrolle für Sie wenn in ihrem in Ihrer Rechnung mein Sohn vom Sohn Grenzwert aus zurecht der wird an der Stelle x Sterne vorkommen wenn sie den brauchen um den Grenzwert ausrechnen etwas schiefgelaufen wir brauchen Sie nicht ja man braucht den Werten an der Stelle die um den Grenzwert auszurechnen er es sei denn man kommt in meine hat sowas nicht Tätigkeit da kommen wir dann im nächsten Abschnitt zu aber der Wert an sich von der von der
gegeben dass es unabhängig vom Funktionswert an der Stelle so wir kommen noch mal zurück auf meiner seit Funktion nicht in der seltsam
addierten Version sondern in der originalen also wenn die Zeit konstant 0 für negativer konstant 0 für negative konstant 1 für die 0 für positive Argumente wenn wir vorgesehen an der Stelle 0 ist hat das Ding keinen Grenzwert weil es eben darauf an was aber davon an kommt es darauf ankommt ob sie auf jeder Seite vor der 0 sie sind wird der linken Seite Sinnkrise 0 raus wenn sie auf der rechten Seite Sinnkrise 1 raus wir sehen oder springen also sich der 0 während aber alternierend immer hin und her springen dann kriegen Sie sowas alternierendes 1 0 1 0 1 raus dann existiert der Grenzwert schon gar nicht gut trotzdem ist man natürlich versucht zu sagen na ja aber die hat doch irgendwie vernünftige Grenzwert ja wenn ich von links kommen ist der Grenzwert offensichtlich 0 ich von rechts komme so offensichtlich 1 nur dass man das halt nicht mischen darf gut dann ziehen was auseinander und schauen uns links und rechts getrennt an und das führt auf den Begriff des na
dann auch intuitiv bezeichneten links und rechtsseitigen Grenzwert der also links und rechtzeitige Grenzwerte und das ist genau das was wonach es sich anhört mein Trend jetzt Auhof ob man sich von links oder von rechts der kritische Stellenwert also hier bei mir die Zeit würde man eben beim linksseitigen grenzwertig der 0 nur von links nähern und dann sollte man auch wunderbar 0 als Grenzwerte rauskriegen und dieses Konzept wollen wir jetzt daraus ziehen das ist jetzt aber in direkter Analogiebildung zu kriegen also die Vorgaben der Funktion
f auf dem Definitionsbereich von 11 nach und externen sei wieder eine Häufung muss period von D also von den und Dollfuß period haben wir schon mehrfach gesagt ist nichts mit Grenzwert Betrachtung zu machen wir müssen das sich Stern approximieren können und das bedeutet Rolf Xbox so und dann sagt man der Fahrt in den Punkt X Sternen warum mit dem linksseitigen Grenzwert an den linksseitigen Grenzwert sehe falls und jetzt können Sie ziemlich 1 zu 1 die über Definition von hier übernehmen und das einzige wurde auf sie aufpassen müssen es zu dürfen müssen eben einschränken die Folgen müssen so sein das sie nur von links an dem vom extern rankommen also das muss für jede Folge genau wie da drüben für jede Folge XN die diese 3 Bedingungen der erfüllt also mit 1. ist im Definitionsbereich von 11 für alle in aus allen ab so jetzt kommt da drüben als 2. X ist nie x 0
das Modifizieren jetzt für den linksseitigen Grenzwert und sagen es nix deren das X N muss immer kleiner als extern sein damit wenn wir jetzt die Folgen nach links mehr das sagen die X N die Approximation von demnächst dann muss von links erfolgen also die XL müssen alle kleiner als 6 Stern sein damit aber gleichzeitig noch rein gell Matsch dass das X sehr noch nicht XX Stern ist nur bei ganz kleiner ist ist nicht gleich also es muss für alle n aus aussendet XN Strickkleider als extern sein das ist jetzt bezahle die uns den linksseitigen trotzdem Grenzwerte linksseitigen Grenzwert macht und die dritte können wir übernehmen XN muss Fixstern approximieren also in dem es in die nun endlich von XL Musikstadt so und für jede dieser Folgen das ist jetzt genau das Gleiche wie vorher
nehmen sie alle Folgen X endigen
period externen von links approximieren setzen Sie sie in der F 1 kriegen Sendefolge F von X N schauen sich den Grenzwert an und der muss für alle approximieren Folgen von extern von links gleich sein und gleich 10 und dieses dann dann werden Sie denn sagen Sie die Funktion der verdorrten linksseitigen Grenzwert sie ja da der und da gibt jetzt 2 und 3 seien nicht 32 auch mal mindestens 3 verschiedene die alle das Gleiche meinen ich werde folgendes machen nehmen wir das wächst von unten gegen X Sternen F von X gleichziehen also wenn der Pfeil jetzt nicht mehr vom X zum externen sondern von unten das bedeutet es geht eben gegen externe aber nur vom negativen her also von links wir müssen er und das ist der Fall von unten er es gibt reichlich andere Moderation also sollten zum damit Sie wenn Sie meine Bücher schauen nicht verwirrt sind so und dem wird oft verwendet X von unten gegen externe mit dem schrägen Fall oft wird auch geschrieben X gegen X Sternen minus was dann meinen soll sie denn mit X gegen extern aber vom negativen Herr minus also da gibt es alle möglichen Notation ich wirklich mit auf diese Notation vorne beschränken die anderen sind jetzt mehr so als Information falls Sie mal in Büchern oder sonst wo weglaufen so dass es linksseitige Seite begrenzt was wir gemacht haben ist wir haben hier einfach bei der Definition des Grenzwertes alle die Folgen Vorboten die sich irgendwann mal rechts von unserem period extern rum tummeln wir sind da noch die Folgen zugelassen die des extern von links also aus dem negativen heraus approximiert das kleine ganz wesentlich von rechts machen das man ich nicht noch mal alles sehen
das war meine Farbe dazwischen also was eine
rechtzeitige Grenzwert eine rechtzeitige Grenzwerte der SC wenn für jede Folge die jetzt von rechts an das externe geht das heißt die muss immer noch im Definitionsbereich liegen der 1. Punkt bleibt gleich sie muss immer noch extern approximiert der dritte Punkt bleibt gleich aber jeder jedes Folge XN muss eben größer als extern sein damit garantieren Sie Ihre vorgelegt rechts von extern und da muss eben gelten dass immer der gleiche Grenzwert rauskommt Notation in dem Fall na ja vorher bei dem Fall von unten nach
oben gemacht jetzt mal den Fall von und oben nach unten also X von oben gegen x 0 Stern X vom von rechts gegen externe von oben dann ist die Notation wenn Sie hier die Notation noch sehen wollen dann steht hier als nicht so was X von schräg von oben gegen extern oder in dieser Notation schreibt man dann X gegen extern Plus also ist alles Synonyme Notation für den links und den rechtzeitigen grenzt so das ist eigentlich wenn man den Grenze Begriff mal dann akzeptiert ganz naheliegende Verallgemeinerungen man schaut sich eben nur die Welt aus einer Richtung an entweder oberhalb von dem Stern oder unterhalb von externen und kriegt dann dann links
und rechts Grenzwert nur wenn wir jetzt unser mehr Zeit zurück gehen also beispielsweise 6
an dem sie wieder die Gewissheit Funktionen und dann kriegen wir jetzt an der Stelle 0 wunderbar links und rechtzeitige Grenzwerte also das Bild zum dritten Mal für den negativen X ist nur die 0 ist die 1 und für die positiven X ist auch 1 wir hatten vorhin festgestellt wenn sie die Gewissheit Funktion anschauen und X her und nix gegen 0 laufen lassen dann existiert das nicht mehr also schauen uns an was passiert wenn sie X von unten gegen 0 laufen lassen und von oben das passiert X von unten gegen 0 also von links gegen 0 dann sind Sie den Bereich wo die Funktion konstant und wenn sie jetzt eine folgen nehmen die die 0 von unten approximiert es habe von N immer 0 und damit auch den Limes 0 also kriegen 0 umgekehrt wenn Sie der folgen nehmen die
die 0 von oben approximiert also von rechts und den wir deshalb Funktion einsetzen dann kriegen Sie immer 1 raus und damit es auch der Grenzwert 1 ins aber das was vollen intuitiv schon da exakt infiziert also man hat jetzt links und rechtsseitigen Grenzwert und das ist ganz typisches Verhalten wenn sie Sprung von der Funktion haben so kann man definieren was Sprung ist Sprung ist nicht der von der Funktion wo von links und von rechts die Kliniken existieren aber nicht gleich sind darum was würde man normalerweise Sprung nennt für die Zeit ist einfach ist der sozusagen Prototyp eines period so also dann links und rechts einen Grenzwert beide existieren aber sie
sind eben verschieden das ist ein Sprung Sa es gibt aber noch andere Fälle wo diese längst und rechtzeitigen Grenzwerte selber praktisch sind und das sind unsere Paul stellen nehmen Sie auch das einfachste Beispiel die Funktion eines durch X nur Sport schwupp war nicht ganz so eklig wie sieht es hier mit Grenzwerten aus das war 2 Grenzwerte dies wenn sie X gegen unendlich schicken oder gegen ihn aus unendlich kommt hier nur raus Beweis durch Bild nein kann man natürlich auch saubermachen und Siegs gegen schicken heißt es dem Sendefolge ihre X die bestimmt die ist nach oder endlich was bedeutet dann was bedeutet bestimmt die wir gern auch unendlich bedeutet 1 durch die Folge geht gegen 0 ja nix anderes steht hier wenn Sie die folgende Funktion als sich X einsetzen kriegen Sie genau einzig die Folge also kommt dann nur noch aus so aber jetzt wollt ich in Meetings und rechtzeitig was machen und in dem Fall hier existiert in der Grenzwert für X gegen 0 einzig X der existiert nicht weil gut zum
1 E wenn dann oder endlich oder minus unendlich aber sehr müde das Problem je nachdem ob sie von rechts oder von links kommen die das denn eben nach oben ab oder nach unten also muss man ja auch wieder auftreten das X von links gegen 0 9 x von rechts gegen 0 sorgen Sie von rechts gegen 0 gehen dann passiert hier was wenn sie von Rechts gegen nur kommen dann Hauttests aus das den plus unendlich und wenn Sie von links gegen 0 kommen also von unten dann geht es demnach minus unendlich nein ein weiteres Beispiel von links und rechtsseitigen Grenzwerten mehr ja so
weiteres Beispiel wo oft erst mal und klare Grenzwerte auftauchen 10 rationale Funktionen also wir schauen uns mal die Funktion 1 x Quadrat plus X minus 6 durch X minus 2 und was ich mit Ihnen diskutieren will ist der Wert X gegen 2 der Limes für X gegen 2 von der Funktion mehr und man sich jetzt mal anschaut was hier passiert dann stellt man fest dass es mal wieder so ein Grenzwert von der Sorte interessante was passiert natürlich im Z das Präsident Werner wenn sie X gegen 2 gehen lassen dann wird der wenn beliebig gibt die mich Narren 0 war der Versuch diesen Bruch zum Explodieren zu bringen nach unendlich zu treiben aber wenn Sie oben bei 2 Einsätzen kriegen Sie 4 plus 2 minus 6 ist auch 0 das heißt der Nenner versucht der Zähler versucht die Sache nach 0 zu drücken der Männer versucht die Sache noch unendlich zu schieben und wenn man das Haus Effekten die Frage ist wer es stärker er und in dem Fall kann man das zum Glück
sehr leicht entscheiden weil wir sehen wir gerade schon gesehen wenn Sie 2 oben einsetzen kommt nur raus das heißt weißt um Nullstelle kann man denn mal ab dividieren zum Beispiel Morgenschimmer oder wie auch immer und kriegt raus das ist X minus 2 X X plus 3 geteilt durch X minus 2 und wenn sie doch mal den Wert einer Normalform einer rationalen Funktionen und das ist nämlich nichts anderes als die einfache Funktion X plus 3 in etwas komplizierteren Verkleidung so und wenn sie das so haben dann ist es jetzt nicht mehr so arg schwer diesen blöden Limes auszurechnen was ist der
Limes X gegen 2 F von X na ja das ist der Limes von X gegen 2 von X plus 3 und der Limes es gar kein Problem mehr was passiert wenn Sie mir folgen M A n x n die gegen 2 und sie setzen sich hier ein den kriegen Sie XM plus 3 und dann geht das gegen 2 plus 3 und das ist 5 ja das in dem Fall wenn so brav da steht dann brauchen Sie ja nicht nur Folgen Gedanken machen dann setzen Sie einfach gleich 2 ein und dann kriegen Sie 2 plus 3 gleich 5 so in dem Fall existierte Limes für X gegen 2 Uhr glatter Pfeil und wenn Sie das haben dann wissen Sie immer sofort auch dass der links und der rechtzeitige Grenzwert existiert und gleich ist warum mehr weil sie beim links und rechtsseitigen Grenzwert weniger Folgen anschauen wenn für alle Folgen die 2 irgendwie approximieren 5 raus kommt dann kommt auch für alle Folgen die 2 von links approximieren 5 raus bei diesen der bei den großen Trends setzen dabei also wenn der Grenzwert als solche existiert dann wissen Sie immer auch sofort existierende links und rechtzeitige und die beiden sind identisch hat die alle 3 sind identisch ja das ist der einfache Fall komplizierter wird der Grenzwert als solche nicht existiert und sie dann in die Dienste rechtzeitige einzeln anschauen was so Herr es habe ich noch Stabe Beispiel dabei diese 2. Teil dieser Vorlesung besteht im Wesentlichen aus freundlichen und weniger freundlichen Beispielen die Stolpersteine Subtilitäten und Freundlichkeiten von Funktions- Grenzwerten bringen und die nächste Funktion die ich Ihnen zeigen wir gehört er wieder die Abteilung
Scheußlichkeiten dabei kann man sie wunderbar leicht
hinschreiben und sieht erst mal ganz nett aus und zwar ist die Funktion f von x ist von einst durch x und da dürfen Sie natürlich nicht nur einsetzen also Definitionsbereich ist er und 0 sieht sehr nett aus und freundliche Funktion sieht sondern freundlich aus bis man sich dem Grafen oder versucht sich den gaben denn zum einen weil wenn wirklich mal wollen brauchen Sie ziemlich viel Tinte das meinen Rechner machen lassen der das aber auch nur approximativ hingekriegt also das ist der Graf von den Dingen was passiert hier mehr den Sinus der hat ganz ganz viele Nullstelle ja jedem 4 von Pi wenn Sie das einzig X machen dann hat der Sinus immer noch ganz viele Nullstellen an allen Stellen der Form eines durch vielfaches von Piëch weil wenn sie einzeln wie was von P einsetzen dann kommt es durch 1 durch was von P wie was und wie also hat diese Funktion hier ganz viele Nullstellen an den Stellen 1 nicht im alpinen also bei Inhalte beim bei sich 2 Piber einzig 3 tiefer als die Philippinen also und die 1. nur Stelle die Sie hier sehen das ist die weiß sich die also die dass die Wahl sich P als sich PS ungefähr 3. war zunächst ist über sich 2 P 1 der 3 1 4 P und spätestens dann verließen die geben für ließ die Genauigkeit des Rechners die Auflösung oder das bei der mir gesehen der muss ja zwischen den Nullstellen auf 1 und auf minus 1 und damit auf einen zu und das muss er dies auf immer immer engeren Raum und das gibt mir viel Funktion deswegen sage sie braucht sich wie um diesen Grafen zum einen weil der geht jetzt in dem Bereich und endlich mal rauf und runter wirklich und endlich mal rauf und runter der ist eben mit einem Stift nicht so leicht mal war und wenn ich ihn jetzt das schreibt dann sagen Sie mir das geht es das also der Grenzwert X gegen 0 vor der Funktion ja da findet der was ich damit sagen will ist noch mal 1. Es gibt mehr Funktionen als man so normalerweise annimmt das ist nur relativ brate und 2. auch bei diesen Grenzwerten sieht man nicht immer sofort was passiert wobei wahrscheinlich die Vermutung die meisten hatten richtig ist der existiert nicht aber hier können Sie sich auch mit den Grenzwert von rechts oder von links mich aus der Bredouille retten den gibt es nämlich auch nicht woran liegt das mehr was soll der ganze 2 1 0 minus 1 1 37. im Prinzip alle Zahlen zwischen minus 1 zu 1 den Grenzwert wir können wir alle approximiert ja und genau das ist auch die Idee über jetzt nachweisen können dass das Ding kein Grenzwert hat vielleicht dass ja bisher nur der freche Behauptung dass der Grenzwert existiert das müssen wir jetzt überprüfen und dann habe ich eine ständige gute Nachricht der Service denken ist wie wir das überprüfen ich will ja nicht überprüfen das existiert ich werde prüfen das er nicht existiert und das einigen der Mathematik ist jemandem was kaputt zu machen ist viel einfach als jemand als was hinzukriegen das ist zwar ein destruktive Gedanke aber der hilft manchmal weil was müssen Sie tun um was kaputt zu machen Sie müssen nur ein blödes Gegenbeispiel für Existenz Grenzwert hieß was Existenz sondern es wird hieß für alle approximieren folgen kommt es gleich aus ja also wenn sie alle aber Sie müssen jeder Proxim jede Folge nehmen in die Funktion einsetzen und wenn sie dann in die wenn ich ja muss das gleich auskommen damit der Grenzwert nicht existiert reichts also 2 Spielverderber Volk zu finden oder ein vielleicht sogar eine Spielverderber Folge zu finden für die Elf von Erfolgen nicht konvergiert oder eine Möglichkeit sich in 2 Spielverderber Folgen für die F von der Folge 2 verschiedene es den Grenzwert liefert dann sind sie durch und genau das machen wir hier und das schöne an den Spielverderber Folgen ist die können Sie ganz konkret
angehen wo das ist allgemeiner Hinweis ein allgemeiner Tipp wenn Sie Gegenbeispiele suchen wenn Sie das widerlegen wollen wenn sie zeigen wollen was stimmt nicht man sieht die Widerlegung so konkret wie möglich wann immer sie anfangen rumzueiern das geht im allgemeinen nicht weil und dann ein allgemeines Argument bringt man sich das Leben unnötig schwierig und es wird meistens schwammig und Index sagt wir legen tut man am besten durch ganz konkrete Gegenbeispiele und das machen wir ja auch wenn man 2 verschiedene folgen nehmen Sie sich einmal die Folge XN bis 2 bis 1 durch 2 PIN was ist mit der mehr zum 1 SX 1 die von 11 also in DLF was bedeutet das also in dem Fall ist es nicht 0 zu 1 für 2 Pianisten 0 es ist eben die 0 das ist die zweite Bedingung für denn er Grenzwert und das ist aber der Annäherung von externen also wie in dem er von X in diesen wenn es also befolgen XL den Definitionsbereich liegt nie kritischen betrachteten period 0 annimmt aber gegen nur konvergiert so das heißt der Limes von F von X
Interesse an was ist wenn das gegen endlich F von X 1 das ist immer es n gegen unendlich vom sehen aus von 1 durch X N wir durch x 1 1 durch 1 durch 2 PN also hier steht einfach Sinus 2 PIN mehr und das ist gar nicht so schrecklich wie es aussieht weil das einfach konstant 0 also sie das Weib hier ist immer 0 wollen Sie jetzt dass über die 0 folgen den Kombilohn also die Folge die konstant 0 ist dann kommt eben nur aus so also wir haben Erfolge gefunden die in der wird uns Bereich liegt
die selber 0 wird um 0 approximiert und der Grenzwert von f von Erfolges 0 das heißt wenn der Grenzwert X gegen 0 von F von X existiert dann muss er 0 sein ja weil er der Frau Grenzwert wenn existiert muss für alle Folgen derselbe sein das einzige was wir jetzt noch finden müssen es irgendeine Folge XN für die hier eben nicht nur aus und das ist die mit denen wir jetzt y N nämlich die mal eine andere Folge und da nämlich 1 durch die halbe plus 2 PR gut für die gilt das gleiche dies auch in den Domänen also Definitionsbereich weil der Definitionsbereich ist alles außer 0 das Ding ist ne 0 das ist auch für die zweite Bedingung wichtig das Ding ist ne 0 aber wenn Sie n gegen unendlich schicken na ja dann ist der Herr der Männer immer noch beliebig groß dann ist das und was ist mit
dem Leben das er von Y N bis er von y n S Limes n gegen unendlich Sinus von einst durch Y N 1 durch y n ist wieder gehen von Kehrwert also Sinus von halbe plus 2 PN ist der Sinn 2 P Periode ist das heißt die halbe plus 2 PIN Unterwerfung sehen uns an der Stelle ist einfach der Sinus von PAL die vom Gehalt S 1 liebes in endlich von 1 ist immer noch eines und dann aber schon jetzt die sauste für den Grenzwert erreicht das sagt uns wenn der Grenzwert X gegen die 0 von unserer Funktion existiert dann muss ein sein die Zinsen also wenn der wenn es denn geht Moser 0 und 1 gleichzeitig sein und damit was das wohl ja also der existiert nicht mit dem gleichen
Argument in dem sie über einen minus der Vorwahlen kriegen Sie auch die Nichtexistenz von Grenzwert von links also Sie sehen es gibt Funktion bei den dieser ganze Grenzwert Apparat einfach nicht tut oder nicht greift an dieser Stelle 0 das hat ich von rechts also muss ich von Dings X von 0 an dieser Stelle 0 ist bei der Funktion begrenzt wird einfach gar nichts wieder von links auf rechts noch von oben offen unten die total fertig Schüler jetzt will ich das
Beispiel aber noch ein kleines bisschen modifizieren und
dann den zeigen dass damit wieder alles gut geht und die Modifikation ist eigentlich minimal ich nehme das gleiche denn wie gerade eben sehen dass einzig X 1 und multiplizieren auch nix an also x-mal Sinus einst durch x für x aus er ohne 0 9 0 dürfen wir nicht einsetzen weil dann steht da als durch Bundes bundesbesten so auch hier wie sie der Graf aus der braucht immer noch unendlich viel Kind aber nicht mehr ganz so viel das ist der Herr was passiert im Prinzip ist das gleiche wie oben dieses unendliche oszillieren haben sie immer noch er also das sie habe immer noch auf jede noch so kleine der Wahl und die neue unendlich viele maximal minimal ja das ist sie immer noch wie bekloppt rum aber es ist eben durch diese Funktion Y gleich X gedämpft da sie multiplizieren in der Nähe von 0 7 und beziehen das Ding noch mit X in der Nähe von und 6 sehr klein und kriegen Sie diese dieser Reduktion der Oszillationen rum Sorge sieht jetzt mit Grenzwert X gegen 0 aus nein das sieht ja schon irgendwie vertrauenserweckender aus und tatsächlich in dem Fall können wir die Maschinen wieder anwerfen in dem Fall kommt als Grenzwert tatsächlich 0 raus das Bild ist das ahnen lassen Sie uns das formal nachweisen nehmen was müssen wir tun immer das Gleiche was müssen Sie tun um nachzuweisen ein Grenzwert als der ganz werden den Fall neue man sei oder nehmen Sie sich alle Folgen er den Definitionsbereich liegen die 0 werden und gehen nur konvergieren packen Sie sehen die Funktion und schauen Sie was mit dem Grenzwert F von X N passiert also mit dem uns Folge X N E R die 3 üblichen Bedingungen erfüllt also XN und gleich 0 für alle allen aus allen das ist die Bedingung ist können sie gesetzt das ist das in gleich 2 Bedingungen 1 zu 1 das die Bedingung dass X nehmen doch mit Sauce Bereich liegen muss weil Definitionsbereichs alle x außer sowohl und zum zweiten garantiert Ihnen das das X N eben die 0 ist also den zu approximieren wird nicht annimmt und dann brauchen wir noch das ihre Folge gegen 0 konvergiert also brauchen wir 0 Folge Dini 0 ist und was wir jetzt machen müssen ist wir müssen uns F von X N anschauen und
wir müssen zeigen ziel ist zu zeigen betrat also ist zu zeigen wie n gegen unendlich F von X 1 0 und jetzt kommt ein Trick der häufig zieht wenn Sie zeigen wollen irgendwas ist 0 dann ist eine Erfahrung und sie mir gleich mal Betrag drüber wenn Sie zeigen wollen was ist nun und sie zeigen dass der Betrag von den irgendwas was ist 0 dann ist eben 8. irgendwas schon 0 das ist schöner Betrag die der vom Betrag den Betrag von irgendwas 0 ist dann ist das irgendwas 0 also wenn Sie zeigen wollen hier kommt nur raus da mal Betrag drüber sah was ist das nach Definition ist dass der Betrag von x N mal sehen aus von einst durch X Rechenregel Betrag dass es Betrag von x in X der Betrag von Sinus 1 von durch X
so und das das schöne ist jetzt können wir einfach ausnutzen dass den sie nur ist nie größer als 1 wird der Sinus egal was da drin rum oszilliert der Westen sind das hier macht ist eine Szene von einzig XN wenn die größer als 1 den Betrag das einzige was es tut Soße Detailliebe bekloppt darum um die 0 aber es wird nie größer als 1 das heißt dass sie es auf jeden Fall kleiner gleich Betrag X N X 1 so also das ist gleich kleiner gleich Betrag X L zur
was uns interessiert ist die Folge hier Betrag 11 also F von X N und dann gesehen ist kleiner gleich Betrag X L vom Betrag X N wissen wir was es tut wenn sie n gegen unendlich schicken nein X geht gegen 0 für n geben ich denke jedoch Betrag X in den Betrag 0 also gegen 0 da auf der anderen Seite wissen Sie der Betrag hier des garantiert immer größer gleich 0 Betrages immer größer gleich 0 und diese Folge hier die Folge konstant 0 die geht natürlich auch gegen 0 für n gegen unendlich und ich hoffe jetzt erinnern Sie sich an ein etwas wo wir sowas schon häufiger mal hatten ihre Folge Betrag F von X Endes eingeklemmt zwischen der Folge konstant 0 und der Folge Betrag X N beide am Seite gehen gegen 0 dann können wir wieder mit Freude Descendenztheorie entziehen und das sein wird stehe dem sagt uns
dann geht auch das Dinge der Mitte gegen 0 also mit dem Semlitsch Theorien kriegen wir dann der Limes n gegen unendlich Betrag er von A N der ist gleich 0 das ist nicht genau das was wir haben wollten wir wollten haben dass der Limes entgegen endlich er von allen gleich 0 ist aber das ist wie vorhin gesagt wir gegen 0 gehen zum Glück kein Problem ich zitiere Nummer 1 8 11 aus dem Kapitel über 0 und da steht wenn sie der Folge haben den Betrag gegen 0 geht dann geht auch die Folge gegen 0 also ist in endlich er von allen gleich 0 noch mal an der Stelle die Warnung dieses letztlich los der geht wirklich nur für 0 ja wenn sie haben Limes in männlich Betrag von Erfolges S 1 dann heißt das nicht dass die gegen 1 konvergiert nehmen Sie die Folge 1 minus 1 unsere Lieblings die Legende Folge 1 minus 1 1 1 1 1 1 1 1 minus 1 das wir 2 Dinge wenn Sie Beträge drüber werfen ist das Ding 1 1 1 1 1 1 1 so wunderbar Konvergenz aber eben nicht als ganze Folge comma gehen wenn es mit 0 Es geht es gut also kriegen wir hier jemals in gehen nämlich er von dass wir plötzlich aus X sorry aus aber ist ja so also er von X 1 0 das uns überlegen was haben am Anfang getan dessen gestartet mit der beliebigen Folge die 0 approximiert aber die 0 ist und angezeigt seines immer F von X geht der Grenzwert in den endlich F von X in immer gegen 0 und das alles alles zusammen liefert Ihnen jetzt das Dilemma X gegen 0 von X Sinus einst durch X also von dieser Funktion auf der vor Folie dessen und gut so weit zum Thema er Grenzwerte ich hoffe ich habe ihn zum Dissidenten er das sehen können das alles Funktion wie nur so gerade sie wahre Linien sind und ich habe ihn bis in die Zeit die man Grenzwerte ausrechnet Sie werden das ganz sicher auf nächsten Übungsblatt auch noch zur Genüge tun dürfen weil das ist ja ganz wichtige Rechentechnik einfach zu Beginn der nächsten Vorlesung gibt es dazu noch ein Stapel Rechenregeln die an das Leben sehr erleichtern und für heut ist erst mal feiern ich danke aufweist
Fortsetzung <Mathematik>
Quadrat
Normalvektor
Folge <Mathematik>
Physiker
Zusammenhang <Mathematik>
Zahl
Zusammenhang <Mathematik>
Richtung
Unendlichkeit
Funktion <Mathematik>
Grenzwertberechnung
Folge <Mathematik>
Punkt
Menge
Reelle Zahl
Grenzwertberechnung
Punkt
Mittlere freie Weglänge
Grenzwertberechnung
Summe
Dezimalbruch
Folge <Mathematik>
Punkt
Endlichkeit
Menge
Reelle Zahl
Irrationale Zahl
Rationale Zahl
Natürliche Zahl
Dezimalbruch
Punkt
GERT
Menge
Rationale Zahl
Zahl
Funktion <Mathematik>
Grenzwertberechnung
Approximationstheorie
Folge <Mathematik>
Punkt
Grenzwertberechnung
Funktion <Mathematik>
Last
Funktion <Mathematik>
Reelle Zahl
Folge <Mathematik>
Grenzwertberechnung
Knicken
Betrag <Mathematik>
Folge <Mathematik>
Betrag <Mathematik>
Vorzeichen <Mathematik>
Zahl
Funktion <Mathematik>
Grenzwertberechnung
Konstante
Parametersystem
Folge <Mathematik>
Grenzwertberechnung
Funktion <Mathematik>
Parametersystem
Negative Zahl
GERT
Vorzeichen <Mathematik>
Funktion <Mathematik>
Folge <Mathematik>
Grenzwertberechnung
Parametersystem
Verschlingung
Grenzwertberechnung
Folge <Mathematik>
Punkt
Grenzwertberechnung
Folge <Mathematik>
Grenzwertberechnung
Punkt
Verallgemeinerung
Richtung
Grenzwertberechnung
Strukturgleichungsmodell
Funktion <Mathematik>
Grenzwertberechnung
Grenzwertberechnung
Quadrat
Rationale Funktion
Zahl
Grenzwertberechnung
Folge <Mathematik>
Normalform
Rationale Funktion
Stab
Nullstelle
Glättung
Grenzwertberechnung
Gegenbeispiel
Sinusfunktion
Folge <Mathematik>
GERT
Rechenbuch
Nullstelle
Mathematiker
Inhalt <Mathematik>
Auflösung <Mathematik>
Zahl
Funktion <Mathematik>
Grenzwertberechnung
Gegenbeispiel
Index
Sinusfunktion
Sinusfunktion
Folge <Mathematik>
Zeitbereich
Sinusfunktion
Folge <Mathematik>
Modifikation <Mathematik>
Sinusfunktion
Betrag <Mathematik>
Sinusfunktion
Sinusfunktion
GERT
Ende <Graphentheorie>
Betrag <Mathematik>
Physikalische Theorie
Grenzwertberechnung

Metadaten

Formale Metadaten

Titel Funktionengrenzwerte
Serientitel Mathematik I für Bauwesen
Teil 15
Anzahl der Teile 29
Autor Haller-Dintelmann, Robert
Lizenz CC-Namensnennung - keine kommerzielle Nutzung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland:
Sie dürfen das Werk bzw. den Inhalt zu jedem legalen und nicht-kommerziellen Zweck nutzen, verändern und in unveränderter oder veränderter Form vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen, sofern Sie den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen und das Werk bzw. diesen Inhalt auch in veränderter Form nur unter den Bedingungen dieser Lizenz weitergeben.
DOI 10.5446/35636
Herausgeber Technische Universität Darmstadt
Erscheinungsjahr 2013
Sprache Deutsch

Inhaltliche Metadaten

Fachgebiet Mathematik

Ähnliche Filme

Loading...
Feedback